与球有关的问题
构造长方体（正方体）
a. 墙角问题
在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为.若该四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为________
三棱锥中，平面，，若，则该三棱锥的外接球的体积是__________
已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，
且，，则球的体积为____________
已知三棱锥中， ，则该三棱锥外接球的体积为__________．
《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑， 平面， ， ，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
如图，四边形是边长为的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是
B. C. D.
b. 对棱相等
三棱锥中， ， ， ，则该几何体外接球的表面积为_______________.
一个四面体的所有棱长为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
与正四面体相关的球体问题
已知正四面体的棱长为，其外接球表面积为，内切球表面积为，则的值为（ ）
B. C. D.
正四面体的外接球半径为，过棱作该球的截面，则截面面积的最小值为______
已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为
棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内
任意转动，则x的最大值为（ ）
A. B. C. D.
构造直角三角形-球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面
a. （正）棱锥的外接球
在正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的直径为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
已知三棱锥底面的顶点在半径为4的球表面上，且，则三棱锥的体积为___________.
正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的体积为_____
b. 构造直角
已知在三棱锥中，面，，，则该棱锥的外接球半径为_________
17. 已知三棱锥的体积为，是等腰直角三角形，其斜边，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则球的体积为__________.
已知三棱锥中， 三点均在球心为的球面上，
且， ，若球的体积为，则三棱锥的体积是__________．
（提升）
已知三棱锥的顶点都在球的球面上，与是边长为的正三角形，平面平面，则球的表面积为___________.
已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是正方形，，，，平面底面，则球的表面积为____________.
c. 柱体的外接球
球面距离
在东经圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬与北纬圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球面距离是 .
在地球北纬60°圈上有A、B两点，它们的经度相差180°，A、B两地沿纬线圈的弧长与A、B两点的球面距离之比为（）
A．3:2 B.2:3 C.1:3 D.3:1
与球有关的最值问题
已知是球的球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
点A，B，C，D在同一个球的球面上，,，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）
已知三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，且、、两两互相垂直，则三棱锥的侧面积的最大值为__________．
内切球问题
1. 正四棱锥的体积为，底面边长为，则正四棱锥的内切球的表面积为________.
2.一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.与球有关的问题
构造长方体（正方体）
a. 墙角问题
在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为.若该四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为________
【答案】
三棱锥中，平面，，若，则该三棱锥的外接球的体积是__________
【答案】
已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，
且，，则球的体积为____________
【答案】
已知三棱锥中，
所以r=，设正方体的最大棱长为a，∴3=∴a=,
外接球的面积为
故选B
已知三棱锥中， ，则该三棱锥外接球的体积为__________．
【答案】
【解析】取 中点,连,由勾股定理可求出,在中, ,所以为直角三角形, ,故,所以 为三棱锥 的外接球的球心,且半径为 ,故体积 .
《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑， 平面， ， ，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可知，底面 为直角三角形，且，则 ，则球的直径 ，则球的表面积
选C
如图，四边形是边长为的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）
B. C. D.
B
b. 对棱相等
三棱锥中， ， ， ，则该几何体外接球的表面积为_______________.
【答案】
【解析】三棱锥内接于长宽高为 的长方体，所以该几何体外接球的直径为 ，表面积为
一个四面体的所有棱长为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
与正四面体相关的球体问题
已知正四面体的棱长为，其外接球表面积为，内切球表面积为，则的值为（ ）
B. C. D.
【答案】C
正四面体的外接球半径为，过棱作该球的截面，则截面面积的最小值为______
【答案】
已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为
【答案】
棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内
任意转动，则x的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【 答案】D
【解析】棱长为的正方体的内切球的半径为，正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为 的正四面体的外接球的半径为，
设正四面体为，过作平面，垂足为， 为底面正的中心，则 ，体高为 ，由于外接球半径为 ，利用勾股定理得： ，解得，选D.
构造直角三角形-球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面
a. （正）棱锥的外接球
在正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的直径为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
已知三棱锥底面的顶点在半径为4的球表面上，且，则三棱锥的体积为___________.
【答案】
正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的体积为_____
【答案】
b. 构造直角
已知在三棱锥中，面，，，则该棱锥的外接球半径为_________
【答案】
17. 已知三棱锥的体积为，是等腰直角三角形，其斜边，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则球的体积为__________.
【答案】
已知三棱锥中， 三点均在球心为的球面上，
且， ，若球的体积为，则三棱锥的体积是__________．
【答案】
【解析】三棱锥中， 三点均在球心为的球面上，且， ，则，∴，设球半径为，由球的体积，解得．设的外接圆的圆心为，∴，外接圆的半径为，∴，
∴三棱锥体积为．
（提升）
已知三棱锥的顶点都在球的球面上，与是边长为的正三角形，平面平面，则球的表面积为___________.
已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是正方形，，，，平面底面，则球的表面积为____________.
【答案】
c. 柱体的外接球
球面距离
在东经圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬与北纬圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球面距离是 .
【答案】
在地球北纬60°圈上有A、B两点，它们的经度相差180°，A、B两地沿纬线圈的弧长与A、B两点的球面距离之比为（）
A．3:2 B.2:3 C.1:3 D.3:1
【答案】A
与球有关的最值问题
已知是球的球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知 =， ，选D.
已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为为等腰直角三角形，所以AC为截面圆的直径，故该三棱锥的外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，当P,O,D三点共线且P,O位于截面同一侧的棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为，所以，求出，设外接球的半径为则,在中，,由勾股定理得，解得,所以外接球的表面积为，选D.
点A，B，C，D在同一个球的球面上，,，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）
【答案】C
已知三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，且、、两两互相垂直，则三棱锥的侧面积的最大值为__________．
【答案】8
【解析】两两垂直，又因为三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，所以以为棱的长方体的对角线即为球的一条直径， ，则由基本不等式可得， ，即，则三棱锥的侧面积
，则三棱锥的侧面积的最大值为，故答案为.
三、内切球问题
1. 正四棱锥的体积为，底面边长为，则正四棱锥的内切球的表面积为________.
【答案】
2.一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设球的半径为：r，由正四面体的体积得：
,
