专题三 函数
考向(一) 函数的概念、图像与性质
规律小结
函数作为高中数学内容的一条主线，对整个高中数学有着重要的意义，每年高考卷都将其作为必考题，题目分布在选择题和填空题.本专题常以基本函数、基本函数组成的复合函数以及抽象函数为载体，对函数内容和性质进行考查，考查函数的定义域、值域，函数的表示方法及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)、图像等，常与导数、不等式、方程等知识交汇命题，考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想方法.同时加大对数学建模的考查力度，根据实际问题，建立函数模型或用已知模型解决实际问题，考查建模及应用能力.
3.考点频度
高频考点：函数的概念、图像与性质以及指数函数、对数函数和幂函数.
低频考点：函数与方程.
4.备考策略
函数主要以课程学习情境为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困难题，而且常考常新.考生在备考时要注意以下两点.
(1)指数函数、对数函数、幂函数及一次函数、二次函数的图像和性质是基础，要求考生在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质的本质，会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的变化.同时，指对运算也是常考查的知识点，考生应加强对公式的理解及应用的训练.
(2)函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考查内容，注意函数的奇偶性、单调性的综合应用，注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点做好准备工作.
1.(2021全国甲,理12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax +b. 若f(0)+f(3)=6,则
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以抽象函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性.
[必备知识]本题考查的知识是函数奇偶性和周期性的综合应用.
[能力素养]本题考查运算求解能力和逻辑思维能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题解题的关键一是求解解析式中的参数，由f(x+1)为奇函数，可得f(1)=0，结合f(0)+f(3)=6,可得a,b的值,从而得到x∈[1,2]时,f(x)的解析式;关键二是求解函数的周期性，由f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，求得f(x)的周期为4，最后将自变量 进行转化， 即可解决.
[解题思路]∵f(x+1)是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1).
∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).
∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).
∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x),
∴-f(-x)=-f(x),即. f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),
∴函数f(x)的周期为4,∴f(3)=f(1)=0.
∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),∴f(0)=-f(2).
∵当x∈[1,2]时, f(x)=ax +b,∴由f(1)=0得a+b=0.
∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6.
即 故选D.
[答案]D
2.(2021全国甲,文4)下列函数中是增函数的为( )
A.f(x)=-x
C.f(x)=x
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以基本初等函数为载体，考查函数的单调性.[必备知识]本题考查的知识是基本初等函数单调性的判断.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力，考查的学科素养是理性思维.本题结合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可判断.
[解题思路]借助函数的图像可知，对于A，函数单调递减，不合题意；对于B，根据指数函数的性质可知函数单调递减，不合题意；对于C，函数在定义域内不单调，不合题意；对于D，根据幂函数的性质可知，函数在其定义域内为增函数，符合题意.故选D.
[答案]D
3.(2021全国甲,文12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若 则
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以抽象函数为载体，考查函数的奇偶性、对称性以及周期性的综合应用.
[必备知识]本题考查的知识是函数的奇偶性、对称性和周期性的灵活处理和求解函数值.
[能力素养]本题考查运算求解能力和逻辑思维能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题解题的关键是进行合理的转化,思路1.由已知条件f(-x)=-f(x)及f(1+x)=-f(x)进行转化得f(2+x)=f(x),再结合 进行求解;思路2.由f(1+x)=f(-x)得f(x)的对称轴 结合f(x)为奇函数，易知函数f(x)的周期为2，再结合 进行求解.
[解题思路]思路1.∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∵f(x+1)=f(-x),∴f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
∴函数f(x)的周期为2,则 故选C.
思路2.∵f(1+x)=f(-x),则 为函数f(x)的对称轴，
又f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2,则
故选C.
[答案]C
[失分剖析]考生不能快速正确地对函数的奇偶性、对称性以及周期性进行转化.
4.(2021全国乙,理4、文9)设函数 则下列函数中为奇函数的是( )
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以反比例函数为载体，考查函数奇偶性和函数的图像变换.
[必备知识]本题考查的知识是分式的处理以及函数奇偶性和图像变换的应用.
[能力素养]本题考查运算求解能力和逻辑思维能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题解题的关键是确定函数f(x)的对称中心，先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)=
进而得到f(x)的对称中心为(-1，-1)，然后通过图像变换，使得变换后的函数图像的对称中心为(0，0)，从而得到答案.当然考生也可以把 的解析式代入每个选项逐个进行判断.
[解题思路]思路1.函数 故该函数图像的对称中心的坐标为( -1,-1).
将该函数图像向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的图像对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1，其图像关于坐标原点对称，即为奇函数.故选B.
思路2.将 代入A选项得 对称中心为(0,-2).类比A 选项对每个选项逐个进行判断即可.
[答案]B
[失分剖析]①考生不会分式处理.②考生不会判断对称中心.
5.(2021新高考全国Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数，则下列选项中值一定为0的是( )
B.f(-1) C.f(2) D.f(4)
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以抽象函数为载体，考查了函数奇偶性、周期性的综合应用.
[必备知识]本题考查的知识是函数奇偶性的定义的应用以及赋值法的灵活应用.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.思路1.常规推导，要求考生能够利用函数的奇偶性的定义对条件f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数进行处理,得到f(-x+2)=f(x+2),f(-2x+1)=-f(2x+1),然后借助赋值法即可求解.思路2.特殊函数法，要求考生能够对学过的基本初等函数进行灵活性地创造，构造出满足要求的新函数 之后进行验证即可.
[解题思路]思路1.∵f(x+2)是偶函数,则f(-x+2)=f(x+2),
又f(2x+1)是奇函数,则f(-2x+1)=-f(2x+1),
且由F(x)=f(2x+1)是奇函数,可得F(0)=f(1)=0.
∴f(-1)=-f(3)=-f(1)=0,其他选项不一定为0.
故B选项正确.
思路2.由f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,
可构造函数 符合题意，故选B.
[答案]B
[失分剖析]考生对抽象函数性质的处理不到位.
6.(2020全国Ⅱ,理9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )
A.是偶函数，且在 单调递增 B.是奇函数，且在 单调递减
C.是偶函数，且在 单调递增 D.是奇函数，且在 单调递减
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|为载体,考查函数的单调性和奇偶性.
[必备知识]本题考查的知识是利用导数判断函数的单调性和函数奇偶性的概念.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生先根据函数f(x)奇偶性的概念，利用f(x)与f(-x)的关系解决问题，再借助导函数f'(x)在给定区间内的正负来判断函数的单调性.本题需要考生理解函数单调性和奇偶性的意义，并通过数学运算求解.
[解题思路]运用函数奇偶性和单调性的概念进行判断.
由题意可知，函数f(x)的定义域为 关于原点对称.
∵f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,
∴f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
当 时,. f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),
∴f(x)在区间 内单调递增.
同理,f(x)在区间 和 上单调递减.故选D.
[答案]D
[失分剖析]考生对于函数解析式中的绝对值化简处理不到位.
7.(2020全国Ⅱ,文10)设函数 则f(x)( )
A.是奇函数，且在(0，+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0，+∞)单调递减
C.是偶函数，且在(0，+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0，+∞)单调递减
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以函数 为载体，考查函数的单调性和奇偶性.
[必备知识]本题考查的知识是函数的单调性和奇偶性的简单应用.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生首先以奇偶性的概念为出发点，利用f(x)与f(-x)的关系解决问题，再通过单调性的性质，缜密地运算解决问题.本题需要考生理解函数单调性和奇偶性的意义，并通过数学运算进行求解.
[解题思路]运用函数单调性的性质和奇偶性的概念进行判断.
由题意可知,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∴f(x)为奇函数.
易知 在区间(0，+∞)内单调递增.
故选A.
[答案]A
[失分剖析]考生对于区间单调性证明中的判断求解易出错.
8.(2020新高考全国Ⅰ,8;2020新高考全国Ⅱ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(一∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以抽象函数f(x)的奇偶性和单调性为载体，考查不等式问题.
[必备知识]本题考查的知识是抽象函数的奇偶性和单调性的综合应用.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学
探索.考生理解题干，借助函数的奇偶性和单调性刻画出函数图像的对称性和变化趋势，再抽
上归纳形成数学命题.本题解题的关键是通过分析将函数扩充到整个定义域，即能够将函数
的各种性质和不等关系等综合抽象为一个整体，并围绕着这一个具体模型(抽象函数)展开研
究，最终解决具体问题.
[解题思路]利用函数的基本性质以及结合函数的图像进行求解.
不等式xf(x-1)≥0可化为 或
∵f(2)=0,∴f(-2)=0.
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.
又f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x)在(0,+∞)上也单调递减.
解得1≤x≤3或-1≤x≤0,
∴满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.
[答案]D
[失分剖析]考生对于函数解析式分类讨论处理不到位.
9.(2019全国Ⅰ,理5、文5)函数 在[-π,π]的图像大致为( )
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角函数为载体，考查函数图像的判断.
[必备知识]本题考查的知识是利用函数的定义域、奇偶性、特殊点处的函数值以及函数的单调性判断函数的简图.
[能力素养]本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题定义域无法进行判断，所以考生应利用函数奇偶性的概念或性质判断出函数的奇偶性，排除部分选项，再借助· ，π等处的函数值确定最终的函数图像.本题要求考生通过函数的奇偶性以及特殊点处的函数值大体描绘函数的图像，考查考生对函数性质与图像的数形结合思想的理解与应用.
[解题思路]常用的识图方法主要有三种，一是定性分析法，即通过对问题进行定性分析，从而根据图像的上升或者下降的趋势来分析；二是定量计算法，通过定量计算进行分析；三是函数模型法，由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用函数模型来分析.
思路1.由f(-x)=-f(x),得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除A选项.
故排除A选项和C选项.
[答案]D
[失分剖析]①考生对于基本初等函数的性质理解不到位.②考生对于特殊点的应用技不熟练。
10.(2019全国Ⅱ,理12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有 则m的取值范围是( )
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以抽象函数的性质和图像为载体，考查不等问题.
[必备知识]本题考查的知识是函数的图像的变换和函数的性质.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力、空间想象能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生获取分段函数中一段函数的解析式并画出一段函数图像，关键理解好条件f(x+1)=2f(x),通过变形得到f(x)=2f(x-1).本题考查了利用图像的平图变换与伸缩变换相结合，要求考生把(0，1]上的图像扩展到R上，其实质是分析好f(x)的图像，再求出(2，3]上的解析式，从而解决问题.
[解题思路]利用函数的基本性质以及结合函数的图像进行求解.
∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1).
又当x∈(一∞,m]时, 恒成立， 故 故选B.
[答案]B
[失分剖析]①考生对于函数中的性质整合应用时前后不能照应.②考生不能准确作出函数图像.
11.(2019全国Ⅱ,文6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,. f(x)=e -1, 则当x<0时,
A.e- -1 B.e- +1
C.-e- -1 D.-e- +1
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以分段函数为载体，利用奇偶性考查求函数的解析式.
[必备知识]本题考查的知识是函数的奇偶性的应用.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.思路1.考生理解获取函数的部分解析式(当x≥0时， f(x)=e -1), 此处考生易犯以偏概全的错误，需要考生理解奇偶性的概念和几何意义，利用奇函数的定义f(x)=-f(-x)把已知区间[0，+∞)上的函数解析式转化成未知区间(-∞，0)上的函数解析式.思路2.利用特殊点处的函数值进行排除也可.考生需综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题.
[解题思路]思路1.采取代换法，利用转化与化归的思想解题.
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=e- -1=-f(x), 即f(x)=-e- +1. 故选D.
思路2.排除法.
∵f(2)=e -1, 则f(-2)=-f(2)=1-e ,排除A,B,C.故选D.
[答案]D
12.(2019全国Ⅲ,理7)函数 在[-6,6]的图像大致为( )
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以函数为载体，考查函数图像和性质.
[必备知识]本题考查的知识是利用函数的定义域、奇偶性、特殊点处的函数值以及函数^^1
的单调性判断函数的简图.
[能力素养]本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题定义域无法进行判断，所以考生应利用函数奇偶性的概念或性质判断出函数的奇偶性，排除部分选项，再借助4，6处的函数值确定最终的函数图像.本题要求考生通过函数的奇偶性以及特殊点处的函数值粗略描绘函数的图像，考查考生对函数性质与图像的数形结合的理解.
[解题思路]设 则 故f(x)是奇函数，图像关于原点对称，排除选项 排除选项 排除选项A.故选B.
[答案]B
[失分剖析]考生对于图像中的对称性、单调性、特殊点的理解不到位.
13.(2019全国Ⅲ,理11、文12)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则( )
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以抽象函数f(x)为载体，考查函数单调性、奇偶性及比较指数、对数值大小问题.
[必备知识]本题考查的知识是抽象函数的单调性和奇偶性的综合应用以及指数、对数值大小比较.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学索.思路1.考生利用函数的奇偶性把所比较的三个函数值的自变量转化到同一个单调区内，再比较自变量的大小，根据函数的单调性即可解决.思路2.抽象问题具体化.借助满足目条件的基本初等函数 f(x)=-x 进行解决.
[解题思路]思路1.∵f(x)是R上的偶函数，
又 y=2 在定义域R上单调递增，
又f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,
故选C.
思路2.设 f(x)=-x , 则f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，满题设条件.则 1,所以 故选C.
[答案]C
[失分剖析]考生对于指数函数与对数函数的性质理解不到位.14.(2021新高考全国Ⅰ,13)已知函数f(x)=x (a·2 -2 )是偶函数,则a= .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以指数函数和幂函数为载体，考查函数奇偶性的基本知识.
[必备知识]本题考查的知识是函数的奇偶性的基本知识和根据奇偶性及特殊点的函数值确定函数表达式中参数的基本方法.
[解题思路]思路1.因为函数 f(x)=x (a · 2 -2 ); 是偶函数，
所以 f(x)=f(-x),即 x (a · 2 -2 )=(-x) [a · 2 -2 (-x)].
整理得，a ·2 -2 =- (a · 2 -2 ), 即 (a-1) · 2 +(a-1) · 2 =0.
(a-1)(2 +2 )=0.
所以a=1.
思路2.因为函数 f(x)=x (a · 2 -2 ) 是偶函数,由特值法f(1)=f(-1),解得a=1.
[答案]1
15.(2021新高考全国Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以对数函数与绝对值函数为载体，考查函数的单调性和最值.
[必备知识]本题考查的知识是绝对值函数的处理以及函数单调性的分析与应用.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题要求考生能够转化问题，把绝对值问题f(x)=|2x-1|-2lnx转化为一个分段函数 的问题.思路1.考生在每一段函数中借助导数分析函数的单调性，进而求解最小值；思路2.由对数不等式lnx≤x-1(x=1时等号成立)知-2lnx≥2-2x，然后在每一段中计算求解即可.
[解题思路]思路
当 时, 令f'(x)=0,则x=1,
所以当 时, f'(x)<0,f(x); 单调递减，当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以函数f(x)在区间 内的最小值为f(1)=1;
当 时, 则函数f(x)在区间 上单调递减，则函数f(x)在区间 上的最小值为
综上，
思路2.由对数不等式lnx≤x-1(x=1时等号成立)知-2lnx≥2-2x,
①当 时,f(x)=2x-1-2lnx≥2x-1+2-2x=1;
②当 时,f(x)=1-2x-2lnx>1-2x=3-2x+2-4x≥1.
所以函数f(x)的最小值为1.
[答案]1
[失分剖析]考生对绝对值函数处理不到位或处理以后不会分析函数的单调性.
16.(2021新高考全国Ⅱ,14)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x): .
①f(x x )=f(x )f(x );②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以函数的性质为载体，考查函数的构造.
[必备知识]本题考查的知识是基本初等函数的性质与应用.
[能力素养]本题考查创新能力和逻辑思维能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题是开放题，以函数的基本性质为基础，考生可以从简单的条件入手，如性质②，借助导数的几何意义易知f(x)在(0，+∞)上是增函数；性质③比较直接；性质①类比所学过的公式(ab)"=a"b", 结果就呼之欲出了.开放题的核心是培养考生独立思考和创新的意识.
[解题思路]当 f(x)=x 时, 当x∈(0,+∞)时, f'(x)=2x>0，f'(x)=2x是奇函数.符合题目要求.本题属于开放性问题，答案不唯一.
[答案]f(x)=x (答案不唯一)
[失分剖析]考生对性质①的处理有所欠缺，不能类比备考中出现过的条件 f(x +x )=f(x ) ·f(x )与f(x x )=f(x )+f(x ) 迁移到幂函数上.
17.(2019全国Ⅱ,理14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e . 若f(ln 2)=8,则a= .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以抽象函数为载体，考查对数运算问题.
[必备知识]本题考查的知识是借助函数奇偶性及特殊点的函数值来确定函数的解析式中的参数.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生借助条件f(ln 2)=8得到已知区间内函数的解析式，运用奇偶性的概念和几何意义，转化出未知区间的函数解析式.本题还整合了函数的基本性质和对数的运算性质.考生需综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题.
[解题思路]∵ln2∈(0,1),f(ln 2)=8,f(x)是奇函数,∴f(-ln 2)=-8.∵当x<0时,044f
[答案]-3
[失分剖析]考生在函数解析式中的运算求解环节易出错.
考向(二) 指数函数、对数函数与幂函数
1.(2021全国甲，理4、文6)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 ( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
[试题情境]本题属于生活实践情境.本题以特殊函数模型为载体，考查考生利用数学模型解决实际生活中问题的能力.
[必备知识]本题考查的知识是了解数学建模活动与数学探究活动，要求考生会结合社会普遍关注的问题，借助学过的对数与指数的互化知识，运用数学思想建立模型解决实际问题.
[能力素养]本题考查运算求解能力、逻辑思维能力和数学建模能力，考查的学科素养是理性思维和数学应用.本题以青少年的视力为背景，贴合实际，更是社会普遍关注的热点问题.本题用对数模型L=5+1gV描述了视力表中两种不同记录法之间的关系，要求考生运用指对运算的知识解决生活实践中遇到的问题，理解题意，把L=4.9代入L=5+lgV中，解出lg V=-0.1，再利用指对互化，直接求解即可.
[解题思路]由题意L=5+lg V,当L=4.9时,有4.9=5+lg V, lg V=-0.1,V=
[答案]C
2.(2021全国乙,理12)设则( )
A.c>b>a B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以对数值、根式为载体，考查比较大小的问题.
[必备知识]本题考查的知识是函数与导数的单调性和最值的关系.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力、数学建模能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题首先要求考生根据函数f(x)=lnx的单调性，得a>b，难点是与c的大小比较，需要考生选择变量，构造函数f(x)，g(x)，通过求导，借助导函数的几何意义，判断函数的单调性，判断出c与a，b的大小关系.
[解题思路]∵a=ln 1.01 =ln 1.0201>ln 1.02=b,∴排除A,D.
令 则
当x≥0时,
∴f'(x)≤0,且f'(x)不恒为0.
∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,∴f(0.02)
令 则
当 0≤x<2时,.x ≤2x 1+2x+x ≤1+2x+2x, 即 (1+x) ≤1+4x,
∴g'(x)≥0在区间(0,2)内成立,且g'(x)不恒为0.
∴g(x)在区间[0,2)内单调递增,∴g(0.01)>g(0)=0,即a-c>0,∴a>c.
综上可得,a>c>b.∴选B.
[答案]B
[失分剖析]考生不会构造函数进行比较大小.
3.(2021新高考全国Ⅱ,7)已知 则下列判断正确的是( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以对数为载体，考查对数比较大小的问题.
[必备知识]本题考查的知识是对数的运算和对数函数的单调性.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学深索.考生以 为中间量对对数log 2和log 3进行正确处理，即可解决.
[解题思路]思路1故选C.
思路 故b>c>a.故选C.
[答案]C
[失分剖析]考生不能正确快速地运用对数函数的单调性处理对数.
4.(2020全国Ⅱ,理11、文12)若 2 -2"<3 -3 ", 则( )
A. ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0
C. ln|x-y|>0 D. ln|x-y|<0.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以不等式为载体，考查函数值与0比较大小问题.
[必备知识]本题考查的知识是函数的单调性和不等式的综合应用.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力、数学建模能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生把 2 -2 <3 -3 变形为 2 -3 x<2 -3 , 从不等式中获取构造函数 f(t)=2'-3 的信息,建立函数模型,并在此基础上结合函数f(t)=2 -3 的单调性得到结论.
[解题思路]将不等式变形为 2 -3 x<2y-3 , 根据f(t)=2 -3 的单调性知x 以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.
∵2 -2 <3 - 3 ,∴ 2 - 3 <2 -3 .
又 f(t)=2'-3 在R上单调递增,且f(x)
∴y-x+1>1,∴ln(y-x+1)>ln 1=0.故选A.
[答案]A[失分剖析]考生对于构建新函数的观察力不够.
5.(2020全国Ⅲ，理4、文4) Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic 模型： 其中K为最大确诊病例数.当 时，标志着已初步遏制疫情,则t"约为(ln 19≈3)( )
A.60 B.63 C.66 D.69
[试题情境]本题属于生活实践情境.本题以特殊函数模型为载体，考查数学模型在生活实际中的应用.
[必备知识]本题考查的知识是了解数学建模活动与数学探究活动，要求考生会结合现实社会问题，运用数学思想建立模型解决实际问题.
[能力素养]本题考查运算求解能力、逻辑思维能力和数学建模能力，考查的学科素养是理性思维、数学文化和数学应用.本题以某地区新冠肺炎累计确诊病例数为现实背景，与现实生活紧密相关.本题要求考生综合学到的知识解决生活实践中遇到的问题，运用题干提供的信息 借助函数模型 进行计算求解.
[解题思路]由 得 两边取以e为底
对数，得 故选C
[失分剖析]考生对于数学中的近似解运算理解不到位.
6.(2020全国Ⅲ,理12)已 5 <8 ,13 <8 .设 则( )
A. B
C D.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以指数和对数为载体，考查对数比较大小问
[必备知识]本题考查的知识是对数式与指数式的互化.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和探索.思路1.要求考生能根据指数式转化为对数式，在正确运算、变形和处理后，利用对与1的大小进行比较，得到结果；思路2.由于a，b，c都是正数，考生采用作商法并结合基等式得到a与b的大小，再利用中间值 比较b与c的大小.
[解题思路]思路1.利用指数化对数与1比较大小.
思路2.由题意可得a，b，c∈(0，1)，利用作商法以及基本不等式可得出a，b的大小再比较b，c与 的大小即可得到结果.
由题意可知a,b
由b=log 5,得 8 =5,由 5 <8 ,.得 8 <8 ,∴5b<4, 即
由 得13°=8,由 13 <8 , 得 13 <13 ,∴5c>4, 即 综上所述,a 故选A.
[答案]A
[失分剖析]①考生对于指数与对数的运算不熟练.②考生不能利用1， 等特殊值比较大小.
7.(2020全国Ⅲ,文10)设 则( )
A B.
C.a D.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以对数为载体，考查对数比较大小的问题.
[必备知识]本题考查的知识是对数的运算和对数函数的单调性.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题对考生对数运算的掌握要求较高.思路1.对数 进行正确运算、变形和处理，即 再与数字1进行比较分析得到结果.思路2.直接对对数a，b运用所学公式进行处理，再利用对数函数单调性即可比较大小.
[解题思路]思路
又 故选A.
思路2
选A.
[答案]A
[失分剖析]①考生对于对数的运算和性质掌握不熟练.②考生不能通过特殊值转化比较大小.
8.(2020新高考全国Ⅰ，6)基本再生数R。与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型 I(t) =e ' 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R ，T近似满足 R =1+rT.有学者基于已有数据估计出 R =3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天[试题情境]本题属于生活实践情境.本题以函数为载体，新冠肺炎疫情为背景考查指对运算.
[必备知识]本题考查的知识是数学建模，运用数学思想建立模型解决实际问题.
[能力素养]本题考查运算求解能力、逻辑思维能力和数学建模能力，考查的学科素养是理性思维和数学应用.本题以新冠肺炎疫情为背景，贴合实际，引起思考.本题用指数模型I(t)=e"描述累计感染病例数的实际问题，要求考生综合数学的知识解决生活实践中遇到的问题，运用题干提供的运算公式 R =1+rT 求出参数r的值，得到确定的函数模型进行计算求解，考查考生的估算能力.
[解题思路]由 R =3.28,T=6,R =1+rT得
即 (天),故选B.
[答案]B
[失分剖析]考生不能从生活情境中抽象概括出相关的数学模型.
9.(2019全国Ⅰ,理3、文3)已知 则( )
A.c B. C. D.[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以基本初等函数为载体，考查比较数的大小.
[必备知识]本题考查的知识是指数函数和对数函数的基本性质.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力与运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生根据指数函数和对数函数的单调性，借助特殊的函数值0，1进行比较分析，得到结果.
[解题思路]运用基本初等函数的性质进行判断.
又 故选B.
[答案]B
[失分剖析]考生想不到通过0，1等特殊值比较大小.
考向(三) 函数与方程
1.(2020全国Ⅰ,理12)若 2 +log a=4 +2log b, 则( )
A.a>2b B.a<2b
C.a>b D.a
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以指数函数和对数函数为载体，考查利用函数单调性比较大小的问题.
[必备知识]本题考查的知识是利用指数、对数函数的单调性结合变形运算比较大小.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索。本题题干中给出的是等式，但结果需要不等式，这就要求考生把等式 2 +log a=4 +2log b处理成不等式 2 +log a<2 +log 2b, 从而构造新函数 f(x)=2 +log x, 并判断函数单调性，建立条件(函数)与结论(不等关系)间的联系，并在此基础上归纳得到结论.
[解题思路]通过观察引入新f(x)=2 +log x, 利用作差法结合f(x)的单调性即可得到答案.
由指数与对数运算可得 2 +log a=4 +2log b=2 +log b. 因为 2 +log b<2 +1+
og b=2 +log 2b,所以 2°+log a<2 +log 2b.令 f(x)=2 +log x, 由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.由f(a)
[答案]B
[失分剖析]考生分析不出需利用指数、对数函数构造新函数.
2.(2020全国Ⅰ,文8)设 alog 4=2,则 4 =( )
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以函数为载体，考查运算求解问题.
[必备知识]本题考查的知识是指数式和对数式之间的变形运算.本题运用公式 aloga'.
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是理性思维.考生将题干中的对数式alog 4=2转化为指数式 4°=3 =9, 利用指数、对数的运算法则解决问题.
[解题思路]因为 alog 4=log 4°=2, 所以 4°=3 =9, 所以 故选B.
[答案]B
[失分剖析]考生在指数与对数的运算过程中易出错.
3.(2019全国Ⅱ，理4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，“鹊桥”沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行.L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，L 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
设 由于α的值很小，因此在近似计算中则r的近似值为( )
[试题情境]本题属于生活实践情境.本题以函数运算为载体，通过“嫦娥四号”探测器首次月球背面软着陆的情境考查近似值计算思想在方程中的应用.
[必备知识]本题考查的知识是了解数学建模活动与数学探究活动，要求考生会结合物理知识，运用数学思想建立模型解决实际问题.
[能力素养]本题考查运算求解能力、逻辑思维能力和数学建模能力，考查的学科素养是理性思维和数学应用.本题以“嫦娥”四号的技术突破为背景，是与高中物理知识相关的实际问题，体现了多学科融合的思想.本题涉及的牛顿运动定律和万有引力定律等物理学知识以及地月关系等天文知识题目中都有介绍，要求考生综合题干中的知识解决实践中遇到的问题，运用题干提供的运算公式 进行变形处理得到 计算求解即可.
[解题思路]将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算.由 得r=050
即 解得 故选D.
[答案]D专题三 函数
考向(一) 函数的概念、图像与性质
1.(2021全国甲,理12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax +b. 若f(0)+f(3)=6,则
2.(2021全国甲,文4)下列函数中是增函数的为( )
A.f(x)=-x
C.f(x)=x
3.(2021全国甲,文12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若 则
4.(2021全国乙,理4、文9)设函数 则下列函数中为奇函数的是( )
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
5.(2021新高考全国Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数，则下列选项中值一定为0的是( )
B.f(-1) C.f(2) D.f(4)
6.(2020全国Ⅱ,理9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )
A.是偶函数，且在 单调递增 B.是奇函数，且在 单调递减
C.是偶函数，且在 单调递增 D.是奇函数，且在 单调递减
7.(2020全国Ⅱ,文10)设函数 则f(x)( )
A.是奇函数，且在(0，+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0，+∞)单调递减
C.是偶函数，且在(0，+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0，+∞)单调递减
[失分剖析]考生对于区间单调性证明中的判断求解易出错.
8.(2020新高考全国Ⅰ,8;2020新高考全国Ⅱ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(一∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
9.(2019全国Ⅰ,理5、文5)函数 在[-π,π]的图像大致为( )
10.(2019全国Ⅱ,理12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有 则m的取值范围是( )
11.(2019全国Ⅱ,文6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,. f(x)=e -1, 则当x<0时,
A.e- -1 B.e- +1
C.-e- -1 D.-e- +1
12.(2019全国Ⅲ,理7)函数 在[-6,6]的图像大致为( )
13.(2019全国Ⅲ,理11、文12)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则( )
(2021新高考全国Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为
.
16.(2021新高考全国Ⅱ,14)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x): .
①f(x x )=f(x )f(x );②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数.
(2019全国Ⅱ,理14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e . 若f(ln 2)=8,则a=
考向(二) 指数函数、对数函数与幂函数
1.(2021全国甲，理4、文6)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 ( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
2.(2021全国乙,理12)设则( )
A.c>b>a B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c
3.(2021新高考全国Ⅱ,7)已知 则下列判断正确的是( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
4.(2020全国Ⅱ,理11、文12)若 2 -2"<3 -3 ", 则( )
A. ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0
C. ln|x-y|>0 D. ln|x-y|<0.
5.(2020全国Ⅲ，理4、文4) Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic 模型： 其中K为最大确诊病例数.当 时，标志着已初步遏制疫情,则t"约为(ln 19≈3)( )
A.60 B.63 C.66 D.69
6.(2020全国Ⅲ,理12)已 5 <8 ,13 <8 .设 则( )
A. B
C D.
7.(2020全国Ⅲ,文10)设 则( )
A B.
C.a D.
8.(2020新高考全国Ⅰ，6)基本再生数R。与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型 I(t) =e ' 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R ，T近似满足 R =1+rT.有学者基于已有数据估计出 R =3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
9.(2019全国Ⅰ,理3、文3)已知 则( )
A.c B. C. D.
考向(三) 函数与方程
1.(2020全国Ⅰ,理12)若 2 +log a=4 +2log b, 则( )
A.a>2b B.a<2b
C.a>b D.a
2.(2020全国Ⅰ,文8)设 alog 4=2,则 4 =( )
3.(2019全国Ⅱ，理4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，“鹊桥”沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行.L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，L 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
设 由于α的值很小，因此在近似计算中则r的近似值为( )
