专题四 三角函数
三角函数和解三角形作为高考的必考内容，在高考中选择、填空、解答三种题型都会涉及，大部分是考查基础知识和基本方法，考查内容涉及三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系式、图像变换、正弦型函数或余弦型函数的图像和性质、三角恒等变换、解三角形.如果考查解答题，多数位于解答题第一题或者第二题，难度不大.三角函数的应用问题，往往涉及数学文化，通常会用到解三角形的知识，有较强的几何意义，除了考查学生的应用意识和建模能力之外，更重要的是考查能否用正弦定理、余弦定理解决问题.三角部分题目侧重基础，主要考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.
3.考点频度
高频考点：三角恒等变换、三角函数图像和性质、正弦定理、余弦定理.
中频考点：三角函数概念.
4.备考策略
(1)重视对基础知识和基本方法的复习，三角函数是具有周期性的基本初等函数，概念、公式定理较多，有些地方容易混淆，复习时要引导学生建立知识网络对知识进行梳理，掌握其知识体系.
(2)引导学生弄清公式之间的内在联系和公式的各种用法.
(3)三角函数和解三角形有时会涉及与其他知识综合考查的问题以及与之相关的实际应用问题，解决此类问题需要学生具备基本的建模能力，能将问题符号化和图形化，将所求问题转化成我们熟悉的问题并用学过的知识进行解决.
考向(一) 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式
1.(2021新高考全国Ⅰ,6)若tanθ=-2,
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角函数化简求值为载体，考查同角三角函数基本关系式的应用.
[必备知识]本题考查的知识是同角三角函数基本关系式、倍角公式.
[能力素养]本题主要考查运算求解能力和逻辑思维能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.解题关键是将条件中的1+sin 2θ转化成(sinθ+cosθ) , 然后进行化简，并利用 sin θ+cos θ=1 将上式化成齐次式即可求得.
[解题思路]思路 故选C.
思路 则sinθ=-2cosθ.∵sin θ+cos θ=1,∴5cos θ=1,则cosθ=
①若 则 代入原式得
[答案]C
2.(2020全国Ⅱ,理2)若α为第四象限角,则( )
A.cos2α>0 B.cos2a<0
C. sin2a>0 D. sin2a<0
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以象限角为载体，考查三角函数值的符号问题.
[必备知识]本题考查的知识是根据角的象限判断各三角函数值的符号、三角恒等变换中的二倍角公式、特殊角的三角函数值等.
[能力素养]本题主要考查运算求解能力.本题考查的学科素养是数学探索.考生解题时由a为第四象限角，确定2a的象限，并确定其三角函数值的符号.也可以根据角的特殊值确定三角函数值的符号.
[解题思路]思路1.由α为第四象限角，可得 所以 3π+4kπ∠2a<4π+4kπ,k∈Z,此时2a的终边落在第三、四象限及y轴的负半轴上,所以sin2a<0.
思路2.因为a为第四象限角,所以sin a<0, cos a>0,所以sin 2a=2sin acos a<0.故选D.[答案]D
3.(2020全国Ⅱ,文17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求A;
(2)若 证明：△ABC是直角三角形.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以直角三角形为载体，考查解三角形.
[必备知识]本题考查的知识是诱导公式、同角三角函数的基本关系式、正弦定理、三角恒等变换.
[能力素养]本题考查运算求解能力、逻辑思维能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.第一问根据诱导公式和同角三角函数平方关系， 可化 即可解出；第二问根据正弦定理和三角恒等变换，得到角的关系，即证出.
[解题思路](1)解由已知得 即
所以 由于
(2)证明由正弦定理及已知条件可得
由(1)知 所以
即
由于 故 从而△ABC是直角三角形.
[失分剖析]考生没有看清同角非齐次式类型，一味地利用三角恒等变换变形.
考向(二) 三角函数的图像与性质
1.(2021全国甲,理16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则满足条 的最小正整数x为 .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以余弦型函数的图像为载体，考查余弦函数的性质及应用和不等式.
[必备知识]本题考查的知识是余弦函数的图像和性质、利用图像求解析式、解不等式.
[能力素养]本题考查运算求解能力和逻辑思维能力.本题考查的学科素养是理性思维和
再根据 求得ω=2，再利用五点法代入点 或 求得 从而
得到 从而将已知不等式转化成(f(x)-1)f(x)>0，进而只需要求解
不等式f(x)<0或f(x)>1即可.
[解题思路]由图可知，f(x)的最小正周期
由 (f(x)-1)(f(x)-0)>0,得f(x)<0或f(x)>1.
或 当x=1时, 不合题意；当x=2时，符合题意，所以满足题意的最小正整数为x=2.
[答案]2
2.(2021全国乙，理7)把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐示不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像,则f(x)=( )
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以正弦型函数为载体，考查三角函数图像的变换.
[必备知识]本题考查的知识是三角函数图像的平移变换和伸缩变换.
[能力素养]本题主要考查逻辑思维能力.本题考查的学科素养是数学探索.条件中的函
数 是由f(x)先伸缩后平移得到的，所以要想求f(x)的解析式，只需要将y= 先向左平移. 个单位长度，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍即可.向左平移 个单位长度[解题思路]逆向考虑： 的图像 的图像横坐标变为原来2倍， 的图像.纵坐标不变
[答案]B
3.(2021全国乙,文4)函数 的最小正周期和最大值分别是( )
A.3π和 B.3π和2
C.6π和 D.6π和2
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以具体的三角函数为载体，考查三角函数的)期和最值.
[必备知识]本题考查的知识是辅助角公式、三角函数的周期性和最值.
[能力素养]本题主要考查运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维.首先利用！助角公式将f(x)化简成 再求周期和最大值即可.
选C.
[答案]C
4.(2021新高考全国Ⅰ,4)下列区间中,函数 单调递增的区间是()
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以正弦型函数为载体，考查正弦函数的单调
[必备知识]本题考查的知识是正弦函数的图像和单调性.
[能力素养]本题考查运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维.思路1.由 求出f(x)的单调区间，再挨个选项筛选即可；思路2.项中x的范围求出 的范围，再利用正弦函数图像即可求得.
[解题思路]思路1.由题意知 求得f(x)的单;增区间是 当k=0时,函数 的一个单调递增区间为 是函数f(x)的一个单调递增区间.故选A.
思路2.A选项由x的范围求出 的范围是 结合正弦函数图像可判断A 正确.
[答案]A
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以函数图像为载体，考查余弦型函数的图像与周期性质.
[必备知识]本题考查的知识是余弦型函数的图像与性质.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.根据图像中的已知点代入解析式求出ω的值，再通过图像观察得到周期T<2π缩小ω的范围进而求出周期.
[解题思路]由题图知
所以 化简得
因为T<2π<2T,即 所以1<|ω|<2,解得 或
当且仅当k=-1时,1<|ω|<2.所以 最小正周期
[答案]C
[失分剖析]本题容易被思维定式用距离来求周期而误导，忽略用点坐标先求ω的值.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角函数图像为载体，考查三角函数的图像与性质、三角函数的解析式和诱导公式.
[必备知识]本题考查的知识是三角函数的图像与性质、y=Asin(ωx+φ)中三个参数的
求解、诱导公式.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.首先根据图像中给出的两个零点的距离求出函数周期，进而求出ω，然后代入特殊点 或 运算求解φ，最后利用诱导公式可得正确结果.另外，求解φ的时候也可以先求出最高点或最低点再代入求解.
[解题思路]已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的部分图像求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常有如下两种思路：
思路1.代入交点坐标.
故B正确；
故C正确；
故D错误,故选BC.
7.(2019全国Ⅱ,理9)下列函数中,以为周期且在区间 单调递增的是( )
A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角函数性质为载体，考查绝对值对函数性质的影响以及周期性、单调性的判断.
[必备知识]本题考查的知识是正弦函数、余弦函数的图像和性质(单调性、周期).
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和空间想象能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生从四个不同的三角函数解析式体会绝对值符号对函数图像和性质的影响，解题的技巧是正确画出函数的图像，根据图像解决问题.解题的关键是要求考生想象函数的图
像，并描述函数的性质，采用数形结合的方法发现和探究选项的对错，体现了直观想象.
[解题思路]思路1.运用数形结合的方法求解：①函数y=|f(x)|的周期是函数y=f(x)周期的一半;②y=sin|ωx|不是周期函数.
内单调递增符合题意；y=|sin 2x|的图像为
周期为 但在区间 内单调递减，不符合题意；因为y=cos|x|=cosx，所以它的周
周期函数，不符合题意.故选A.
思路2.排除法.
当x≥0时,f(x)=cos|x|=cos x,f(x)=sin|x|=sinx,
又f(-x)=cos|-x|=cos|x|=f(x),f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),
因此两者均为偶函数,故f(x)=cos|x|和f(x)=sin|x|的图像关于y轴对称,在x≥0时分别与cosx和sinx的图像相同.注意到cosx在 单调递减, sin x在 单调递增，但f(x)=sin|x|不是周期函数，因此，选项C，D均不符合要求.
当 时, 有cos 2x<0, sin 2x>0,
因此f(x)=|cos2x|=-cos2x,f(x)=|sin2x|=sin 2x,
而
因此f(x)=|sin 2x|在 单调递减，选项B不符合要求.故选A.
[答案]A
[失分剖析]函数绝对值和自变量绝对值的区别易混.
8.(2019全国Ⅱ,文8)若 是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( )
A.2 C.1
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以具体三角函数为载体，考查三角函数的性质.
[必备知识]本题考查的知识是三角函数的极值点、周期.
[能力素养]本题考查运算求解能力.本题考查的学科素养是数学探索.利用正弦型函数相邻的两个极值点的距离是 求得周期，进而求出ω，此外，也可以求导，利用极值点处的导数等于零进行排除.
[解题思路]思路1.由题意,得f(x)=sinωx的周期 解得ω=2,故选A.
思路2.对f(x)=sinωx(ω>0). 求导,得f'(x)=ωcosωx,由题意,设 是极值点，故 f'(x )=0, 且 f'(x )=0, 即 由此可知选项B，C，D均不符合要求，只有ω=2符合题意，故选A.
[答案]A
9.(2020全国Ⅲ,理16)关于函数 有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称.
②f(x)的图像关于原点对称.
③f(x)的图像关于直线 对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角函数为载体，考查函数的奇偶性、对勾函数的性质和三角函数图像与性质.
[必备知识]本题考查的知识是正弦函数的图像与性质，对勾函数，函数的对称性、奇偶性、值域.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维.①②转化成判断函数奇偶性即可，③利用函数对称性的结论(如果f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线 对称)即可判断，④通过换元利用对勾函数图像即可判断，本题综合性较强.
[解题思路]对于①②,由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},故定义域关于原点对称，且由 所以该函数为奇函数，关于原点对称，故①错误，②正确；
对于③，因为 所以函数f(x)的图像关于直线 对称，③正确；
对于④,令t=sinx,则t∈[-1,0)∪(0,1],由函数 性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④错误.
[答案]②③
10.(2019全国Ⅰ,文15)函 的最小值为 .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角函数为载体，考查诱导公式、三角恒等变换、最值.
[必备知识]本题考查的知识是诱导公式、倍角公式、二次函数求最值.
[能力素养]本题考查运算求解能力和逻辑思维能力.本题考查的学科素养是理性思维.对条件中的式子利用诱导公式、倍角公式化简为 -2cos x-3cosx+1 的形式，然后转化为二次函数求最值，在转化过程中，用到了逻辑推理来探索解决问题的思路，要求考生综合运用所学的知识，包括三角函数的性质、诱导公式、三角恒等变形、等量关系等.
[解题思路]思路1.
∵-1≤cosx≤1,∴当cosx=1时, 故函数f(x)的最小值是-4.
思路2.当x=0时, 取得最小值-1，此时，-3cosx也取得最小值-3.故f(x)最小值是-4.
[答案]-4
[失分剖析]三角恒等变换公式应用不灵活，化不出一角一函数，导致后面无法求性质.
考向(三) 三角恒等变换
1.(2021全国甲,理9、文11)若 则tanα=( )
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角恒等式为载体，考查三角恒等变换与化简求值.
[必备知识]本题考查的知识是倍角公式、同角三角函数的基本关系式.
[能力素养]本题考查运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维.首先把等式左边切化弦，再利用倍角公式展开得到 再将上式中的cos α替换成1-sin α,解方程求出sinα,进而求得tanα.
[解题思路]由题意 因为 所以cosα>0,所以 解得 则 所以
[答案]A
2.(2021全国乙, 6)
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角函数式化简求值为载体，考查诱导公式、倍角公式.
[必备知识]本题考查的知识是诱导公式、倍角公式.
[能力素养]本题主要考查运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维.首先通过观
能直接用倍角公式，可以利用诱导公式将 转化成 即可用倍角公式求值.本题
也可以用降幂公式求得.
3.(2020全国Ⅲ,文5)已知 则
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角函数为载体，考查三角恒等变换.
[必备知识]本题考查的知识是三角恒等变换中两角和的正弦公式、辅助角公式.
[能力素养]本题考查运算求解能力.本题考查的学科素养是数学探索.考生利用两角和的正弦公式对条件展开、重组，再利用辅助角公式化简即可求得.
[解题思路]根据两角和的正弦公式展开得 即 解得 故选B.
[答案]B
4.(2020全国Ⅰ,理9)已知a∈(0,π),且3cos2a-8cosα=5,则sinα=( )
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角恒等变形为载体，考查二倍角公式.
[必备知识]本题考查的知识是余弦的二倍角公式，同角三角函数关系及一元二次方程的求解.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维和062数学探索.本题的解题关键在于等价变形，考生从题干获取三角函数中倍角和单角的信息，用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosα的一元二次方程，求解得出cosα，再用同角三角函数关系，即可得出结论.
[解题思路]原式化简得 3cos α-4cosα-4=0, 解得 或cosα=2(舍去).
[答案]A
5.(2020全国Ⅲ,理9)已知 则tanθ=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以正切函数为载体，考查正切函数求值.
[必备知识]本题考查的知识是两角和的正切公式.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生利用两角和的正切公式将 展开，再化简解方程求解运算即可得出tanθ的值.
[解题思路]由已知得 即 tan θ-4tanθ+4=0 解得tanθ=2.
[答案]D
6.(2019全国Ⅱ,文11)已知 则sinα=( )
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角恒等变换为载体，考查同角三角函数基本关系式、二倍角公式的运用.
[必备知识]本题考查的知识是同角三角函数基本关系式和二倍角公式.
[能力素养]本题考查运算求解能力.本题考查的学科素养是数学探索.条件中已知角为2a，所求角为α，所以考虑二倍角公式化倍角为单角得到2sinα=cosα，然后利用 sin α+cos α=1解方程求解即可.注意cos2α在运用公式时选择 cos2α=2cos α-1 可简便运算.另外，本题的另外一个解题路径是得到2sinα=cosα之后，求出 然后构造直角三角形求解.
[解题思路]对于三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负是关键.
),∴2sinα=cosα.又 sin α+cos α=1,∴5sin α=1, 即 故选B.
AC=2，BC=1分别为直角三角形的两条直角边构造直角三角形，则∠CAB=α，且满足tanα= 又在Rt△ABC中, 所以 故选B.
[答案]B
考向(四) 解三角形
A.346 B.373 C.446 D.473
[试题情境]本题属于生活实践情境.本题以测量珠穆朗玛峰的高程的方法之一三角高程测量法为载体，考查运用三角函数知识解决实际问题的能力.
[必备知识]本题考查的知识是两角差的正切公式、正弦定理、仰角的概念.
[能力素养]本题主要考查运算求解能力和逻辑思维能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学应用.条件中的两个三角形并不共面，所以需要作辅助线，作CH⊥ BB'，BM⊥ AA'，则已知条件中BB'与CC'的高度差BH=100,要求的AA'与CC'的高度差即100+AM,由在点B测得A点的仰角为45°,所以AM=BM=A'B',问题转化成求A'B'的长度,△A'B'C'中已知两角和一条边 C'B'=CH, ，利用正弦定理即可求得.
在△A'B'C'中,由正弦定理知,
1. 73, 故选B.
[答案]B
2.(2021全国甲,文8)在△ABC中,已知 则BC=( )
A.1 D.3
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以解三角形边长为载体，考查余弦定理.
[必备知识]本题考查的知识是余弦定理.
[能力素养]本题主要考查运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维.利用余弦定理 即可求得BC.
[解题思路]设BC=x，由余弦定理得 19=4+x -2×2x·cos 120°, 解得x=3或x=-5(舍).故选D.
[答案]D
(2021全国乙，理9)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=__________
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以《海岛算经》中海岛高度的测量方法为载体，考查解三角形.
[必备知识]本题考查的知识是三角形的相似、直角三角形的边角关系.
[能力素养]本题主要考查运算求解能力和逻辑思维能力.本题考查的学科素养是数学探索和数学文化.利用条件中给出的“表高”“表距”“表目距”“表目距的差”等新定义，提炼出对本题有用的线段EG,GC,EH,求出AB的长度.
[解题思路]如图,连接FD并延长交AB于点M,则FM⊥AB,AB=AM+BM.
设∠BDM=α,∠BFM=β,则∠BHE=α,∠FCG=β,
4.(2020全国Ⅲ,文11)在△ABC中, 则tan B=( )
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角函数为载体，考查解三角形.
[必备知识]本题考查的知识是余弦定理、同角三角函数基本关系.
[能力素养]本题考查运算求解能力.本题考查的学科素养是数学探索.已知两边及其夹角，利用余弦定理解三角形.
[解题思路]由余弦定理得， AB =AC +BC -2AC · BC · cos C=16+9-2×4×3× 即AB=3.由余弦定理的推论知
又 cos B+sin B=1,B∈(0,π), 解得 故 故选C.
[答案]C
5.(2020全国Ⅲ,理7)在△ABC中, 则cosB=( )
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角求值为载体，考查余弦定理的应用.
[必备知识]本题考查的知识是余弦定理.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维.根据角C的余弦定理公式，通过解方程求出AB的长度，再利用余弦定理求出cos B.
[答案]A
6.(2019全国Ⅰ,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-
A.6 B.5 C.4 D.3
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以解三角形为载体，考查正弦定理和余弦定理.[必备知识]本题考查的知识是正弦定理、余弦定理.
[能力素养]本题考查运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.根据正弦定理将题目中的条件转化为边的关系 a -b =4c, 然后用余弦定理得到关于b，c的等式进行求解.
[解题思路]由已知及正弦定理，得 a -b =4c , 由余弦定理的推论，得 故选A.
[答案]A
7.(2021全国乙,理15、文15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 B=60°,a +c =3ac,则b= .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角形面积为载体，考查解三角形.
[必备知识]本题考查的知识是三角形面积公式、余弦定理.
[能力素养]本题主要考查运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维.先由三角形面积公式求得ac，再利用余弦定理 b =a +c -2accosB即可求得b.
结合已知得 a +c =3ac=12.
因为B=60°，由余弦定理可得 b =a +c -2accosB=12-2×4×cos60°=8, 所以
[答案]
要清楚三棱锥展开前后线段位置与数量关系的变化，注意挖掘线段之间的关系，利用勾股定
理计算出BC,BD,得出BF,在△ACE中,利用余弦定理可求得CE,可得出CF,在△BCF中
利用余弦定理可求得cos∠FCB的值.
[解题思路]由题意得
∵D,E,F重合于一点P,
∴在△ACE中，由余弦定理，得 CE =AC +AE -2AC
∴在△BCF中，由余弦定理，得
[答案]
[失分剖析]考生空间想象能力不足，三棱锥展开前后线段的位置关系与数量关系不清楚.
DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为 cm .
[试题情境]本题属于生活实践情境.考查考生的创新性，本题以劳动实习为背景，体现了“五育并举”的育人方针，侧重于三角函数的数学探究的考查.
[必备知识]本题考查的知识是三角函数在实际中的应用.
[能力素养]本题考查创新能力、运算求解能力，以及综合应用数学知识解决问题的能力.本题考查的学科素养是数学探索和数学应用.考生可以将零件上半部分拆分成扇形和三角形，在对阴影面积求解的过程中，需要挖掘好边角关系，准确计算求解.本题与实际劳动相关联，体现了数学学习的应用性和开放性，考查考生的探究创新、推理论证能力、思维灵活性.
[解题思路]作OM⊥CG交CG于点M,AP⊥OH交OH于点 P,AQ⊥CG交CG于点Q,图略.
设OM=3x,则DM=5x,∴OP=MQ=7-5x,
∴AP=7-2-3x=5-3x,
又∵∠AOP=∠HAP,
解得x=1.
[答案]
[失分剖析]考生数学建模、数学抽象能力欠缺，分解面积求解过程遇到困难.
10.(2020新高考全国Ⅰ,17)在 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角函数为载体，考查正弦定理、余弦定理.
[必备知识]本题考查的知识是正弦定理、余弦定理.
[能力素养]本题考查运算求解能力和逻辑思维能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学探索，结构不良题型的引入，增强了试题条件的开放性，考查考生综合应用数学知识解决问题的创新能力.解题时先由已知条件和正余弦定理找到a，b，c的关系，然后再选择一个条件将三条边求出，进而判断三角形是否存在.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角
的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.
[解题思路]解
方案一选条件①.
由 和余弦定理，得
由 及正弦定理，得
于是 由此可得b=c.
由 解得
因此，选条件①时，问题中的三角形存在，此时c=1.
方案二选条件②.
由 和余弦定理，得
由及正弦定理，得
于是 由此可得b=c.所以
由A+B+C=π,得
由②csinA=3,即 所以
因此，选条件②时，问题中的三角形存在，此时
方案三选条件③.
由 和余弦定理，得
由 及正弦定理，得
于是 由此可得b=c.
由 与b=c矛盾.
因此，选条件③时，问题中的三角形不存在.
[失分剖析]选择条件②csinA=3利用正弦定理和余弦定理进行边角转化时易将csinA=3写成sin Csin A=3.
11.(2021新高考全国Ⅰ,19)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 b =ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以解三角形为载体，考查正弦定理、余弦定理.
[必备知识]本题考查的知识是正弦定理、余弦定理.
[能力素养]本题主要考查运算求解能力和逻辑思维能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.第一问利用正弦定理将条件中的BDsin∠ABC=asin C化成BD·b=ac,再结合已知中的 b =ac 即可证得.第二问由AD=2DC可知， 又由第一问的结论BD=b,则在△ADB和△BDC中,由∠ADB与∠BDC互补,利用两个余弦定理就可以得到a和c的关系，再在△ABC中用余弦定理即可求得.
[解题思路](1)证明由正弦定理,得BD·b=ac=b ,则BD=b.
(2)解由(1)知
即 得 33b =9c +18a .
∵b =ac,∴9c -33ac+18a =0.
∴c=3a或
在△ABC中，由余弦定理知，
当c=3a时, (舍);
当 时,
综上所述
12.(2021新高考全国Ⅱ,18)在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若b=a+1,c=a+2,
(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以三角形中三条边的等量关系为载体，考查解
三角形.
[必备知识]本题考查的知识是正弦定理、余弦定理及三角形面积公式.
[能力素养]本题主要考查运算求解能力和逻辑思维能力.本题考查的学科素养是理性思维.第一问由正弦定理将条件转化成2c=3a，求出三条边长再用余弦定理和面积公式求解即可；第二问是探索性问题，显然c>b>a，所以要使△ABC为钝角三角形，只需最大角C为钝角，进而转化成cosC<0，再结合三角形中两边之和大于第三边即可求得.
[解题思路]解(1)∵2sinC=3sinA,∴2c=3a.
又c=a+2,解得a=4,c=6,b=5.
则
(2)存在.由题知,c>b>a>0,要使△ABC为钝角三角形,则最大角C为钝角.
故
化简得 a -2a-3<0, 解得0
又三角形中两边之和大于第三边,∴a+a+1>a+2,解得a>1.
综上,1
故存在正整数a=2，使得△ABC为钝角三角形.
13.(2020全国Ⅰ,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
(1)若 求△ABC的面积;
(2)若 求C.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题考查三角形面积公式、余弦定理.
[必备知识]本题考查的知识是余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换及由值求角.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.第一问已知角B和边b，结合a，c关系，由余弦定理建立关于c的方程，求解得出a，c，利用面积公式，即可得出结论；第二问将 A=30°-C 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角C的三角函数值，结合C的范围，即可求解.
[解题思路]解(1)由题设及余弦定理得
解得c=-2(舍去),c=2.从而
△ABC的面积为
(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,
所以
故
而 0°所以30°+C=45°,故C=15°.
[失分剖析]考生易忽略特殊角150度的正余弦，缺乏主动对角进行消元的意识.
14.(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin A-sin B-sin C=sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题侧重考查正余弦定理和三角恒等变换的综合性知识.
[必备知识]本题考查的知识是正弦定理、余弦定理、均值不等式、三角形内角和、辅助角公式.
[能力素养]本题主要考查运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.第一问由正弦定理变形，得到边的关系，再利用余弦定理求cosA即可.第二问思路一是由余弦定理和基本不等式结合求最值，思路二是由正弦定理边化角后，利用三角形内角和为π减少变量个数，再利用辅助角公式将周长最值问题转化成三角函数的值域问题，锻炼考生的思维能力.
[解题思路]解思路1.(1)由正弦定理可得 BC -AC -AB =AC·AB,
(2)由余弦定理得 BC =AC +AB -2AC·ABcosA=AC +AB +AC·AB=9,
即 (当且仅当AC=AB时取等号),
解得 (当且仅当AC=AB时取等号)，
∴△ABC周长为 (当且仅当AC=AB时取等号),
∴△ABC周长的最大值为
思路2.将边长用角来表示.
(1)由正弦定理和已知条件得BC -AC -AB =AC·AB. ①
由余弦定BC =AC +AB -2AC ·ABcosA. ②
由①②得
(2)由正弦定理及(1)得 从而
又 所以当 时，△ABC周长取得最大值
[失分剖析]利用基本不等式求解三角形周长时，忽略等号成立的条件；利用三角恒等变换求解三角形周长时，需要先确定角的范围，再根据范围确定正弦值的范围，还要注意边界是开区间还是闭区间.
15.(2019全国Ⅰ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(sin B-sin C) =sin A—sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若 求sin C.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角函数为载体，考查解三角形.
[必备知识]本题考查的知识是正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式和余弦公式.
[能力素养]本题考查运算求解能力.本题考查的学科素养是数学探索.解题时先由正弦定理角化边得到 b +c -a =bc, 再利用余弦定理求得A；第二问利用正弦定理将已知条件边化角得到 而要求的是sin C,所以再利用sinB=sin(A+C)以及两角和与差的正余弦公式求解可得，体现了解方程的思想.
[解题思路]解(1)由已知得 sin B+sin C-sin A=sin Bsin C,
故由正弦定理得 b +c -a =bc. 由余弦定理得
所以A=60°.
(2)思路1.由(1)知 B=120°-C 由题设及正弦定理得 即 可得
由于0°
故
思路2.由(1)及正弦定理得， ) ,即得 又0° 故B=45°.
思路3.利用正弦定理求解关于 的代数方程.
由题设，运用正弦定理，得 b +c -a =bc.
联立 消去b，整理得 解得 或 若 则 (舍去).
若 则 因为 从而 符合题设.
[失分剖析]①不能确定角A，B，C如何用两个角表示.②已知某三角函数值求其他三角函数值时，要确定角的符号.
16.(2019全国Ⅲ,理18、文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 'sin A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以解三角形为载体，侧重考查正弦定理和余弦定理.[必备知识]本题考查的知识是三角函数的性质、正弦定理和余弦定理.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.解题时从已知条件出发，利用正弦定理得到 要求的是B，所以利用三角形内角和为π把A+C替换成π-B，再利用诱导公式和倍角公式求出角B.第二问探索和面积有关的公式，因为第一问求出B，所以思路1是用面积公式 得到 再利用正弦定理边化角转化成三角函数值域问题，需要注意的是锐角三角形中角的范围，思路2是建立关于a的不等关系求面积范围，思路3是数形结合，借助图像快速解决.
[解题思路]解(1)由题设及正弦定理得
因为sin A≠0,所以
由A+B+C=180°,可得 故
因为 故 因此B=60°.
(2)思路1.由题设及(1)知△ABC的面积
由正弦定理得
由于△ABC为锐角三角形，故 0°
由(1)知A+C=120°,所以30° 从而
思路2.建立不等式求解.
因为△ABC为锐角三角形，且c=1，所以由余弦定理可知， b =a -a+1.
所以 解得
又 所以
因此，△ABC面积的取值范围是
评注：如果(2)是选择题或填空题，确定 还有更简单的方法，由于B=60°，当C→90°时, 当A→90°时,a→2,即
[失分剖析]第二问中三角形面积范围是难点，考生需探究多种方法，突破传统思维得到a的范围.专题四 三角函数
考向(一) 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式
1.(2021新高考全国Ⅰ,6)若tanθ=-2,
2.(2020全国Ⅱ,理2)若α为第四象限角,则( )
A.cos2α>0 B.cos2a<0
C. sin2a>0 D. sin2a<0
3.(2020全国Ⅱ,文17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求A;
(2)若 证明：△ABC是直角三角形.
考向(二) 三角函数的图像与性质
1.(2021全国甲,理16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则满足条 的最小正整数x为 .
2.(2021全国乙，理7)把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐示不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像,则f(x)=( )
3.(2021全国乙,文4)函数 的最小正周期和最大值分别是( )
A.3π和 B.3π和2
C.6π和 D.6π和2
4.(2021新高考全国Ⅰ,4)下列区间中,函数 单调递增的区间是()
7.(2019全国Ⅱ,理9)下列函数中,以为周期且在区间 单调递增的是( )
A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
8.(2019全国Ⅱ,文8)若 是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( )
A.2 C.1
9.(2020全国Ⅲ,理16)关于函数 有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称.
②f(x)的图像关于原点对称.
③f(x)的图像关于直线 对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
10.(2019全国Ⅰ,文15)函 的最小值为 .
考向(三) 三角恒等变换
1.(2021全国甲,理9、文11)若 则tanα=( )
2.(2021全国乙, 6)
3.(2020全国Ⅲ,文5)已知 则
4.(2020全国Ⅰ,理9)已知a∈(0,π),且3cos2a-8cosα=5,则sinα=( )
5.(2020全国Ⅲ,理9)已知 则tanθ=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
6.(2019全国Ⅱ,文11)已知 则sinα=( )
考向(四) 解三角形
A.346 B.373 C.446 D.473
2.(2021全国甲,文8)在△ABC中,已知 则BC=( )
A.1 D.3
(2021全国乙，理9)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=__________
4.(2020全国Ⅲ,文11)在△ABC中, 则tan B=( )
5.(2020全国Ⅲ,理7)在△ABC中, 则cosB=( )
6.(2019全国Ⅰ,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-
A.6 B.5 C.4 D.3
7.(2021全国乙,理15、文15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 B=60°,a +c =3ac,则b= .
DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为 cm .
10.(2020新高考全国Ⅰ,17)在 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
11.(2021新高考全国Ⅰ,19)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 b =ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
12.(2021新高考全国Ⅱ,18)在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若b=a+1,c=a+2,
(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
13.(2020全国Ⅰ,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
(1)若 求△ABC的面积;
(2)若 求C.
14.(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin A-sin B-sin C=sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
15.(2019全国Ⅰ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(sin B-sin C) =sin A—sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若 求sin C.
16.(2019全国Ⅲ,理18、文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 'sin A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
