课 题
§2.1二次函数所描述的关系
备 课
日 期
教 法
引导学生进行探索归纳
授 课
日 期
学 法
教师引导下自主探索归纳
教 具
投影ABC
教
学
目
标
知识点
1．探索并归纳二次函数的定义.
2．能够表示简单变量之间的二次函数的关系.
能力训练
经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数的关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.
能够表示简单变量之间的二次函数的关系.
能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
情感与价值观
从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.
把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体验数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
通过学生之间的互相交流合作，培养大家的合作意识.
重 点
经历探索和表示二次函数关系的过程.
2．能够表示简单变量之间的二次函数的关系.
难 点
经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
板
书
设
计
§2.1二次函数所描述的关系
由实际问题探索二次函数的关系
想一想
做一做
二次函数的定义
课堂练习
课时小结
课后作业
教 后
反 思
让学生通过分析实际问题，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值.
教 学 过 程
一、创设情景，引入新课
大家还记得我们学过哪些函数？
函数的定义是什么？
你能说出学过的函数的一般表达式吗？
二次函数的一般表达式是什么呢？本节课我们将揭开它神秘的面纱.
二，进行新课
由实际问题探索二次函数
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
大家互相交流后回答：
果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量y=(100+z)(600—5x)=-5x2+100x+60000．
请大家判断：这里的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?
请大家发表自己的看法.
我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试．
x/棵
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
y/个
先填表，再猜测
做一做
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．
（1）引导学生回顾有关名词：本金、利息、本息和，利息的计算.
（2）根据利息公式得， y=100(1+x)2=100x2+2000x+100.
（3）在这个关系式中，y是x的函数吗？是x的什么函数？请猜想.
二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic fun_ction)
注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为零.
例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2，圆面积s与半径r的关系s=πr2等也都是二次函数的例子．
三、课堂练习
随堂练习P36
1.下列函数中(x,t是自变量)，哪些是二次函数?
y=-+3x2, y=x2-x3+25, y=22+2x, s=1+t+5t2．
2．圆的半径是l㎝，假设半径增加x㎝时，圆的面积增加y㎝2．
(1)写出y与x之间的关系表达式；
(2)当圆的半径分别增加l cm、 ㎝、2㎝时，圆的面积增加多少?
四、课时小结
经历探索和表示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义 及一般形式。
2．用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多。
五、活动与探究
若是二次函数，求m的值.
六、课后作业
习题2.1
物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系是：h=4.9t2，填表表示物体在前5s下落的高度：
⒉某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5 m. （1）长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积S(m2)如何表示？ (2)如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y(元)表示，那么y的表达式是什么？
课件12张PPT。2.1 二次函数所描述的关系函数变量之间的关系一次函数y=kx+b (k≠0)反比例函数二次函数正比例函数
y=kx(k≠0)复习回顾 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.复习回顾果园共有（100+ x ）棵树,平均每棵树结（600-5x ）个橙子,因此果园橙子的总产量你能根据表格中的数据作出猜想吗？y =(100+ x)(600-5 x)=-5 x 2+100 x +60 000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产 量最多？复习回顾银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年
后的本息和y(元)的表达式(不考
虑利息税).y=100(x+1)2=100x2+200x+100.问题情境y=-5x2+100x+60 000, y=100x2+200x+100.1.y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？2.定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.老师提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.引入新知推理归纳定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且
a≠0.(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项
和常数项,但不能没有二次项.1.下列函数中,哪些是二次函数？(1）y=3(x-1)2+1;(3) s=3-2t2;(5)y=(x+3)2-x2;(6) v=10πr2.练一练2.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？是二次函数关系式.解：S=a( -a)=a(30-a)=30a-a2= -a2+30a . 练一练2.圆的半径是1 cm,假设半径增加x cm时,圆的面积增加y cm2.
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1 cm, cm,2 cm时,圆的面积增加多少？1.下列函数中(x, t是自变量),哪些是二次函数？
(1)y= +3x2 , (2) y= x2+x3+25,
(3) y=22+2x, (4) s=1+t+5t2.课外练习定义中应该注意的几个问题:1.定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax2+bx (a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax2+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.P 39 习题2.1 1,2,3题
课 题
§2.2 结识抛物线
备 课
日 期
教 法
引导学生进行探索总结
授 课
日 期
学 法
自主探索-总结-运用
教 具
投影ABC
教
学
目
标
知识点
1．能够运用描点法作出函数的图象；能根据图象认识和理解二次函数的性质.
2．猜想并能作出的图象，能比较它与的图象的异同.
能力训练
经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.
由函数的图象及性质，对比地学习的图象和性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维.
能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
情感与价值观
在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能地合作交流使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确的理解二次函数的性质.
重 点
能够运用描点法作出函数的图象；能根据图象认识和理解二次函数的性质.
2．能够作出的图象，并能比较它与的图象的异同.
难 点
经历探索函数的图象的作法和性质的过程，并能类比地研究的图象和性质.
板
书
设
计
§2.2 结识抛物线
作二次函数的图象 课堂练习
议一议 课时小结
的图象的性质 课后作业
做一做
函数与的图象的比较
教 后
反 思
让学生利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象归纳总结出二次函数y=x2的性质，在此基础上猜想的图象和性质，再进行有关验证.本节内容主要由学生自己思考，动手操作，合作交流得出结论.体现教师引导，学生自主学习的教学里念
教 学 过 程
创设问题情景，引入新课
1.一次函数、正比例函数、反比例函数的图象分别是怎样的图形
2.二次函数的一般表达式是什么？它的图象会是什么样的图形呢？
讲解新课
1.作函数y=x2的图象．
在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么?你想直观地了解它的性质吗?
先作二次函数y=x2的图象．
(1)观察y= x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：
(2)在直角坐标系中描点．
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象．
2．议一议
对于二次函数y=x2的图象，
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．
(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?
(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?
(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?
(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．
3．二次函数的图象的性质
（1）抛物线的开口向上；
（2）它的图象有最低点，最低点的坐标是（0，0）；
（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴.在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大.
（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）；
（5）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，.
4.做一做
二次函数的图象y=-x2是什么形状?先想一想,然后作出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴交流.
三．课时小结
1． 作二次函数y=x2的图象，并对图象的性质作了总结
2． 作二次函数y=-x2的图象，类比地研究其性质
3． 对函数与的图象的比较
四．课后作业
习题2.2
1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形状．
2．设正方形的边长为a，面积为S，试作出S随a的变化而变化的图象．
课件19张PPT。2.2 结识抛物线你想直观地了解它的性质吗?在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?想一想描点,连线y=x2观察图象,回答问题串(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.(3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
减小. 当x>0 (在对称轴的
右侧)时, y随着x的增大而
增大. 抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？你能根据表格中的数据作出猜想吗？(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？想一想xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2观察图象,回答问题串（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.（2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？（4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.y=-x2这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.二次函数y= -x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.y当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大
而增大. 当x>0 (在对称轴
的右侧)时, y随着
x的增大而减小. y抛物线y= -x2在x轴的
下方(除顶点外),顶点
是它的最高点,开口
向下,并且向下无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最大,最大值是0.函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:y=x2y=-x2它们之间有何关系？想一想二次函数y=ax2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y= -x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象y=x2y=-x2比一比1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时，函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式.
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2.
解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.（2）因为 ,所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上.（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
例题解析2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在
侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.（0，0）y轴对称轴的右00上下增大而增大增大而减小0例题解析对称轴的左2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.由二次函数y=x2和y=-x2，知P44 习题2.2 1,2题.课 题
§2.3 刹车距离与二次函数
备 课
日 期
月 日
教 法
引导学生进行类比学习
授 课
日 期
月 日
学 法
类比学习法
教 具
投影ABC
教
学
目
标
知识点
1．能作出函数和的图象；并研究它们的性质.
2．能比较和的图象与的异同.理解a与c对二次函数图象的影响.
能力训练
经历探索二次函数和的图象的作法和性质的过程，获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验.
通过，与的图象及性质比较，培养学生的比较、鉴别能力.
情感与价值观
由刹车距离与二次函数的关系，体会二次函数是某些实际问题的数学模型
由有趣的实际问题，激发学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.
重 点
能作出和的图象，并比较它们的异同，理解a与c对二次函数图象的影响..
2．能说出和图象的开口方向；对称轴和顶点坐标.
难 点
能作出和的图象，并总结其性质还能和作比较.
板
书
设
计
§2.3 刹车距离与二次函数
刹车距离与二次函数的关系 课堂练习
比较与的图象 课时小结
做一做 课后作业
议一议
教 后
反 思
由实际问题人手，能激起学生的学习兴趣和信心，运用类比的学习方法，通过与的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质.
教 学 过 程
一、创设问题情景，引入新课
函数 与的图象是 线，关于 轴成轴对称图形，它们与x轴的交点是 ，在y轴左侧，y随x的增大而 ，在y轴右侧，y随x的增大而 .
本节课继续学习其他形式的二次函数.
二、讲授新课
刹车距离与二次函数的关系
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗?汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关?
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式 确定;雨天行驶时，这一公式为 ．
刹车距离 s与速度 v之间的关系是二次函数吗？与上节课学习的二次函数与有什么不同？
比较与的图象
想一想，在与中，v可以取任何值吗?为什么?
在同一直角坐标系中作出与的图象
回答下列问题：
(1) 和的图象有什么相同与不同?
(2)如果行车速度是60km／h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米?你是怎么知道的?
总结：
相同点：
（1）它们都是抛物线的一部分；
（2）二者都位于y轴的左侧。
（3）函数值都随v值的增大而增大。
不同点：
（1）的图象在的图象的内侧。
（2）的s比中的s增长速度快.
做一做
作二次函数y=2x2的图象．
(1)完成下表：
x
2x2
(2)作出y=2x2的图象．
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
(二次函数y=2x2的图象是抛物线，它与二次函数y=x2的图象的相同点：开口方向相同，都向上；对称轴都是y轴；顶点都是原点，坐标为（0，0）；在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；都有最低点，即原点；函数都有最小值.不同点：y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧；y=2x2中函数值的增长速度快)
议一议
(1)二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
(2)二次函数y=3x2一l的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
三.课堂练习
在同一坐标系中画出函数与的图象，并比较它们的性质.
四． 课时小结
⒈巩固了画函数图象的步骤；
⒉学习了刹车距离与二次函数的关系；
⒊比较了几类函数的图象的性质
五． 课后作业
习题2.3
课件19张PPT。2.3 刹车距离与二次函数二次函数y=x2 与y=-x2的性质１、顶点坐标与对称轴２、位置与开口方向３、增减性与最值 复习回顾抛物线 y=x2 y=-x2 顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值（0，0）（0，0）y轴y轴在x 轴的上方（除顶点外）在x 轴的下方（除顶点外）向上向下当x=0时，最小值为0当x=0时，最大值为0如图所示如图所示 复习回顾1. 你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定 距离吗？汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离.影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.2. 刹车距离与什么因素有关？想一想那么刹车距离与什么因素有关？有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：
想一想3672v速度(公里/小时)S距离(米)解：列表y=2x221.510.50-0.5-1-1.5-2x224.54.58800.50.5例1 画出函数y=2x2的图象例题解析函数y=2x2的图象是什么形状?它与y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么?
xyoy=x2y=2x2
-4-3-2-11234123456789 函数y=2x2的图象是什么形状? 它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么?它与y=x2的图象有什么相同和不同? 答:函数y=2x2的图象是抛物线它的开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标是（0，0）.它与y=x2的开口方向,对称轴,顶点坐标是相同的,只是开口大小不同. y=2x2比 y=x2的开口小一些.议一议 函数y=2x2+1的图象是什么形状? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?它与y=2x2的图象有什么相同和不同? 议一议 做一做yoy=2x2
-4-3-2-11234123456789xy=2x2+1
5y=2x2+1y=2x2 0.25.0.5.0.75.1.y-0.25.-0. 5.-0.75.-1.y=3x2 想一想
你知道 函数 y=3x2-1的大致图象和位
置吗?
0.25.-0.25.-0. 5.-0.75.-1.y=3x2-1 二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2 的图象向下平移一个单位得到二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象
当c > 0 时 向上平移c个单位得到.
当c < 0 时 向下平移-c个单位得到.函数y=ax2+cy=ax2开口方向a>0时,向上a<0时,向下对称轴y轴y轴顶点坐标（0,0）（0,c）a>0时,向上a<0时,向下想一想 1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 ___
移 个单位.
2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图
象的函数解析式为_______.
3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（- m,n ）
_____（在，不在）y=ax2+a的图象上.
4. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则
k_______例题讲解下1y=-3x2-2在＞ 0.5 1. 一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是（ ）思维与拓展yx0x0x0yyyBACDB2. 函数y=ax2+a与y= （a≠0)在同一坐标系中 的大致图象是（ ）
思维与拓展yACDD 能作出y=ax2和y=ax2+c的图象，并能够比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响.
说出y=ax2和y=ax2+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.以及他们之间的联系.本课小结课 题
§2.4二次函数的图象（一）
备 课
日 期
月 日
教 法
探索——比较——总结法
授 课
日 期
月 日
学 法
探索——比较——总结法
教 具
投影ABC
教
学
目
标
知识点
1．经历探索二次函数的图象作法和性质的过程.
2．能够作出和的图象，并能理解它与的关系，理解a，h，k对二次函数图象的影响.
3．能正确说出的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
能力训练
通过自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解， 培养学生的探索能力.
情感与价值观
经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有 条理地、清晰地阐述自己的观点.
让学生学会与人合作，与人交流思维的过程与结果.
重 点
1．经历探索二次函数的图象作法和性质的过程.
2．能够作出和的图象，并能理解它与的关系，理解a，h，k对二次函数图象的影响.
3．能正确说出的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标
难 点
能够作出和的图象，并能理解它与的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响.
板
书
设
计
二次函数的图象（一）
比较二次函数与的图象与性质 课堂练习
做一做 课时小结
总结函数，， 课后作业
的图象之间的关系
议一议
教 后
反 思
在教学中，主要是让学生自己动手画图象，通过自己的观察、交流、对比、概括和反思等探索活动，使学生达到对抛物线的认识和对二次函数性质的认识，并能利用它的性质解决问题.
教 学 过 程
一、创设问题情景，引入新课
二次函数 与的图象都是轴对称图形，对称轴都是 ，有最大值或最小值，顶点都是 ，的图象是函数经过 移动得到.那么函数的图象能否左右移动呢？它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有那些性质呢?
二、讲授新课
比较y=与 y=的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2，因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象．
⑴完成下表，并比较3x2和3(x-1)2的值，它们之间有什么关系?
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3(x-1)2的图象．你是怎样作的?
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(4)x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
（学生填表，画图象，思考问题然后互相讨论，总结）
思考：能否用移动的观点说明函数y=与 y=的图象之间的关系呢？能像上节课那样比较它们图象的性质吗？（相同点，不同点、联系）
做一做
在上面的坐标系中作出二次函数y= 的图象.并与二次函数y=3(x-1)2的图象的性质进行比较.
（相同点，不同点、联系）
二次函数， 的图像之间的关系.
二次函数， 的图像都是抛物线，并且性状相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数的图象向右平移1个单位，就得到函数的图像；再向上平移2个单位，就得到函数的图象.
议一议
(1)二次函数y= 的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数)y= 的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗? 它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(3)对于二次函数y=，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?二次函数y=+4呢?
总结：
一般地，平移y=ax2的图象便可得到二次函数的图象．因此，二次函数的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h,k的值有关。
填写下表，并与同伴进行交流．
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
三、课堂练习
随堂练习.
四、 课时小结
本节课进一步探究了函数， 的图像之间有什么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题，并作了归纳总结，利用这些结果对其他函数进行讨论.
五、 课后作业
习题2.4
课件25张PPT。2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象(1)你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形式吗?二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系? 在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象． 由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象． 议一议比较函数 与 的图象(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象． ⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系? 议一议观察图象,回答问题(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？ 图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.顶点坐标
是点(1,0).二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴
向右平移了1 个单位(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 二次项系数相同
a>0,开口都向上.想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置? 在对称轴(直线:x=1)左侧
(即x<1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而减少,.顶点是最低点,函数
有最小值.当x=1时,
最小值是0..二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的增减性类似.(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？在对称轴(直线:x=1)左侧
(即x>1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而增大.想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样? 1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？ 动手练一练在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象． 完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系? 函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质动手练一练图象是轴对称图形.
对称轴是平行于
y轴的直线:x= -1.顶点坐标
是点(-1,0).二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴
向左平移了1 个单位.1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 二次项系数相同
a>0,开口都向上.想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?在对称轴(直线:x=-1)左侧
(即x<-1时),函数y=3(x+1)2
的值随x的增大而减少.顶点是最低点,函数
有最小值.当x=-1时,
最小值是0..二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的增减性类似.2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？在对称轴(直线:x=-1)右侧
(即x>-1时),函数y=3(x+1)2
的值随x的增大而增大.猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象的位置和形状.
请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质. 2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随着x的增大而增大;在对称轴(x=1)右侧,当x>1时, y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0);
抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,当x<-1时, y随着x的增大而增大;在对称轴(x=-1)右侧,当x>-1时, y随着x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.x=-1x=11.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线:x=-1.1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).
当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).二次函数y=a(x-h)2的性质2.当a>0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;
当a<0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.x=hx=h4. 越大,开口越小,
越小,开口越大.二次函数y=a(x-h)2
与y=ax2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=ax2整体沿x轴
平移了 个单位(当h>0时,向右移 个单位;当h<0时,向左移 个单位)得到的.二次函数y=a(x-h)2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2 (a>0)y=a(x-h)2 (a<0)（h，0）（h，0）直线x=h直线x=h在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=h时,最小值为0.当x=h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什
么?作图看一看． 在同一坐标系中作出函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图像.完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系? 函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,2).二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x2,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向上,当
x=1时有最小
值:且最小值是2.先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?x=1对称轴仍是平行于y轴
的直线(x=1);增减性与
y=3x2类似. 顶点是(1,-2).二次函数y=3(x-1)2-2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
下平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 开口向上,
当x=1时y有
最小值:且
最小值= -2.x=1在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x2和y=-3(x-1)2的图象二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小? 想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(1,2)和(1,-2).二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2+2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物
线y=-3x2,y=-3(x-1)2有什
么关系? 它的开口方向,对
称轴和顶点坐标分别是什
么?开口向下,
当x=1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x+1)2yx=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..二次函数y=-3(x+1)2+2与
y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质. x=1二次函数y=a(x-h)2+k与=ax2的关系一般地,由y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象:y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢? 2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴.
(2)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系课本P53 习题2.4
课 题
§2.4二次函数的图象（二）
备 课
日 期
月 日
教 法
讲解法
授 课
日 期
月 日
学 法
听讲——交流——练习
教 具
投影ABC
教
学
目
标
知识点
1．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.
2．能够运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.
能力训练
通过解决实际问题，培养学生把数学知识运用于实践的能力.
通过学生合作交流来解决问题，培养学生合作交流的能力.
情感与价值观
经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题.
差别认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
重 点
运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题
难 点
把数学问题与实际问题相联系的过程.
板
书
设
计
二次函数的图象（二）
例题（投影）
有关桥梁问题（投影）
补充例题
课堂练习
课时小结
课后作业
教 后
反 思
教 学 过 程
一、创设问题情景，引入新课
上节课我们主要讨论了函数，的图象的有关性质，特别练习了求函数的对称轴与顶点坐标.学习的目的是为了应用，那么究竟有什么用呢？今天我们来学习二次函数的应用.
二、讲解新课
例题
指出函数，，，的对称轴与顶点坐标.
对于二次函数(),它属于上面形式的哪一种呢？还是另一种呢？它的对称轴与顶点坐标是什么？
例： 求二次函数的对称轴与顶点坐标.
解：把的右边配方，得
=
==.
配方以后的形式属于我们前面讨论过的哪一种形式呢？
对比的对称轴与顶点坐标，你能说出的对称轴与顶点坐标吗？
明晰：的对称轴为，顶点坐标为.
有关桥梁问题
图2--7的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流。
直接利用顶点坐标公式或利用配方法计算出顶点坐标，上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离就是函数的最小值，两条钢缆最低点之间的距离就是两个顶点的横坐标的绝对值之和．
在上面的问题中，你能否求出右面的抛物线的解析式呢？
补充例题
如图，一边靠校园院墙，另外三边用50m长的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直院墙的边长为x m.
（1）写出长方形场地面积y(m2)与x的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少？
三、课堂练习
随堂练习
1．根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) ； (2) ；
(3)； （4）.
四、课外作业
习题2.5
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）.
2.当一枚火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式表示，经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
课件13张PPT。2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象(2)怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?函数y=ax2+bx+c的图象 我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 1.配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号老师提示:
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2的图象． 2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).函数y=ax2+bx+c的图象 作出函数y=2x2-12x+13的图象. ●(1,2)●(3,-5)画一画例求次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标． 函数y=ax2+bx+c的顶点式 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 1.配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号老师提示:
这个结果通常称为求顶点坐标公式.顶点坐标公式因此,二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称． ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.二次函数的应用⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴交流.可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗? ⑶你还有其它方法吗？与同伴交流.直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离． 1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2的关系2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.P60 习题2.5 1,2题.课后作业课 题
§2.5用三种方式表示二次函数
备 课
日 期
月 日
教 法
引导学生讨论学习
授 课
日 期
月 日
学 法
讨论式学习法
教 具
投影ABC
教
学
目
标
知识点
1．能够分析和表示变量之间的二次函数，并解决用二次函数所表示的问题.
2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究.
3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．
能力训练
通过解决用二次函数所表示的问题， 培养学生的运用能力.
通过对二次函数的三种方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维.
情感与价值观
通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，激发学生学习数学的兴趣.
初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，解决问题，发展应用意识.
重 点
1．能够分析和表示变量之间的二次函数，并解决用二次函数所表示的问题.
2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究
难 点
能够分析和表示变量之间的二次函数，并解决用二次函数所表示的问题.
板
书
设
计
§2.5用三种方式表示二次函数
试一试 课堂练习
议一议 课时小结
做一做 课后作业
议一议
教 后
反 思
在教学中，教师要真正起到引导的作用，在教师指导下，学生自己独立思考并完成，然后经过互相交流，总结出结果，使学生在轻松的环境中完成本节的内容学习.
教 学 过 程
一、创设问题情景，引入新课
函数的表示方法有那些？
某商店的广告牌上这样写着：一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下：
x/千克
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y/元
0
1
2
3
4
5
6
这是用表格来表示函数．这节课我们不仅要掌握三种表示方式而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好？
二、讲解新课
试一试
长方形的周长为20cm，设它的一边长为xcm，面积为ycm2.y随x变化而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗？
（1）用函数表达式表示：y = .
（2）用表格表示：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10-x
y
（3）用图象表示：
学生独立完成，然后交流.
讨论：函数的图象为什么只画出第一象限的部分？
议一议
（1）在上述问题中，自变量x的取值范围是什么？
（2）当取何值时，长方形的面积最大？它的最大面积是多少？你是怎样得到的？请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
（学生讨论交流）
（1）由得
（2）可由两种方法求出顶点坐标（5，25），所以当x由1至5逐渐增大时，y的值逐渐增大，当x由5至10逐渐增大时，y的值逐渐减小,当x=5时,y有最大值,即长方形的最大面积是25cm2.
做一做
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？用你能分别用函数表达式、表格和图象表示这种变化吗?
（1）用函数表达式表示：y = .
（2）用表格表示：
x
y
（3）用图象表示：
（4）根据三种表示方式回答：
自变量x的取值范围是什么？图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？如何描述y随x的变化而变化的情况？你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？
议一议
二次函数的三种表示方式有什么特点？它们之间有什么联系？与同伴交流.
积累：
表示方法
优点
缺点
解析法
比较全面、完整简洁的表示变量之间的关系
比较抽象
表格法
清楚，直接地表示变量间的数值对应关系
不全面
图像法
直观地表示函数的变化过程和变化趋势
准确性差
三者关系
每一种方式都可以转化为另外两种方式
三、课堂练习
美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？
为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示．
（1）若把n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来．
（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式．
（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？
四、课时小结
本节课我们经历了用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行了研究．
五、课后作业
习题2．6
课件14张PPT。2.5 用三种方式表示二次函数y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？引入新知 已知矩形周长20 cm,并设它的一边长为x cm,面积为y cm2.用函数表达式表示：解析法—用表达式表示函数 已知矩形周长20 cm,并设它的一边长为
x cm,面积为y cm2.用解析法表示函数的优点,缺点分别是什么？用表格表示：列表法—用表格表示函数已知矩形周长20 cm,并设它的一边长为x cm,面积为y cm2.用列表法表示函数的优点,缺点分别是什么？用图象表示:图象法—用图象表示函数已知矩形周长20 cm,并设它的一边长为x cm,面积为y cm2.用图象法表示函数的优点,缺点分别是什么？
比较三种表示方式,你能得出什么结论?与同伴交流.因为x表示周长为20 cm矩形的边长,所以自变量x的取值范围是:0由表达式的顶点式,表格中结果,图象的最高点都可得到. y随x的变化而变化的情况是:当01时,y随x的增大而增大. 议一议二次函数的三种表示方式各有什么特点?它们之间有什么联系?与同伴进行交流.变量间关系简捷明了,便于分析计算.需要通过计算,才能得到所需结果.能直接得到某些具体的对
应值不能反映函数整体的变化情况直观表示了变量间变化过程和变化趋势.函数值只能是近似值.表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.想一想解析法—用表达式表示函数；
列表法—用表格表示函数；
图象法—用图象表示函数.二次函数的三种表示方式的特点,
它们之间的联系.函数的表示方式 P63 习题2.6 1,2题.课 题
§2.6何时获得最大利润
备 课
日 期
月 日
教 法
引导学生学习
授 课
日 期
月 日
学 法
在教师的引导下自主学习
教 具
投影ABC
教
学
目
标
知识点
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值．
掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
能力训练
经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.
情感与价值观
体会数学与人类生活的密切联系，了解数学的应用价值.
认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
重 点
应用二次函数解决实际问题中的最值
难 点
能正确理解题意，找准数量关系.
板
书
设
计
§2.5何时获得最大利润
有关利润问题 课堂练习
做一做 课时小结
议一议 课后作业
补充例题
教 后
反 思
应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题.
教 学 过 程
一、创设问题情景，引入新课
我们已经认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数开始，然后是，最后是，，掌握了二次函数的三种表示方式.怎么突然转到了获取最大利润呢？这其中必有联系.
二、讲授新课
1.有关利润问题：
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
设销售单价为x（）元，那么
（1）销售量可以表示为 ；
（2）销售额可以表示为 ；
（3）所获利润可以表示为 ；
（4）当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 .
引导分析：这是一个最值问题，而最值问题是二次函数的问题，因此，我们应先分析题意列出函数关系式.结果如下：销售量可以表示为即；销售额可以表示为即；所获利润可以表示为即.
设总利润为y元，则y =.
当元时，元.
2.做一做：
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?
3.补充例题
已知一个矩形的周长是24cm.
（1）写出这个矩形面积S与一边长a的函数关系式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）当a长多少时，S最大？
是二次函数的最值问题，分析题意列出函数关系式.
当a=6时，S最大=36
三、课堂练习 P61 （答案：提价5元，最大利润4500元）
四、课时小结
本节课我们经历了销售中最大利润问题的探究过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值，学会了分析和表示实际问题中变量间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求实际问题中的最值，提高了解决问题的能力．
五、课后作业
习题2.7
课件13张PPT。2.6 何时获得最大利润请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多?某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.问题情境设销售价为x元(x≤13.5元),那么某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.销售量可表示为 : 件;销售额可表示为: 元;所获利润可表示为: 元;当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.问题情境我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在请你验证一下你的猜测(增种多少棵橙子树时,总产量最大?)是否正确.与同伴进行交流你是怎么做的.还记得本章一开始涉及的“种多少棵橙子树”的问题吗？议一议何时橙子总产量最大某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.何时橙子总产量最大果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量你能根据表格中的数据作出猜想吗？y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60 000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？2.利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系?何时橙子总产量最大1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.3.增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?若你是商店经理,你需要多长时间定出这个销售单价?何时获得最大利润 某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2的关系2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.P66 习题2.7 1,2题. 要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修
建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？链接中考链接中考解（1）横向甬道的面积为： （2）甬道的宽为5米．（3）设建设花坛的总费用为万元．y 当 时，y值最小. 最少费用为： 万元.课 题
§2.7最大面积是多少
备 课
日 期
月 日
教 法
引导学生学习
授 课
日 期
月 日
学 法
在教师的引导下自主学习
教 具
投影ABC
教
学
目
标
知识点
学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
能力训练
通过分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力.
通过运用二次函数知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力.
情感与价值观
经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，体会数学的模型思想和数学应用价值．
进一步体会数学与人类生活的密切联系，了解数学的应用价值，增进对数学的理解和好奇心，具有初步的创新精神和实践能力.
重 点
分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
难 点
分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识最大面积问题．
板
书
设
计
§2.7 最大面积是多少
例题讲解 课堂练习
做一做 课时小结
议一议 课后作业
教 后
反 思
应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．为此，一是不能有畏难情绪，我们都可以学会解决应用问题；二是要读懂问题，明确要解决的是什么问题；三要分析问题中的各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式.
教 学 过 程
一、创设问题情景，引入新课
用二次函数来解决实际问题，关键是要读懂题目，明确要解决的问题是什么，分析问题中的各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解.
本节课我们继续利用二次函数解决最大值问题.
二、讲解新课
例题讲解
例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
分析：（1）要求AD边的长度，即求BC边的
长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用
三角形相似求出BC.由△EBC∽△EAF，得
即所以AD=BC=.
（2）要求面积y的最大值，即求函数y＝AB﹒AD
＝的最大值，就转化为数学问题了.
请同学们写出步骤.
思考问题：如果设AD边的长度为x m,则问题会怎样解决呢？
做一做
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长的边，因此，
x与半圆面积和矩形面积都有关系.要求透过窗户的
光线最多，也就是求半圆和矩形面积之和最大，即
最大，而由于
，所以
面积，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点公式中即可.
答案：
议一议
用二次函数知识解决实际问题的基本思路是什么？与同伴进行交流.
明晰：用二次函数知识解决实际问题的基本思路：
（1）读懂题意，理解问题；
（2）分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
（3）用数学的方式表示它们之间的关系；
（3）做函数求解；
（4）检验结果的合理性，拓展等.
三、课堂练习
1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？
3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接矩形GDEF的最大面积．
4、某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？
四、课后小结
学习用二次函数知识解决实际问题，增强应用意识，获得用数学方法解决实际问题的经验，进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.
五、课后作业
习题2.8
课件9张PPT。2.7 最大面积是多少(1)设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的最大值是多少?何时面积最大 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.M想一想(1)设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的最大值是多少?何时面积最大 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.xmbm(1).如果设矩形的一边AD=x m,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的最大值是多少?何时面积最大 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.bmxm(1)设矩形的一边BC=x m,那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的最大值是多少?何时面积最大 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.xmbm何时窗户通过的光线最多某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?1.理解问题;“二次函数应用” 的思路 回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解;5.检验结果的合理性,拓展等.P68 习题2.8 1,2题.
课后作业链接中考已知抛物线 A、B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标； 与x轴的两个交点为（3）若坐标平面内的点M，使得以点M和三点A、B、C为顶点的
四边形是平行四边形，求点M的坐标． 课 题
§2.8 二次函数与一元二次方程
备 课
日 期
月 日
教 法
引导学生探索讨论
授 课
日 期
月 日
学 法
探索讨论法
教 具
投影ABC
教
学
目
标
知识点
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系；
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；
理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
能力训练
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神；
通过观察二次函数图象与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想；
通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识.
情感与价值观
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
具有初步的创新精神和实践能力.
重 点
把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系.
难 点
探索二次函数与一元二次方程的关系的过程；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
板
书
设
计
§2.8 二次函数与一元二次方程
例题讲解 课堂练习
议一议 课时小结
想一想 课后作业
教 后
反 思
在教学中，让学生经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根.关注学生的观察、讨论和归纳.
教 学 过 程
一、创设问题情景，引入新课
我们学习了一元一次方程和一次函数后，讨论了它们的关系.当一次函数中的函数值时，一次函数就转化成了一元一次方程，且一次函数的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解.
现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们中之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.
二、讲解新课：
例题讲解
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
大家先发表看法，然后解答.
议一议：
在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
学生讨论后回答.
想一想
在本节一开始的小球上抛的问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？
答案：当时，解得
因此当小球离地面2秒或6秒时，高度都是60m.
三、课堂练习
随堂练习P72
四、课时小结
经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；
理解了二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根.
五、课后作业
习题2.9
课件10张PPT。2.8 二次函数与一元二次方程(1)(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.由上抛小球落地的时间想到 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1)h和t的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.由上抛小球落地的时间想到 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
有两个交点,
有一个交点,
没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.二次函数与一元二次方程(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数与一元二次方程(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?二次函数与一元二次方程 在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60 m?你是如何知道的?二次函数与一元二次方程 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)?此时,窗户的面积是多少?1.理解问题;“二次函数应用” 的思路 回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解;5.检验结果的合理性,拓展等.本课小结P72 习题2.9 1,2题.课后作业课 题
§2.8 二次函数与一元二次方程2
备 课
日 期
月 日
教 法
引导学生合作交流学习
授 课
日 期
月 日
学 法
合作交流学习法
教 具
投影ABC
教
学
目
标
知识点
能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；
进一步发展估算能力．
能力训练
经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根体验；
利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想.
情感与价值观
通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力.
重 点
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数的联系.
能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
难 点
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
板
书
设
计
§2.8 二次函数与一元二次方程2
利用二次函数的图象估计一元二次方程的根
做一做
（利用二次函数的图象估计一元二次方程的根）
课堂练习
课时小结
课后作业
教 后
反 思
在教学中，让学生经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求近似根体验；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根，应关注学生能否利用图象法求一元二次方程的近似根，能否理解这种求解方程的思路.
教 学 过 程
一、创设问题情景，引入新课
上节课我们学习了二次函数图象与x轴（或y=h）的交点坐标与一元二次方程的根的关系，懂得了当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是一元二次方程的根.通过解一元二次方程可求出二次函数图象与x轴的交点坐标，反过来，在不解方程的情况下，只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标，也就求出了方程的根，但是在图象上很难准确地求出方程的解，所以还需要进行估算.本节课我们将学习用图象法求一元二次方程的近似根.
二、讲解新课：
利用二次函数的图象估计一元二次方程的根
（1）画出函数的图象；
（2）观察图象，说出方程的根的大概范围吗；
x
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
-0.56
（3）利用计算器进行估算：
x
2.1
2.2
2.3
2.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
-0.56
因此方程的近似根为
注：本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位.
除了用计算器进行估算，还有其他估算方法吗？
做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程的根
方法1：利用函数的图象求的根
x
-4.5
-4.6
-4.7
-4.8
-4.9
y
-1.75
-1.04
-0.31
0.44
1.21
x
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
y
-1.75
-1.04
-0.31
0.44
1.21
方程的近似根为.
方法2：分别画出函数的图象和直线它们的交点的横坐标即为的根
三、课堂练习
随堂练习P76.
四、课时小结
经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；
经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根体验；
理解了一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h（h为实数）的交点的横坐标，发展估算能力.
五、课后作业
习题2.10
课件8张PPT。2.8 二次函数与一元二次方程(2)(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；一元二次方程的图象解法 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？(2).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.3和2.3(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值,详见课本).(3).确定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.想一想(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.(3)观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(4)确定方程x2+2x-10=3的解.由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.(2) 作直线y=3；想一想(1)原方程可变形为x2+2x-13=0；一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.(3)观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(4).确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.(2)用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；；做一做一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=-2x2+4x+1的图象；(2)观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2和2.2(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(3)确定方程-2x2+4x+1=0的解.由此可知,方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.做一做一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(3)确定方程2x2+x-15=0的解.由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.做一做一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x-1=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象；(2)观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分别
约为-0.4和0.8(可将单位长再十
等分,借助计算器确定其近似值).(3)确定方程3x2-x-1=0的解.由此可知,方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.做一做P72 习题2.9 1题.课后作业第二章 二次函数小结与复习
基础盘点
一、二次函数的概念
一般地, 形如 (，，是常数, )的函数, 叫做二次函数. 其中, 是 , ，，分别是函数解析式的 系数、 系数和 .
二、二次函数的图象
二次函数的图象是一条 , 其顶点坐标为 . 当＞时, 图象开口 ; 当＜时, 图象开口 .
三、二次函数的性质
1.对称性: 其图象是轴对称图形, 对称轴是直线 ;
2.增减性: ①若＞, 当＜时, 值随值的增大而 ; 当＞时, 值随值的增大而 ; 函数有最 值 ；②若＜, 当＜时, 值随值的增大而 ; 当＞时, 值随值的增大而 ; 函数有最 值 .
四、二次函数与一元二次方程的关系
在二次函数的解析式中, 当函数值一定时, 二次函数就变成了 .
考点呈现
一、二次函数的图象
例1 把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
解析：因为抛物线y=-x2的顶点坐标为（0，0），所以平移后的抛物线的顶点为（-1，3），因此，平移后的抛物线为.故选D.
二、二次函数解析式中的系数与图象的关系
例2. (2012年湖北天门)已知二次函数的图象如图1所示, 它与轴的两个交点分别为、. 对于下列结论: ①; ②＜; ③＜; ④＞，其中正确的有 ( ).
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
解析: 由题意知, 且＞.
，故①不正确;
＞, 故②也不正确;
＜,故③正确;
＞. 故④正确.
综上所述， 选B.
评注: 本题考查二次函数解析式中系数与图象的关系, 解决这尖问题的关键在于充分获取图象信息, 正确运用相关的知识进行解答.
三、二次函数的性质
例3 (2012年浙江衢州)已知二次函数, 若自变量分别取，，, 且＜＜＜, 则对应的函数值，，的大小关系正确的是 ( ).
A.＞＞ B.＜＜ C.＞＞ D.＜＜
解析: .
∵＜, 且对称轴为直线,
∴当时, 值随值的增大而减小,
∴当＜＜＜时, ＞＞.
故选A.
评注: 本题考查了二次函数的增减性. 解决这类问题, 先将二次函数的表达式化为顶点式, 明确开口方向. 开口向上时, 在对称轴的左侧, 函数值随自变量的值增大而减小, 在对称轴的右侧, 函数值随自变量的增大而增大; 开口向下时, 在对称轴的左边, 函数值随自变量的值增大而增大, 在对称轴的右侧, 函数值随自变量的增大而减小.
四、抛物线的平移
例4 (2012年山东泰安) 将抛物线向上平移3个单位, 再向左平移2个单位, 那么得到的抛物线的解析式为 ( )
B.
C. D.
解析: 平移前抛物线的顶点坐标为, 平移后抛物线的顶点坐标为，
所以平移后抛物线的解析为.
故选B.
评注: 抛物线的平移, 形状和大小都不变, 即解析式中的不变.已知一条抛物线, 求这条抛物线按要求平移后的解析式, 一般是找出原抛物线的顶点坐标, 写出按要求平移后的顶点坐标, 进而求出解析式.
五、二次函数综合应用
例5 (2012年贵州黔东南)如图2, 已知抛物线经过点A、B、C三点.
⑴求抛物线的解析式;
⑵点M是线段BC上的点(不与B，C重合), 过点M作MN∥轴交抛物线于N, 若点M的横向坐标为,请用的代数式表示MN的长.
⑶在⑵的条件下, 连接NB，NC, 是否存在点,使△BNC的面积最大? 若存在, 求的值; 若不存在, 说明理由.
解: ⑴设抛物线的解析式为, 根据题意, 得
, 解得.
∴所求抛物线的解析式为.
⑵设直线BC的解析式为, 则有解得
∴直线BC的解析为.
令, 则,
∴M.
∵点N在抛物线上,且其横坐标为,
∴N.
∴MN=.
⑶设△BNC的面积为, 则
=.
.
∵＜, 有最大值,
∴当时, △BNC的面积最大.
评注: 本题综合考查了函数解析式的求法、函数与方程的关系、二次函数的性质等, 应灵活运用所学的知识进行解决.
误区点拨
一、 概念不清致错
例1 若是二次函数, 则 ( )
A.或 B. C.或 D.
错解: C.
剖析: 错误产生的原因在于忽略了二次函数关系式中的二次项系数.
正解: D.
二、 对性质理解不准致错
例2 .已知点A、B在二次函数的图象上,若＞＞, 则
.
错解: ＞.
剖析: 二次函数的增减性与其开口有关, 错误的原因是没有准确掌握和理解二次函数的性质.
正解: ＜.
三、不全面讨论致错
例3 已知抛物线与轴交于点A、B, 与轴交于点C, 则使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数为 ( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
错解: A或B或D.
剖析: 错误的原因在于没有正确分类讨论,.
正解: 如图, 易知抛物线与过点A和C.
以点A为圆心、AC长为半径画圆交轴于点，； 以点C为圆心、AC长为半径画圆交轴于点； 作线段AC的垂直平分线交轴于点.
过这四个点其中的任何一个与A，C两点都有一条满足条件的抛物线.
故选C.
跟踪训练
1. 如图为二次函数()的图象, 则下列说法: ①＞; ②; ③＞; ④当＜＜时, ＞. 其中正确的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 如图, 已知抛物线, 直线, 当任取一值, 对应的函数值分别为，. 若, 取，中的较小值为M; 若, 记M=. 例如, 当时, , , ＜, 此时M=0. 有下列判断:
①当＞时, ＞;
②当＜时, 值越大, M值越小;
③使得M大于2的值不存在;
④使得M=1的的值是或.
其中正确的是 ( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
3.给出定义: 设一条直线与抛物线只有一个公共点, 且这条直线与抛物线的对称轴不平行, 就称直线与抛物线相切, 这条直线是抛物线的切线. 有下列命题:
①直线是抛物线的切线;
②直线与抛物线相切于点;
③若直线与抛物线相切, 则相切于;
④若直线与抛物线相切, 则实数.
其中正确的是 ( )
A.①②④ B.①③ C.②③ D.①③④
4. 已知下列函数 ①, ②, ③, 其中, 图象通过平移得到函数的图象的有 (填写所有选项正确的序号).
5.把二次函数的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为 .
6.如图, 把抛物线平移得到抛物线m, 抛物线m经过点A和原点O, 它的顶点为P, 它的对称轴与抛物线交于点Q, 则图中阴影部分的面积为 .
7.如果一条抛物线()与有两个交点, 那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这个三角形的“抛物线三角形”.
⑴“抛物线三角形”一定是 三角形;
⑵若抛物线(＞)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形, 求的值;
⑶如图, △OAB是抛物线(＞)的“抛物线三角形”, 是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD? 若存在, 求出过O,C,D三点的抛物线表达式; 若不存在, 请说明理由.
跟踪训练参考答案：
1. C 2. D 3. B
4. ①③ 5. 6.
7. 解: ⑴等腰.
⑵∵抛物线(＞)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,
∴该抛物线的顶点满足(＞), 解得.
⑶存在.如图, 延长AO至点C, 使AO=CO, 在轴负半轴上取一点D, 使OB=OD, 则四边形ABCD为平行四边形.
当AO=OB时, 平行四边形ABCD为矩形.
又∵AO=AB,
∴△OAB为等边三角形.
作AE⊥OB于点E, 则AE=OE.
∴.
∵＞,
∴.
∴A, B.
∵C,D分别是A,B关于原点的中心对称点,
∴ C, D.
设过O,C,D的抛物线为, 则有
解得
∴所求抛物线为.
