1．如图所示，在平行四边形ABCD所在的平面中，下列表示方法不正确的是 ( )
①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.
A．④⑤ B．③④⑤
C．②③④⑤ D．③⑤
解析：由平面的画法和表示方法可知③⑤不正确．
答案：D
2．在空间中，下列说法正确的是 ( )
A．一个点运动形成直线
B．直线平移形成平面
C．直线绕定点运动可以形成锥面
D．矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
答案：C
3．下列关于长方体的叙述不正确的是 ( )
A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B．长方体中相对的面都相互平行
C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D．两底面之间的棱互相平行且等长
解析：当矩形水平放置时，沿竖直方向平移才可得到一个长方体，当不是水平放置时，沿竖直方向平移不能得到长方体，即命题A不正确，命题B、C、D符合长方体的性质．
答案：A
4．如果点做连续运动，运动出来的轨迹可能是______，因此点是立体几何中的最基本的元素，如果点运动的方向不变，则运动的轨迹是________ ，如果点运动的方向改变，则运动的轨迹是________．
答案：直线或曲线 直线或线段 曲线或曲线的一段
5．下列说法正确的是________．
(1)长方体是由六个平面围成的几何体；
(2)长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；
(3)长方体一个面上任一点到对面的距离相等．
解析：(1)错误．因为长方体是由六个矩形(包括它的内部)围成，注意区别“平面”与“矩形”的本质区别．
(2)正确. (3)正确．
答案：(2)(3)
6．根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．
解：把平面图折叠成正方体，容易知道J与N，A、M与D，H与E，G与F，B与C分别重合在一起．
一、选择题
1．下列说法中能表示平面的是 ( )
A．镜面 B．黑板面
C．印度洋面 D．铅垂面
解析：黑板面、镜面的面不是平面，印度洋面是一个曲面，只有D正确．
答案：D
2．下列对几何体描述正确的是 ( )
A．几何体是指物体占有空间部分的大小和位置
B．几何体是指物体占有空间部分的大小和密度
C．几何体是指物体占有空间部分的大小和形状
D．几何体是指物体占有空间部分的大小、形状及位置
解析：由几何体的概念知，几何体只考虑它占有空间部分的形状和大小，故C正确.
答案：C
3．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是 ( )
解析：正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．
答案：C
4．以下平面图形均包括其内部，下列叙述正确的个数是 ( )
①长方体是矩形上各点移动相同距离成的几何体；
②矩形上各点移动相同距离形成长方体；
③正方形上各点移动相同距离形成正方体；
④平面上曲线上各点移动相同距离形成曲面；
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：只有矩形和正方形上各点沿垂直于它们所在平面的方向移动相同距离到达另一位置时所形成的几何体，才是长方体和正方体；如果矩形和圆是在其表平面内沿某一方向移动，则不会得到空间图形，故①正确，②、③均错误；
同理④也是错误的．
答案：A
二、填空题
5．下列关于长方体的说法中，正确的是________．
①长方体中有3组对面互相平行；
②长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；
③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；
④长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．
解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD，BC、AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度是长方体中面ABCD和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故答案是①③④.
答案：①③④
6．空间中的三个平面可将空间分成________部分．
解析：若三个平面互相平行，则将空间分成4部分；若两个平面平行且都与第三个平面相交，则将空间分成6部分；若三个平面相交于同一直线，则将空间分成6部分；若三个平面两两相交，有三条交线，但不过同一点，则将空间分成7部分；若三个平面两两相交，有三条交线，且过同一点，则将空间分成8部分．
答案：4或6或7或8
7．线段AB长为5 cm，在水平面上向右平移4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移4 cm记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′.
①平面A′B′BA与面CDD′C′间的距离为________；
②A到面BCC′B′的距离为________．
解析：由题意画出适合题意的长方体(如图)，易得所求．平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离即为AD＝4 cm，点A到BCC′B′的距离即为AB＝5 cm.
答案：①4 cm ②5 cm
8．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中不在同一平面的有__________对．
解析：把正方体表面的展开图折叠成正方体(如图)，容易看出，AB与CD，AB与GH，EF与GH共三对不在同一平面．
答案：三对
三、解答题
9．搬家公司想把长2.5 m，宽0.5 m，高2 m的长方体家具从正方形窗口穿过，正方形窗口的边长为a，则a至少是多少？
(提示：可转化为求正方形的内接矩形长为2 m，宽为0.5 m时正方形的边长．)
解：如图所示，问题实质是求正方形的内接矩形长为2 m，宽为0.5 m时，
正方形的边长
a＝＋＝≈1.77(m)．
所以a约是1.77 m时，长方体家具可以穿过．
10．观察图，请指出它由哪些面和线组成？这些面和线具有什么特点？
解：图中的几何体由三个矩形和两个三角形组成．其交线共有9条，其中的两个三角形面互相平行，其余三个矩形面两两相交，其交线(即棱)互相平行．
1．三棱锥又称四面体，则在四面体A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形个数为
( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：三棱锥是最简单的几何体，它的主要特征就是每个面都可以当底面，每个面都是三角形，每个点均可作顶点．
答案：D
2．棱台不具有的性质是 ( )
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后交于一点
解析：棱台是用平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的几何体，正棱台的侧棱长都相等．
答案：C
3．平行六面体的两个对角面都是矩形，且底面又是正方形，则此平行六面体一定是( )
A．直平行六面体 B．正四棱柱
C．长方体 D．正方体
解析：根据两个对角面是矩形可知侧棱和底面垂直，所以首先是直四棱柱，再根据底面是正方形可知是正四棱柱．
答案：B
4．五棱柱有________条对角线.
解析：对于五棱柱上底面的每一个顶点，只能和下底面不在同一表面的另外两个顶点连接得到对角线，故五棱柱共有2×5＝10条对角线．
答案：10
5．如图，下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．
答案：(1)(2) (3)(4) (5)
6．一个棱台的上、下底面积之比为4∶9，若棱台的高是4 cm，求截得这个棱台的棱锥的高．
解：如图所示，将棱台还原为棱锥，设PO是原棱锥的高，O1O是棱台的高，∵棱台的上、下底面积之比为4∶9，∴它们的底面对应边之比A1B1∶AB＝2∶3，
∴PA1∶PA＝2∶3.
由于A1O1∥AO，∴＝，
即＝＝.
∴PO＝12 cm，即原棱锥的高是12 cm.
一、选择题
1．下列说法正确的是 ( )
A．三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三个顶点
B．四面体有四个面、六条棱和四个顶点
C．六棱锥有七个顶点
D．棱柱的各条侧棱可以不相等
解析：三棱柱有六个顶点，所以A错；六棱锥只有一个顶点，所以C错；棱柱的各条侧棱长相等，所以D错；四面体即三棱锥，有四个面，六条棱和四个顶点，所以B对．
答案：B
2．如图所示几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是 ( )
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中有一个为四边形，其余的为三角形
解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体．因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．
答案：D
3．斜四棱柱的侧面是矩形的个数最多为 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．4个
解析：斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1有四个侧面，若AA1不垂直于AB，则DD1不垂直于DC，所以四边形ABB1A1和四边形DCC1D1就不是矩形，而四边形ADD1A1和四边形BCC1B1可以是矩形，故选C.
答案：C
4．已知集合 A＝{正方体}，B＝{长方体}，C＝{正四棱柱}，D＝{平行六面体}，E＝{四棱柱}，F＝{直平行六面体}，则 ( )
A．A?B?C?D?E?F
B．C?A?B?D?F?E
C．A?C?B?F?D?E
D．A?B?C?D?F?E
解析：几种常见棱柱间的关系如下图所示：
答案：C
二、填空题
5．如图，下列几何体中，________是棱柱，__________是棱锥，________是棱台．
解析：由棱柱、棱锥、棱台定义可知，①②③符合棱柱的定义；⑤符合棱锥的定义；④符合棱台的定义．
答案：①②③ ⑤ ④
6．如图所示，一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影部分，第六个正方形在编号为1～5的适当位置，则所有可能的位置编号为________．
解析：让学生动手折叠一下就可以找到编号，1、4、5都有可能．
答案：1或4或5
7．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF、PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是__________．
解析：该长方体被分成的三个几何体都是棱柱，分别为三棱柱AA1P－DD1Q，三棱柱BB1E－CC1F和四棱柱ABEP－DCFQ.
答案：3
8．如图所示，侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为________．
解析：如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．
取AA1的中点D，连接VD，
则VD⊥AA1，∠AVD＝60°.
在Rt△VAD中，AD＝VA·sin60°＝3，
∴AA1＝2AD＝6.
即△AEF周长的最小值为6.
答案：6
三、解答题
9．一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积．
解：如图，正三棱柱ABC－A′B′C′，符合题意的截面为△A′BC.
在Rt△A′B′B中，
A′B′＝4，BB′＝6.
∴A′B＝
＝＝2.
同理A′C＝2，
在等腰三角形A′BC中，O为BC的中点，
BO＝×4＝2.∵A′O⊥BC，
∴A′O＝＝＝4.
∴S△A′BC＝BC·A′O＝×4×4＝8，
∴此截面的面积为8.
10．如图，正四棱台AC′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．
解：设棱台两底面的中心分别是O′和O，B′C′，BC的中点分别是E′，E.连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形．
在正方形ABCD中，BC＝16 cm，
则OB＝8 cm，OE＝8 cm；
在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm，
则O′B′＝2 cm，O′E′＝2 cm.
在直角梯形O′OBB′中，
BB′＝
＝＝19(cm)．
在直角梯形O′OEE′中，
EE′＝＝
＝5(cm)．
即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm.
1．矩形ABCD(不是正方形)绕边所在直线旋转得圆柱，则得不同形状的圆柱个数为
( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据圆柱的形成，分别以矩形的对边所在直线旋转所得的圆柱是相同的．故只有2个．
答案：B
2．自行车的轮胎可由下面哪一个图形绕直线l旋转生成 ( )
解析：D旋转形成球，A旋转形成的是一个大球里有一个小球，B旋转形成的是两个游泳圈的组合体．
答案：C
3．下列说法中正确的是 ( )
A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
解析：A错误．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以A不正确．B错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时，正确，其他情况则结论就是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.
答案：C
4．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是________．
解析：如图设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高是.
∵·2r·＝8，
∴r＝2，
∴高为＝2.
答案：2
5．下列说法：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；③球面上任意三点可能在一条直线上；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面，其中正确的序号是________．
解析：作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确．
答案：②④
6．圆台的上底面半径和下底面半径及高的比为1∶4∶4，母线长为10 cm，求截得这个圆台的圆锥的底面积和高．
解：由题意可设圆台的上、下底面半径和高分别为x、4x、4x，截得圆台的圆锥的高度为h cm，则
(4x)2＋(4x－x)2＝102，∵x>0，解得x＝2.
∵＝，∴h＝x＝(cm)．
∴原圆锥的底面积为
S′＝πr′2＝π(4×2)2＝64π(cm2)，高为 cm.
一、选择题
1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
解析：如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．
答案：D
2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．球体 D．以上都可能
解析：球体被任何平面所截得的截面均为圆面；对圆锥，截面不能为四边形．而圆柱，当截面过两条母线时，得到四边形．
答案：B
3．(2012·福鼎高一检测)一个圆锥的母线长为2，圆锥的轴截面的面积为，则母线与轴的夹角为 ( )
A．30° B．60°
C．30°或60° D．60°或75°
解析：设圆锥的高为h，则底面圆的半径为，
由题意，得S＝h×2＝，
平方整理得h4－4h2＋3＝0，解得h2＝1或h2＝3，
∴h＝1或h＝.
母线与轴的夹角为30°或60°.
答案：C
4．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是 ( )
A. B．π
C.π D．2π
解析：∵∠ABC＝90°，AB＝BC.设△ABC外接圆圆心为O1，则O1在AC中点处．OO1＝，OA＝3，
∴AO1＝，BC＝3，∴∠BOC＝.
∴B、C两点的球面距离d＝×3＝π.
答案：B
二、填空题
5．一个等边圆柱(底面直径等于高)的轴截面面积是S，则它的底面面积是________．
解析：设底面半径为r，则4r2＝S，故底面面积为πr2＝π·＝S.
答案：S
6．将一个边长为a的正方形卷成圆柱侧面，则此圆柱的轴截面的面积为________．
解析：令圆柱的底面半径为r，则2πr＝a，
∴2r＝，轴截面是长为a，宽为的矩形，
∴面积S＝a×＝.
答案：
7．等边圆柱(底面直径等于母线长)的轴截面ABCD是边长为4的正方形，绕圆柱侧面从A到C的最短距离是__________．
解析：如图，沿母线DC把圆柱的侧面展开(矩形A′B′CD是半个圆柱的侧面展开图)，那么曲线上从A到C的最短距离就是平面上从A′到C的线段长度．
∵AB＝BC＝A′B′＝4，
∴B′C＝×2π×＝2π，
∴A′C＝＝
＝2.
答案：2
8．(2012·临沂高一检测)一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面圆可能是________．
解析：①是过球心且与正方体的一组对面斜交的截面；②是过正方体对角面的截面；③是过球心与正方体四条互相平行棱中点的截面．
答案：①②③
三、解答题
9．一个圆台的母线长为12 cm，两底面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，如图所示，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，
又腰长为12 cm，所以高为：
AM＝
＝3(cm)．
(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO可得＝，
∴l＝20(cm)．即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
10．一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；
(2)当x为何值时，S最大？
解：画出圆柱
和圆锥的轴截面．
如图，设圆柱的底面半径为r，则由三角形相似可得＝，
解得r＝2－.
(1)圆柱的轴截面面积
S＝2r×x＝2×(2－)×x
＝－x2＋4x，x∈(0,6)；
(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x2－6x)
＝－(x－3)2＋6
∴当x＝3时，S有最大值6.
1．如图所示的直观图表示的平面图形是 ( )
A．任意三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
解析：∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，
∴原图形中∠ABC＝90°，∴△ABC应为直角三角形．
答案：C
2．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是 ( )
A．线段 B．直线
C．圆 D．梯形
解析：当线段、圆、梯形所在线或面与平行光线垂直或平行时，投影有可能是线段，而直线的投影是点或者直线．
答案：B
3．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③矩形的直观图是矩形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论正确的是 ( )
A．①② B．①
C．③④ D．①②③④
解析：③不对，矩形的直观图是平行四边形，④菱形的直观图中对角线不再垂直，所以不再是菱形．
答案：A
4．下列图形：①点；②线段；③三角形；④四边形．其中，可以是三角形的平行投影的所有序号为________．
解析：三角形的平行投影可以是线段，也可以是三角形，不能是点和四边形．
答案：②③
5．若线段AB平行于投影面，O是AB上一点，且AO∶OB＝m∶n，则点O的平行投影点O′分线段AB的平行投影线段A′B′的长度之比是________．
解析：由平行投影的性质知A′O′∶O′B′＝AO∶OB＝m∶n.
答案：m∶n
6．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．
解：作法：(1)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴交x′轴于D′，在图②中取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；
(3)连接AB、BC，擦去辅助线得图③.
则△ABC即为△A′B′C′的原图形．
一、选择题
1．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是 ( )
A．内心的平行投影还是内心
B．重心的平行投影还是重心
C．垂心的平行投影还是垂心
D．外心的平行投影还是外心
解析：三角形的重心是三条中线的交点，三角形平行投影后各边的中点位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的重心．
答案：B
2．(2011·枣庄高一检测)如图，为水平放置的△OAB的直观图，由图判断原三角形中AB、OB、BD、OD由小到大的顺序为 ( )
A．OD
B．ODC．ODD．OB解析：根据斜二测画法的规则，原△OAB中，OD＝2，BD＝4，AB＝，OB＝2.故OD答案：C
3．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则原图中AB边上中线的实际长度为 ( )
A. B．5
C. D.
解析：由直观图可知，△ABC为∠C为直角的直角三角形；AB边上的中线长为CD＝AB，即CD＝.
答案：A
4．下列说法中正确的个数是 ( )
①不等边三角形的水平放置的直观图一定是不等边三角形；②画出菱形的直观图的两条对角线，其在直观图中仍然互相垂直；③直角梯形的直观图可能是等腰梯形；④一个直角三角形的内角是60°，则画出其直观图后可能是等边三角形；⑤一个平行四边形的直观图中其对角线可能不再平分．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：根据斜二测画法的规则进行判断．①②④⑤错，只有③正确．
答案：A
二、填空题
5．(2010·枣庄高一检测)如图，用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，A′B′∥y′，原三角形的形状是________，它的面积为________．
解析：斜二测画法的规则是：位置特征与度量特征为“横长不变，纵长减半，平行位置不变”，△ABC中，C＝90°，AB＝4，AB边上的高为2，△ABC为等腰直角三角形，面积为4面积单位．
答案：等腰直角三角形 4
6．下列说法中：
①角的水平放置直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③两条相交直线的直观图可能平行；
④直角的直观图一定是45°.
其中正确的是________．
解析：①中，角在直观图中仍是角，只不过是大小变了；②中相等的角不一定相等；③相交直线的直观图仍然相交；④直角的直观图可能不是45°.
答案：①
7．矩形的直观图一定是________．
解析：因为矩形的邻边垂直，所以直观图中成45°角，平行边仍然平行，因此为有一个角为45°的平行四边形．
答案：平行四边形
8．如图，在直角坐标系xOy中，水平放置的正方形ABCO，点B的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
解析：由斜二测画法，画出直观图，如图．作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝1，∠B′C′E＝45°，B′E＝B′C′sin45°＝1×＝.
答案：
三、解答题
9．画出如图所示的四边形OABC的直观图(图中数据已经给出)．
解：(1)在原图形中以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，另选一平面画直观图，先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°(如图①)．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB＝4，O′D＝OD＝3，在y′轴上截取O′C′＝OC＝1，过D′作D′A′∥y′轴，并截取D′A′＝DA＝1.
(3)连接O′A′，A′B′，B′C′，擦去辅助线即可得到四边形OABC的直观图(如图②)．
10．用斜二测画法画长、宽、高分别是4、3、2的长方体的直观图．
解：(1)画轴．如图画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4；在y轴上取线段PQ，使PQ＝.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′、BB′、CC′、DD′，使AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
1．对几何体的三视图，下列说法正确的是 ( )
A．主视图反映物体的长和宽
B．俯视图反映物体的长和高
C．左视图反映物体的高和宽
D．主视图反映物体的高和宽
解析：主视图反映物体的长与高，俯视图反映物体的长与宽．
答案：C
2．(2011·江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 ( )
解析：被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图．
答案：D
3．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是 ( )
A．球体 B．圆锥
C．圆柱 D．长方体
解析：长方体在任一方向上的投影都不是圆．
答案：D
4．正视图为一个三角形的几何体可以是__________．(写出三种)
解析：由几何体的三视图可知，正视图为三角形的可以是三棱锥、圆锥、四棱锥等．
答案：三棱锥、圆锥、四棱锥(不唯一)
5．图中三视图所表示物体的形状为________．
答案：圆柱
6．根据图中(1)(2)(3)所示的几何体的三视图，想象其实物模型，画出其对应的直观图．
解：三视图对应的几何体如图所示．
一、选择题
1．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 ( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱台 D．三棱台
解析：由所给三视图及其直观图的关系，可以判定对应的几何体是四棱锥．
答案：B
2．(2010·课标全国卷)在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为 ( )
解析：通过主视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故左视图为D.
答案：D
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( )
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
解析：①的三个视图都是相同的，都是正方形；②的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同；③的三个视图都不一定相同；④的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同．
答案：D
4．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为 ( )
A．2,2 B．2，
C．4,2 D．2,4
解析：左视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸2为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.
答案：D
二、填空题
5．如图所示的三视图代表的立体图形是________．
解析：由三视图可知，立体图形是正六棱锥．
答案：正六棱锥
6．如图是由小正方体组成的几何图形的三视图，则组成它的小正方体的个数是________．
解析：由三视图我们可以得出该几何体的直观图，如图所示．
答案：5
7．如右图所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1与面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影(即正投影)可能是________(要求：把可能的图的序号都填上)．
解析：正方体的上下两面平行，因此四边形BFD1E在上下两面的射影相同，同理在前后、左右两面的射影也分别相同，只需画出其在前、左、下面的射影即可．
先考虑四边形BFD1E在下面的射影：B的射影仍是B，F的射影是BC的中点F1，E的射影是AD的中点E1，D1的射影是D，因此射影就是图②.同理，在前面的射影也是图②，而在左面的射影是一条线段，即图③.所以应填②③.
答案：②③
8．桌上放着一个长方体和圆柱(如图所示)，说出下列三幅图分别是什么图(主视图，左视图或俯视图)
(1)________；(2)________；
(3)________．
解析：由给出的两个几何体的结构特征，结合三幅图的视图特点，可得出结论．
答案：(1)俯视图 (2)主视图 (3)左视图
三、解答题
9．(2011·湛江高一检测)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，求此三棱柱的左视图面积．
解：据实物图及题意可作左视图如图：
其中一边长与侧棱长相等，另一边长与底面三角形的高相等，
∴面积S＝2×(2sin60°)＝2.
10．画出如图所示物体的三视图．
解：此几何体是由两个圆柱镶嵌而成的，主视图反映两个圆柱的侧面；左视图反映上面圆柱的侧面和底面圆柱的底面；俯视图反映上面圆柱的底面和底面圆柱的侧面，其三视图如图所示．
1．若球O1、O2表面积之比S1∶S2＝1∶4，则它们的直径之比R1∶R2＝ ( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：球的表面积公式为S＝4πR2，
所以球的面积之比等于半径(或直径)的比的平方．
答案：B
2．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积等于 ( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
解析：侧棱长为 ＝a，
斜高为 ＝，
∴S侧＝×3×a×＝a2.
答案：A
3．(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．48 B．32＋8
C．48＋8 D．80
解析：由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以该直四棱柱的表面积为S＝2××(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2××4＝48＋8.
答案：C
4．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________．
解析：此四面体的一个面的面积为，
∴它的表面积为4×＝.
答案：
5．(2011·上海高考)若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．
解析：由圆锥的主视图是边长为3,3,2的三角形可知此圆锥的母线长为3，底面半径为1，再由圆锥的侧面积公式得S圆锥侧＝πrl＝3π.
答案：3π
6．如图是一建筑物的三视图，现将其外壁用油漆刷一遍，将三视图还原为直观图．已知每平方米用漆0.2千克，问需要油漆多少千克？(尺寸如图，单位：米，π取3.14，结果精确到0.01千克)
解：建筑物为一组合体，上面是底面半径为3米，母线长为5米的圆锥，下面是底面边长为3米，高为4米的正四棱柱．
圆锥的表面积＝πr2＋πrl≈3.14×32＋3.14×3×5
＝28.26＋47.1＝75.36.
四棱柱的一个底面积＝32＝9，
四棱柱的侧面积＝4×4×3＝48.
所以外壁面积S＝75.36－9＋48＝114.36(平方米)．
故需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.88(千克)．
答：共需约22.88千克油漆．
一、选择题
1．若圆锥的主视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的 ( )
A.倍 B．3倍
C．2倍 D．5倍
解析：设圆锥的底面半径为r，因三视图为正三角形，所以母线长为2r，∴S侧＝×2πr×2r＝2πr2，∴侧面积是底面积的2倍．
答案：C
2．长方体一个顶点上三条棱的长分别为3,4,5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ( )
A．20π B．25π
C．50π D．200π
解析：球的直径即为长方体的体对角线长，
即2R＝＝5，所以R＝.
故S球＝4πR2＝4π·()2＝50π.
答案：C
3．(2011·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 ( )
A．32 B．16＋16
C．48 D．16＋32
解析：该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为2，故其表面积是4×4＋4××4×2＝16＋16.
答案：B
4．正四棱柱的对角线长是9 cm，全面积是144 cm2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为c，由题意，得
2a2＋4ac＝144，即a2＋2ac＝72①
2a2＋c2＝81②
②×8－①×9得7a2－18ac＋8c2＝0，即
(7a－4c)(a－2c)＝0，
因此7a＝4c或a＝2c.
由此可见由①②构成的方程组有两组满足条件的解，故正确答案选C.
答案：C
二、填空题
5．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么它的侧面积是________．
解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则πr2＝S，
∴r＝＝.
又∵侧面展开图为正方形，则2π＝h，
即h＝2.
∴S侧＝2πrh＝2π××2＝4πS.
答案：4πS
6．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．
解析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的下底面与圆柱的底面重合如图所示：
∴S表面积＝S上部圆锥侧面积＋
S下部圆柱侧面积＋S圆柱底面积＝·2πa·a＋2π·2a2＋πa2＝(5＋)πa2.
答案：(5＋)πa2
7．正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a，则其表面积是________．
解析：底面边长为a，则侧棱长为a，
S表＝a2＋3··a·a＝.
答案：a2
8．(2010·湛江高一检测)如图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为________．
解析：此几何体是一个组合体，下半部分是直四棱柱，上半部分是半圆柱，其轴截面的大小与四棱柱的上底面大小一致．设表面积为S，则S＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π.
答案：(176＋20π) cm2
三、解答题
9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求该几何体的侧面积S.
解：由已知可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V－ABCD.
该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝ ＝4，
另两个侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，
且AB边上的高为h2＝ ＝5，
因此S＝2×(×6×4＋×8×5)＝40＋24.
10．正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，全面积为512 cm2，求底面的边长．
解：如图，设上底面边长为x cm，则下底面边长为(x＋10) cm.
9在Rt△E1FE中，
EF＝＝5(cm)．
∵E1F＝12 cm，
∴斜高E1E＝13 cm.
∴S侧＝4×(x＋x＋10)×13＝52(x＋5)．
S全＝52(x＋5)＋x2＋(x＋10)2＝2x2＋72x＋360.
∵S全＝512 cm2，∴2x2＋72x＋360＝512，
∴x2＋36x－76＝0，
解得x1＝－38(舍去)，x2＝2，
∴x2＋10＝12.
∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm,12 cm.
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为 ( )
A.π B.
C．8π D.π
解析：所得截面圆的半径r＝1，因此球的半径R＝＝，球的体积为πR3＝π.
答案：D
2．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是 ( )
A．9π B．9
C．3π D．3
解析：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3.
设圆锥的高为h，则h＝＝，
∴V圆锥＝πr2h＝3π.
答案：C
3．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 ( )
A．32 B．28
C．24 D．20
解析：S上＝6，S下＝24
∴V＝(6＋24＋)×2＝28.
答案：B
4．圆台上下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积为________．
解析：设圆台的母线为l，由于圆台的上、下底面积分别为π、4π，则上、下底面的半径分别为1、2，又侧面积为6π，得π(1＋2)l＝6π，∴l＝2，
∴圆台的高h＝＝.
圆台的体积为V＝π×h(r2＋rr′＋r′2)．
＝π×(12＋1×2＋22)＝π.
答案：π
5．两个半径为1的铁球熔铸成一个球，则此球的半径为________．
解析：两个半径为1的球的体积为2××13＝，
设所求大球的半径为R，
则πR3＝，∴R＝.
答案：
6．一个空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．
解：该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.
一、选择题
1．圆台的上、下底面半径和高的比是1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为( )
A．672π B．224π
C．100π D.π
解析：设上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.
∴(3r)2＋(4r)2＝102，∴r＝2，
∴V圆台＝224π.
答案：B
2．将正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个角后得到一个正四面体BDA1C1，这个四面体的体积是正方体体积的 ( )
A. B.
C. D.
解析：设正方体的棱长为a，则每个角的体积
V＝××a2×a＝a3，
∴剩余的四面体体积VBDA1C1＝a3＝V正．
答案：B
3．(2011·临沂高一检测)半径为r的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 ( )
A.πr2 B.πr3
C.πr3 D.πr3
解析：如图，设卷成的圆锥的高为h，底面半径为R，则2πR＝πr，
∴r＝2R，h＝＝R，
∴V＝πR2·h＝R3＝()3＝πr3.
答案：C
4．(2011·辽宁高考)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是
( )
A．4 B．2
C．2 D.
解析：设正三棱柱底面边长为a，利用体积为2，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为，故所求矩形的面积为2.
答案：B
二、填空题
5．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________ cm.
解析：由三视图可知，棱锥的三条长分别为5,6，h的侧棱两两垂直，故××5×6×h＝20，h＝4.
答案：4
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．
解析：由三视图可知本题的几何体是：
下面是一个正四棱柱，上面是一个正四棱锥．
于是可以得到体积是1×2＋×2×2×1＝.
答案：
7．设矩形边长分别为a，b(a>b)，将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱筒，以其为侧面的圆柱的体积分别为Va和Vb，则Va________Vb.
解析：设高为a、b时，圆柱的底面半径分别为ra、rb，
则2πra＝b,2πrb＝a，
∴ra＝，rb＝.
Va＝πr·a＝，Vb＝.
∵a>b，∴Vb>Va.
答案：<
8．(2011·课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
解析：设球心为O1，半径为r1，圆锥底面圆圆心为O2，半径为r2，则有×4πr＝πr，即r2＝r1，所以O1O2＝＝，
设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h1、h2，则＝＝.
答案：
三、解答题
9．若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A－BEFC的体积．
解：如图所示，
连接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，
∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．
又四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等，
∴VA－BEFC＝VA－B1EFC1＝VA－BB1C1C.
又VA－A1B1C1＝S△A1B1C1·h，VABC－A1B1C1＝m，
∴VA－A1B1C1＝，
∴VA－BB1C1C＝V ABC－A1B1C1－V ABC－A1B1C1＝m，
∴VA－BEFC＝×m＝，
即四棱锥A－BEFC的体积是.
10．如图所示，是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几cm？
解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．
因为圆锥形铅锤的体积为
×π×()2×20＝60π(cm3)．
设水面下降的高度为x，
则小圆柱的体积为π×102×x＝100πx(cm3)．
所以60π＝100πx，解得x＝0.6 cm.
则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.
1．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为 ( )
A．P?l?α B．P∈l∈α
C．P?l∈α D．P∈l?α
解析：点P在直线l上，P∈l，l在平面α内，l?α.
答案：D
2．空间可以确定一个平面的条件是 ( )
A．两条直线 B．一点和一直线
C．一个三角形 D．三个点
解析：因为三角形的三个顶点不在同一条直线上，所以可以确定一个平面；A必须是两条相交或平行直线；B必须是点不在直线上；D必须是三点不在同一条直线上．
答案：C
3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则 ( )
A．a∥c B．a、c是异面直线
C．a、c相交 D．a、c或平行或相交或异面
解析：异面直线没有传递性，a，c都与b异面时，a，c既可平行，相交，也可异面．
答案：D
4．用符号语言表示下列语句：
(1)点A在面α内但在β外：________.
(2)直线a经过面α内一点A，α外一点B：________.
(3)直线a在面α内也在面β内：________.
答案：(1)A∈α，A?β (2)A∈a，A∈α，B?α，B∈a
(3)α∩β＝a
5．若A∈α，B?α，C?α，则平面ABC与平面α的关系是________，依据为__________________．
解析：∵A∈α，∴面ABC与α一定相交，依据是若两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线，即基本性质3.
答案：相交 基本性质3
6．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．
证明：∵E∈AB，H∈AD，
∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.
∴EH?平面ABD.
∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.
同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，
∴O∈BD，即B、D、O三点共线．
一、选择题
1．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条 ( )
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．平行
解析：如图①中a∥b，a、c异面，b，c为相交直线，图②中a∥b，a、c异面，b、c也为异面直线．
答案：C
2．下列叙述中，正确的是 ( )
A．因为P∈α，Q∈α，所以PQ∈α
B．因为P∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ
C．因为AB?α，C∈AB，D∈AB，所以CD∈α
D．因为AB?α，AB?β，所以A∈(α∩β)且B∈(α∩β)
解析：对于A项，PQ?α；对于B项，α∩β不一定为PQ；对于C项，CD?α.
答案：D
3．(2012·郑州高一检测)给出下列说法：(设α、β表示平面，l表示直线，A、B、C表示点)
(1)若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，则l?α；
(2)A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；
(3)A?l，l?α，则A?α
则正确的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：由平面基本性质1知(1)正确．
由平面基本性质3知(2)正确．
由图可知(3)不正确．
答案：B
4．下列命题中，不正确的是 ( )
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于直线l，且A在l上
D．两条直线不能确定一个平面
解析：A中，两个平面有一个公共点，则两个平面相交，故A正确；B中，若其中三点共线，则四个点共面，故B正确；C正确；D中，当两条直线相交或平行时，可以确定一个平面，故D错误．
答案：D
二、填空题
5．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②一个锐角一定是平面图形；
③在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
解析：命题①是错误的．因为两平面相交必交于一直线且若两平面有不在同一直线上的三个公共点，两平面必重合；
命题②是正确的．因为锐角的两边必相交，而相交直线确定一平面，故角为平面图形；
命题③是错误的．两两相交的三直线可能相交于一点，此时三直线未必共面．
答案：②
6．已知α∩β＝l，A∈l，B?l，B∈α，C?l，C∈β，则平面ABC∩α＝________，平面ABC∩β＝________，平面ABC∩l＝________.
解析：如图所示，∵A∈l，α∩β＝l，
∴A∈α且A∈β，
又∵B?l，B∈α，∴AB?α，
∵C?l，C∈β，∴AC?β，
∴平面ABC∩α＝AB，
平面ABC∩β＝AC，平面ABC∩l＝A.
答案：AB AC A
7．如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．如果EF∩GH＝Q，那么点Q在________上．
解析：若EF∩GH＝Q，
则Q∈平面ABC，Q∈平面ACD.
而平面ABC∩平面ACD＝AC，∴Q∈AC.
答案：直线AC
8．有下面几个说法：
①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；
⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．
其中正确的序号是________．(把你认为正确的序号都填上)
解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四边的两个端点也在这个平面内，所以第四边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．
答案：③④
三、解答题
9．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．
解：在平面A1ADD1内延长D1F，
∵D1F与DA不平行，
∴D1F与DA必相交于一点，
设为P，则P∈FD1，P∈DA.
又∵FD1?平面BED1F，
AD?平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
∴连接PB，则直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．
10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．
证明：连接A1C1，
∵C1∈平面A1ACC1，
且C1∈平面DBC1，
∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．
又∵M∈AC，
∴M∈平面A1ACC1.
∵M∈BD，∴M∈平面DBC1.
∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．
∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．
∵O为A1C与截面DBC1的交点，
∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，
即O也是两平面的公共点．
∴O∈C1M.即C1，O，M三点共线．
1．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么，∠AOB和∠A1O1B1 ( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．大小无关
解析：因为角的方向不定，所以∠AOB与∠A1O1B1相等或互补．
答案：C
2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是 ( )
A．OB∥O1B1，且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析：符合题意的两角中OB与O1B1相交或平行或异面．
答案：D
3．(2011·四川高考)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．
答案：B
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．
(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，
所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．
(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．
答案：∠D1B1C1 ∠B1D1A1
5．a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；
③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．
则上述说法中正确的有________(仅填序号)．
解析：由基本性质4知①正确．
若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误；
若平面α∩β＝l，a?α，b?β，a∥l，b∥l，
则a∥b，③错误．
答案：①
6．已知E、E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点，求证：E1E∥B1B.
证明：∵E1、E分别为A1D1和AD的中点，
∴A1E1∥AE且A1E1＝AE，
∴四边形A1E1EA是平行四边形，
∴E1E∥A1A.
又A1A∥B1B，
∴E1E∥BB1.
一、选择题
1．空间两条互相平行的直线指的是 ( )
A．在空间没有公共点的两条直线
B．分别在两个平面内的两条直线
C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β为 ( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
解析：∵α与β两边对应平行，但方向不一定．
∴α与β相等或互补．
答案：D
3．若直线a、b与直线l相交且所成的角相等，则a，b的位置关系是 ( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．三种关系都有可能
答案：D
4．异面直线a、b，有a?α，b?β且α∩β＝c，则直线c与a、b的关系是 ( )
A．c与a、b都相交
B．c与a、b都不相交
C．c至多与a、b中的一条相交
D．c至少与a、b中的一条相交
解析：若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.
又c与b都在β内，∴b∥c.
由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
答案：D
二、填空题
5．已知E、F、G、H为空间中的四个点，且E、F、G、H不共面，则直线EF和GH的位置关系是______．
解析：假设平行或相交，则E、F、G、H共面，不正确．
答案：异面
6．四条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线________时，才是一个平面图形．
解析：当两条对角线相交时，四个顶点在同一个平面内，是平面图形；当两条对角线不相交时，四个顶点不在同一个平面内，不是平面图形．
答案：相交
7．如图，夹在两平行平面间的两条线段AB、CD交于点O，已知AO＝4，BO＝2，C＝9，则线段CO、DO的长分别为________、________.
解析：∵AB、CD相交于O点，∴AC、BD共面．
又AC与BD不相交，∴AC∥BD.
∴＝，又DC＝9，AO＝4，BO＝2，
∴CO＝6，DO＝3.
答案：6 3
8．如图，E，F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点，G、H分别是CD与AD上靠近D点的三等分点．则EF与GH的位置关系是________．
解析：连接AC，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，
所以EF綊AC，在△DAC中
∵H，G分别为DA，DC的三等分点，
∴HG綊AC，∴EF∥HG.
答案：平行
三、解答题
9．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD与C′D′的位置重合，G、H分别为AD′和BC′的中点，
求证：四边形EFGH为平行四边形．
证明：梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC、AD的中点，
∴EF∥AB，EF∥DC，且EF＝(AB＋CD)，
∴C′D′∥EF，∴C′D′∥AB，
∵G、H分别为AD′、BC′的中点，
∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)
＝(AB＋CD)，
∴GH綊EF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
10．如图所示，两个三角形△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且＝＝＝.
(1)证明：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；
(2)求的值．
解：(1)证明：∵AA′与BB′相交于O点，
且＝.∴AB∥A′B′.
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)∵AB∥A′B′，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′的方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
因此△ABC∽△A′B′C′，
又＝＝.
∴＝()2＝.
1．设直线a与平面α平行，则必有 ( )
A．在α内不存在与a平行的直线
B．在α内存在与a平行的唯一直线
C．在α内有无数条直线与a平行
D．在α内仅有一条直线与a是异面直线
解析：直线a与平面α平行，则过这条直线有无数个平面与已知平面相交，交线与直线a平行，故选项C正确；在平面α内有无数条直线与a是异面直线．
答案：C
2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作 ( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
解析：当这两点连线与该面相交时，这时作不出符合题意的平面，当这两点连线与该面平行时可以作惟一的一个符合题意的平面．
答案：C
3．平面α与平面β平行的条件可以是 ( )
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β且直线a不在α内，也不在β内
C．直线a?α，直线b?β且a∥β，b∥α
D．α内的任意直线都与β平行
解析：如图，α内所有平行交线l的直线都平行于β，故排除A；
若a∥l，且a?α，a?β，则a∥α，a∥β，故排除B；
若a?α，a∥l，b?β，b∥l，
则有a∥β，b∥α，排除C.
答案：D
4．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是________．
①平面E1FG1与平面EGH1
②平面FHG1与平面F1H1G
③平面F1H1H与平面FHE1
④平面E1HG1与平面EH1G
解析：画出相应的截面如图所示，即可得答案．
答案：①
5．如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
解析：A?a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.
因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，
所以a∥EG，即BD∥EG.
所以＝，又＝，所以＝.
于是EG＝＝＝.
答案：
6．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥平面PAD.
证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥MO，而AP?平面BDM，OM?平面BDM.
∴PA∥平面BMD，
又∵PA?平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
又PA?平面PAD，GH?平面PAD，
∴GH∥平面PAD.
一、选择题
1．α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可以判定α∥β的是 ( )
A．a∥α，a∥β
B．α有三个不共线的点到β的距离相等
C．l?α，m?α且l∥β，m∥β
D．m、l为异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
解析：对于A、B，α与β可能相交，C没有m与l相交这个条件．
答案：D
2．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不能确定
解析：如图：由＝，得AC∥EF，EF?平面DEF，AC?平面DEF，
∴AC∥面DEF.
答案：A
3．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α、β内运动时，那么所有的动点C ( )
A．不共面
B．当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动都共面
解析：根据平行平面的性质，不论A、B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上．
答案：D
4．(2012·湛江高一检测)正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1与CC1的中点，则经过P、B、Q三点的截面是 ( )
A．邻边不相等的平行四边形
B．菱形但不是正方形
C．矩形
D．正方形
解析：设经过P、B、Q三点的截面为平面γ，由平面ABB1A1∥平面DCC1D1知，平面γ与两平面的交线平行．连D1Q，D1P，取D1D中点M，连CM，可证得D1Q綊MC，MC綊BP，所以D1Q綊BP，同理BQ綊PD1，
故四边形BQD1P为所求截面．
由条件可得四边形BQD1P中，
BQ＝QD1＝D1P＝PB，但PQ≠BD1，
所以截面四边形为菱形，但不是正方形．
答案：B
二、填空题
5．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②PA∥平面BDG；
③直线EF∥平面PBC；
④FH∥平面BDG；
⑤EF∥平面BDG；
其中正确结论的序号是________．
解析：①∵FG∥DC，EF∥AD，
又FG∩EF＝F，AD∩DC＝D，
∴面EFGH∥面ABCD.
②连BD、AC交于点O，
易得GO∥AP，
则AP∥面BDG.(AP?面BDG，GO?BDG)．
③EF∥AD、AD∥BC，∴EF∥BC，面EF?面PBC，BC?面PBC，∴EF∥面PBC.
④易证FH∥BD，而FH?面BGD，BD?面BDG，
∴FH∥面BDG.
⑤不成立．
答案：①②③④
6．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
解析：由D、E、F分别是SA，SB，SC的中点知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.
又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
同理DE∥平面ABC.
∵EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面ABC.
答案：平行
7．若直线a，b为异面直线，则分别经过直线a，b的平面中，相互平行的有且仅有________对．
解析：如图，a，b为异面直线，过b上一点作a′∥a，直线a′，b确定一个平面β，过a上一点作b′∥b，b与b′确定一个平面α，则α∥β.因为α，β是唯一的，所以相互平行的平面仅有一对．
答案：一
8．(2012·洛阳高一检测)平面α∥平面β，过平面α、β外一点P引直线PAB分别交α、β于A、B两点，PA＝6，AB＝2，引直线PCD分别交α、β于C、D两点，已知BD＝12，则AC的长等于________．
解析：本题应分点P在平面α、β之间和P在平面α，β外两种情况讨论，但根据条件可知点P在平面α，β之间的情况不成立．如图，
由α∥β及平面PBD∩α＝AC，
平面PBD∩β＝BD知AC∥BD，
故△PAC∽△PBD，
∴＝，即＝，
∴AC＝9.
答案：9
三、解答题
9．如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在AC、BC、BD、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)点E在什么位置时，四边形EFGH的面积最大？
解：(1)证明：∵CD∥平面EFGH，平面DCB∩平面EFGH＝GF，平面DCA∩平面EFGH＝HE，
∴CD∥EH，CD∥GF，∴GF∥EH.
同理EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形．
又∵AB⊥CD，∴HE⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形．
(2)设CE＝x，AC＝1，∵FE∥AB，
∴＝，FE＝xAB＝xb.
同理，EH＝(1－x)DC＝(1－x)a，
∴S矩形EFGH＝HE·EF＝x(1－x)ab
＝ab.
当且仅当x＝时，S最大，即当E为AC中点时，四边形EFGH的面积最大．
10．如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：
(1)GE∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明：(1)过G作GM∥B1C1交B1D1于M，连接BM.
由于G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1的中点，且GM∥B1C1，
所以M为B1D1的中点，
GM＝B1C1.
又E为BC的中点，
BE∥B1C1，BE＝B1C1，
所以GM∥BE，GM＝BE，
故四边形BEGM是平行四边形，
即GE∥BM.
又BM?平面BB1D1D，GE?平面BB1D1D.
∴GE∥平面BB1D1D.
(2)∵BB1綊DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形，∴BD∥B1D1.
又BD?平面B1D1H，B1D1?平面B1D1H，
∴BD∥平面B1D1H.
取DD1中点N，连接AN，
则易得D1H∥AN，BF∥AN
∴D1H∥BF.
又BF?平面B1D1H，D1H?平面B1D1H，
∴BF∥平面B1D1H.∵BD∩BF＝B，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
1．a∥α，b∥α，则a与b的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交或异面
C．异面 D．相交、平行或异面
答案：D
2．(2011·浙江高考)若直线l不平行于平面α，且l?α，则 ( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l?α，故l∥α，这与题意矛盾．
答案：B
3．已知△ABC、△DBC分别在平面α、β内，E∈AB，F∈AC，M∈DB，N∈DC，且EF∥MN，则EF与BC的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交或平行
C．平行或异面 D．平行或异面或相交
解析：如图所示，
∵EF∥MN，EF?平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
又EF?平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴EF∥BC.
答案：A
4．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________．
解析：因为a∥α，∴a与面α没有公共点，
若b?α，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能．
∴b∥α或b与α相交．
答案：b∥α或b与α相交
5．如图，ABCD－A1B1C1D1是正方体，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是__________．
解析：∵AC∥A1C1，A1C1?平面A1B1C1D1，AC?平面A1B1C1D1，
∴AC∥平面A1B1C1D1，
又AC?平面AB1C，平面AB1C∩平面A1B1C1D1＝l，
∴AC∥l.
答案：AC∥l
6．已知三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为A1B1，BC的中点，
求证：MN∥平面AA1C1C.
证明：取A1C1的中点E，连接ME，CE，
∵M，E分别为A1B1，A1C1的中点，
∴ME綊B1C1，
∵N是BC的中点
∴NC綊B1C1，
∴ME綊NC.
∴四边形MECN为平行四边形，∴MN綊CE .
又MN?平面ACC1A1，CE?平面ACC1A1，
∴MN∥平面ACC1A1.
一、选择题
1．已知直线l∥平面α，则l与平面α内的直线的位置关系为 ( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．异面或平行
解析：∵l∥α，∴直线l与平面α内任何直线无公共点，即l与α内的直线平行或异面．
答案：D
2．(2011·龙门高一检测)若a与b是两条异面直线，那么在经过b的所有平面中( )
A．只有一个平面与a平行
B．有无数个平面与a平行
C．没有平面与a平行
D．有且只有二个平面与a平行
解析：在直线b上任取一点P，过点P作直线a′∥a，则a′与b确定一个平面α，显然a?α，故经过b与a平行的平面只有一个．
答案：A
3．(2011·浙江师大附中检测)如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那这条直线与另一个平面的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．平行或在平面内
解析：由题意可知，这条直线可能在另一个平面内，也可能与另一个平面平行．
答案：D
4．(2012·开封高一检测)若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是 ( )
A．MN∥β
B．MN与β相交或MN?β
C．MN∥β或MN?β
D．MN∥β或MN与β相交或MN?β
解析：当平面β与平面ABC重合时，有MN?β；
当平面β与平面ABC不重合时，
则β∩平面ABC＝BC.
∵M、N分别为AB、AC的中点，
∴MN∥BC.
又MN?β，BC?β，∴MN∥β.
综上有MN∥β或MN?β.
答案：C
二、填空题
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A、E、C的平面的位置关系是________．
解析：如图所示，在△DBD1中，OE∥BD1.
∵OE?平面AEC，BD1?平面AEC.
∴BD1∥平面AEC.
答案：平行
6．在四面体A－BCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
解析：如图，取CD的中点E.
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
∴MN∥AB.
∴MN∥面ABD、MN∥面ABC.
答案：面ABD与面ABC
7．(2011·福建高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：因为直线EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因为在E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝AC，又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝.
答案：
8．如图，已知空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是其四边上的点且共面，AC∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，＝________.
解析：∵AC∥平面EFGH，AC?平面ABC，
平面ABC∩平面EFGH＝EF，
∴AC∥EF，
∴＝.①
由四边形EFGH是菱形知EH∥FG，
EH?平面BCD，FG?平面BCD，
∴EH∥平面BCD.
而EH?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴EH∥BD，∴＝.②
由EF＝EH，AC＝m，BD＝n，
②÷①得：＝.
答案：
三、解答题
9．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.设E是DC的中点，求证D1E∥平面A1BD.
证明：连接BE，则四边形DABE为正方形，
∴BE＝AD＝A1D1，
且BE∥AD∥A1D1，
∴四边形A1D1EB为平行四边形，
∴D1E∥A1B，
又D1E?平面A1BD，
A1B?平面A1BD，
∴D1E∥平面A1BD.
10．一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？
解：在平面VAC内经过点P作EF∥AC，且与VA的交点为E，与VC的交点为F，
在平面VAB内经过点E作EH∥VB，与AB交于点H，如图所示．
在平面VBC内，
经过点F作FG∥VB，
与BC交于点G，连接GH，则EF、FG、GH、HE为截面与木块各面的交线．
证明如下：∵EH∥VB，FG∥VB，
∴EH∥FG，可知E、H、G、F四点共面．
∵VB?平面EFGH，EH?平面EFGH，
∴VB∥平面EFGH.
同理可证AC∥平面EFGH.
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是
( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
解析：由线面垂直的判定定理知直线垂直于三角形所在的平面．
答案：B
2．如果直线l和平面α内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是 ( )
A．l?α B．l⊥α
C．l∥α D．以上都有可能
解析：若直线l和平面α内的两条平行线垂直，那么该直线与平面的位置不确定，即l?α，l⊥α，l∥α都有可能．
答案：D
3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD的中点，H是EF的中点．现沿AE、AF、EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是 ( )
A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFG
C．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF
解析：∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，
∴AG⊥平面EFG.
答案：A
4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是________．
解析：因为C1C⊥BC，MN⊥BC，且MN，CC1都在面BCC1B1内，所以C1C∥MN，因为C1C⊥面AC，所以MN⊥面AC，∴MN⊥AB.
答案：垂直
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为________．
解析：由PA⊥面ABC，
得PA⊥AB，PA⊥AC.
∴△PAB，△PAC都是Rt△且PA⊥BC，
又AC⊥BC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC.
△PBC是Rt△，△ABC是Rt△.
答案：4
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.
证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设其棱长为2a，
因为B1B⊥平面AC，且AC?平面AC，
所以B1B⊥AC.
又O是正方形ABCD的中心，所以AC⊥BD，
所以AC⊥平面B1BO.
而B1O?平面B1BO，所以B1O⊥AC.
又PO2＋OB＝3a2＋6a2＝9a2，
PD＋B1D＝a2＋8a2＝9a2，
PB＝PD＋B1D，
所以PO2＋OB＝PB.
所以B1O⊥PO.
又PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC.
一、选择题
1．(2011·洛阳高一检测)设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列说法中错误的是
( )
A．若a∥α，且a∥b，则b?α或b∥α
B．若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥β
C．若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥b
D．若a⊥b，且a∥α，则b⊥α
解析：易判断A正确；对于B，由a∥b，b⊥β知a⊥β，又a⊥α，故α∥β，从而B正确；C中，由α∥β，a⊥α知a⊥β，又b⊥β，故a∥b，从而C正确；而D中由a⊥b，a∥α知b与α可能垂直，也可能相交而不垂直，也可能平行或在平面内．
答案：D
2．已知l与m是两条不同的直线，若直线l⊥平面α，有以下命题：
①若直线m⊥l，则m∥α；
②若m⊥α，则m∥l；
③若m?α，则m⊥l；
④若m∥l，则m⊥α.
上述判断正确的是 ( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．②④
解析：①若直线m⊥l，则m∥α或m?α，故①不正确；②若m⊥α，则m∥l正确；③若m?α，则m⊥l正确；④若m∥l，则m⊥α正确．
答案：B
3．(2010·湖北高考)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是 ( )
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
解析：对于①，由公理“平行于同一直线的两条直线平行”可知，①正确；对于②，如在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD，此时AB平行于CD，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线a，b都平行于平面γ，显然此时直线a，b可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④.
答案：C
4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则E、F满足的条件一定是 ( )
A．CE＝D1F＝
B．CE＋DF＝1
C．BE＋D1F＝1
D．E、F为棱BC、DD1上的任意位置
解析：在面BB1C1C内作BF′∥AF交CC1于F′点．
∵B1E⊥面ABF，
∴B1E⊥AF，
∴B1E⊥BF′，DF＝CF′，
在正方形BB1C1C中，
由B1E⊥BF′得
CE＝C1F′＝1－CF′，
∴CE＋CF′＝1，即CE＋DF＝1.
答案：B
二、填空题
5．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．
解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD.
∵PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，
∴AC⊥BD.
答案：菱形
6．等边三角形ABC的边长为4，DA⊥平面ABC，且DA＝3，则D到BC的距离为________．
解析：如图所示，作AE⊥BC，连接DE，由BC⊥平面DAE可知DE⊥BC，AE＝AB＝2，DE＝＝，
即D到BC的距离为.
答案：
7．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有____个．
解析：如图，当PA⊥面ABCD，ABCD为矩形时，由线面垂直性质可推出△PAB、△PBC、△PCD、△PAD均为直角三角形．
答案：4
8．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m∥n；②α∥β；③m⊥α；④n⊥β.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.
答案：?n⊥β或?m∥n
三、解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，
∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，
∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，
∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，
∴AB⊥面PAD，
∵PD?面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABE.
10．(2011·课标全国卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．
解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得BD＝AD.
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.
(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.
已知PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC.
由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD.故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.
则DE⊥平面PBC.
由PD＝AD＝1知BD＝，PB＝2.
由DE·PB＝PD·BD，得DE＝.
即棱锥D－PBC的高为.
1．在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是锐角三角形，那么必有
( )
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
解析：∵AD⊥BC，BD⊥AD.
又BC∩BD＝B，
∴AD⊥面BCD，∵AD?面ADC，
∴面ADC⊥面BCD.
答案：C
2．如图所示，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是 ( )
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两都垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
解析：由面面垂直的判定定理可以证明．
答案：A
3．若两个平面垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么 ( )
A．直线a垂直于第二个平面
B．直线b垂直于第一个平面
C．直线a不一定垂直于第二个平面
D．过a的平面必垂直于过b的平面
解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中 ，面A1ABB1⊥面ABCD，显然直线AB1⊥直线AD，但AB1不垂直平面ABCD.
答案：C
4.如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
解析：如图，取BC的中点E，
连接ED，AE.
∵AB＝AC，∴AE⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BDC，
∴AE⊥平面BDC，
∴AE⊥ED.
在Rt△ABC和Rt△BCD中，
AE＝ED＝BC＝a，
∴在Rt△AED中，AD＝＝a.
答案：a
5．若两个平面互相垂直，则给出以下四个结论：
①过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内；
②过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于其中一个平面；
③分别在两个平面内的两条直线互相垂直．
其中说法正确的序号是________．
解析：由面面垂直的性质可知①正确，对于②，过交线上一点垂直于交线的直线不一定在其中一个平面内，③易排除．
答案：①
6．如图，四棱锥V－ABCD的底面为矩形，VB⊥平面VAD.
求证：平面VBC⊥平面VAC.
证明：∵VB⊥平面VAD，
∴VB⊥AD，
又AD⊥AB，AB∩VB＝B，
∴AD⊥平面VAB，又AD?平面ABCD，
∴侧面VAB⊥底面ABCD，
又∵BC⊥AB，
∴BC⊥平面VAB(两个平面垂直的性质定理)，
∴BC⊥VA，
∵VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA.
∴VA⊥平面VBC，VA?平面VAC，
∴平面VAC⊥平面VBC.
一、选择题
1．(2010·山东高考)在空间，下列命题正确的是 ( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：A项中平行直线的平行投影不一定重合，有可能平行，B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行、相交，C项中垂直于同一个平面的两个平面可能平行、相交，D项正确．故选D.
答案：D
2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有( )
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析：∵m⊥γ，m?α，l?γ，∴α⊥γ，m⊥l，B错，有可能m?β；C错，有可能m?β；D错，有可能α与β相交．
答案：A
3．如图所示，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是 ( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：由AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点．
∴BE⊥AC、DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE.
∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥BDE.
答案：C
4．如果一个三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面内的射影是底面三角形的( )
A．内心 B．垂心
C．外心 D．重心
解析：三侧面两两垂直，则三条侧棱也两两垂直，
∴PC⊥平面PAB，
∴AB⊥PC，
作PO⊥平面ABC于O，
则AB⊥PO，∴AB⊥平面POC，
∴AB⊥OC，
同理，OB⊥AC，∴O为△ABC的垂心．
答案：B
二、填空题
5．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线．给出以下四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以上四个论断中的三个作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________．
解析：由线面垂直性质定理和判定定理知：α⊥β，m⊥α，n⊥β可推得m⊥n，即：②③④?①.也可以由①③④?②.即m⊥n，m⊥α，n⊥β?α⊥β.本题是一个开放性试题，答案不唯一．
答案：②③④?①或①③④?②
6．如图，直线PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，则在平面PAB、平面PAD、平面PCD、平面PBC及平面ABCD中，互相垂直的有______对．
解析：∵PA⊥面ABCD，
∴面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD.
又∵AB⊥AD，
∴面PAB⊥面PAD.
又∵BC⊥面PAB，CD⊥面PAD，
∴面PAB⊥面PBC，面PAD⊥面PCD.
答案：5
7．已知：平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝________.
解析：如图，连接AD.∵α⊥β，
∴AC⊥β，DB⊥α，
在Rt△ABD中，
AD＝＝
＝.
在Rt△CAD中，
CD＝＝＝13.
答案：13
8．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．
解析：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，
∵平面ABD⊥平面ABC，
又DK⊥AB，
∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.
∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.
容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．
∴t的取值范围是(，1)．
答案：(，1)
三、解答题
9．(2012·临沂高一检测)如图，ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于点K，连接DK.求证：
(1)平面SBC⊥平面KBD；
(2)平面SBC不垂直于平面SDC.
证明：(1)连接AC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，
∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD.
又∵SC⊥BK，∴SC⊥平面KBD.
又SC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD.
(2)假设平面SBC⊥平面SDC.
∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC.
∵DC?平面SDC，∴BK⊥DC，
又AB∥CD，∴BK⊥AB.
∵ABCD是正方形，AB⊥BC，
∴AB⊥平面SBC，又SB?平面SBC，
∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立．
∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.
10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.
(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积．
解：(1)证明：在△ABD中，
由于AD＝4，BD＝8，AB＝4，
所以AD2＋BD2＝AB2.所以AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAD.
又BD?平面MBD，
故平面MBD⊥平面PAD.
(2)如图，过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.
因此PO为四棱锥P－ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，因此PO＝×4＝2.
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，
所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，
此即为梯形ABCD的高，
所以四边形ABCD的面积为S＝×＝24.
故VP－ABCD＝×24×2＝16.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2011·陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为 ( )
A．8－ B．8－
C．8－2π D.
解析：显然圆锥的底面半径为1，高为2，组合体体积为四棱柱体积减去圆锥体积，即V＝22×2－×π×12×2＝8－π.
答案：A
2．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的 ( )
A．2倍 B.倍
C.倍 D.倍
解析：设原三角形的高为h，其直观图的高为×sin45°＝h，因直观图和原三角形的底边长度不变，
故其直观图面积是原三角形面积的倍．
答案：B
3．(2010·福建高考)如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是 ( )
A．EH∥FG
B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱
D．Ω是棱台
解析：根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)．
因此，几何体Ω不是棱台，应选D.
答案：D
4．若直线l与平面α相交，但不垂直，则有 ( )
A．任意平面β，若l?β，都有平面β⊥平面α
B．存在平面β，若l?β，使得平面β⊥平面α
C．任意平面β，若l?β，都有平面β∥平面α
D．存在平面β，若l?β，使得平面β∥平面α
解析：由于直线l与平面α斜交，故不是过直线l的任意平面都与平面α垂直，选项A中的结论不正确；只要过直线l上一点作平面α的垂线m，则直线l，m确定的平面β即与平面α垂直，故选项B中的结论是正确的；由于直线l与平面α存在公共点，故经过直线l的任意平面β都与平面α存在公共点，此时平面α，β不可能平行，故C、D两项中的结论不成立．
答案：B
5．球面上有A，B，C三点，AB＝AC＝2，BC＝2，球心到平面ABC的距离为1，则球的表面积为 ( )
A．4π B．6π
C．12π D．4π
解析：由题意知AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC为直角三角形，故△ABC所在圆的圆心在斜边BC的中点处，则有R2＝12＋()2＝3，所以S球＝4πR2＝4π×3＝12π.
答案：C
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于 ( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
解析：∵BD⊥AC，BD⊥AA1，
∴BD⊥平面AA1C1C，CE?平面AA1C1C，
∴CE⊥BD.
答案：B
7．(2010·浙江高考)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：如图(1)，选项A不正确；如图(2)，选项B正确；如图(3)选项C不正确；如图(4)，选项D不正确．
答案：B
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点．将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为 ( )
A. B.
C. D.
解析：∵AB＝2CD＝2，∠DAB＝60°，E为AB中点，
∴AE＝AD＝DE＝CE＝EB＝BC＝CD＝1，
由题意可知，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则得到一个正四面体P－CDE，棱长为1，设正四面体的外接球的半径为R，则3×2＝4R2，R＝，V＝πR3＝.
答案：C
9．已知直线l，m，平面α，β且l⊥α，m?β，给出下列命题：
①α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵l⊥α，当α∥β时，必有l⊥β.又∵m?β，∴l⊥m，故①正确；若l⊥m，则α∥β或两平面相交，②不正确；若α⊥β，则l∥m或l，m相交，或l，m是异面直线，③不正确；
∵l∥m，l⊥α，∴α⊥β，故④正确．故选B.
答案：B
10．(2010·北京高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积 ( )
A．与x，y都有关 B．与x，y都无关
C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关
解析：三棱锥P－EFQ的体积与点P到平面EFQ的距离和三角形EFQ的面积有关．由图可知，平面EFQ与平面A1B1CD是同一平面，故点P到平面EFQ的距离即是点P到面A1B1CD的距离，且该距离即是点P到线段A1D的距离，此距离只与x有关．因为EF的长度为1，点Q到EF的距离即为线段B1C的长度，所以△EFQ的面积为定值，综上可知所求三棱锥的体积只与x有关，与y无关．
答案：C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．(2011·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，
则该几何体的体积为________m3.
解析：由三视图可知，此几何体的上面是正四棱柱，其长，宽，高分别是2,1,1，此几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是2,1,1，因此该几何体的体积V＝2×1×1＋2×1×1＝4(m3)．
答案：4
12．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，(如图)底面ABCD是正方形，边长为2，PC⊥底面ABCD，高PC＝2，PB＝PD＝2，PA＝＝2，所以最长的棱是PA，长为2.
答案：2
13．等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S球________S正方体．(填“大于、小于或等于”)
解析：设球的半径为R，正方体的棱长为a，
则πR3＝a3，∴a＝ ·R，
∴S正方体＝6a2＝6· 2＝4··R2>4πR2，
即S球答案：小于
14．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是____________(写出所有符合要求的图形的序号)．
解析：①④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN.因此，三棱锥A－PMN是正三棱锥，所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法还可否定③，
∵AM≠AP≠AN，也易否定②.
答案：①④⑤
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥底面是边长为4 cm的正方形，E为BC中点，高为PO，∠OPE＝30°，且侧棱都相等，求该四棱锥的侧面积与表面积．
解：由题意可知PB＝PC，
E为BC中点，∴PE⊥BC.
又∵PO为棱锥的高，
∴PO、PE、OE组成一个Rt△POE，∠POE＝90°，
又∠OPE＝30°，OE＝2 cm，
∴PE＝＝4 cm.
∴S侧＝×BC×PE×4＝32(cm2)，
S表＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．
∴该四棱锥的侧面积为32 cm2，表面积为48 cm2.
16．(本小题满分12分)(2011·福建高考)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
(1)求证：CE⊥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积．
解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，
所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.
又PA∩AD＝A，
所以CE⊥平面PAD.
(2)由(1)可知CE⊥AD.
在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.
又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，
所以四边形ABCE为矩形．
所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△E C D＝AB·AE＋CE·DE＝1×2＋×1×1＝.
又PA⊥平面ABCD，PA＝1，
所以V四棱锥P－ABCD＝S四边形ABCD·PA＝××1＝.
17．(本小题满分12分)(2011·江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因为BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
18．(本小题满分14分)已知某几何体的三视图如图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形，且AA1＝3，设D为AA1的中点．
(1)作出该几何体的直观图并求其体积；
(2)求证：平面BB1C1C⊥平面BDC1；
(3)BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论．
解：(1)由题意可知，该几何体为直三棱柱，其直观图如图所示，
∵几何体的底面积S＝，高h＝3，
∴所求体积V＝3.
(2)证明：连接B1C交BC1于点E，
则E为BC1、B1C的中点，连接DE.
∵AD＝A1D，AB＝A1C1，∠BAD＝∠DA1C1＝90°，
∴△ABD≌△A1C1D，∴BD＝DC1，
∴DE⊥BC1，同理DE⊥B1C.
又∵B1C∩BC1＝E，∴DE⊥面BB1C1C，
又∵DE?面BDC1，∴面BDC1⊥面BB1C1C.
(3)取BC的中点P，连接AP，则AP∥平面BDC1.
证明：连接P E，则P E平行且等于AD，
∴四边形APED为平行四边形，∴AP∥DE，
又ED?平面BDC1，AP?平面BDC1，
∴AP∥平面BDC1.
1．下列说法中正确的是 ( )
A．零向量有确定的方向
B．数轴上等长的向量叫做相等的向量
C．向量的坐标AB＝－BA
D．||＝AB
解析：零向量没有确定的方向，A不正确．向量不但有大小，而且有方向，B不正确．∵||＝|AB|，D不正确，由坐标表示可知AB＝－BA.
答案：C
2．对于数轴上任意三点A、B、O，在如下向量的坐标关系中，不恒成立的是 ( )
A．AB＝OB－OA B．AO＋OB＋BA＝0
C．AB＝AO＋OB D．AB＋AO＋BO＝0
解析：由数轴上向量坐标的定义及运算法则，可知AB＋AO＋BO＝2AO.其它运算皆成立．
答案：D
3．数轴上点P、M、N的坐标分别为－2、8、－6，则MN＝NM；MP＝－10; PN＝－4.其中，正确的表示有 ( )
A. 0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故MN＝NM不正确，MP＝－10，PN＝－4正确．
答案：C
4．数轴上与－2对应的点距离为3的两点确定向量的数量为________．
解析：设所求的点的坐标为x，则|x＋2|＝3，
x＋2＝±3，∴x＝1或－5.
故确定向量的数量为±6.
答案：±6
5．数轴上与点M(3)的距离是2的点A是________．
解析：由数轴上点的坐标表示可知A(1)或A(5)．
答案：A(1)或A(5)
6．已知数轴x上的点A、B、C的坐标分别为－1、3、5.
(1)求AB、BA、|AB|、BC、|AC|.
(2)若x轴上还有两点E、F，且AE＝8，CF＝－4，求点E、F的坐标．
解：(1)AB＝xB－xA＝3－(－1)＝4；
BA＝－AB＝－4，
|AB|＝4，BC＝xC－xB＝5－3＝2，
|AC|＝|xC－xA|＝|5－(－1)|＝6.
(2)设E、F点的坐标分别为xE，xF，
因为AE＝8，∴xE－xA＝8，xE＝8－1＝7.
又因为CF＝－4，∴xF－xC＝－4，
∴xF＝－4＋5＝1.
∴E、F两点的坐标分别为7,1.
一、选择题
1．如图，数轴上的每一格等于一个长度单位，则点A的坐标为 ( )
A．A(－1) B．A(1)
C．A(0) D．A(2)
解析：由数轴上数与点的对应关系可知，点A坐标是－1，即A(－1)．
答案：A
2．数轴上向量的坐标为－8，且B(－5)，则点A的坐标为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由AB＝xB－xA得－5－xA＝－8，解得xA＝3.
答案：C
3．下列命题：
①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；
②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；
③数轴上向量的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；
④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0.
其中正确命题的个数有 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由向量相等的定义可知①正确．由数轴上实数与点的对应以及数轴上向量的坐标与实数的关系可知②、③正确，由零向量的定义可知④正确．
答案：D
4．数轴上的点A(－2)，B(3)，C(－7)，则有：
①AB＋AC＝0；②AB＋BC＝0；③BC>CA；
④||＋||>||.
其中，正确结论的个数为 ( )
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 0个
解析：由数轴上的点A(－2)，B(3)，C(－7)得，AB＋AC＝5－5＝0，①正确；
AB＋BC＝5－10＝－5，②不正确；
BC＝－10，CA＝5，BC||＋| |＝5＋5＝10＝||，④不正确．
答案：C
二、填空题
5．若|x|<3，则点P(x)位于数轴上________________．
解析：∵|x|<3，∴点P到原点的距离小于3.
即P(x)在点A(－3)和A(3)之间．
答案：点A(－3)和A(3)之间
6．在数轴上，与点M(－1)的距离是4的点的坐标为________________．
解析：设坐标为N(x)，由题意|x＋1|＝4，
∴x＋1＝±4，即x＝3或x＝－5.
答案：N(3)或N(－5)
7．已知A(－2)，B(7)，则d(A，B)＝________.
解析：d(A，B)＝|7－(－2)|＝9.
答案：9
8．集合M＝{A|d(A，B)<3，B(2)，A为数轴上的点}，N＝{A|d(A，B)≤3，B(2)，A为数轴上的点}，则集合M与N的关系为__________．
解析：设点A的坐标为x，则M＝{A(x)||x－2|<3}＝{A(x)|－1易知MN.
答案：MN
三、解答题
9．数轴上原点为O，A，B两点的坐标分别为x1＝a＋b，x2＝a－b，||＝AB，求
(1) 线段AB的中点坐标；
(2)BA，d(O，B)，d(B，A)．
解：(1)线段AB的中点坐标为＝a.
(2)∵||＝AB>0，
∴a－b－(a＋b)＝－2b>0，b<0.
∴BA＝－AB＝2b，d(O，B)＝|a－b|，
d(B，A)＝|BA|＝|2b|＝－2b(b<0)．
10．在数轴上，已知AB＝3，BC＝－2，
(1)求|AM＋BC＋MB|；
(2)若A(－1)，线段BC的中点为D，求DC.
解：(1)|AM＋BC＋MB|＝|AM＋MB＋BC|
＝|AB＋BC|＝1.
(2)由于A(－1)，AB＝3，BC＝－2，
得xB－xA＝3，xC－xB＝－2，
即xB＝3＋xA＝2，xC＝xB－2＝0.
所以线段BC的中点D的坐标为1.
∴DC＝－1.
1．已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为 ( )
A．4 B．－4或2
C．－2 D．－2或4
解析：＝5，∴a＝4或－2.
答案：D
2．已知?ABCD的三个顶点A(1,2)，B(－3，－1)，C(0，－2)，则顶点D的坐标是 ( )
A．(4,1) B．(3,0)
C．(－2,1) D．(－1,2)
解析：设AC中点M(x，y)，D(x1，y1)，
∴x＝，y＝，∴x＝，y＝0.
∵B(－3，－1)且BD中点为M，
∴＝，0＝，
∴x1＝4，y1＝1，
∴点D的坐标为(4,1)．
答案：A
3．以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的三角形是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：由题意知
|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝3，
∴|AB|＝|AC|，
∴△ABC为等腰三角形．
答案：B
4．点A(7,4)，B(3,2)两点间的距离为________，对称中心的坐标为________．
解析：|AB|＝＝2，
设A、B的对称中心为(x，y)，
则x＝＝5，y＝＝3
故对称中心坐标为(5,3)．
答案：2 (5,3)
5．已知点P(a＋3，a－2)在y轴上，则点P关于原点的对称点的坐标为________．
解析：由点P(a＋3，a－2)在y轴上，得a＋3＝0，a＝－3，∴a－2＝－5，
即点P(0，－5)关于原点的对称点的坐标为P′(0,5)．
答案：(0,5)
6．已知点C(s－t，st)，且点A(t－3s,2t＋2s)，B(14－2t＋s,3t＋2s－2)关于x轴对称．
(1)求s，t的值；(2)求|AC|.
解：(1)∵点A(t－3s,2t＋2s)，B(14－2t＋s,3t＋2s－2)关于x轴对称，
∴t－3s＝14－2t＋s，且2t＋2s＋3t＋2s－2＝0，
即3t－4s－14＝0，且5t＋4s－2＝0，
解得t＝2，s＝－2.
(2)由(1)知： A(8,0)，C(－4，－4)，
∴|AC|＝ ＝4.
一、选择题
1．已知A(x,5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则P(x，y)到原点的距离为( )
A．4 B.
C. D.
解析：由题意知点C是线段AB的中点，
则∴，∴|OP|2＝17，∴|OP|＝.
答案：D
2．一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，另一个端点B的横坐标是－1，则点B的纵坐标是 ( )
A．－3 B．5
C．－3或5 D．－1或－3
解析：设点B的坐标为(－1，y)，
则|AB|＝＝5，
∴y2－2y－15＝0，解得y＝－3或y＝5.
答案：C
3．已知A、B的坐标分别为(1,1)，(4,3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．20 B．12
C．5 D．4
解析：∵A(1,1)关于x轴的对称点A1(1，－1)，
则A1、B的连线交x轴的点就是P.
|PA|＋|PB|的最小值为
|A1B|＝＝5.
答案：C
4．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是 ( )
A．2 B．3＋2
C．6＋3 D．6＋
解析：由题意知|AB|＝＝3，
|AC|＝＝3；|BC|＝＝3.
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3.
答案：C
二、填空题
5．△ABC三个顶点的坐标A(－3,2)，B(3,2)，C(4,0)，则AB边的中线CD的长为________．
解析：AB的中点坐标为D(0,2)，
∴|CD|＝＝2.
答案：2
6．根据图中信息填空：
(1)|AB|＝________，|BC|＝________；
(2)|CD|＝________，|DA|＝________；
(3)|AC|＝________，|BD|＝________.
解析：由两点间距离公式可得
(1)|AB|＝＝；
|BC|＝＝2.
(2)|CD|＝＝；
|DA|＝＝2.
(3)|AC|＝|2－(－1)|＝3；
|BD|＝＝.
答案：(1) 2 (2) 2 (3)3
7．已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P(3，－2)，Q(1,6)，R(－4,2)，则顶点A的坐标为________．
解析：设点A的坐标为(x，y)，则点B的坐标为(6－x，－4－y)，点C的坐标为(－8－x,4－y)．
∵点Q是线段BC的中点，
∴解之得
即A点坐标为(－2，－6)．
答案：(－2，－6)
8．已知点A(－，a)，B(0,1)是平面上相异的两点，则两点间距离的最小值为________．
解析：|AB|＝＝
＝≥，
∴|AB|min＝.
答案：
三、解答题
9．求函数y＝＋的最小值．
解：∵y＝＋
＝＋，
令A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)，则y＝|PA|＋|PB|.
即求上述函数的最小值问题，转化为求距离和的最小值问题．
借助于光学的知识和对称的知识，如图作出点A关于x轴的对称点A′，
则|PA|＝|PA′|，
∴求|PA|＋|PB|的最小值问题便可转化为求|PA′|＋|PB|的最小值问题．
由图形可知(|PA′|＋|PB|)min＝|A′B|
＝＝.
10．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
因为点M是BC的中点，
故点M的坐标为(，)，
即(，)．
由两点间距离公式得
|BC|＝＝，
|AM|＝ ＝ .
所以|AM|＝|BC|.
1．下列说法中正确的是 ( )
A．每一条直线都唯一对应一个倾斜角
B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为90°
C．若直线的倾斜角存在，则有斜率与之对应
D．若直线的倾斜角为α，则sinα>0
解析：显然A正确．
当与y轴垂直时，倾斜角为0°，故B错．
当直线的倾斜角为90°时，该直线无斜率，∴C错．
当直线的倾斜角为0°时有sin0°＝0，∴D错．
答案：A
2．直线y＝1－2x的斜率为 ( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：直线y＝1－2x可化为y＝－2x＋1，所以直线的斜率为－2.
答案：D
3．若两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，且满足k1>0>k2，则( )
A．90°>α1>α2 B．90°>α2>α1
C．α2>90°>α1 D．α1>90°>α2
解析：由k1>0>k2知0°<α1<90°，α2>90°.
答案：C
4．若三点(0,1)，(m，－1)，(2，n)在斜率为－3的直线上，则m＝________，n＝________.
解析：已知三点(0,1)、(m，－1)、(2，n)在斜率为－3的直线上，根据斜率公式k＝知，
－3＝，解得m＝，
－3＝，解得n＝－5.
答案： －5
5．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.
解析：由xA≠xB≠xC得kAB＝kBC，
∴＝，
∴a(a2－2a－1)＝0，
即a＝1±或a＝0.
又∵a>0，∴a＝1＋.
答案：1＋
6．设A(m，－m－3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值．
解：先利用斜率公式求出直线AC和BC的斜率，
再由关系式解方程可得．
由kAC＝3kBC，得＝3×，
整理得m2－3m＋2＝0.解之得m＝1或m＝2.
一、选择题
1．下列说法中错误的个数是 ( )
(1)平面内经过任意两点的直线斜率是唯一的；
(2)直线可以用一个方程来表示，故每一条直线都有斜率；
(3)一次函数的图象是直线，所有的直线都可以用方程y＝kx＋b表示；
(4)直线x＝5的斜率为0.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：(1)错误．当两点的横坐标相等时，斜率不存在．
(2)错误．直线可以用一个方程来表示，但并不是每一条直线都有斜率，例如x＝5，没有斜率，故(2)不对．
(3)错误．斜率不存在的直线不能用y＝kx＋b表示．
(4)错误．直线x＝5的斜率不存在．
答案：D
2．过下列两点的直线不存在斜率的是 ( )
A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2, －1) D．(－2,2)与(－2,5)
解析：当两点所在直线与x轴垂直，即横坐标相等时，直线的斜率不存在．
答案：D
3．若三点A(4,3)，B(5，a)，C(6，b)共线，则下列结论正确的是 ( )
A．2a－b＝3 B．b－a＝1
C．a＝3，b＝5 D．a－2b＝3
解析：∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC，
即＝?2a－b＝3.
答案：A
4．点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
解析：令k＝，则k可以看成过点D(1,2)和(x，y)的直线斜率，如图．显然kDA是最小值，kBD是最大值，由于不包含边界，
所以k∈.
答案：D
二、填空题
5．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,11)在同一直线上，则k＝________.
解析：由＝，得k＝－9.
答案：－9
6．已知直线l1的倾斜角为α，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角用α表示为________．
解析：设l2的倾斜角为θ，
则α＝0°时，θ＝0°，
当α∈(0,π)时，θ＝180°－α.
答案：0°或180°－α
7．已知点A(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝2，则B点的坐标为__________．
解析：若点B在x轴上，设B(x,0)，
由＝2，得x＝1；
若点B在y轴上，设B(0，y)，
由＝2，得y＝－2.
所以B点的坐标为(1,0)或(0，－2)．
答案：(1,0)或(0，－2)
8．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是________．
解析：如图所示，kl＝kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中阴影部分时才符合题意，
∴k∈[0,2]．
答案：[0,2]
三、解答题
9．a为何值时，过点A(2a,3)，B(2，－a－1)的直线的倾斜角是锐角？是钝角？是直角？
解：当a＝1时，直线AB的倾斜角是直角．
当a≠1时，kAB＝.
i：当>0即a<－4或a>1时，直线AB的倾斜角是锐角．
ii：当<0即－410．已知实数x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
解：如图所示，由已知，点P(x，y)在线段AB上运动，其中A(2,4)，B(3,2)，而＝，其几何意义为直线OP的斜率．
由图可知kOB≤kOP≤kOA，
而kOB＝，kOA＝2.
故所求的的最大值为2，最小值为.
1．下列四个命题中的真命题是 ( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示
B．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)来表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1来表示
D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示
解析：A中过P的直线x＝x0不合题意；C中不过原点但在x轴或y轴上截距为0的直线y＝b(b≠0)或x＝a(a≠0)不能用方程＋＝1表示；D中过(0，b)的直线x＝0不能用y＝kx＋b来表示．
答案：B
2．直线3x－2y－4＝0的截距式方程是 ( )
A.－＝1 B.－＝4
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：将方程变形为＋＝1的形式可得－＝1，即＋＝1.
答案：D
3．已知点A(3,3)、B(－1，－5)，过线段AB的中点且斜率为－1的直线方程是( )
A．y－1＝－(x－1) B．y－1＝－(x＋1)
C．y＋1＝－(x－1) D．y＋1＝－(x＋1)
解析：线段AB的中点坐标为(1，－1)，由点斜式可得方程为y＋1＝－(x－1)．
答案：C
4．过点A(3，－1)，B(5,4)的直线方程的两点式为______，化成一般式为______，斜截式为________．
答案：＝ 5x－2y－17＝0
y＝x－
5．经过点A(2,1)，在x轴上的截距为－2的直线方程为________．
解析：先求出斜率k＝，用点斜式直接写出方程．
答案：y＝x＋
6．根据下列条件求解直线的一般式方程：
(1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)；
(2)斜率为，且在y轴上的截距为4；
(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；
(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.
解：(1)因为k＝2且经过点A(1,3)，
由直线的点斜式可得y－3＝2(x－1)，
整理可得直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.
(2)直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，
由直线的斜截式可得y＝x＋4，
整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0.
(3)由直线的两点式可得＝，
整理可得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.
(4)由直线的截距式可得＋＝1，
整理可得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.
一、选择题
1．过点M(－4,3)和N(－2,1)的直线方程是 ( )
A．x－y＋3＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－3＝0
解析：由两点式得＝，
整理得：x＋y＋1＝0.
答案：B
2．已知直线l过点M(－1,0)，并且斜率为1，则直线l的方程是 ( )
A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
解析：由直线方程的点斜式可得直线l的方程为y－0＝1[x－(－1)]，即x－y＋1＝0.
答案：B
3．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a、b、c应满足( )
A．ab>0，bc<0 B．ab<0，bc<0
C．ab>0，bc>0 D．ab<0，bc>0
解析：由题意可知直线的斜率存在，方程可变为y＝－x－，由题意结合图形有－<0，－>0?ab>0且bc<0.
答案：A
4．过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是 ( )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x＋2y－1＝0
D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
解析：直线2x－5y＝0的横、纵截距都是0，且过点(5,2)；直线x＋2y－9＝0的横截距是9，纵截距是，且过点(5,2)，所以直线2x－5x＝0和x＋2y－9＝0都满足题意．
答案：D
二、填空题
5．(2012·临沂高一检测)过点(1,2)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________．
解析：(1)截距为零时，y＝kx，将(1,2)代入得k＝2，
∴y＝2x.
(2)截距不为零时，设方程为＋＝1，
把(1,2)代入得a＝3，∴方程为x＋y＝3.
答案：2x－y＝0和x＋y＝3
6．直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，所有直线都恒过一定点为________．
解析：直线方程整理为y－1＝k(x－3)，
令x－3＝0和y－1＝0得x＝3，y＝1.
答案：(3,1)
7．已知直线在两坐标轴上的截距之和为2，并且经过点(－2,3)，则直线方程为________．
解析：设直线方程为＋＝1，将点(－2,3)代入，
＋＝1，解得a＝－4或a＝1，
∴直线方程为＋＝1或＋＝1，
即3x－2y＋12＝0或x＋y－1＝0.
答案：3x－2y＋12＝0或x＋y－1＝0
8．对直线l上任意一点(x，y)，点(4x＋2y，x＋3y)仍在此直线上，则直线l的方程为____________．
解析：设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，
则A(4x＋2y)＋B(x＋3y)＋C＝0，
即(4A＋B)x＋(2A＋3B)y＋C＝0是l的方程，
若C≠0，则由得A＝B＝0不合题意．
若C＝0时，由＝得A＝B或B＝－2A，
故所求直线方程为：x＋y＝0或x－2y＝0.
答案：x＋y＝0或x－2y＝0
三、解答题
9．已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
解：(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由两点式得＝，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝＝－3.
∴M(，－3)，又BC边上的中线经过点A(－3,2)．
∴由两点式得＝，
即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
10．直线l经过点P(－5，－4)，且l与坐标轴围成三角形面积为5，试求l的方程．
解：法一：设所求直线方程为＋＝1，
∵点P(－5，－4)在直线上，故有－－＝1①
又因为直线l与坐标轴围成的三角形面积是5，
∴|a||b|＝5②
由①②可得(无解)或，
解得或，
故所求直线方程为＋＝1或＋＝1.
即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0.
法二：易知直线l与坐标轴不垂直，设直线l的斜率为k(k≠0)．因为l过点P(－5，－4)，
所以可设l的方程为y＋4＝k(x＋5)(k≠0)，
则直线l与x轴的交点为(－5,0)，与y轴的交点为(0,5k－4)．
由题意得所围成三角形的面积
S＝·|－5|·|5k－4|＝5，
即(5k－4)2＝10|k|.
当k>0时，方程可化为(5k－4)2＝10k，
解得k＝或k＝；
当k<0时，方程可化为(5k－4)2＝－10k，此时方程无解．
故所求直线的方程为y＋4＝(x＋5)或
y＋4＝(x＋5)．
即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0.
1．下列与直线2x－y＋1＝0平行的是 ( )
A．2x＋y＋1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．4x－2y＋2＝0 D．4x－2y＋1＝0
解析：由于＝≠.
答案：D
2．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝ ( )
A．－ B.
C. D．－
解析：∵l1∥l2，则须满足，
得，所以m的值是－.
答案：A
3．两条直线2x＋3y－k＝0和x＋ky－12＝0的交点在y轴上，那么k的值是 ( )
A．－24 B．6
C．±6 D．24
解析：由解得x＝.
∵两直线的交点在y轴上，
∴x＝0,36－k2＝0,3－2k≠0，即k＝±6.
答案：C
4．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)且l1∥l2，则m＝________.
解析：由已知知l1斜率一定存在，
∵l1∥l2，∴kl1＝kl2，
即＝，解得m＝0.
答案：0
5．过点(0,5)且与直线x＋2y－1＝0平行的直线方程为______________．
解析：法一：∵直线x＋2y－1＝0的斜率k＝－，
所求直线与该直线平行，
∴所求直线为y＝－x＋5，
即x＋2y－10＝0.
法二：设所求直线方程为x＋2y＋c＝0，由于直线过点(0,5)，故c＝－10.
答案：x＋2y－10＝0
6．试求三条直线ax＋y＋1＝0，x＋ay＋1＝0，x＋y＋a＝0构成三角形的条件．
解：任两条直线都相交，则≠，≠，
故a≠±1.且三条直线不共点，
故的交点(－1－a,1)不在ax＋y＋1＝0上，
即a(－1－a)＋1＋1≠0，a2＋a－2≠0，(a＋2)(a－1)≠0，
∴a≠－2且a≠1，综合上述结果，此三条直线构成三角形的条件是a≠±1，a≠－2.
一、选择题
1．直线Ax＋4y－1＝0与直线3x－y－C＝0重合的条件是 ( )
A．A＝12，C≠0 B．A＝－12，C＝
C．A＝－12，C≠－ D．A＝－12，C＝－
解析：由两直线重合的条件可得：＝＝，解得A＝－12，C＝－.
答案：D
2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( )．
A．－8 B．0
C．2 D．10
解析：∵直线AB平行于直线2x＋y－1＝0，
∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.
答案：A
3．直线(m2＋1)x＋3y－3m＝0和直线3x－2y＋m＝0的位置关系是 ( )
A．平行 B．重合
C．相交 D．不确定
解析：由A1B2－A2B1＝－2(m2＋1)－9＝－2m2－11<0得两条直线相交．
答案：C
4．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0，与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是 ( )
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
解析：当k＝3时，两条直线平行．当k＝4时，两条直线不平行．当k≠3且k≠4时，由两直线平行，斜率相等得＝k－3，解得k＝5.
答案：C
二、填空题
5．直线kx－y－k＋1＝0与ky－x－2k＝0相交，且交点在第一象限，则实数k的取值范围是______________________．
解析：由题意知k2－1≠0即k≠±1，
由得交点P(，)
∵点P在第一象限，∴
解之得k>1或k<0，
∴k<－1或－11.
答案：(－∞，－1)∪(－1,0)∪(1，＋∞)
6．过直线3x＋2y－7＝0与直线2x－y＝0的交点，斜率为－1的直线方程是________________．
解析：由得交点坐标为(1,2)，
又∵直线斜率k＝－1，
∴方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
7．已知A＝{(x，y)|x＋y－2＝0}，B＝{(x，y)|x－2y＋4＝0}，C＝{(x，y)|y＝3x＋b}，若(A∩B)?C，则b＝________.
解析：A∩B＝＝{(0,2)}，
把(0,2)代入y＝3x＋b，得b＝2.
答案：2
8．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是________．
解析：直线方程可化为k(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0，
令得即交点为(2,3)．
答案：(2,3)
三、解答题
9．求与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程．
解：设直线方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)
令x＝0，则在y轴上的截距b＝－；
令y＝0，则在x轴上的截距a＝－，
由a＋b＝得
－－＝得λ＝－1
∴所求的直线方程为2x＋3y－1＝0.
10．(2011·安徽高一检测)已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2
(1)相交；(2)平行；(3)重合？
解：当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，
∴l1与l2平行；
当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，
∴l1与l2相交．
当m≠0且m≠2时，
由＝得m＝3或m＝－1，
由＝得m＝3，
故(1)当m≠－1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交；
(2)当m＝－1或m＝0时，l1与l2平行；
(3)当m＝3时，l1与l2重合．
1．由三条直线2x－3y＋7＝0，(1＋)x－y＋1＝0，(1－)x－y＋3＝0围成的三角形是 ( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：∵直线(1＋)x－y＋1＝0和(1－)x－y＋3＝0垂直，第三条直线2x－3y＋7＝0与它们相交且不过它们的交点，所以三条直线围成一个直角三角形．
答案：A
2．若直线ax＋y－1＝0与直线4x＋(a－3)y－2＝0垂直，则实数a的值是 ( )
A．－1 B．4
C. D．－
解析：由a×4＋1×(a－3)＝0，得a＝.
答案：C
3．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程为 ( )
A．3x＋2y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0
解析：由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，
可知直线l的斜率是－，
由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即3x＋2y－1＝0.
答案：A
4．过原点作直线l的垂线，垂足为(2,3)，则直线l的方程是____________．
解析：原点与点(2,3)连线斜率为k＝，
所以直线l斜率为－，又直线l过点(2,3)，
所以y－3＝－(x－2)，即2x＋3y－13＝0.
答案：2x＋3y－13＝0
5．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂直且都过点A(1，m)，则a＝___________，b＝___________，m＝____________.
解析：已知两直线方程可化为
l1：y＝－x＋，l2：y＝x＋.
∵两直线垂直，∴－·＝－1，
∴a＝10，
即直线l1方程为10x＋4y－2＝0.
又点A(1，m)在直线l1上，
∴10×1＋4m－2＝0，
∴m＝－2，即A(1，－2)．
又点A在直线l2上，
∴2×1－5×(－2)＋b＝0，
∴b＝－12.
答案：10 －12 －2
6．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D的坐标，使CD⊥AB，且BC∥AD.
解：设点D的坐标为(x，y)，由题意知直线CD、AD的斜率都存在．
因为kAB＝＝3，kCD＝且CD⊥AB，
所以kABkCD＝－1，即3×＝－1①
因为kBC＝＝－2，kAD＝且BC∥AD，
所以kBC＝kAD，即－2＝②
由①②可得，x＝0，y＝1，所以点D的坐标为(0,1)．
一、选择题
1．△ABC的顶点A(3,6)、B(－1,5)、C(1,1)，则BC边的高所在直线方程为 ( )
A．x－2y＋9＝0 B．x＋2y－15＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x＋2y－9＝0
解析：直线BC的斜率为－2，则BC边的高所在直线的斜率为，故答案在A、C之中，将点A(3,6)坐标代入答案A，等式成立．
答案：A
2．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则m＋n＋p的值为( )
A．24 B．20
C．0 D．－4
解析：由两直线垂直得2m－20＝0，m＝10，将(1，p)代入10x＋4y－2＝0中，得p＝－2，将(1，－2)代入到2x－5y＋n＝0得n＝－12，所以m＋p＋n＝－4.
答案：D
3．过两直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点且和直线3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为 ( )
A．4x＋3y－6＝0 B．4x－3y－6＝0
C．4x＋3y＋6＝0 D．4x－3y＋6＝0
解析：由题意得
设和直线3x－4y＋5＝0垂直的方程为：
4x＋3y＋m＝0，
将(0,2)代入上式解得m＝－6.
故所求方程为4x＋3y－6＝0.
答案：A
4．直线l：(a2＋4a＋3)x＋(a2＋a－6)y－8＝0与y轴垂直，则实数a的取值是( )
A．－3 B．－1或－3
C．2 D．－1
解析：直线l与y轴垂直，则直线l的斜率为0，直线l方程可化为：y＝－x＋，
∴a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3.
又a2＋a－6≠0，解得a≠2且a≠－3，
综上可得a＝－1.
答案：D
二、填空题
5．(2011·浙江高考)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
解析：根据题意知，当m＝0时，两直线不会垂直，故m≠0，因直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0的斜率分别为和－，由垂直条件得·(－)＝－1，故m＝1.
答案：1
6．直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为__________．
解析：l1，l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为两坐标轴垂直，所以l1⊥l2，
即2m＋10＝0，∴m＝－5.
答案：－5
7．和直线x＋3y＋1＝0垂直，且在x轴上的截距为2的直线方程为____________．
解析：∵所求直线与直线x＋3y＋1＝0垂直，
∴k1·k2＝－1，而k1＝－，
∴所求直线的斜率k2＝3.
又在x轴上的截距为2，说明过点(2,0)，
∴y－0＝3(x－2)，即3x－y－6＝0.
答案：3x－y－6＝0
8．经过直线l1：x＋3y＋2＝0与l2：x－2y＋7＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋5＝0垂直的直线方程是________________．
解析：由，得，
即交点P的坐标为(－5,1)．
设所求直线方程为x＋2y＋m＝0，
∵点P在此直线上，
∴－5＋2＋m＝0，∴m＝3，
∴所求直线方程为x＋2y＋3＝0.
答案：x＋2y＋3＝0
三、解答题
9．如图，△ABC的顶点B(3,4)，AB边上的高CE所在直线方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1＝0，求边AC的长．
解：设点A、C的坐标分别为
A(x1，y1)、C(x2，y2)．
∵AB⊥CE，kCE＝－.∴kAB＝－＝.
∴直线AB的方程为3x－2y－1＝0.
由得A(1,1)．
∵D是BC的中点，∴D(，)．
而点C在直线CE上，点D在直线AD上，
∴
∴C(5,2)．|AC|＝ ＝ .
10．(1)求点A(3,2)关于点B(－3,4)的对称点C的坐标；
(2)求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程；
(3)求点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．
解：(1)设C(x，y)，由中点坐标公式得
解得
故所求的对称点的坐标为C(－9,6)．
(2)设直线l上任一点为(x，y)，它关于点P(2，－1)的对称点为(4－x，－2－y)在直线3x－y－4＝0上．
∴3(4－x)－(－2－y)－4＝0，
∴3x－y－10＝0.
∴所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
(3)设B(a，b)是A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，根据直线AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线2x－4y＋9＝0上，
则有
解得a＝1，b＝4.
∴所求的对称点坐标为(1,4)．
1．点(2,1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为 ( )
A. B.
C. D．0
解析：由点到直线的距离公式得
d＝＝＝.
答案：B
2．若原点O到直线ax＋by＋c＝0的距离为1，则有 ( )
A．c＝1 B．c＝
C．c2＝a2＋b2 D．c＝a＋b
解析：因为d＝＝1，
所以＝1，即c2＝a2＋b2.
答案：C
3．直线y＝2x与直线y＝2x＋5间的距离为 ( )
A. B.
C．5 D.
解析：∵直线y＝2x与直线y＝2x＋5平行，
∴直线y＝2x与直线y＝2x＋5间的距离即为直线y＝2x上的点(0,0)到直线y＝2x＋5的距离．
∴d＝＝＝.
答案：B
4．已知直线l过点A(－1,2)且与原点的距离为，则l的方程为__________________．
解析：设直线l方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋2＋k＝0，
由题意得＝，解得k＝－1或k＝－7.
故所求方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.
答案：x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0
5．已知直线l1：2x－y＋3＝0与直线l2：4x－2y＋m＝0的距离为2，则m的值是________．
解析：∵l2：2x－y＋＝0，∴d＝＝2，
∴|3－|＝2，∴m＝6±4.
答案：6±4
6．直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
解：(1)当l在两坐标轴上的截距均为0时，l的斜率不存在时，则x＝0不合题意；l的斜率存在时，设l：y＝kx，即kx－y＝0，
∴＝3，解得k＝，
∴l：y＝x.
(2)当l在两坐标轴上截距不为0时，
设l：x＋y－a＝0.
则＝3，∴|7－a|＝6，
∴a＝1或a＝13，∴l：x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.
综上l的方程为y＝x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.
一、选择题
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为 ( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：原点O(0,0)到直线x＋2y－5＝0的距离为d＝＝.
答案：D
2．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是 ( )
A．1 B．－3
C．1或 D．－3或
解析：由点到直线的距离公式可得＝4，解得k＝－3或.
答案：D
3．若两条平行直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则与l2的距离等于l1与l2间距离的直线方程为 ( )
A．3x－2y＋22＝0 B．3x－2y－10＝0
C．3x－2y－20＝0 D．3x－2y＋24＝0
解析：设所求直线方程为3x－2y＋C＝0，
则＝，解得C＝－6(舍去)或C＝22，所以所求直线的方程为3x－2y＋22＝0.
答案：A
4．两直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c＝ ( )
A．－12 B．48
C．36 D．－12或48
解析：∵l1∥l2，∴b＝8.
∴l2：3x＋4y＋＝0，
∴3＝?c＝－20或40.
∴b＋c＝－12或48.
答案：D
二、填空题
5．与A(2,1)，B(－1,5)的距离等于的直线的条数是________．
解析：∵A(2,1)，B(－1,5)，
∴|AB|＝＝5，
∴过线段AB的中点，并与线段AB垂直的直线适合题意．另外，与AB平行的直线有2条适合题意．
答案：3
6．直线l1过点A(3,0)，直线l2过点B(0,4)，l1∥l2，则l1和l2的距离d的取值范围是________．
解析：当直线l1与过A，B两点的直线垂直时，此时两平行线l1与l2之间的距离最大，这时两平行线之间的最大距离就是线段AB的长度．
即dmax＝＝5，
故0＜d≤5.
答案：0＜d≤5
7．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．
解析：∵x2＋y2表示原点O(0,0)与P(x，y)两点间距离的平方，
∴x2＋y2的最小值就是原点O到直线x＋y－4＝0的距离的平方，
∵d＝＝2，∴x2＋y2的最小值为8.
答案：8
8．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)
解析：设直线m与l1、l2分别交于A、B两点，
过A作AC⊥l2于C，则|AC|＝＝，
又|AB|＝2，∴∠ABC＝30°.
又直线l1的倾斜角为45°，
∴直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°.
答案：①⑤
三、解答题
9．已知两条互相平行的直线分别过点A(－4,0)和B(0，－3)，试分别求解满足下列条件的两条直线方程：
(1)两条平行直线间的距离为4；
(2)两条平行直线间的距离取得最大值．
解：(1)设过点A(－4,0)和点B(0，－3)的直线分别为l1，l2.
当l1与l2的斜率都不存在时，
l1：x＝－4；l2：x＝0.易知满足题意．
当l1与l2的斜率存在时，设为k.
则l1：y＝k(x＋4)，l2：y＝kx－3，
即kx－y＋4k＝0，kx－y－3＝0，
由平行线间的距离公式，得＝4，
解之，得k＝.
(2)两条直线间距离取最大值时就是以|AB|为平行线间距离时．∵kAB＝－，∴所求直线的斜率为，
∴所求直线方程为：y＝(x＋4)，y＝x－3，
即4x－3y＋16＝0,4x－3y－9＝0.
10．求过点(3,5)的所有直线中，距原点最远的直线方程．
解：设过点(3,5)的直线方程为y－5＝k(x－3)或x＝3.
对于y－5＝k(x－3)，
原点(0,0)到它的距离d＝，
化简整理得(9－d2)k2－30k＋25－d2＝0.
当9－d2≠0时，因k∈R，
∴Δ＝(－30)2－4(9－d2)(25－d2)≥0.
解得0≤d≤(且d≠3)．
对于x＝3，原点到它的距离d＝3.
因此，过点(3,5)的所有直线与原点的距离d∈[0，]．
故dmax＝，当d＝时，
＝，解得k＝－.
故所求直线方程为：y－5＝－(x－3)，
即3x＋5y－34＝0.
1．以点(4,4)为圆心，4为半径的圆的方程是 ( )
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝16
C．x2＋y2＝2 D．(x－4)2＋(y－4)2＝16
解析：由圆的标准方程易知选D.
答案：D
2．圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是 ( )
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝5
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
解析：∵圆心为(3,4)，且圆过点(0,0)．
∴圆的半径为r＝＝5
∴圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
答案：C
3．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是 ( )
A．在圆内 B．在圆外
C．在圆上 D．不确定
解析：设圆心为O，则|OP|＝≥5>，故点P在圆外．
答案：B
4．以原点为圆心，且过点(3，－4)的圆的标准方程为______，那么点(2，3)的位置在圆________(内，上，外)．
解析：r＝＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25.
又∵(2)2＋32＝21<25，∴点(2，3)在圆内．
答案：x2＋y2＝25 内
5．(2011·辽宁高考)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．
解析：依题意设所求圆的方程为：(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程得，
，解得，所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
6．在平面直角坐标系中，求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程．
解：法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5.
因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：
解得a＝3，b＝±1.
所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5
或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
法二：由A、B两点在圆上，那么线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3，b)，
又|AC|＝得＝.
解得b＝1或b＝－1.
因此，所求圆的标准方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
一、选择题
1．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3平分，则a＝ ( )
A．13 B．7
C．－13 D．以上答案都不对
解析：当直线过圆心时直线才将圆平分，所以将圆心(a，－5)代入直线方程x＋2y＋3＝0，得a＋2×(－5)＋3＝0，解得a＝7.
答案：B
2．方程y＝－表示的曲线是 ( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
解析：由已知得曲线的方程为x2＋y2＝25(y≤0)表示x轴下面的半个圆．
答案：D
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是 ( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：法一：∵圆心在y轴上，半径为1，
∴可设圆的标准方程x2＋(y－b)2＝1，
又过点(1,2)，∴12＋(2－b)2＝1，
解得b＝2.∴圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝1.
法二：设圆的圆心C(0，b)，则＝1，
∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
答案：A
4．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析：设直径的两端点分别为(a,0)，(0，b)，
则a＝4，b＝－6，
∴半径r＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
答案：A
二、填空题
5．若点A(3,2)在圆(x－1)2＋(y－m)2＝11－2m上，则m＝________.
解析：由(3－1)2＋(2－m)2＝11－2m，
得m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1.
答案：－1或3
6．以A(－1,2)，B(5,6)为直径端点的圆的方程是__________________．
解析：因为圆是以AB为直径，所以圆心C(2,4)，
半径r＝|AB|＝＝，
因此圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝13.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝13
7．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．
解析：表示点P(x，y)与点(1,1)之间的距离．
∵圆心(0，－4)到点(1,1)的距离为
＝，
∴的最大值为＋2.
答案：＋2
8．直线3x＋4y－12＝0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是__________________．
解析：易知直线3x＋4y－12＝0与x轴，y轴交点分别为(4,0)，(0,3)
∴圆心坐标为(2，)，半径为.
由圆的标准方程得三角形外接圆的方程为
(x－2)2＋(y－)2＝.
答案：(x－2)2＋(y－)2＝
三、解答题
9．已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2,3)、C(4，－5)．求△ABC的外接圆方程、外心坐标、外接圆半径．
解：法一：设△ABC的外接圆方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
有，
解得a＝1，b＝－1，r＝5.
所以△ABC的外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
法二：AB的垂直平分线方程为3x＋y－2＝0，
AC的垂直平分线方程为x－3y－4＝0，
解得圆心(1，－1)，
又r＝＝5，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
圆心坐标为(1，－1)，半径为5.
10．如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，
则由已知得A(6，－2)．
设圆的半径为r，
则C(0，－r)，
即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2①
将点A的坐标(6，－2)代入方程①得
36＋(r－2)2＝r2，
∴r＝10.
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100②
当水面下降1米后，
可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，
将A′的坐标(x0，－3)代入方程②得x0＝，
∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝2≈14.28(米)．
1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则有 ( )
A．m≤2 B．m<2
C．m< D．m≤
解析：依题意：D2＋E2－4F＝(－1)2＋12－4m>0，
即m<.
答案：C
2．方程x2＋y2＋2ax－2by＋c＝0表示圆心为C(2，－3)，半径为3的圆，则a、b、c的值依次为 ( )
A．2、3、4 B．－2、3、4
C．2、－3、－4 D．－2、－3、4
解析：将x2＋y2＋2ax－2by＋c＝0配方得
(x＋a)2＋(y－b)2＝a2＋b2－c，
依题意，得－a＝2，b＝－3，a2＋b2－c＝9，
∴a＝－2，b＝－3，c＝a2＋b2－9＝4.
答案：D
3．(2011·安徽高考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线经过圆的圆心，所以3×(－1)＋2＋a＝0，即a＝1.
答案：B
4．圆(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0的圆心坐标为________．
解析：整理配方，得(x＋)2＋(y＋1)2＝，
所以圆心为(－，－1)．
答案：(－，－1)
5．过A(0,0)，B(4,0)，C(0,6)三点的圆的一般方程是____________________．
解析：由已知得△ABC为直角三角形，
∴圆心为(2,3)，半径r＝＝，
∴方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13，
即x2＋y2－4x－6y＝0.
答案：x2＋y2－4x－6y＝0
6．当m是什么实数时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？
解：欲使方程Ax2＋Cy2＋F＝0表示一个圆，需A＝C≠0.
所以2m2＋m－1＝m2－m＋2，整理得m2＋2m－3＝0，所以m＝－3或m＝1.
①当m＝1时，原方程为x2＋y2＋＝0，不符合题意，舍去．
②当m＝－3时，方程为14x2＋14y2＝1，
即x2＋y2＝，表示以原点为圆心为半径的圆．
一、选择题
1．(2011·四川高考)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 ( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：原式化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，可知圆心坐标为(2，－3)．
答案：D
2．圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当圆面积最大时，圆心坐标为 ( )
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
解析：原方程化为(x＋)2＋(y＋1)2＝1－k2，
∴r2＝1－k2，当k＝0时，r有最大值，
所以圆心坐标为(0，－1)．
答案：D
3．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a，－b)，则a<0，b>0，直线y＝－x－，k＝－>0，－>0，直线不经过第四象限．
答案：D
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任意一点的坐标为(x1，y1)，其与点P连线的中点为(x，y)，则，
即代入x2＋y2＝4，得
(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4.
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
二、填空题
5．圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心与原点的距离为________．
解析：法一：由x2＋y2＋2x－2y＝0配方得(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
圆心坐标为C(－1,1)，故|OC|＝ .
法二：由于圆x2＋y2＋2x－2y＝0过原点，故圆心到原点的距离等于半径.
答案：
6．圆x2＋y2－2x－4y－11＝0关于点P(－2,1)对称的圆的方程是__________．
解析：由x2＋y2－2x－4y－11＝0得
(x－1)2＋(y－2)2＝16，
圆心(1,2)关于P(－2,1)的对称点为(－5,0)，所求圆的方程为(x＋5)2＋y2＝16.圆的对称问题转化为圆心关于直线或点的对称问题，而半径不变．
答案：(x＋5)2＋y2＝16
7．已知圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋3＝0，则圆上的点到直线x＋y－8＝0的距离的最大值为________．
解析：由已知得圆心为C(2,1)，r＝，
圆心到直线x＋y－8＝0的距离为
d＝＝.
故距离的最大值是＋＝.
答案：
8．圆2x2＋2y2－4ax＋12ay＋16a2＝0(a<0)的周长为________．
解析：∵2x2＋2y2－4ax＋12ay＋16a2＝0，
∴x2＋y2－2ax＋6ay＋8a2＝0，
∴(x－a)2＋(y＋3a)2＝2a2.
∵a<0，∴r＝－a，
∴圆的周长为2πr＝－2aπ.
答案：－2aπ
三、解答题
9．已知圆C经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆C的标准方程．
解：法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆心坐标为(－，－)，则
消去F得
解得代入求得F＝－12，
所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，
即(x＋3)2＋(y＋2)2＝25为所求．
法二：因为A(0，－6)，B(1，－5)，
所以线段AB的中点D的坐标为(，－)，
直线AB的斜率kAB＝＝1，
因此线段AB的垂直平分线l′的方程是
y＋＝－(x－)，
即x＋y＋5＝0，圆心C的坐标是方程组
的解．解得
所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆心为C的圆的半径长
r＝|AC|＝ ＝5
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
10．已知定点A(2,0)，圆x2＋y2＝1上有一动点Q，若AQ的中点为P，求动点P的轨迹．
解：如图所示，设动点P的坐标为(x，y)，Q点的坐标为(x1，y1)，
利用中点坐标公式有
，
即，因为x＋y＝1，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝1，
所以动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝.
所以点P的轨迹为以(1,0)为圆心，以为半径的圆．
1．直线3x＋4y－5＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是 ( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
解析：∵圆的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝，
∴圆心为C(1，)，半径为r＝，
∴圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离为
d＝＝0，
∴直线与圆相交且过圆心．
答案：D
2．过点(1,2)作圆x2＋y2＝1的切线，则切线方程为 ( )
A．x＋2y－1＝0 B．y－2＝(x－1)
C．3x－4y＋5＝0或x＝1 D．3x－4y－5＝0
解析：因为点(1,2)是圆x2＋y2＝1外的一点，所以切线必有两条．
答案：C
3．若PQ是圆x2＋y2＝16的弦，PQ的中点是M(1,3)，则直线PQ的方程是 ( )
A．x＋3y－4＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＋4＝0 D．3x－y＝0
解析：∵kOM＝3，∴kPQ＝－，
∴直线PQ的方程为y－3＝－×(x－1)
即x＋3y－10＝0.
答案：B
4．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的切线，则切线长为__________．
解析：将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，
设切点为A，圆心为B，则|OB|＝5，
由题意知|OB|2＝|BA|2＋|OA|2，
即25＝5＋|OA|2
∴|OA|＝2，即切线长为2.
答案：2
5．以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是__________________．
解析：设圆方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)，
则＝＝r.
∴圆方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝
6．求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．
解：法一：直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解．
解这个方程组，得
所以公共点的坐标为(－，1)，(0,2)，
直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为
＝2.
法二：如图所示，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，
则OM⊥AB(O为坐标原点)，
所以|OM|＝＝，
所以|AB|＝2|AM|＝2
＝2＝2.
一、选择题
1．直线x＋y＝m与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m＝ ( )
A. B.
C. D．2
解析：由d＝＝，解得m＝2.
答案：D
2．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(，] D．(，]
解析：首先明确曲线y＝1＋表示半圆，由数形结合可得答案：D
3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：因为圆心到直线的距离为d＝2且r＝3，故有三点到直线的距离等于1.
答案：C
4．若a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，那么直线ax＋by＋c＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系是 ( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
解析：由题意，a2＋b2＝c2，圆心到直线的距离为
d＝＝＝c＋1>1＝r.
答案：C
二、填空题
5．垂直于直线2x－y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程为__________________．
解析：设所求直线方程为x＋2y＋m＝0，
依题意＝，∴m＝±5.
答案：x＋2y＋5＝0或x＋2y－5＝0
6．过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在x＋y－2＝0上的圆的方程为______________．
解析：线段AB中点C的坐标为(0,0)．
∵kAB＝－1，
∴线段AB的垂直平分线方程为x－y＝0，
联立解之得，
即圆心坐标(1,1)．
又r＝＝2，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4
7．(2011·重庆高考)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为______．
解析：设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于＝0，即圆心位于直线kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0.
答案：2x－y＝0
8．(2010·海南、宁夏高考)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________．
解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意知：
，
解之得：a＝3，b＝0，r＝，
所以圆的方程是：(x－3)2＋y2＝2.
答案：(x－3)2＋y2＝2
三、解答题
9．已知圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1,2)，AB为过点P0且斜率为k的弦．
(1)求k＝－1时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)易知直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)
即x＋y－1＝0，则弦心距d＝＝，
∴|AB|＝2＝2×＝.
(2)如图，当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，kOP0＝－2，
∴kAB＝.
∴直线AB的方程为
y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P(2，－1)，过P点作圆C的切线PA、PB，A、B为切点．
(1)求PA、PB所在直线的方程；
(2)求切线长PA；
(3)求AB的方程．
解：(1)设切线的斜率为k.
∵切线过点P(2，－1)，
∴切线的方程为
y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
又C(1,2)，半径r＝，
由点到直线的距离公式得
＝.
解之得k＝7或k＝－1.
故所求切线PA、PB的方程分别是
x＋y－1＝0和7x－y－15＝0.
(2)连接AC、PC，则AC⊥AP，
在Rt△APC中，|AC|＝，
|PC|＝＝.
∴|PA|＝＝＝2.
(3)法一：A(x1，y1)、B(x2，y2)．
则(x1－1)2＋(y1－2)2＝2，
(x2－1)2＋(y2－2)2＝2，
∵CA⊥AP，∴kCA·kAP＝－1，
即·＝－1，
∴(y1－2)(y1＋1)＝－(x1－1)(x1－2)，
变形得(y1－2)(y1－2＋3)＝－(x1－1)(x1－1－1)，
(y1－2)2＋3(y1－2)＝－(x1－1)2＋(x1－1)，
(x1－1)2＋(y1－2)2＋3(y1－2)－(x1－1)＝0.
∵(x1－1)2＋(y1－2)2＝2，
∴上式可化简为x1－3y1＋3＝0，
同理可得x2－3y2＋3＝0.
∵A、B两点的坐标都满足方程x－3y＋3＝0，
∴直线AB的方程是x－3y＋3＝0.
法二：∵∠CAP＝∠CBP＝90°，
∴A、B两点在以CP为直径的圆上，CP的中点坐标为(，)，即(，)．
又|CP|＝，
∴以CP为直径的圆的方程为
(x－)2＋(y－)2＝()2，
即x2＋y2－3x－y＝0①
又圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一般方程为
x2＋y2－2x－4y＋3＝0②
②－①得x－3y＋3＝0为直线AB的方程．
1．如果两圆的外公切线有两条，则两圆的位置关系有 ( )
A．2种 B．3种
C．4种 D．5种
解析：如果两圆的外公切线有两条，则两圆的位置关系有外离、外切、相交三种．
答案：B
2．圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋4y－2＝0的位置关系 ( )
A．相交 B．外切
C．内切 D．相离
解析：∵两圆的标准方程为：
圆C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，
圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝10.
又圆心距d＝|C1C2|＝
＝，r1＝5，r2＝，
∴r1－r2∴两圆相交．
答案：A
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是 ( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析：∵两圆标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13；
(x－3)2＋y2＝9，
∴两圆的圆心分别为O1(2，－3)，O2(3,0)，
又∵AB的垂直平分线的方程即为直线O1O2的方程．
∴由O1、O2两点式方程得AB的垂直平分线方程为3x－y－9＝0.
答案：C
4．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦所在的直线方程是________________．
解析：由两圆的方程作差得x－y－3＝0.
答案：x－y－3＝0
5．圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.
解析：由题意，得2r＝ ，所以r＝.
答案：
6．求和圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程．
解：设所求圆的圆心为P(a，b)，
∴＝1，①
(1)若两圆外切，则有
＝1＋2＝3，②
由①②解得a＝5，b＝－1，
所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.
(2)若两圆内切，则有＝2－1＝1，③
由①③解得a＝3，b＝－1，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上可知，所求圆的方程为
(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
一、选择题
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是 ( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析：将两圆方程化为标准形式得：
O1：(x－1)2＋y2＝1，圆心O1(1,0)，半径r＝1，
O2：x2＋(y－2)2＝4，圆心O2(0,2)，半径R＝2，
∴圆心距d＝|O1O2|＝＝，
又∵R＋r＝3＝>，R－r＝1<，
∴R－r答案：B
2．两圆x2＋y2－4x－6y＋9＝0与x2＋y2＋12x＋6y－19＝0的公切线条数是( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：⊙O1为(x－2)2＋(y－3)2＝4，
⊙O2为(x＋6)2＋(y＋3)2＝64，
∴两圆圆心O1(2,3)、O2(－6，－3)，
∴|O1O2|＝＝10，
r＋R＝2＋8＝10，
∴|O1O2|＝R＋r，∴两圆相外切．
∴公切线条数有3条．
答案：B
3．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是 ( )
A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0
B．x2＋y2＋4y－6＝0
C．x2＋y2－2x＝0
D．x2＋y2＋4x－6＝0
解析：设所求圆的方程为
x2＋y2－2x＋λ(x＋2y－3)＝0，
即x2＋y2＋(λ－2)x＋2λy－3λ＝0，
依题意得－＝0，∴λ＝2.
故圆的方程为x2＋y2＋4y－6＝0.
答案：B
4．(2011·大纲全国卷)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝ ( )
A．4 B．4
C．8 D．8
解析：依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a>0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝×＝8.
答案：C
二、填空题
5．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则公共弦AB的长为____________．
解析：把两圆方程化为一般方程为x2＋y2－10＝0，①
x2＋y2－2x－6y－10＝0，②
①－②得x＋3y＝0，
即直线AB的方程为 x＋3y＝0.
易知直线AB过圆x2＋y2＝10的圆心，
∴弦长为2.
答案：2
6．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点之间的最短距离是________．
解析：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，由x2＋y2－4x＋2y＋3＝0得(x－2)2＋(y＋1)2＝2，两圆圆心距为＝3，则两圆上的点之间的最短距离是3－－＝.
答案：
7．(2012·开封高一检测)两圆相交于点A(1,3)、B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c＝__________.
解析：AB中点(，1)在直线x－y＋c＝0上，
∴－1＋c＝0，m＋2c＝1，
又∵kAB＝＝＝－1，
∴m＝5，∴c＝－2，
∴m＋c＝3.
答案：3
8．(2012·宁波高一检测)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为____________________．
解析：∵半径为6的圆与x轴相切，
∴设圆心坐标(a，b)，则b＝6.
又∵＝5，
∴a＝±4，
∴所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
答案：(x±4)2＋(y－6)2＝36
三、解答题
9．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点，求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
解：由
两方程相减，得相交弦AB的方程为x－2y＋4＝0.
两圆的圆心C1(－1，－1)，C2(1，－5)，
∴过C1、C2的直线方程为＝，
即2x＋y＋3＝0，
由得AB的中点C(－2,1)，
即为所求圆的圆心．
圆心C1到相交弦AB的距离d1＝＝，
圆C1的半径r1＝，
∴弦长|AB|＝2＝2，
∴所求圆的半径为，方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
10．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0和圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明两圆相切；
(2)求过点(2,3)且与两圆切于上述切点的圆的方程．
解：(1)证明：可知圆C1圆心坐标为(－2,2)，
半径r1＝ ；
圆C2圆心坐标为(4，－2)，半径r2＝ ，
|C1C2|＝2，
r1＋r2＝2，所以两圆相外切．
(2)由切点是两圆圆心的中点可求得两圆相切于点(1,0)，
由题意知，所求圆心应在过C1(－2,2)，
C2(4，－2)的直线2x＋3y－2＝0上，
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
则有
解得
所求圆的方程为3x2＋3y2＋24x－20y－27＝0.
1．下列点不在坐标平面内的是 ( )
A．(1,0,2) B．(－1,0,0)
C．(0,1,1) D．(－3,2,1)
解析：在坐标轴上的点一定在坐标平面内，只有一个坐标为零的点在坐标平面内．
答案：D
2．点(1，－2,3)关于原点的对称点为 ( )
A．(1,2,3) B．(－1, 2，－3)
C．(3，－2, 1) D．(－3,1，－2)
解析：点(1，－2,3)关于原点的对称点为(－1, 2，－3)．
答案：B
3．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于xOy平面的对称点的坐标为 ( )
A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5)
C．(3,4，－5) D．(－3，－4，－5)
解析：∵点M(x，y，z)关于xOy面的对称点为M′(x，y，－z)，
∴点P关于xOy面的对称点为(3,4，－5)．
答案：C
4．在空间直角坐标系中，点P(3,2,1)在y轴上的射影坐标为______，在xOy平面上的射影坐标为________，在yOz平面上的射影坐标是________．
解析：点P(3,2,1)在y轴上的射影坐标为(0,2,0)，
在xOy平面上的射影坐标为(3,2,0)，
在yOz平面上的射影坐标为(0,2,1)．
答案：(0,2,0) (3,2,0) (0,2,1)
5．点P(－3，－6,2)到平面y Oz的距离是________．
解析：点P(x，y, z)到平面xOy、平面yOz、平面xOz的距离分别是|z|、|x|、|y|.
答案：3
6．如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．
解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
E点在平面xDy中，且EA＝，
∴E点的坐标为(1，，0)．
∵B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)．
故F点坐标为(1,1，)．
同理可得G点坐标为(1，，)．
一、选择题
1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在 ( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．yOz平面上
解析：由于y坐标为0，故在平面xOz上．
答案：C
2．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为 ( )
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1，，0)
解析：由于垂足在平面xOy上，故z的坐标为0，x坐标，y坐标不变．
答案：D
3．空间直角坐标系中，点P(－1，－2, 3)所在的卦限是 ( )
A．第Ⅰ卦限 B．第Ⅱ卦限
C．第Ⅲ卦限 D．第Ⅳ卦限
解析：点P(－1，－2, 3)的横坐标与纵坐标都小于零，竖坐标大于零，所以点在第Ⅲ卦限．
答案：C
4．在下列叙述中，正确的个数是 ( )
①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；
③在空间直角坐标系中，在z轴上点的坐标可记作(0,0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上点的坐标是(a,0，c)．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标至少有两个0，坐标平面上的点至少有一个为0.因此题目中②③④三个命题正确．
答案：C
二、填空题
5．点A(2,3,5)关于坐标平面yOz对称的点为A1，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为________．
解析：由题意A1(－2,3,5)，
∴A2的坐标为(－2,3，－5)．
答案：(－2,3，－5)
6．在空间直角坐标系O－xyz中，z＝1的所有点构成的图形是________．
解析：因为z坐标为1，所以图形是一个与xOy面平行的平面．
答案：过点(0,0,1)且与z轴垂直的平面
7．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影是M1点，则M1关于原点的对称点坐标是________．
解析：M1(－2,0，－3)，
∴M1关于原点对称的点为(2,0,3)．
答案：(2,0,3)
8．点P(－2,5,6)在x轴上的投影坐标为________，在xOz平面上的投影坐标为________．
解析：点P(－2,5,6)在x轴上的投影的横坐标为－2，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－2,0,0)．而点P(－2,5,6)在xOz平面上的投影点的横坐标，竖坐标不变，纵坐标为0，故为(－2,0,6)．
答案：(－2,0,0) (－2,0,6)
三、解答题
9．已知长方体的棱长分别为3、4、5，以长方体ABCD－A1B1C1D1的相邻的三条棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系．
(1)求这个长方体的顶点的坐标；
(2)求棱DD1的中点坐标；
(3)求面CDD1C1的对角线交点的坐标．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝3，AD＝4，AA1＝5.
(1)A(0,0,0)、B(3,0,0)、C(3,4,0)、D(0,4,0)、A1(0,0,5)、B1(3,0,5)、C1(3,4,5)、D1(0,4,5)．
(2)因为D(0,4,0)、D1(0,4,5)，
所以DD1的中点坐标为
.
(3)面CDD1C1的对角线交点的坐标即为CD1的中点．因为C(3,4,0)、D1(0,4,5)，
所以面CDD1C1的对角线交点的坐标为.
10．如图，正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为，M、N分别为AB，BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．
解：∵正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为，
∴OB＝，OP＝＝＝2，
∴由上可得A(1，－1,0)、B(1,1,0)、C(－1,1,0)、
D(－1，－1,0)、P(0,0,2)．
又∵E、F分别为PA、PB的中点，
∴由中点坐标公式可得E(，－，1)，F(，，1)．
1．已知点A(2,3,5)，B(－2,1,3)，则|AB|等于 ( )
A. B．2
C. D．2
解析：|AB|＝
＝2.
答案：B
2．在△ABC中，A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C(，，3)，则AB边上的中线|CD|等于( )
A．1.5 B．2
C. 2.5 D．3
解析：∵A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，
∴D(，0,3), 于是
|CD|＝ ＝.
答案：C
3．点B是过点A(1,2,3)作坐标平面yOz垂线的垂足，则|OB|等于 ( )
A. B.
C．2 D.
解析：由题意B点的坐标为(0,2,3)，
∴|OB|＝＝.
答案：B
4．若A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则z＝__________.
解析：∵|AB|＝
＝11，
∴4＋81＋(1－z)2＝121，
∴z＝7或z＝－5.
答案：7或－5
5．点M(4，－3,5)到x轴的距离为m，到xOy坐标平面的距离为n，则m2＋n＝________.
解析：m2＝()2＝34，n＝5，
所以m2＋n＝39.
答案：39
6．已知正三棱锥A－BCD，高为1，底面正三角形边长为，建立适当坐标系写出A、B、C、D四点的坐标，并求侧棱AB的长度．
解：过A作AO⊥面BCD(如图)，
∵正三角形BCD边长为，
∴OC＝××＝1，OE＝.
∴C(1,0,0)，B(－，－，0)，
D(－，，0)，A(0,0,1)．
|AB|＝ ＝.
一、选择题
1．点A(1,0,1)关于原点O的对称点为A′，则|AA′|为 ( )
A．2 B．1
C．4 D．2
解析：空间一点P(x，y，z)关于坐标原点的对称点为(－x，－y，－z)，
∴点A(1,0,1)关于原点的对称点为A′(－1,0，－1)．
∴|AA′|＝＝2.
答案：A
2．空间直角坐标系中，在x轴上与点P(4,1,2)的距离为的点的坐标是( )
A．(9,0,0)
B．(1,0,0)
C. (9,0,0)或(－1,0,0)
D. (－9,0,0)或(1,0,0)
解析：设点Q(x,0,0)，由题意，得
|PQ|＝ ＝ ，
解得x＝9或x＝ －1.
所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1，0,0)．
答案：C
3．棱长为4的正方体，如图所示，P是AB的中点，Q为面BCC1B1的中心，则P、Q两点间的距离为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由题意知P(4,2,0)、Q(2,4,2)，则
|PQ|＝ ＝2.
答案：A
4．设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为 ( )
A．(1,0,0) B．(－1,0,0)
C．(1,0,0)或(0，－1,0) D．(1,0,0)或(－1,0,0)
解析：∵点P在x轴上，
∴设点P的坐标为(x,0,0)．
由题意|PP1|＝2|PP2|，
∴
＝2，
解得x＝±1，∴所求点为(1,0,0)或(－1,0,0)．
答案：D
二、填空题
5．已知点A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为________．
解析：A、B点射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，
∴A′B′＝＝.
答案：
6．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值等于________．
解析：|AB|
＝
＝
＝.
根据二次函数的性质，得当x＝时，|AB|取得最小值．
答案：
7．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)、B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．
解析：设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得
(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2
＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，
解得y＝－1.∴M(0，－1,0)．
答案：(0，－1,0)
8．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．
解析：设正方体棱长为a，因为|AM|＝＝为正方体体对角线长的一半，所以3a2＝52，
故a＝.
答案：
三、解答题
9．已知一长方体的三条棱AB、AC、AD端点坐标分别为A(1,2,1)、B(1,5,1)、C(1,2,7)、D(3,2,1)，求这个长方体的长、宽、高和对角线的长．
解：|AB|＝＝3，
|AC|＝＝6，
|AD|＝＝2，
对角线的长为＝7.
∴长方体的长、宽、高分别为3、2、6，对角线的长为7.
10．已知A(3,3,1)、B(1,0,5)，求：
(1)线段AB的长度；
(2)线段AB的中点坐标；
(3)到A、B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x、y、z满足的条件．
解：(1)由空间两点间的距离公式得
|AB|＝＝.
(2)线段AB的中点坐标为(，，)，
即为(2，，3)．
(3)点P(x，y，z)到A、B的距离相等，则
＝，
化简得4x＋6y－8z＋7＝0.
即到A、B距离相等的点的坐标(x，y，z)满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的斜率是－1，则y＝ ( )
A．1 B．－1
C．5 D．－5
解析：＝－1，∴y＝－5.
答案：D
2．点P(3，－2,4)关于点A(0,1，－3)的对称点的坐标是 ( )
A．(－3,2，－4) B．(－3,4，－10)
C．(－3,3，－7) D．(6，－5,11)
解析：P(3，－2,4)关于点A(0,1，－3)的对称点的坐标是(0－3,1×2－(－2)，2×(－3)－4)，即(－3,4，－10)．
答案：B
3．(2010·安徽高考)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是 ( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为：x－2y＋c＝0，将点(1,0)代入x－2y＋c＝0，解得c＝－1，故直线方程为x－2y－1＝0.
答案：A
4．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是 ( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
解析：设所求直线上任一点P(x，y)，则P关于直线x＝1的对称点p′(2－x，y)，一定在直线x－2y＋1＝0上，得(2－x)－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0.
答案：D
5．(2010·安徽联考)过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
解析：设所求方程为2x＋y＋m＝0.将P(－1,3)代入得2×(－1)＋3＋m＝0，解得m＝－1，
∴所求方程为2x＋y－1＝0.
答案：A
6．若点P(a,2a)在圆(x－1)2＋y2＝5a2－1的内部，则a的取值范围是 ( )
A．a＞1 B．a≥1
C．a<1 D．a≤1
解析：由(a－1)2＋(2a)2<5a2－1，
解得a>1,5a2－1>4，满足题意．
答案：A
7．一束光线自点P(1,1,1)发出，被xOy平面反射到达点Q(3，3,6)被吸收，那么光线所走的路程是 ( )
A. B.
C. D.
解析：P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为
P′(1,1，－1)，
∴|P′Q|＝ ＝.
答案：D
8．(2011·浙江桐乡高一检测)自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长为( )
A. B.
C．3 D．5
解析：设切点为P，圆心为Q，由题意可得
|PQ|＝1，Q(2,3)，
|AQ|＝＝，
∴在Rt△APQ中，
|AP|2＝|AQ|2－|PQ|2＝10－1＝9，
∴|AP|＝3.
答案：C
9．(2011·江西高考)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ( )
A．(－，) B．(－，0)∪(0，)
C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：整理曲线C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1为以点C1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交点，知直线l与x轴相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝答案：B
10．(2010·湖北高考)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是 ( )
A．[1－2，1＋2] B．[1－，3]
C．[－1,1＋2] D．[1－2，3]
解析：在平面直角坐标系内画出曲线y＝3－(注：该曲线是以点C(2,3)为圆心，2为半径的圆在直线y＝3下方的部分)与直线y＝x，在平面直角坐标系内平移该直线，结合图形分析可知，当直线向左上方平移到过点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y＝3－都有公共点；当直线向右下方平移到与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线y＝3－都有公共点．注意到与y＝x平行且过点(0,3)的直线方程是y＝x＋3；当直线y＝x＋b与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切时，有＝2，b＝1±2.结合图形可知，满足题意的b的取值范围是[1－2，3]．
答案：D
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．直线－x＋y－6＝0的斜率是________，在y轴上的截距是________．
解析：方程变为y＝x＋2.
∴斜率为，在y轴上截距为2.
答案： 2
12．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，若l1⊥l2，l1在y轴上的截距为－1，则m＝____________，n＝____________.
解析：由已知可得∴
答案：0 8
13．(2010·上海高考)圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线l：3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
解析：由圆的方程可知圆心坐标为C(1,2)，由点到直线的距离公式，可得d＝＝3.
答案：3
14．(2010·山东高考)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为__________．
解析：依题意可设圆心坐标为(a,0)，a>0，
则半径为|a－1|，圆心到直线l的距离为，
根据勾股定理可得，
()2＋()2＝|a－1|2，
解得a＝3或a＝－1(舍去)，
所以圆C的圆心坐标为(3,0)，
则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2011·广东省肇庆市检测)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(3a＋1)x－ay＋1＝0.
(1)当l1∥l2时，求a的值；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
解：(1)当a＝0时，
l1的方程为x＝1，l2的方程为x＝－1，显然l1∥l2；
当a≠0时，
直线l1的斜率k1＝－，直线l2的斜率k2＝，
由k1＝k2，得－＝，解得a＝－.
当a＝－时，l1的方程为x－y－1＝0，
l2的方程为x－y－2＝0，l1∥l2.
综上，当a＝0，或a＝－时，l1∥l2.
(2)由(1)得，当a＝0时，l1不垂直于l2；
当a≠0时，由k1·k2＝－1，得－×＝－1，
解得a＝.
故当a＝时，l1⊥l2.
16．(本小题满分12分)△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求边AC所在直线方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线方程；
(3)求边AC的中垂线所在直线方程．
解：(1)由于A(0,4)，C(－8,0)．
由直线的截距式方程，得＋＝1，
即为x－2y＋8＝0.
∴AC边所在直线的方程为x－2y＋8＝0.
(2)设中点D(x，y)，由中点坐标公式，
则x＝＝－4，y＝＝2.
由直线的两点式方程得BD所在直线的方程为
＝，即为2x－y＋10＝0.
∴AC边上的中线BD所在直线的方程为
2x－y＋10＝0.
(3)中垂线即为垂直平分线．
∵kAC＝＝，
由两直线垂直的条件知，中垂线所在直线的斜率
k＝－＝－2.
∴中垂线所在直线的方程为
y－2＝－2(x＋4)，即为2x＋y＋6＝0.
∴AC边的中垂线方程为2x＋y＋6＝0.
17．(本小题满分12分)设圆上一点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圆上一点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，
∴圆心在直线x＋2y＝0上，即a＋2b＝0①
∵圆被直线截得的弦长为2，
∴()2＋()2＝r2②
由点A(2,3)在圆上得(2－a)2＋(3－b)2＝r2③
联立①②③解方程组得或.
∴圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或
(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
18．(本小题满分14分)(2011·广东省广州市检测)已知圆C经过A(3,2)、B(1,6)两点，且圆心在直线y＝2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l经过点P(－1,3)且与圆C相切，求直线l的方程．
解：(1)法一：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
依题意得：
解得a＝2，b＝4，r2＝5.
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5.
法二：因为A(3,2)、B(1,6)，
所以线段AB中点D的坐标为(2,4)，
直线AB的斜率kAB＝＝－2，
因此直线AB的垂直平分线l′的方程是
y－4＝(x－2)，即x－2y＋6＝0.
圆心C的坐标是方程组的解．
解此方程组，得
即圆心C的坐标为(2,4)．
圆心为C的圆的半径长
r＝|AC|＝＝.
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5.
(2)由于直线l经过点P(－1,3)，
当直线l的斜率不存在时，x＝－1与圆C(x－2)2＋(y－4)2＝5相离．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为
y－3＝k(x＋1)，
即：kx－y＋k＋3＝0.
因为直线l与圆C相切，且圆C的圆心为(2,4)，半径为，所以有
＝.
解得k＝2或k＝－.
所以直线l的方程为y－3＝2(x＋1)或
y－3＝－(x＋1)，
即：2x－y＋5＝0或x＋2y－5＝0.
