题型三 三角函数与解三角形（2）
——2023届高考数学高频题型专项训练
1.已知，且是第一象限角，则( ).
A. B. C. D.
2.已知A，B，C为的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若，且，则( ).
A. B. C. D.
3.若将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，则所得函数的图象的一个对称中心为( )
A. B. C. D.
4.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
5.在信息传递中多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号（形如，某种“信号净化器”可产生形如的波，只需要调整参数，就可以产生特定的波（与干扰波波峰相同，方向相反的波）来“对抗”干扰.现有波形信号的部分图像，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波（标准正弦函数图像），应将波形净化器的参数分别调整为( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
6.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4 km的C，D两点，测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），则两目标A，B间的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，则__________.
8.已知，且，则________________.
9.对于函数，下列结论中正确的有_________.(填序号)
①的图象是由的图象向右平移个单位而得到的;
②的图象过点;
③的图象关于点对称;
④的图象关于直线对称.
10.记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.
（1）求的面积；
（2）若，求b.
答案以及解析
1.答案：A
解析：根据题意，得，即，
是第一象限角，，
故.故选A.
2.答案：A
解析：由得，由正弦定理得，
又，则，由余弦定理得，由得，故选A.
3.答案：A
解析：将的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可以得到的图象，
再向右平移个单位长度，可以得到的图象，
因此，，则，故选A.
4.答案：C
解析：，
，
.
5.答案：B
解析：设干扰信号对应的函数解析式为.由题图得（T为干扰信号的周期，解得，.函数的最大值为，.将代入，解得，，，..欲消除的波需要选择相反的波，即，故选B.
6.答案：B
解析：由题知，在中，，，.由正弦定理，可知.在中，由，可知，由正弦定理得.在中，由余弦定理得，则.所以A，B之间的距离为.故选B.
7.答案：
解析：由题图可知，所以，因此，所以，又函数图象过点，所以，即，，解得，，又因为，所以.故答案为.
8.答案：
解析：解法一 由，且可得，故，则.
解法二 由，且可得，则，所以.
9.答案：③④
解析：将的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为，故①错误；当时，故②错误；当时，所以函数的图象关于点称，故③正确；当时，所以函数的图象关于直线对称，故④正确.综上可得，③④正确.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，即，
又，所以.
由，得或（舍去），
所以，
则的面积.
（2）由，及正弦定理知，
即，得.题型三 三角函数与解三角形
——2023届高考数学高频题型专项讲解
一、思路分析
三角函数定义的应用，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简与求值都是高考中的热点考查内容，常与三角恒等变换结合命题，同时应注意象限角、终边相同的角等与三角函数的综合，以及扇形的弧长和面积公式的考查，考查基本运算能力，题型以选择题、填空题为主.
三角恒等变换在高考中重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用，主要体现在：（1）三角函数式的化简；（2）三角函数的求值；（3）通过恒等变换研究函数的性质等.注意三角恒等变换与三角函数的图象和性质、解三角形、平面向量的综合命题，难度中等偏下.
高考考查三角函数的命题点主要有三个方面：（1）三角函数的图象及应用；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查.多以选择题和填空题的形式出现，难度中等，多了解命题新角度、新综合以及三角函数模型的应用问题.
解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档.
二、考纲要求
1.任意角和弧度制、三角函数的概念和诱导公式
（1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互比.
（2）理解并掌握同角三角函数的基本关系式.
（3）掌握诱导公式及其应用.
2.三角恒等变换
（1）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式.
（2）能进行简单的三角恒等变换.
3.三角函数的图象与性质
（1）理解三角函数的定义，掌握三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值等性质及其应用.
（2）了解的实际意义，理解参数A，，的意义以及参数的变化对函数图象的影响.
（3）会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
4.解三角形
（1）掌握余弦定理、正弦定理.
（2）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
三、方法技巧
1.利用诱导公式化简求值的思路
（1）给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用.
（2）在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错.
2.弧长和扇形面积问题的解题策略
（l）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
（3）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
3.三角函数定义问题的常见类型及解题策略
（1）已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值：先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解.
（2）已知角的某个三角函数值，求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值.
（3）三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
4.应用三角恒等变换公式的策略
（1）正用三角函数公式时，要记住公式的结构特征和符号变化规律，如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”.
（2）逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式.
（3）注意和差角和倍角公式的变形.
（4）三角恒等变换常与同角三角函数基本关系、诱导公式等综合应用.
5.解决三角函数的图象变换问题的基本方法
（1）直接法：平移变换规则是“左加右减，上加下减”，井且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么要先把x的系数提取出来再确定平移的单位长度和方向.
（2）方程思想法：可以把变换前后的两个函数变为同名函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解.
（3）数形结合法：平移变换的实质就是点的坐标的变换，横坐标的平移交换对应着图象的左右平移，纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移，一般可选定变换前后的两个函数，的图象与x轴的交点（如图象上升时与x轴的交点），其分别为，（，），则由的值可判断出左右平移的情况，由的值可判断出上下平移的情况，由三角函数最小正周期的变化可判断出伸缩变换的情况.
6.给值求值问题的解题策略
从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.
7..解给值求角问题的一般步骤
（1）确定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
（2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
8.利用三角函数处理物理学问题的策略
（1）常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性.
（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
9.正、余弦定理判断三角形形状的方法
（1）角化边：通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系进行判断.
（2）边化角：通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系进行判断.
10.解三角形中的最值（取值范围）问题的求解方法
（1）函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换:及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解，
（2）基本不等式法：利用正、余弦定理，面积公式建立，，之间
的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解.
（3）几何法：根据已知条件画出图形，结合图形，找出临界位置，数形结合求解.
11.利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤
（1）找条件.寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.
（2）定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，进行边角之间的转化.
（3）求结果，根据前两步的分析，代入求值得出结果.
（4）反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.
12.几个典型三角形应用问题的处理方法.
（1）求距离问题的注意事项：
①选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
②确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
（2）处理高度问题的注意事项：
①在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角（视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角）是一个关键.
②在实际问题中，可能会遇到空间与平面同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.
（3）测量角度问题的一般步骤：
①在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离；
②用正弦定理或余弦定理解三角形；
③将解得的结果转化为实际问题的解.题型三 三角函数与解三角形（1）
——2023届高考数学高频题型专项训练
1.以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.在中，若，则的形状是( ).
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
4.函数的部分图象如图所示，若把的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则m的值可能为( )
A. B. C. D.
5.如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，（单位：百米），则A，B两点间的距离为( )
A. B. C.3 D.
6.已知函数，若满足，则下列结论正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.函数的图象关于点对称
C.函数在区间上单调递增
D.存在使函数为偶函数
7.已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，，且5，则___________.
8.已知角为第二象限角，且，则_________，________.
9.已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到的图象，若，则的最小值为____________.
10.在中，内角的对边分别为.已知.
(1)若，求的面积；
(2)若外接圆半径，求的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：设单位圆的半径为r，圆弧的长为l，则，，对应的圆心角.设，由三角函数定义，可得，，点Q的坐标为.
2.答案：D
解析：，.
3.答案：A
解析：因为，
所以由正弦定理，可得，
又，所以，
因为，所以，
又因为，所以，所以为直角三角形.故选A.
4.答案：C
解析：由题意可知：，.
且，，.
把函数的图象向左平移m个单位长度得的图象，
，.
当时，，故选C.
5.答案：C
解析：在中，，，则，.在中，，，则，由正弦定理，得.则在中，，，，由余弦定理得，则.故选C.
6.答案：C
解析：函数的最大值为1，且，
与均对应函数的最大值1.，即.又，，，，.又，，故.
当时，，A错误；当时，，B错误；当时，，函数在区间单调递增，C正确；若函数为偶函数，则，即，，，，当时，；当时，，不存在，使函数为偶函数，D错误.故选C.
7.答案：
解析：，得，所以，即.
8.答案：；-3
解析：解法一：因为为第二象限角，且，所以，
所以，，
所以.
解法二：因为为第二象限角，且，所以，
所以.
所以
.
9.答案：
解析：由题意得，
由，可得或，
则，或，
，故或，
由可知当时，取得最小值为.
10.答案：(1)
(2)
解析：(1)由，得，
即，所以，
因为B是三角形内角，所以，得.
由，及正弦定理得，又，整理得，
因为，所以，即.
又，所以边上的高为，
所以.
(2)由正弦定理，得，
所以
.
因为，所以，
则，所以，
所以.
故的取值范围为.
