课件32张PPT。1.1
空间几何体1.1.1
构成空间几何体的基本元素课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
立体几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测 1．几何体的概念
如果只考虑一个物体占有空间部分的 和 ，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．
2．构成几何体的基本元素
(1) 、 、 是构成几何体的基本元素．
(2)长方体由六个矩形(包括它的内部)围成，围成长方体的各个矩形，叫做 ；相邻两个面的公共边，叫做 ；棱和棱的公共点叫做 ．形状大小点线面长方体的面长方体的棱长方体的顶点[读教材·填要点] (3)在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个
表示一个平面，并把它想象成无限延展的．
平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名．
3．点、线、面、体之间的生成关系
(1)点动成线：
在几何体中，可以把线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条 ；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹就是一条
．平行四边形直线或线段曲线或曲线的一段 (2)线动成面：
一条线运动的轨迹可以是一个面，直线平行平移，可以形成 ．固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成 ．
(3)面动成体：
面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 平面或曲面锥面 4．长方体中的点、线、面之间的位置关系
? 观察图中的长方体ABCD－A′B′C′D′.
(1)直线与平面平行：
直线和平面 ，我们说直
线和平面平行，如图中，直线AB和平面
A′C′平行，记作 .没有公共点AB∥平面A′C′ (2)直线与平面垂直：
直线AA′和平面内的两条直线AB，AD都垂直，我们说直线AA′与平面AC ，A为 ，记作
.直线AA′称作平面AC的 ，平面AC称作直线AA′的
．线段AA′的长称作点A′到平面AC的距离．垂直直线AA′⊥平面垂足AC垂面垂线 (3)两个平面平行：
如果两个平面 ，则说这两个平面平行．
长方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、
DD′都与两平行平面ABCD、平面A′B′C′D′ 且 ，
它们都是这两个底面上的高，它们的长度称做 ．
(4)两平面互相垂直：
如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的 ，我们说这两个平面互相垂直．垂直没有公共点等长两底面间的距离一条垂线[小问题·大思维]
1．一块矩形的玻璃是平面吗？
提示：矩形的玻璃不是无限延展的，它不是平面，只
是平面的一部分．
2．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)圆和平面多边形都可以表示平面；
(2)若S?ABCD＞S?A′B′C′D′，则平面ABCD大于平面
A′B′C′D′；
(3)用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这
一平面的边界． 提示：(1)正确．这样的图形都可以表示平面，点、
线这样的平面图形是平面的基本元素．
(2)不正确．平面是不可度量的，不涉及大小，不能
计算面积．
(3)不正确．平面是无限延展的，无边界．
3．直线平移一定形成平面吗？
提示：不一定．也可以形成曲面．
4．直线绕定点转动，一定形成锥面吗？
提示：不一定，也可以形成平面．[研一题]
[例1] 试指出下列各几何体的基本元素： [自主解答] (1)中几何体有6个顶点，12条棱和8个三角形面；
(2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；
(3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；
(4)中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面)．[悟一法]
(1)点、线、面是构成空间几何体的基本元素，认真观察图形，联想实物，正确理解概念．只要暴露在外面的部分才是面．
(2)线包括直线(段)和曲线(段)，面包括平面(部分)和曲面(部分)．[通一类]
1．下列元素属于构成几何体的基本元素的有 ( )
①点 ②线 ③曲面 ④平行四边形(不含内部的点)
⑤长方体 ⑥线段
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：①②③⑥均为构成几何体的基本元素，只有④
⑤不属于构成几何体的基本元素，故选B.
答案：B[研一题]
[例2] 下列说法中错误的是________．
(1)平行四边形是一个平面；
(2)任何一个平面图形都是一个平面；
(3)平静的太平洋面就是一个平面；
(4)两个平面重叠在一起，比一个平面厚；
(5)一条直线比平面的长还要长． [自主解答] (1)不正确．我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面．平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的．
(2)不正确．平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可能无限延展的．
(3)不正确．太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平的．太平洋面只是给我们一种平面的印象． (4)不正确．平面是抽象出来的，没有长度和宽度，也没有厚度．
(5)不正确．直线是无限延伸的，平面是无限延展的，所以直线和平面的长是不可比较的．
[答案] (1)(2)(3)(4)(5)[悟一法]
(1)搞清平面与平面图形的区别与联系是解决此类问题的关键；
(2)平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是一种理想的图形． [通一类]
2．下列说法中正确的是 ( )
A．书桌面是平面
B．9个平面叠起来，要比3个平面叠起来厚
C．一个平面的长是100 m，宽是25 m
D．平面是无限延展且没有厚度的
解析：平面是一个抽象的数学概念，它绝对的平，
无厚度，可以无限延展．
答案：D [研一题]
[例3] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1
中，请写出：
(1)三对平行的平面；
(2)三对垂直的平面；
(3)直线AD1与平面BC1的位置关系；
(4)直线AD与平面AB1的位置关系． [自主解答] (1)平面AB1与平面DC1，平面AD1与平面BC1，平面AC与平面A1C1分别平行．
(2)平面AB1与平面AC，平面AB1与平面AD1，平面AC与平面BC1分别垂直(不唯一)．
(3)直线AD1与平面BC1互相平行．
(4)直线AD与平面AB1互相垂直．?[悟一法]
以正方体、长方体为载体研究几何体中的点、线、面的关系有助于形成空间观念，可以利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系，解决这类问题的关键在于先识好图，然后由概念结合图形进行解答．3.[例题多解思考]若本例中正方体的棱长为1，求：
(1)AC1的长；
(2)点A到平面BC1的距离；
(3)正方体的全面积与体积．[通一类] 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．[巧思] 立体图形中不易计算的距离问
题，可将此立体图形转化为平面图形，
在平面几何中予以解决．[妙解] 沿长方体的一条棱剪开，使
A和C1展在同一平面上，求线段AC1
的长即可，有如图所示的三种剪法：点击此图进入点击此图进入课件37张PPT。1.1
空间几何体1.1.2
棱柱
、棱锥和棱台的结构特征课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
立体几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测 1．多面体
(1)多面体的结构特征：
多面体是由若干个 所围成的几何体．
(2)多面体的相关概念：围成多面体的各个多边形叫做多面体的 ；相邻两个面的公共边叫做多面体的 ；棱与棱的公共点叫做多面体的 ；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的 ．[读教材·填要点]平面多边形面棱顶点对角线 (3)凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的 ，则这样的多面体就叫做凸多面体．
(4)多面体的分类：多面体按照围成它的 分别叫做四面体、五面体、六面体…….
(5)几何体的截面：
一个几何体和一平面相交所得的 (包含它的
)，叫做这个几何体的截面．同一侧面的个数平面图形内部 2．棱柱
(1)棱柱的主要特征：
棱柱有两个面 ，而其余每相邻两个面的交线都 ．
(2)棱柱的相关概念：
棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的 ；其余各面叫做棱柱的 ；两侧面的公共边叫做棱柱的 ；两个底面所在平面间的距离叫做棱柱的 ．互相平行互相平行底面侧面侧棱高 (3)棱柱的分类：
①按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
②棱柱又分为斜棱柱和直棱柱：
侧棱与底面 的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面 的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．不垂直垂直 (4)棱柱的表示：
棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或都用一条对角线端点的两个字母来表示．如上、下底面分别是△A′B′C′、△ABC的三棱柱，可表示为棱柱ABC－A′B′C′或棱柱AC′.
(5)一些特殊的四棱柱：
底面是平行四边形的棱柱叫做 ；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做 ；底面是矩形的直平行六面体是 ；棱长都相等的长方体是 ．平行六面体直平行六面体长方体正方体 3．棱锥
(1)棱锥的主要结构特征：
棱锥有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
(2)棱锥的有关概念：
棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的 ；各侧面的公共顶点叫做棱锥的 ；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的 ；多边形叫做棱锥的 ；顶点到底面的距离叫做棱锥的 . 多边形侧面顶点侧棱底面高 (3)棱锥的表示：
棱锥用表示 和 的字母或者用表示
和底面的 的字母来表示．
(4)棱锥的分类：
棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥．
(5)正棱锥及其斜高：
如果棱锥的底面是 ，它的顶点又在
的垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥，侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的 ．顶点底面各顶点顶点一条对角线端点正多边形过底面中心斜高 4．棱台
(1)棱台及其相关概念：
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做 ．原棱锥的底面和截面分别称做棱台的 、
，其他各面叫做棱台的 ．相邻两侧面的公共边叫做棱台的 ，两底面间的距离叫做棱台的 ．棱台下底面上底面侧面侧棱高 (2)正棱台及其斜高：
由 截得的棱台叫做正棱台，侧面等腰梯形的高叫做正棱台的 ．
(3)棱台的表示：
棱台可用表示 的字母或用一条对角线端点的两个字母来表示．正棱锥斜高上、下底面[小问题·大思维]1．有两个面互相平行，其余各面都是
平行四边形的几何体一定是棱柱吗？
提示：不一定是棱柱．如图所示的
几何体满足此说法，但是不满足棱
柱的定义．2．长方体是不是四棱柱？直四棱柱是不是长方体？
提示：长方体是四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，
底面是矩形的直四棱柱是长方体．
3．棱锥最少有几个面和几条棱？
提示：面数最少的棱锥是三棱锥，它具有四个面，六
条棱．
4．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥吗？
提示：不一定．如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶
点在过底面中心且与底面垂直的直线上，就是正棱锥．5．我们知道棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角
形．那么，有一个面是多边形，其余各面都是三角形
的多面体一定是锥棱吗？提示：不一定．如图所示的多面体，它
有一个面是多边形，其余各面都是三角
形，但是它不满足棱锥定义中的“其余
各面是有一个公共顶点的三角形”，所
以它不是棱锥．6．棱台的各个侧面是什么图形？
提示：梯形且两侧棱为梯形的两腰．[研一题][例1] 下图所示的多面体是不是棱台？ [自主解答] 根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是不是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，在图(1)中多面体侧棱延长线不相交于同一点，不是棱台；图(2)中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图(3)中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台．[悟一法]
由给出的空间几何体图形判断空间几何体的类型时，要严格依照定义，从图中索取相关的线索，进而得出判断结论．[通一类]
1．如图将装有水的长方体水槽固定底
面一边后将水槽倾斜一个小角度，
则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 ( )
? A．棱柱 B．棱台
C.棱柱与棱锥组合体 D．不能确定
解析：固定底面一边倾斜后，上、下两面为平行四边形，
且仍然平行，其余四面的交线分别平行，符合柱体特征，
故为棱柱．
答案：A[研一题]
[例2] 给出下列几个命题：
①棱柱的侧面都是平行四边形；
②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
③多面体至少有四个面；
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，假命题的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3 [自主解答] 显然命题①、②均是真命题．对于命题③，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故命题③是真命题．
对于命题④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，它便是棱锥的顶点，故棱台的侧棱延长交于一点正确．
[答案] A[悟一法]
只有理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征，才能正确做出判断．
(1)棱柱有两个主要结构特征：一是有两个面互相平行；二是各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．
(2)棱锥有两个主要结构特征：一是有一个面是多边形，其余各面都是有一公共顶点的三角形．
(3)棱台的上、下底面平行相似，各侧棱延长交于一点．[通一类]
2．下列四个命题中，真命题的个数是 ( )
①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的
直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边
的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行
六面体是直平行六面体．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个解析：①不正确．除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体．
②不正确．当底面是菱形时就不是正方体. ③不正确．是两条侧棱垂直于底面一边而非垂直于底面，故不一定是直平行六面体．
④正确．因为对角线相等的平行四边形是矩形，由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体．
答案：A[悟一法]
(1)正棱锥中基本量的计算要借助构造的直角三角形，如本题中的Rt△VAO、Rt△VOD、Rt△VCD等．它们包含了正棱锥的侧棱长、高、斜高、底面边长的一半，底面外接圆半径和内切圆半径．
(2)正棱台的高、相应边心距之差的绝对值和斜高组成一个直角三角形；高、侧棱和底面相应的外接圆半径之差的绝对值也组成一个直角三角形．有关空间几何图形的计算，常常转化为平面几何图形的计算解决．[通一类]
3．正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，
计算它的斜高．解：设正三棱台ABC－A1B1C1上、
下底面中心分别为O1、O、BC、
B1C1的中点分别为D、D1，
则D1D为正三棱台的斜高．
因为正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2， 如图所示，过BC的截面截去长方体的
一角，所得的几何体是不是棱柱？
[错解] 不是棱柱，因为几何体的
上、下底面虽然平行，但不全等，侧面
也不全是平行四边形． [错因] 几何体是否为棱柱，应结合棱柱定义中的两个关键，上面几何体可以换一种放置方式，错误的原因是对定义理解不透彻．
[正解] 当截面恰好过A1D1时，就是三棱柱，当截面如图中所示位置时，所得几何体也是棱柱，是四棱柱，此时底面视为面A1ABE和面D1DCF.点击此图进入点击此图进入课件38张PPT。1.1
空间几何体1.1.3
圆柱、圆锥、圆台
和球课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
立体几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测考点四[读教材·填要点]1．圆柱、圆锥、圆台和球的概念矩形的一边曲面旋转轴圆面不垂直于轴这条边轴一条直角边曲面圆面旋转轴轴不垂直于轴这条边垂直于底边的腰曲面旋转轴轴不垂直于轴这条边圆面直径曲面球面线段球心到一个定点定长经过球心的不经过球心大圆劣弧(1)球心：半圆的 圆心 2.旋转体
由一个平面图形绕着一条直线旋转而产生的曲面围成的几何体叫旋转体．圆柱、圆锥、圆台、球等都属于旋转体．
3．组合体
由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫组合体．[小问题·大思维]
1．若将矩形绕某一条直线旋转而形成圆柱，则这条直线
如何确定？
提示：圆柱是由矩形绕其一边旋转一周而形成的曲面
所围成的几何体，除此之外，还可以将矩形绕其两对
边的中点连线旋转半周得到圆柱．
2．垂直于圆柱的轴的截面有什么特点？
提示：垂直于圆柱的轴的截面是与底面平行且相等的圆．3．圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是什么样的图形？
提示：矩形、等腰三角形、等腰梯形．
4．任意一个圆柱、圆锥、圆台去掉两个底面，沿任意一条
母线剪开，展开各是什么图形？
提示：矩形，扇形，扇环．
5．若将等腰三角形绕某一条直线旋转而形成圆锥，则这条
直线如何确定？
提示：圆锥是由直角三角形绕其一条直角边旋转一周而
形成的曲面所围成的几何体，除此之外，还可以将等腰
三角形绕底边上的中线所在直线旋转半周而形成圆锥．6．若将等腰梯形绕某一条直线旋转而形成圆台，则这条
直线如何确定？
提示：圆台可以看作是由等腰梯形绕其对称轴旋转半
周得到的．
7．半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的几何体
是球吗？
提示：不是．是球面．
8．多面体与旋转体的主要区别是什么？
提示：多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体
是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．9．圆柱、圆锥、圆台之间有什么联系？一般的柱体、锥体、
台体呢？ 提示：圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，当圆台的一个底
面变为与另一个底面同样大时，圆台变为圆柱；当圆台
的一个底面缩为一个点时，圆台变为圆锥．
对于一般的柱体、锥体、台体之间的联系如下：[研一题]
[例1] 下列叙述正确的个数是 ( )
①以直角三角形的一边所在的直线为轴旋转所得到的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得到的几何体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1
C．2 D．3 [自主解答] ①应以直角三角形
的一条直角边所在直线为旋转轴旋
转才可得到圆锥，以直角三角形的
斜边所在直线为旋转轴旋转得到的
几何体为两个同底的圆锥连在一起的几何体，如图1，故①错；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体为一个圆台一侧挖去一个同上底的圆锥，另一侧补上一个同下底的圆锥，如图2，故②错；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，而不是圆，故③错；④用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故④错．故选A.
[答案] A[悟一法]
对旋转体定义的理解要准确，认清不同几何体的旋转轴，截面的作用有所不同．判断时要抓住几何体的结构特征，认真分析，对比判断．球与球面是完全不同的两个概念，球是几何体，而球面是曲面．[通一类]
1．下列说法中正确的个数是 ( )
①半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球；
②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫
球面；
③球面和球是同一个概念；
④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆．
A．1 B．2
C．3 D．4 解析：半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体，叫球，①不正确；②正确；球面和球是两个不同的概念，③错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误．
答案：A[研一题]
[例2] 一个圆锥的高为2cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积． [自主解答] 画出圆锥的轴截面．
如图，设圆锥SO的底面直径为AB，
SO为高，SA为母线，
则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，[悟一法]
(1)圆柱、圆锥、圆台的轴截面将其母线、高、上下底面半径有机地结合在一起，充分利用轴截面可进行相关元素间的计算．
(2)在研究和处理旋转体的相关问题时，通常作出几何体的轴截面，如圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素．[通一类]
2．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比
为1∶4，母线长是10 cm，求圆锥的母线长．[研一题]
[例3] 观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的，并说出主要结构特征． [自主解答] 图①是由长方体及四棱锥组合而成的，图②是由球、棱柱、棱台组合而成的．
[悟一法]
组合体的结构特征有两种组成
(1)是由简单几何体拼接而成；
(2)是由简单几何体截去或挖去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．[通一类]
3．指出图中的两个奖杯分别是由怎样的几何体组成的．解：图①是由两个圆柱，一个圆台组合而成的；
图②是由一个圆锥，一个圆柱，一个圆台组合而成的．[研一题]
[例4] 地球半径为R，在北纬30°的圆上，A点经度为东经120°，B点的经度为西经60°，则A、B两点的球面距离是多少？ [自主解答] ∵点A、B都在北纬30°的圆上，A点经度为东经120°，B点的经度为西经60°，
∴A、B两点的连线是30°纬线圆的直径，
设球心为O，小圆的圆心为O1，[悟一法]
要求A、B两点的球面距离，需求出过A、B两点的大圆劣弧所对的圆心角，因此需要通过角的转化求出∠AOB的大小．答案：D 已知球的两个截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求球的半径．点击此图进入点击此图进入课件47张PPT。1.1
空间几何体1.1.4
投影与直观图课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
立体几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测考点四[读教材·填要点]
1．平行投影
(1)概念： 如图，已知图形F，直线l与平面α相交．过F上任意一点M作直线MM′平行于l，交平面α于点M′，则点M′叫做点M在平面α内关于直线l的 (或 )．如果图形F上的
所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′，则F′
叫做图形F在α内关于直线l的 ．平面α叫做
，l叫做 ．平行投影象平行投影投射面投射线 (2)当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：
①直线或线段的平行投影是 ；
②平行直线的平行投影是 ；
③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 ；
④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形 ；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于
．直线或线段平行或重合的直线平行且等长这两条线段的比全等 2．直观图与斜二测画法
(1)直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．
(2)斜二测画法的规则：
(以一个正方体的模型为例)
①在已知模型所在的空间中取水平平面ABCD(如图(1))，以A为原点O，以AB，AD分别为互相垂直的轴Ox，Oy，以AA′为Oz轴，则∠xOz＝ ，且∠yOz＝ .90°90° ②画直观图时(图(2))，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝ ，
∠x′O′z′＝ . x′O′y′所确定的平面表示水平平面．45°(或135°)90° ③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于 ， 或 的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
④ 已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中
，平行于y轴的线段，长度为 ．
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图(图(3))．x′轴y′轴z′轴保持长度不变原来的一半 3．中心投影
一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的 ．中心投影[小问题·大思维]
1．如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位
线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的中位线吗？
提示：一定．一条线段中点的投影仍是这条线段投影的
中点．
2．在平行投影下，一条直线在投射面的图形可能是什么？
提示：一点或一条直线．3．写出一个平行四边形的平行投影的所有可能的结果．
提示：当投射线l与投射面α垂直时，
①如果平行四边形F与l垂直(即与α平行)则平行投影是
与F全等的平行四边形；
②如果F与α垂直，则F的平行投影为一条线段．
③如果F不与α垂直也不与l垂直，则F的平行投影为不
与F全等的平行四边形．
当l与α不垂直时，由平行投影的性质，F的投影可能是
平行四边形，也可能是一条线段．4．圆的直观图是什么图形？
提示：椭圆．
5．两条互相垂直的直线的直观图仍然垂直吗？
提示：不垂直．
6．在平行投影中与投影面平行的平面图形，它的影子与这
个图形有何关系？在中心投影之下呢？
提示：在平行投影中，与投影面平行的原图形与它的影
子全等，在中心投影中，原图形与它的影子相似．[研一题]
[例1] 下列说法：
①从投影的角度看，斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；
②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点；
③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线； ④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．
其中正确的说法有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个 [自主解答] 斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点．空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线有可能相交，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点．几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．故以上四种说法都正确．
[答案] D[悟一法]
对于中心投影与平行投影的有关概念和性质问题，正确掌握中心投影和平行投影的概念和性质是解题的关键．[通一类]解析：根据平行投影的意义可知，平行直线的平行投影是平行或重合的直线．
答案：B[研一题]
[例2] 用斜二测画法，画出如图所示
△OAB水平放置的直观图．
[自主解答] (1)在△OAB中建立如图①
所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐
标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. [悟一法]
1．水平放置的平面图形的直观图画法可分为三步
(1)画轴；(2)截取线段；(3)连接成图，擦去辅助线．
2．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类，一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上或不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的直线，将此点转到与轴平行的线段上来确定． 3．用斜二测画法画水平放置的多边形的直观图，主要特征是：垂直边倾斜，平行性不变；横长不变，纵长减半．[通一类]
2．画水平放置的等腰梯形的直观图．
解：画法：(1)如图①，取AB所在直线为x轴，以AB
中点O为原点，建立直角坐标系．设y轴与DC交于点
E，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.?[研一题]
[例3] 画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm、2 cm、高2 cm)．
[自主解答] (1)画轴，以底面△ABC的垂心O为原点，OC所在直线为y轴，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，以上底面△A′B′C′的垂心O′与O的连线为z轴，建立空间坐标系． (4)连线成图，连接AA′，BB′，CC′，
并擦去辅助线及点D、D′，
则三棱台ABC－A′B′C′，即为所要画
的三棱台的直观图．[通一类]
3．用斜二测画法画出底面边长为3 cm，高为4 cm的正五
棱锥的直观图．解：(1)画底面(根据平面图形的直观图画法)，如图所示；(2)画z′轴(z′轴与x′轴成的角为90°)，并画高线O′S＝4 cm，连线成图，擦去作为辅助线的坐标轴，所得五棱锥S－A′B′C′D′就为所求作的图形．如图所示．[研一题]
[例4] 水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，试求原三角形ABC的面积． [自主解答] 在△A′B′C′所在的平面上建立坐标系x′O′y′，使x′轴、y′轴成45°角如图(甲)，建立直角坐标系xOy，使x轴、y轴成90°角如图(乙)．[悟一法]
(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的关键是选择“水平方向”与“竖直方向”．
(2)由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．[通一类]
4．已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC
的平面直观图△A′B′C′的面积为 ( )答案：D 如图是一梯形OABC的直观图，其直观
图面积为S，求梯形OABC的面积． [巧思] 由直观图画平面图形，实际上就是斜二测画法画直观图的逆过程．
其过程主要包括：
45°(或135°)的斜坐标系→平面直角坐标系；
平行于x′轴的线段→平行于x轴，长度不变；
平行于y′轴的线段→平行于y轴，长度加倍．点击此图进入点击此图进入课件41张PPT。1.1
空间几何体1.1.5
三
视
图课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
立体几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测考点四[读教材·填要点]
1．正投影及其性质
(1)正投影的概念：
在物体的平行投影中，如果 ，则称这样的平行投影为正投影．
(2)正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：
①垂直于投射面的直线或线段的正投影是 ．
②垂直于投射面的平面图形的正投影是
. 投射线与投射面垂直点直线或直线的一部分 2．三视图
(1)选取三个两两互相垂直的平面作为投射面，其中一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做 ．
(2)一个投射面放置在正前方，这个投影面叫做直立投射面；投射到这个平面内的图形叫做 ．俯视图主视图 (3)和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投影面的右面．投射到这个平面内的图形叫做 ．
(4)将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影 放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．左视图按一定的布局 (5)三视图的排列规则:
俯视图放在主视图的 ，长度与主视图一样，左视图放在主视图的 ， 与主视图一样，宽度与 的宽度一样．为便于记忆，通常说：“ 、 、
”或说“ 、 、 ”．俯视图下面右面长对正高平齐宽相等主左一样高主俯一样长高度俯左一样宽[小问题·大思维]
1．从投影的角度看，三视图是在平行投影还是中心投影
下画出来的空间图形？
提示：平行投影．
2．甲、乙两位同学分别站在同一个几何体的左、右两侧，
他们画的三视图一样吗？
提示：不一定一样．选择不同的视角，所得三视图可
能不同，但有些几何体的三视图一样．如长方体三视
图不同，而球三视图相同．3．任何几何体的三视图都与其摆放位置有关吗？
提示：不一定．球的三视图均是圆，与球摆放的位置
无关．4．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；
(4)对应________；(5)对应________．
解析：俯视图就是从上往下的平行投影所形成的影子．区别开(4)、(5)的不同：圆锥的顶点是可看到的一个点，故(4)与C对应．
提示：(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B?[研一题]
[例1] 两条平行线在一个平面内的正投影可能是__________(把正确的序号填到题中的横线上)．
①两条平行线；
②两个点；
③两条相交直线；
④一条直线和直线外的一点；
⑤一条直线． [自主解答] 如图所示，在正方体
A1B1C1D1－ABCD中，直线A1B1∥C1D1，
它们在平面ABCD内的投影为AB、CD，
且AB∥CD，故①正确；它们在平面BCC1B1内的正投影是点B1和点C1，故②正确；它们在平面ABB1A1内的投影是同一直线A1B1，故⑤正确．故填①②⑤.
[答案] ①②⑤[悟一法]
正投影问题与垂直关系联系紧密，投影图形的形状与投射线和投射图形有关系，解题时，借助正方体(长方体)模型是一种常用的方法．[通一类]
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是正方形ADD1A1的中
心，F是棱C1D1的中点，则四边形AC1FE在平面BCC1B1
内的正投影是 ( )
A．一个三角形 B．一个梯形
C．一条线段 D．三个点解析：本题主要考查正投影的性质，问题的关键是找到四个点A、C1、F、E在平面BCC1B1内投影的位置，可知F和C1在平面BCC1B1内的正投影是点C1，A在平面BCC1B1内的正投影是点B，而E在平面BCC1B1内的正投影是BC1的中点，因此四边形AC1FE在平面BCC1B1内的正投影是线段BC1，故应选C.
答案：C?[研一题]
[例2] 画出下列空间几何体的三视图． [自主解答] 图(1)中的三视图如图①.图(2)中的三视图，如图②.[悟一法]
1．作三视图时，一般俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．
2．观察几何体的结构，明确三视图中是否有被遮挡的线，遮挡时要画成虚线．还要注意规定好的正前方(即主视图的投影方向)．[通一类]
2．画出如图所示的直三棱柱和正五棱柱的三视图．解：如图甲是直三棱柱的三视图，图乙是正五棱柱的三视图．[研一题]
[例3] 画出图中组合体的三视图．[自主解答] 该组合体的三视图分别为[悟一法]
简单组合体三视图画法的一般步骤
(1)形体分析：分析组合体由哪几部分组成，各部分是怎样的简单几何体，各部分之间的相对位置；
(2)选择视图：一般以最能反映该组合体各部分形状和位置特征的一个视图作为主视图；
(3)布置视图：作出基准线，如对称线、轮廓线、典型标志线等；
(4)画出底稿：依次画出每个简单几何体的主视图、左视图和俯视图．[通一类]
3．画出下列几何体的三视图．解：三视图如下图所示：[研一题]
[例4] 根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状． [自主解答] 图(1)所对应的几何体为一个三棱柱如图①，图(2)所对应的几何体如图②.[悟一法]
由几何体的三视图确定几何体的形状时，常按以下规律
(1)由主视图和左视图确定几何体是柱体、锥体还是台体．
若主视图和左视图都为矩形，则设几何体为柱体；若主视图和左视图都为三角形，则设几何体为锥体；若主视图和左视图都为梯形，则该几何体为台体． (2)由俯视图确定几何体是多面体还是旋转体．
若俯视图为多边形，则几何体为多面体；若俯视图为圆，则几何体为旋转体．[通一类]
4．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图如图所示，则
这个几何体的直观图可以是 ( )解析：根据主视图与俯视图，我们可以将选项A、C排除，根据左视图，可以将D排除．
答案：B画出以下几何体的三视图．[错解] 几何体的三视图如图所示 [错因] 给出的几何体是由一个圆柱和一个正六棱柱组合后挖去圆柱中一个以中心轴为轴线的细圆柱构成的组合体，其三视图错在主视图和左视图上面的矩形中缺少两条不可视轮廓线(用虚线表示)；俯视图中缺少中间小圆柱形成的轮廓线(用实线表示)．[正解] 几何体的三视图如图所示：点击此图进入点击此图进入课件34张PPT。读教材·填要点1.1
空间几何体1.1.6
棱柱、棱锥、棱台
和球
的表
面积课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
立体几何初步考点一考点二考点三小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测考点四c·h侧面积底面积4πR2 其中c′，c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，R表示球的半径．[读教材·填要点]··2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式矩形2πrl扇形πrl扇环π(r1＋r2)l其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上、下底面半径．[小问题·大思维]
1．几何体的表面积与全面积是否相同？
提示：相同．表面积与全面积指的都是几何体暴露在
外面的面积．
2．直三棱柱的侧面展开后是什么图形？
提示：直三棱柱的侧面展开后，可以形成一个矩形．
3．从正棱柱底面变化的角度来看，正棱柱、正棱锥、正
棱台侧面积之间有什么关系？提示：[研一题]
[例1] 一个直棱柱的底面是菱形，直棱柱的对角线长是9 cm和15 cm，高是5 cm，求直棱柱的全面积．[悟一法]
(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，菱形的对角线互相垂直，且菱形的面积等于对角线长度的积的一半．
(2)涉及棱柱表面积的问题多以直棱柱为主，其中又以正方体、长方体为多，建立棱长、对角线与面积之间的关系是关键．[通一类]
1．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形
(底面是正六边形，每个侧面都是矩
形)，两端是封闭的，筒长1.6 m，底
面外接圆半径是0.46 m，制造这个滚筒需要多少平方米
铁板？(精确到0.1 m2)[通一类]
2．已知正四棱锥底面的边长为4，高与斜高夹角为30°，
求它的侧面积和表面积．[研一题]
[例3] 正四棱台两底面边长分别为a和b(a
设O1，O分别为上、下底面的中心，
过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC
于F，连接C1F，
则C1F为正四棱台的斜高．
由题意知∠C1CO＝45°，[悟一法]
正棱台的侧面展开图是由若干个全等的等腰梯形组合而成，解决这类问题求出上下底面的边长与棱台的斜高是解题的方向．掌握正棱台的侧面积公式并正确计算是关键．[通一类]
3．一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm、18 cm，
侧棱长是13 cm，求它的全面积．[研一题]
[例4] (2010·海南、宁夏高考)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长为a，顶点都在球面上，则该球的表面积为 ( )[答案] B[通一类]
4．(2012·枣庄高一检测)已知一个表面积为120 cm2的正
方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的
底面上，求半球的表面积． 已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积．点击此图进入点击此图进入课件37张PPT。1.1
空间几何体1.1.7
柱、锥、台和球的体积课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
立体几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测考点四[读教材·填要点]
1．长方体的体积
(1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为V长方体＝ .
(2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积V长方体＝ .abcSh 2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异
这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明： 的两个柱体或锥体的体积相等．等底面积、等高 3．柱、锥、台、球的体积
其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径.Shπr2h[小问题·大思维]
1．夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个
平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，
则这两个几何体的体积相等吗？
提示：不一定，被任意平面所截，若截得的面积总相
等，则这两个几何体的体积相等．
2．锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无
关正确吗？
提示：正确．提示：可以．4．如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半
径变为原来的______倍，体积变为原来的________
倍．[研一题]
[例1] 圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和4π的矩形，求圆柱的体积．[自主解答] 设圆柱的底面半径为R，高为h.
①当圆柱的底面周长为6π时，高为4π，
即2πR＝6π，h＝4π，∴R＝3，
∴V＝πR2·h＝πR2·4π＝π·32·4π＝36π2.②当圆柱的底面周长为4π时，高为6π，
即2πR＝4π，h＝6π，∴R＝2，
∴V＝πR2·h＝πR2·6π＝π·22·6π＝24π2.
故圆柱的体积为36π2或24π2.[悟一法]
求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的体积则需要确定底面半径和高．[通一类]
1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且
侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．[研一题] [例2] 如图，棱锥的底ABCD是一个
矩形，AC与BD交于M，VM是棱锥的高，
若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，
求棱锥的体积．[悟一法]
求解锥体体积时，要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥，三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可以当作底面来处理，这一方法又叫作等体积转移法(或等体积法)，通常运用此法求点到平面的距离(后面将会学习)，也会给我们的计算带来方便．[通一类]
2．一个边长为2的正三角形，绕它的对
称轴旋转一周，如图，求所得几何
体的体积．[研一题]
[例3] 设圆台的高为3，如图，在轴
截面中母线AA1与底面圆直径AB的夹角为
60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，
求圆台的体积．[悟一法]
解决此类问题必须灵活构造运用正棱台中的直角梯形，将直角梯形转化为矩形和直角三角形进行计算是关键；解决台体问题常“还台为锥”，并借助于过高的截面，将空间问题转化为平面问题求出相关数据，然后进行运算．[通一类]
3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm和12 cm，侧面积
为180 cm2，求棱台的体积．解：如图，分别过正四棱台的
底面中心O1，O作O1E1⊥B1C1，
OE⊥BC，垂足分别为E1，E，
则E1E为正四棱台的斜高．
由于正四棱台的侧面积为180 cm2，[研一题]
[例4] 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．[自主解答] 如图，
设球心为O，球半径为R，作OO1垂
直平面ABC于O1，
由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心．
设M是AB的中点，由于AC＝BC，[悟一法]
由球的体积公式可知，求球的体积关键是求球的半径，要根据具体题目灵活掌握球的半径的求法．利用球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形求取半径是常用的方法．[通一类]
4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积
是其余两个球的体积之和的 ( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍答案：C 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比． 法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为a，球的半径为R，
则根据长方体的对角线性质，得
(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，点击此图进入点击此图进入课件45张PPT。1.2
点、线、面之间的位置关系1.2.1
平面的基本性质与推论课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
立体几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测考点四[读教材·填要点]
1．点和直线的基本性质
(1)连接两点的线中，线段 ．
(2)过两点有一条直线，并且 一条直线．最短只有2．平面的基本性质与推论两点平面内平面三点不共线的三点一个一条直线直线外的一点相交平行3．共面与异面直线
(1)如果空间几个点或几条直线都在同一平面内，那么就说
它们 ．
(2)如果两条直线共面，那么它们 ．
(3)不相交又不平行的直线叫做 ．
(4)判断两条直线为异面直线的方法：与平面相交于一点的
直线和平面内不经过 的直线是异面直线．共面平行或相交异面直线交点4．点、线、面之间的关系的符号表示[小问题·大思维]
1．三点确定一个平面吗？
提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面．当
三点不在同一条直线上时，确定一个平面．
2．空间四个点可以确定几个平面？
提示：若空间四个点共线，过这四个点有无数个平面；
若空间四个点仅有三点共线可以确定一个平面；若空间
四个点没有任何三点共线，可以确定四个平面，如四面
体模型．所以空间四个点可以确定一个平面或四个平面
或无数个平面．3．三条直线两两相交，可以确定几个平面？
提示：三条直线两两相交，若有一个交点，则可以确
定一个平面或三个平面；若有三个交点，则可以确定
一个平面．
4．没有公共点的两条直线是异面直线吗？
提示：两条异面直线既不平行，也不相交．没有公共
点的两条直线可能是平行直线或异面直线．5．分别在两个平面内的直线是异面直线吗？在图(1)中a∥b；图(2)中a与b相交；图(3)中a∥b. 提示：不一定．如下图中的a与b，[研一题]
[例1] 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.
[自主解答] (1)点A在平面α内，点B不在平面α内；
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上； (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，图形分别如图所示． [悟一法]
点与直线及平面的位置关系只能用“∈”或“?”；直线与平面的位置关系用“?”或“?”表示．由符号语言画相应图形时，要注意实虚线的标识．[通一类]
1．根据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线
CD?α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F?AB.解：根据条件，画出图形如图．[研一题]
[例2] 已知△ABC在平面α外，它
的三边所在的直线分别交平面α于P、Q、
R(如图)，求证：P、Q、R三点共线．[自主解答] 法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本性质3可知：
点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P、Q、R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR，
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR，
又∵Q∈直线BC，
∴Q∈面APR，又Q∈α，∴Q∈PR.
∴P、Q、R三点共线．[悟一法]
证明点共线问题的常用方法：方法一是首先找出两个平面，然后证明这几个点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3，这些点都在交线上．方法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点也在其上．[通一类]
2．如图所示，在四边形ABCD中，已知
AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分
别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：
E，F，G，H四点必定共线．证明：∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β.
又∵AB∩α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β，
即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴E，F，G，H四点必定共线.[研一题]
? [例3] 如图，三个平面α、β、γ
两两相交于三条直线，即α∩β＝c，
β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a、b、c三条直线必过同一点．[自主解答] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.
由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a、b、c三条直线相交于同一点．[悟一法]
1．证明三线共点常用的方法是
(1)先说明两条直线共面且交于一点，然后说明这个点在两个平面内．于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三线共点．
?(2)也可以说明a、b相交于一点A，b与c相交于一点B，再说明A、B是同一点，从而得到a、b、c三线共点．
2．证明线共点主要利用基本性质1，基本性质3作为推理的依据．[通一类]
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1
的中点．
求证：CE、D1F、DA三线共点．∴P∈面AA1D1D，P∈面ABCD.
即P是面AA1D1D和面ABCD的公共点．
又面AA1D1D∩面ABCD＝DA，
∴P∈DA，∴D1F、CE、DA三线共点.[研一题]
[例4] 下列关于异面直线的叙述：
①不在同一平面内的两条直线是异面直线；
②不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线；
③既不平行也不相交的两条直线是异面直线；
④分别在两个平面内的两条直线是异面直线．
其中，正确叙述的所有序号为________． [自主解答] 不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线．“不在同一平面内”不能等同于“不同在任何一个平面内”，故①不正确，②正确．空间两条直线有三种情形：平行、相交、异面，故③正确．分别在两个平面内的两条直线可能是平行直线或相交直线，故④不正确．
[答案] ②③ [悟一法]
“异面直线”是指不同在任何一个平面内的两条直线，它们既不相交，也不平行．但不能错误地认为分别在两个平面内的直线就是异面直线．[通一类]
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱所在的直线中，与直线
AB是异面直线的条数是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5解析：如图，正方体的前面与底面所在平面的交线为AB，故与直线AB是异面直线的棱所在的直线只能在其余的五条中，由于AB∥C1D1，所以与直线AB是异面直线的棱所在的直线为CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：C 已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、l有且只有一个平面． [证明]法一：∵a∥b，∴a，b
确定一个平面α.
a∩l＝A，直线a，l确定一个平面β，
又∵B∈α，B∈β，a?α，a?β，∴平面α与β重合．
故直线a，b，l共面． 法三：(反证法)设直线a和l确定的平面为α，
假设直线b不在平面α内，过点B在平面α内作直线b′∥a，又b∥a，
则过点B可作两条直线b、b′与a平行，这与平行公理相矛盾．
∴b?α，即直线a，b，l共面．
上面所证为平面的存在性，下面证明平面的惟一性．
假设过a，b，l还有另外一个平面β，
则a?α，b?α，a?β，b?β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面相矛盾，因此过a，b，l有且只有一个平面．点击此图进入点击此图进入课件25张PPT。1.2
点、线、面之间的位置关系1.2.2
空间中的平行关系课前
预习
·巧
设计名师
课堂
·一
点通创新演练
·大冲关第一章
立体几何初步考点一考点二读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测第一课时
平
行直线[读教材·填要点]
1．平行公理与基本性质4有且只有平行 2．等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且 ，那么这两个角 ．
3．空间四边形
顺次连接 的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的
；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的 ；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的 ．空间四边形用表示顶点的四个字母表示． 方向相同相等不共面顶点边对角线[小问题·大思维]
1．空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对
应平行，那么这两个角相等吗？
提示：不一定．相等或互补，当一组对应边方向相同，
另一组对应边方向相反时，这两个角互补．
2．空间等角定理的逆定理是什么？它正确吗？
提示：逆定理为：如果空间中的两个角相等，那么这
两个角的两边分别对应平行并且方向相同．显然不成
立．两个角的两边可能平行、相交或异面． [例1] 如图，在四棱锥P－ABCD
中，底面ABCD是平行四边形，E、F、
G、H分别为PA、PB、PC、PD的中点，
求证：四边形EFGH是平行四边形．[研一题][悟一法]
空间中证明两直线平行的方法有
1．借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质，平行
四边形的性质，用成比例线段证平行等．
2．利用基本性质4证明，即证明两直线都与第三条直线
平行．[通一类]
1．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分
别为CD、AD的中点．
求证：四边形MNA′C′是梯形．[研一题]
[例2] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、M、N分别为AD、AB、C1D1、B1C1的中点．
求证：∠PA1Q＝∠MCN. [自主解答] 在A1B1上选取中点K.易
知四边形MKBC为平行四边形．
∴CM∥BK.
又∵A1K∥BQ且A1K＝BQ，
∴四边形A1KBQ为平行四边形，∴A1Q∥BK，
由基本性质4有A1Q∥MC，
同理可证A1P∥CN，
由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向均相反．
∴∠PA1Q＝∠MCN.[悟一法]
空间中，如果两个角的两条边分别平行且方向相同(或相反)，那么这两个角相等；如果两个角的两条边分别对应
平行且恰有一组对应边方向相同，而另一组方向相反，那么这两个角互补．利用等角定理或三角形相似(全等)证明角相等是常用方法． 在空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是 ( )
A．AB∥CD
B．AB与CD是异面直线
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交 [错解] 如图，∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD.故选A.
[错因] 错解的原因在于，认为线
段AB、BC、CD在同一个平面内．
[正解] 构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(1))； (2)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(2))； (3)将图(2)中直线CD绕着BC旋转，使∠ABC＝∠BCD.
由(1)知AB∥CD，由(2)知AB与CD相交，由(3)知AB与CD是异面直线．[答案] D点击此图进入点击此图进入课件40张PPT。1.2
点、线、面之间的位置关系1.2.2
空间中的平行关系课前预习
·巧设计名师课堂
·一点通创新演练
·大冲关第一章
立体几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测第三课时
平面与平面平行两条相交1．平面与平面平行的判定定理[读教材·填要点]相交直线两条直线a?β，b?βa∩b＝Pa∥α，b∥α2．平面与平面平行的性质定理相交α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b 3．两条直线被三个 所截，截得的对应 成比例．平行平面线段[小问题·大思维]
1．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，这两
个平面平行吗？提示：不一定．如图．在平面α内有无数条直线l1，l2，l3，…平行于平面β，但α与β相交．2．两个平面都平行于第三个平面，这两个平面平行吗？
提示：平行．平行平面具有传递性．
3．木工师傅用水准器在桌面上交叉放两次的方法来检查
桌面是否水平，依据是什么？
提示：木工师傅在判断一个平面是否水平时，把水准
器在这个平面上交叉地放两次，如果水准器的气泡都
是居中的，就可以判定这两个平面和水平面平行，它
的根据就是两个平面平行的判定定理．[研一题]
[例1] 如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．
求证：平面MNP∥平面A1BD. [自主解答] 法一：∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，∴PN∥BD，
又PN?平面A1BD，BD?平面A1BD，
∴PN∥平面A1BD.
同理可得MN∥平面A1BD，
又∵MN∩PN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD. 法二：∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，∴PN∥BD.
同理MN∥A1D.
又PN∩MN＝N，BD∩A1D＝D，
∴平面MNP∥平面A1BD.[悟一法]
证明面面平行可按以下方法进行
(1)利用线面平行证明，解题时要体现一个平面内的两条相交直线与另一平面平行．
(2)利用线线平行证明，解题时要体现两平面内分别有两条相交直线互相平行． [通一类]
1．如图所示，已知在正方体ABCD－
A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是
A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．
求证：
(1)E、F、B、D四点共面；
(2)平面AMN∥平面EFDB.[研一题]
[例2] 已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.[自主解答] (1)若AB、CD在同一平面内，
则平面ABCD与α，β的交线为BD、AC.
∵α∥β，∴AC∥BD.
∵M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.
又BD?平面α，MN?平面α.
∴MN∥平面α.(2)若AB、CD异面，如图，
过A作AE∥CD交α于E，
取AE中点P，连接MP、PN、BE、ED.
∵AE∥CD，
∴AE、CD确定平面AEDC.
则平面AEDC与α，β的交线分别为ED、AC.
∵α∥β，∴ED∥AC.
又P、N分别为AE、CD的中点，
∴PN∥ED，易得PN∥平面α.同理可证MP∥BE，∴MP∥平面α，
∵MP∩NP＝P，
∴平面MPN∥平面α.
又MN?平面MPN，
∴MN∥平面α. [悟一法]
证明线面平行方法主要有三种
(1)应用线面平行的定义；
(2)应用线面平行的判定定理；
(3)应用面面平行的性质定理．[通一类]
2．夹在两个平行平面间的线段AB，CD相交于点S，已知
AS＝18.9 cm，BS＝29.4 cm，CD＝57.5 cm，求线段
CS的长．
解：(1)当S在两平面之间时，如图(1)，
设两平行平面为α，β.
∵AB∩CD＝S，两相交直线可确定一个平面γ，
∴γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.
∵α∥β，由两平面平行性质定理知AC∥BD，
从而可知△ACS∽△BDS.[研一题]
[例3] 如图所示，三棱锥A－BCD中，
M，N，G分别是△ABC，△BCD，△ABD
的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ACD.[悟一法]
要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即： 这种面面平行、线面平行、线线平行的相互转化，是处理平行问题的基本思想方法．[通一类]
3．如图所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，
AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分
别是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.证明：连接CD1、AD1，∵P、Q分别是CC1、C1D1的中点，
∴PQ∥CD1，
又CD1?平面BPQ，
PQ?平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，
∴四边形ABQD1是平行四边形，
∴AD1∥BQ，
又∵AD1?平面BPQ，BQ?平面BPQ，
∴AD1∥平面BPQ.
又AD1∩CD1＝D1，
∴平面ACD1∥平面BPQ.
∵AC?平面ACD1，
∴AC∥平面BPQ. 如图，在空间六边形(即六个顶点没
有任何五点共面)A1B1C1C2D2A2中，每相
邻两边互相垂直，边长为a，并且A2A1∥
C2C1.求证：平面A2B1C2∥平面A1C1D2.
[巧思] 结合条件，将空间六边形转化为我们熟悉的几何体——正方体． [妙解] 法一：由题意，将图形补成正方体A1B1C1D1－A2B2C2D2，
如图所示，由正方体性质可得
A2C2∥A1C1，
又A2C2?平面A1C1D2，
A1C1?平面A1C1D2，
所以A2C2∥平面A1C1D2.
同理，因为B1C2∥A1D2，可证B1C2∥平面A1C1D2.
因为B1C2∩A2C2＝C2，
所以平面A2B1C2∥平面A1C1D2.法二：由A2C2∥A1C1，B1C2∥A1D2，
且A2C2∩B1C2＝C2，A1D2∩A1C1＝A1，
A2C2、B1C2?平面A2B1C2，A1C1、A1D2?平面A1C1D2，
所以平面A2B1C2∥平面A1C1D2.点击此图进入点击此图进入课件35张PPT。1.2
点、线、面之间的位置关系1.2.2
空间中的平行关系课前预习
·巧设计名师课堂
·一点通创新演练
·大冲关第一章
立体几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测第二课时
直线与平面平行[读教材·填要点]
1．空间中直线与平面的位置关系无数个有且只有一个无a?αa∩α＝Aa∥α2．直线与平面平行的判定与性质定理不在一个平面内平面内l?αm?αl∥m两个平面的交线l∥αl?βα∩β＝m[小问题·大思维]
1．如果一条直线在平面外，则这条直线一定与平面平
行吗？
提示：不一定．也有可能直线与平面相交．2．木工在处理如图所示的一块木料
时，发现该木料表面A′B′C′
D′内有一条裂纹D′P，已知
BC∥平面A′C′.他打算经过
点P和BC将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决
这个问题吗？提示：∵BC∥平面A′C′，面BC′经过BC和面A′C′交于B′C′，∴BC∥B′C′.
经过点P在面A′C′上画线段EF∥B′C′，
∴EF∥BC.∴EF?面BF，BC?面BF.
连结BE和CF，BE，CF，EF就是所要画的线．[研一题]
[例1] 下列说法中正确的个数为 ( )
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；③一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
A．0 B．1
C．2 D．3 [自主解答] 对于①，直线与平
面平行，只是说明直线与平面没有公
共点，也就是直线与平面内的直线没
有公共点，没有公共点的两条直线其
位置关系除了平行之外，还有异面，如图(1)．正方体ABCD－A1B1C1D1，A1B1∥平面ABCD，A1B1与BC的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A1B1与BC所成的角为90°，因此①是错误的． 对于②，如图(1)，∵A1B1∥AB，
A1D1∥AD且AD，AB?平面ABCD，A1D1、A1B1?平面ABCD，∴A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是有无数多条，可以想象，在平面A1B1C1D1内过点A1的任一条直线，与平面ABCD的位置关系都是平行的． ∴②也是错误的．对于③，我们可以继续借助正方体ABCD－A1B1C1D1来举反例，如图(2)，
取AD，BC的中点为E，F，A1D1，B1C1
的中点为G，H，连接EF、FH、HG、GE，
∵E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1
的中点，
∴可以证明，EFHG为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A，D两个点到该截面的距离相等，且AD∩平面EFHG＝E，∴③也是错误的．
[答案] A[悟一法]
直线与平面位置关系的判定问题，最好结合相关图形求解．正方体(长方体)是立体几何中的重要模型，直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．[通一类]
1．下列说法正确的是 ( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b?α，则a∥α
D．若直线a∥b，b?α，则直线a就平行于平面α内的无
数条直线?解析：答案：D[研一题]
[例2] 如图所示，已知正四棱锥
P－ABCD，M，N分别是PA，BD上
的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8.
证明MN∥平面PBC.[悟一法]
用判定定理证明线面平行的步骤[通一类]
2．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，
点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D.证明：如图，连接AC1交A1C于点O，连接OD，
则O是AC1的中点．
又∵点D是AB的中点，∴OD∥BC1.
又∵OD?平面CA1D，BC1?平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.[研一题]
[例3] 如图，三棱锥A－BCD被
一平面所截，截面为平行四边形EFGH.
求证：CD∥平面EFGH.[自主解答] ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH，
又GH?平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，
EF?平面ACD，
∴EF∥CD.
又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.[悟一法]
利用线面平行的性质定理解题步骤
(1)确定(或寻找)一条直线平行一个平面．
(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；
(3)确定交线，由性质定理得出结论．[通一类]
3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一个平面交平面
CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1.证明：∵CC1∥BB1，
CC1?平面DCC1D1，
BB1?平面DCC1D1，
∴BB1∥平面CDD1C1，
又∵BB1?平面BB1E1E且平面CC1D1D∩平面B1BEE1＝EE1，
∴BB1∥EE1. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，
求证：MN∥平面AA1B1B.点击此图进入点击此图进入课件40张PPT。1.2
点、线、面之间的位置关系1.2.3
空间中的垂直关系课前
预习
·巧
设计名师
课堂
·一
点通创新
演练
·大
冲关第一章
立体几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测第一课时
直线与平面垂直[读教材·填要点]
1．直线与直线垂直
如果两条直线相交于一点或 相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直．经过平移后直角2．直线与平面垂直的定义及性质任何直线都垂直AB⊥α垂直垂线垂面垂足垂线段距离任一条 3.直线与平面垂直的判定定理
定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
推论1：如果在两条 中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
推论2：如果两条直线 ，那么这两条直线平行．两条相交平行直线垂直于同一个平面[小问题·大思维]
1．若两条直线垂直，则它们一定相交吗？
提示：不一定，在平面内一定相交；在空间中不一定
相交．
2．若直线l∥平面α，则直线l上各点到平面α的距离是否
相等？提示：相等．过直线l上任意两点A、B分别作平面α的垂线AA′、BB′，设垂足分别为A′、B′.
∵AA′⊥α，BB′⊥α，∴AA′∥BB′.
设经过直线AA′和BB′的平面为β，
则β与α的交线为直线A′B′. ∵l∥α，∴l∥A′B′，
∴A′B′BA是平行四边形，因此AA′＝BB′.
即直线l上各点到平面α的距离相等．
3．在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻
杆都是互相平行的．在工作时，只要调整工件表面和
一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什
么？
提示：根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另
一条也垂直于此平面，可推出若干平行杆中一个与工
件表面垂直，其他都和工件表面垂直．[研一题]
[例1] 试判断下面说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直． ( )
(2)一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ( ) (3)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面． ( )
(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内． ( )[自主解答][答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√[悟一法]
明确概念，对问题理解透彻，相关知识能灵活运用是处理概念问题的关键．另外，画图、举反例等也是解决此类问题的常用的好方法．[通一类]
1．已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
给出下列说法．
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两条直线平行；
③如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与这
个平面内的任何直线都不垂直；
④如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与这个
平面内的任何直线都垂直．
其中正确说法的序号是________．(把你认为正确说法的
序号都填上) 解析：①中的两条直线可能平行，也可能相交、异面，错误；
②即为直线与平面垂直的性质，正确；
③中当直线与平面斜交时，这条直线可以和平面内的一组平行直线垂直，不正确；
由线面垂直的定义知，④正确．
答案：②④[研一题]
[例2] 如图，Rt△ABC所在平面外
一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC
的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC.[自主解答] (1)∵SA＝SC，D为AC的中点，
∴SD⊥AC.
连接BD.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD.
又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.
∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，∴SD⊥面ABC.
(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥面ABC.
∵BD?平面ABC，∴SD⊥BD.
∵AC∩SD＝D.∴BD⊥平面SAC.[悟一法]
(1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用的思路．在论证中利用题设中的已知条件，来寻找判定定理的条件，是证明的基本思路．
(2)线面垂直的定义，给出了线面垂直的必备条件，即直线垂直于平面内的所有直线，是直线垂直平面的充要条件．
同时这个条件也可以把线面垂直转化为两直线垂直，这种转化是空间问题向平面问题的转化．[通一类]
2．如图所示，空间四边形ABCD的边
BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，
垂足为E，作AH⊥BE，垂足为H.
求证：AH⊥平面BCD.证明：如图所示，取AB的中点F，
连接CF，DF.
由已知AC＝BC，AD＝BD，
?∴AB⊥CF，AB⊥DF.
∵CF∩DF＝F，
∴AB⊥平面CDF.
而CD?平面CDF，∴AB⊥CD.又∵BE⊥CD，且AB∩BE＝B，
∴CD⊥平面ABE.又AH?平面ABE，
∴AH⊥CD.又∵AH⊥BE，且BE∩CD＝E，
BE?平面BCD，CD?平面BCD，
∴AH⊥平面BCD.[研一题]
[例3] 如图，在正方体ABCD－
A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC
上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.
求证：EF∥BD1.[自主解答] 如图所示，连接AB1、B1C、BD.
∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又∵AC⊥BD且BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∵BD1?平面BDD1B1，
∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，
∴EF∥BD1.?[悟一法]
线面垂直的性质可用来处理以下问题
1．利用线面垂直的性质可证明线线平行．其关键是找(构造)出平面，使所证直线都与该平面垂直．
2．可用来证明线线垂直．只需证线面垂直，可用线面垂直的定义或判定定理证明，从而得出所需结论．[通一类]
3．如图，PA⊥正方形ABCD所
在平面，经过A且垂直于PC的平面
分别交PB、PC、PD于E、F、G，
求证：AE⊥PB.
证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC.
又ABCD是正方形，∴AB⊥BC.而AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AE?平面PAB，∴BC⊥AE.
由PC⊥平面AEFG，有PC⊥AE，
∵PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.
又PB?平面PBC，∴AE⊥PB. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，
BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，
问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，
并说明理由． [解] 法一：连接AQ，因为PA⊥平面AC，QD?平面AC，所以PA⊥QD.
若存在点Q，使PQ⊥QD，
由PA∩PQ＝P，知QD⊥平面PAQ.
所以AQ⊥QD.
(1)当0 此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD. (2)当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD.
(3)当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1、Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点满足题意． (*)的判别式Δ＝a2(a2－4)．
①当0②当a>2时，Δ>0，方程(*)有两个相异正实根．
③当a＝2时，Δ＝0，方程(*)有两个相等的正实根．
故当0当a＝2时，BC边上存在一点Q(即BC的中点)，使PQ⊥QD；
当a>2时，BC边上存在两个点满足题意．点击此图进入点击此图进入课件37张PPT。1.2
点、线、面之间的位置关系课前预习
·巧设计名师课堂
·一点通创新演练
·大冲关第一章
立体几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测第二课时
平面与平面垂直1.2.3
空间中的垂直关系 1．平面与平面垂直的定义
如果两个 平面的交线与第三个平面 ，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 ，就称这两个平面互相垂直．[读教材·填要点]相交垂直互相垂直2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理a?αa⊥β一条垂线垂直于它们交线的直线α⊥βa?αα∩β＝ba⊥b1．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个
平面一定垂直吗？
提示：不一定．只有垂直于两平面的交线时才能垂直于
另一个平面．
2．两个平面垂直，过一个平面内的一点垂直于两平面交线
的直线，一定垂直于第二个平面吗？[小问题·大思维] 提示：不一定．过该点的直线与另一平面的关系不确定，
可能情况有：斜交、垂直、平行．当过该点的直线与交
线异面垂直时，它可与另一平面斜交；当该直线在第一
个平面内，且垂直于交线时，它必与另一平面垂直；当
该直线垂直于第一个平面时，可有与另一个平面平行的
情况．
3．垂直于同一平面的两个平面平行吗？
提示：不一定．如教室的墙角，有可能平行或相交．[自主解答] (1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，
∴PC2＝PD2＋DC2，
∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD.
又AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
而四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.
同时AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD. 利用直线与平面垂直的判定定理证明面面垂直的关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．[悟一法]?
[例2] 如图所示，P是四边形ABCD
所在平面外的一点，四边形ABCD是边长
为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为
正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.[研一题][自主解答] (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，
由已知∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.(2)如图，连接PG.
∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.
又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.
而PB?平面PBG.∴AD⊥PB. 面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．[悟一法] [例3] 如图，△ABC为正三角形，
EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA
＝2BD，M是EA的中点，求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.[研一题] (3)∵DM∥BN，BN⊥平面CAE，∴DM⊥平面ECA，
又DM?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA.[通一类]
3．已知等腰梯形PDCB中(如图1)，PB＝3，DC＝1，PD
＝BC＝ ，A为PB边上一点，且DA⊥PB，现将
△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD(如图2)．
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2)试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成
两部分体积比为VP－DCMA∶VM－ACB＝2∶1.解：(1)证明：依题意知：CD⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴DC⊥平面PAD.
又DC?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
(2)由PA⊥AD，
平面PAD⊥平面ABCD知
PA⊥平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD.
作MH⊥AB，则MH⊥平面ABCD，设MH＝h，已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.
求证：l⊥γ.[证明] 法一：设α∩γ＝a，β∩γ＝b，
在γ内任取一点P，过P在γ内作直线m⊥a，n⊥b.
∵α⊥γ，β⊥γ，
∴m⊥α，n⊥β，
又∵α∩β＝l，
∴m⊥l，n⊥l，∴l⊥γ. 法二：如图，α∩γ＝a，β∩γ＝b，在α内作m⊥a，在β内作n⊥b.
∵α⊥γ，β⊥γ，
? ∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n.
又∵n?β，m?β，∴m∥β，
又α∩β＝l，m?α，∴m∥l，∴l⊥γ. 法三：在l上任取一点P，α∩γ＝a，β∩γ＝b，在α内作PQ⊥a于Q，
在β内作PM⊥b.
∵α⊥γ，β⊥γ，
∴PQ⊥γ，PM⊥γ，
由过一点有且只有一条直线与平面垂直，
∴PQ与PM重合．
又PQ?α，PM?β，
∴PQ、PM就是直线l，
∴l⊥γ.点击此图进入点击此图进入课件48张PPT。要点整合再现高频考点例析阶段质量检测章末复习方案与全优评估考点一考点二考点三考点四 1．空间几何体的三视图
(1)空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图．这三个视图是相对的，特别是主视图与左视图，当选择了正面投影方向时，侧面投影方向就被确定了，但单纯的一个投影图或两个投影图一般是不可能确定空间几何体的形状的，如正视图是三角形的空间几何体可能是圆锥，也可能是棱棱锥，俯视图是圆的空间几何体可能是圆柱或者球．一个空间几何体在两个相互平行的面上的正投影是相同的，在分析长方体中某些图形在各个面上的正投影，只要分三种情况即可．
(2)对三视图的考查主要侧重在两个方面：①给出空间几何体，要求画出其三视图；②给出三视图，要求还原成几何体．它经常结合空间几何体的表面积与体积一起加以考查，解题的关键就在于“还原”． 2．平面的基本性质与推论
(1)平面的基本性质包括平面的构成与确定，平面中的点共线、线共点等问题．
(2)相关的四个基本性质公理和三个推论是支持立体几何的基础．对它的考查主要融合在线面、面面平行与垂直中，其中共面问题、共点、共线问题可单独考查． ①证明共面问题，一般有两种证法，一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同的元素确定几个平面，再证明这些平面重合．
②证明三点共线问题，先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然一定在两个平面的交线上．
③证明三线共点问题．先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过该点即可． 3．空间平行关系
(1)判定线线平行的方法：
①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法)；
②利用基本性质4，即平行线的传递性；
③利用线面平行性质定理；
④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)；
⑤利用面面平行性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b)；
⑥利用平行四边形的性质、三角形、梯形中位线、线段对应成比例等。(2)判断线面平行的方法：
①线面平行的定义；
②利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；
③面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)；
④面面平行的性质(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)． (3)面面平行的判定方法有：
①平面平行的定义(无公共点)；
②判定定理(若a∥β，b∥β，a、b?α，且a∩b＝A?α∥β)；
③判定定理的推论(若a∥a′，b∥b′，a?α，b?α且a∩b＝A，a′?β，b′?β，且a′∩b′＝A′，则α∥β)；
④线面垂直性质定理(若a⊥α，a⊥β?α∥β)；
⑤平面平行的性质(传递性：α∥β，β∥γ?α∥γ)． 4．空间垂直关系及判定方法
(1)判定线线垂直的方法有：
①计算所成的角为90°；
②由线面垂直的定义(若a⊥α，b?α，则a⊥b)；
(2)判定线面垂直的方法有：
①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．
(3)面面垂直的判定方法有：
①根据定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)． [例1] 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示．墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩的主视图和左视图．(1)请画出该安全标识墩的左视图；
(2)求该安全标识墩的体积；
(3)证明：直线BD⊥平面PEG. (3)如图，连接EG、HF及BD，EG与HF相交于O点，连接PO，
由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，
∴PO⊥HF.
又∵EG⊥HF，PO∩EG＝O，
∴HF⊥平面PEG.
又∵BD∥HF，∴BD⊥平面PEG. [借题发挥] 解题时先把三视图中的数据还原到几何体中，然后把几何体的体积转化为正四棱锥和长方体的体积来求解．解决此类问题的关键是准确理解三视图的特点，掌握由三视图确定几何形状的顺序
(1)先看俯视图，确定几何体的底面形状，看是多边形还是圆；
(2)接着由主视图和左视图确定侧面的形状，看是三角形还是矩形． (3)最后确定几何体的大小：根据三视图中“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”的规则，确定几何体的长、宽、高三个数据．1．(2011·广东高考)如图，某几何体的主视图，左视图和
俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几
何体体积为 ( )答案：C∴∠A′C′B′＝∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.
又∵BC⊥CC′，CC′∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC′A′
∵AC′?平面ACC′A′，∴BC⊥AC′. [例2] 如图所示，空间四边形ABCD
中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H
分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC
＝1∶2.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上．[证明] (1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD.
又EF∥BD，∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面．
(2)∵G，H不是BC，CD的中点，
∴EF∥GH，且EF≠GH，
∴EG与FH必相交，
设交点为M，而EG?平面ABC，HF?平面ACD，
∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD，∴M∈AC，
即GE与HF的交点在直线AC上． [借题发挥] (1)由条件易知四边形EFHG是梯形；
(2)若E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CD的中点，四边形EFHG是什么图形？
(3)在(2)中加上“AC＝BD”，四边形EFHG是什么图形？
(4)在(3)中加上“AC⊥BD”，四边形EFHG是什么图形？3．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l.
设梯形ABCD中，AD∥BC，且
AB?α，CD?β，求证：AB，CD，
l共点(相交于一点)．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两腰．
∴AB、CD必相交于一点．
设AB∩CD＝M，又AB?α，CD?β.
∴M∈α，M∈β，∴M在α与β的交线上．
又∵α∩β＝l，∴M∈l，
即AB、CD、l共点. [例3] 如图，S为矩形ABCD所在
平面外一点，E、F分别是SD、BC上
的点，且SE∶ED＝BF∶FC.
求证：EF∥平面SAB.[证明] 转化为证明面面平行．
过F作FG∥AB，交AD于G，连接EG.
∵FG∥AB，
∴AG∶GD＝BF∶FC，
∴AG∶GD＝SE∶ED，
故EG∥SA.
又∵FG∥AB，AB∩SA＝A
∴平面SAB∥平面EFG.
又∵EF?平面EFG，
∴EF∥平面SAB.4．(2011·沂南高一检测)如图，四棱
锥P－ABCD中，底面ABCD为正
方形，PD⊥平面ABCD，E、F、
G分别为PC、PD、BC的中点．
求证：PA∥平面EFG.证明：E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，
∴EF∥CD，EG∥PB，
∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵PB∩AB＝B，EF∩EG＝E，
∴平面EFG∥平面PAB，
∵PA?平面PAB，∴PA∥平面EFG. [例4] 如图，在四棱锥S－ABCD中，
底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，
且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC
的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求证：平面SCD⊥平面SCE.6．(2011·山东高考)如图，在四棱台ABCD
－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底
面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，
AD＝A1B1，∠BAD＝60°.
(1)证明：AA1⊥BD；
(2)证明：CC1∥平面A1BD.证明：(1)法一： 因为D1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
所以D1D⊥BD.
又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，
在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2，
因此AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1?平面ADD1A1，
故AA1⊥BD.法二： 因为D1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
所以BD⊥D1D.
取AB的中点G，连接DG，
在△ABD中，由AB＝2AD得AG＝AD，
又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边
三角形，因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB，
又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，所以BD⊥AD.
又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1·
又AA1?平面ADD1A1，
故AA1⊥BD.点击此图进入课件25张PPT。2.1
平面直角坐标系中的基本公式2.1.1
数轴上的基本公式课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测 1．数轴(或直线坐标系)
(1)数轴(直线坐标系)的定义：一条给出了 、
和 的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了 .
(2)实数集和数轴上的点之间建立了 关系．
(3)数轴上点P的坐标：
如果点P与 对应，则称点P的坐标为x，记作
． [读教材·填要点]原点度量单位正方向直线坐标系一一对应实数xP(x) 2．数轴上的向量及有关概念
(1)向量的定义：
如果数轴上的任意一点A沿着轴的 移动到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了 .
位移是一个既有 ，又有 的量，通常叫做位移向量，简称为 ．正向或负向零位移大小方向向量 (2)向量的有关概念：
①从点A到点B的向量，记作 ，点A叫做向量
的 ，点B叫做向量 的 ，线段AB的长叫做向量 的长度，记作 ；
②数轴上同向等长的向量叫做 ．
③向量的坐标(或数量)：起点终点相等向量 轴上向量 的坐标是一个 ，实数的 为线段AB的长度，如果起点指向终点的方向与轴同方向，则这个实数取 ；反之取 ； 的坐标为0.
向量 的坐标记作 ，由向量 坐标定义得
＝|AB|.实数绝对值正数负数零向量AB 3．数轴上的基本公式
(1)数轴上位移的和：
在数轴上，如果点A作一次位移到点B，接着由点B再作一次位移到点C，则位移 叫做 的和，记作 .
(2)数轴上向量加法的坐标运算法则：
对数轴上任意三点A、B、C，都具有关系
.
(3)数轴上向量的坐标表示及两点距离公式：
已知数轴上两点A(x1)，B(x2)，则AB＝ ，
d(A，B)＝ .位移 与位移＝ ＋AC＝AB＋BCx2－x1|x2－x1|[小问题·大思维]1．A(x)①位于点B(2)的左侧，②位于点B(2)与C(8)之间，③
位于点C(8)右侧，x的范围怎样表示？
提示：①x<2 ②28.
2．数轴的三要素是什么？
提示：原点、正方向、单位长度．3．数轴上与原点O和－5对应的点A确定的向量 的数
量与长度分别是什么？
4．A(3)，B(5)，C(－1)，D(1)， 与 相等吗？
提示：相等．因为在数轴上同向等长．
5．已知数轴上点A，B的坐标分别为－2,6，那么AB，BA，
|BA|的值分别是多少？
提示：AB＝6－(－2)＝8，BA＝－2－6＝－8，|BA|＝8. 提示：OA＝－5；| |＝2.[研一题]
[例1] 画出数轴，标出坐标分别为2,3，－3的点A，B，C，求：
(1)AB，AC，BA，|CA|的值；
(2)点A关于B的对称点D的坐标．[自主解答] 如图， (1)AB＝3－2＝1，AC＝－3－2＝－5，BA＝2－3＝－1,
|CA|＝|5|＝5.
(2)点A关于B的对称点D的坐标是4. 数轴上向量的坐标表示AB＝xB－xA.向量 的数量AB是实数，向量的长度| |是非负数，要注意区分．[悟一法]1.[例题多维思考]本例中数轴的原点为O，求向量 ， ，
的数量与长度，并求原点关于点C的对称点的坐标．解：OC＝－3，AO＝0－2＝－2，
BC＝－3－3＝－6，
| |＝3，| |＝2，| |＝6.
原点关于点C的对称点的坐标为－6.[通一类][研一题]
[例2] 已知A，B两点的坐标，求AB与|AB|：
(1)A(1)，B(－2); (2)A(－3)，B(3)．
[自主解答] AB＝xB－xA，|AB|＝|xB－xA|，
(1)AB＝－2－1＝－3，|AB|＝|－3|＝3；
(2)AB＝3－(－3)＝6，|AB|＝|6|＝6.[悟一法]
已知A(a)，B(b)，则两点对应向量的数量以及距离
公式分别为AB＝b－a，BA＝a－b，|AB|＝|b－a|，|BA|＝|a－b|.[通一类]
2.若A(a)与B(－5)两点对应的向量 的数量为－10则a
＝________，若A与B的距离为10，则a ＝________.
解析：∵ AB＝xB－xA ，|AB|＝|xA－xB|
∴－5－a＝－10，解得a＝5.
|－5－a|＝10，
解得a＝5或a＝－15.
答案：5；5或－15 已知A、B、C是数轴上任意三点．若|AB|＝9，|BC|＝6，求|AC|.
[错解] ∵|AB|＝9，|BC|＝6
∴|AC|＝|AB＋BC|＝|AB|＋|BC|＝9＋6＝15.
[错因] 数轴上的向量 的坐标用AC表示．其长度用|AC|表示，不同于在平面几何中，AC表示线段AC的长度，所以，对AC与|AC|的概念理解有误，导致了错误的解答．[正解] 当C在A、B两点之间时，
由图(1)可知|AC|＝|AB|－|BC|＝9－6＝3当B在A、C两点之间时，由图(2)可知
|AC|＝|AB|＋|BC|＝9＋6＝15
综上可得|AC|＝3或|AC|＝15.点击此图进入点击此图进入课件31张PPT。2.1
平面直角坐标系中的基本公式2.1.2
平面直角坐标系中的基本公式课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测 1．两点的距离公式
已知平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝|AB|＝ .
2．中点公式
已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝ ，y＝ .[读教材·填要点]1．点A(2，－3)关于点B(－1,1)的对称点为A′，怎样求A′
的坐标，坐标是什么？|AA′|是多少？[小问题·大思维]2．坐标法解题的步骤是什么？
提示：坐标法解决问题的步骤
第一步，根据题中条件，建立恰当的坐标系，用坐标
表示有关的量；
第二步，进行有关的代数运算；
第三步，把代数运算结果翻译成几何语言．[例1] 求下列两点的距离
(1)A(－1，－2)，B(－3，－4)；
(2)C(－2,1)，D(5,2)；
(3)E(1,2)，F(－2,2)．[研一题] 应用两点的距离公式时一定要注意公式的特点：根号内是两横坐标的差与两纵坐标的差的平方和．[悟一法][通一类]1．若A(－5,6)与B(a，－2)两点的距离为10，则a ＝
__________.答案：1或－112．若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的距离相等，求点
M的坐标．[研一题] [例2] 已知：点A(－3，y)与点B(x,2)的中点C在x轴上，O为原点，
(1)若|OC|＝1，求点C的坐标；
(2)当|AC|取最小值时，求点A关于点C的对称点坐标．(1)x轴上点的坐标为(x,0)，y轴上的点的坐标为(0，y)；
(2)点(x，y)关于点(a，b)对称点的坐标为(2a－x,2b－y)．[悟一法] [例题多维思考] 若本例点A(－3，y)与点B(x,2)的中点C在y
轴上，O为原点，
(1)若OC＝1，求点C的坐标；
(2)当|AC|取最小值时，求点A关于点C的对称点坐标．[通一类] [例3] 在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B、C不重合)，且AB2＝AD2＋BD·DC.求证：△ABC为等腰三角形．[研一题] [自主解答] 如图，作AO⊥BC，
垂足为O，以BC所在直线为x轴，
以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d，0)(bb2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.
所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．[悟一法]
坐标法可以将几何问题代数化，把复杂的逻辑思维转化为简单的运算，使问题的解决简单化．坐标法的核心是建立合适的坐标系，建系时要遵循前面所讲的建系技巧，但注意不要把任意点作为特殊点处理．3．已知AO是△ABC中BC边上的中线，证明：AB2＋AC2＝
2(AO2＋OC2)．[通一类]证明：以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．
设A(a，b)，B(－c,0)，C(c,0)
由两点间距离公式得
|AB|2＝(a＋c)2＋b2，
|AC|2＝(a－c)2＋b2，|AO|2＝a2＋b2，
|OC|2＝c2.
∵|AB|2＋|AC|2＝(a＋c)2＋b2＋(a－c)2＋b2
＝2(a2＋b2＋c2)
|AO|2＋|OC|2＝a2＋b2＋c2
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)，
即AB2＋AC2＝2(AO2＋OC2). [错因] 判断三角形形状要彻底，需把三边长度都求出来，全面分析．在|AB|＝|AC|的情况下，应进一步判断三角形是等边三角形还是等腰直角三角形．上面解法属解析不彻底的错误．
[正解] 由两点间距离公式得
|AB|＝4，|AC|＝4，|BC|＝4，
∴|AB|＝|AC|＝|BC|，
∴△ABC是等边三角形．点击此图进入点击此图进入课件35张PPT。2.2
直线的方程2.2.1
直线方程的概念与直线的斜率课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测考点四 1．直线的方程
如果以一个 为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个 ，那么，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个 ．[读教材·填要点]方程的解方程的解方程的直线 2．直线的斜率
(1)定义：通常把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率．
(2)斜率的求法：
两点法：在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)，其中(x1≠x2)，则斜率k＝ . 3．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义：
x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．
①当直线与x轴 时，它的倾斜角为0°；
②当直线与x轴 时，它的倾斜角为90°.
(2)倾斜角的范围：
直线的倾斜角α的取值范围为 .平行或重合垂直0°≤α＜180°1．第一象限角的平分线的方程是y＝x吗？为什么？
提示：不是．第一象限角的平分线上每一点的坐标都
是方程y＝x的解，而以方程y＝x的解为坐标的点不都
在第一象限角的平分线上，例如点(－2，－2)等．
2．任何直线都存在斜率吗？
提示：垂直于x轴的直线的斜率不存在．[小问题·大思维]3．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？
提示：这句话不对，当倾斜角α＝0°时，k＝0；当0°
＜α＜90°时，k＞0，并且随α的增大k也增大；当α＝
90°时，k不存在；当90°＜α＜180°时，k＜0，并且
随α的增大k也增大．? [例1] 给出下列四个说法：
①一条直线必是某个一次函数的图象；
②一次函数y＝kx＋b的图象必是一条不过原点的直线；
③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；
④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．
其中正确说法的个数是 ( )[研一题]A．0 B．1
C．2 D．3
[自主解答] 由直线方程的定义可知③、④均不正确．
又y＝5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数y＝kx＋b中的k≠0，∴①也不正确．
当一次函数y＝kx＋b(k≠0)中的b＝0时，其图象经过原点，可知②也不正确．
[答案] A “直线的方程”与“方程的直线”体现了“数”与“形”之间的一一对应关系，直线与方程必须满足以下两个条件：
(1)以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上；
(2)这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．[悟一法]1．如果直线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则以下
说法正确的是 ( )
A．直线l的方程是F(x，y)＝0
B．方程F(x，y)＝0的图象是直线l
C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在直线l上
D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点在直线l上
解析：由直线方程的概念知，A、B不正确．举例，f(x，
y)＝(x－y)(x＋y)＝0.l：x－y＝0，∴C正确，D不正确．
答案：C[通一类] [例2] 已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．[研一题] 斜率表示直线的倾斜程度，利用斜率相等解决三点共线问题是常用方法．在实际应用中要注意此法的运用；直线的斜率公式适合于不垂直于x轴的所有直线．[悟一法]2．斜率为2的直线经过(3,5)、(a,7)、(－1，b)三点，则a、b的
值是 ( )
A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3[通一类]答案：C[例3] 如图，标出的角是直线的倾斜角的个数为 ( )[研一题]A．3 B．2
C．1 D．0
[自主解答] 图(1)中的α取的是x轴的负方向；图(2)中的α取的是直线向下的方向；图(3)中的α取的是x轴的负方向与直线向下的方向；图(4)中的α取的是y轴的正方向和直线向上的方向．故以上各图中标的α都与“倾斜角”意义不符合，即都不是直线的倾斜角．
答案：D 解决此类问题主要依据倾斜角的定义和范围，要注意定义中关键性条件：x轴正向与直线向上的方向所成的角．[悟一法]3．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿
逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角
为 ( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°
时为α－135°[通一类]解析：由倾斜角的取值范围
知只有当0°≤α＋45°＜180°，
即0°≤α＜135°时，l1的倾斜
角才是α＋45°；
又0°≤α＜180°，
所以当135°≤α＜180°时，
l1的倾斜角为α－135°(如图所示)．
答案：D[例4] 已知直线上两点M(2m＋3，－3)，N(m－2,1)．
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角；
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角；
(3)当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？[研一题] 直线的斜率有以下四种情况：0，正值，负值，不存在，对应的倾斜角的情况分别是：零度角，锐角(0， )，钝角( ， )，直角( )．解此类题时要紧紧抓住这种对应关系．[悟一法]4．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段
AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．[通一类] 求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． [错因] 本题用到了分类讨论的思想方法，在分类时，要确定分类标准，做到不重不漏，保证解题的完整性．本题漏掉了m＝1的情形而导致出错．点击此图进入点击此图进入课件38张PPT。2.2
直线的方程2.2.2
直线方程的几种形式课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测[读教材·填要点]1．直线方程的几种形式y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b 2．直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x、y的 表示．
(2)每个关于x、y的二元一次方程都表示 ．
3．直线的一般式方程
把关于x、y的二元一次方程 叫做直线的一般式方程．二元一次方程一条直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)[小问题·大思维]1．任何一条直线都可以用点斜式方程表示吗？
提示：当直线l的倾斜角为90°时，不能用点斜式方程表
示，此时l与y轴平行或重合．其方程为x＝x0.
2．截距与距离一样吗？
提示：不一样．截距可正，可负，也可为零，而距离都
是非负的．提示：不一定，当x1＝x2或y1＝y2时不能写成此形式，若x1＝x2，则直线l方程为x＝x1；若y1＝y2，则直线l方程为y＝y1.4．过点(4,2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是x＋y＝6
对吗？
提示：不对．截距式不适用于与坐标轴平行(重合)和过
原点的直线，当直线过原点时，在坐标轴上的截距都
为零也是相等．此时直线方程是x－2y＝0，所以过点
(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是x＋y＝6和
x－2y＝0. 求直线的点斜式方程时，首先应确定直线的斜率，然后在直线上找一点，代入点斜式方程公式即可，若直线的斜率不存在，则直线方程不能写成点斜式形式．[悟一法]1．求斜率是直线x－y＋1＝0的斜率的3倍，且分别满足下
列条件的直线方程．
(1)经过点P(3,4)；
(2)在x轴上的截距是－5；
(3)在y轴上的截距是5.[通一类]解：由x－y＋1＝0得y＝x＋1.
∴直线x－y＋1＝0的斜率为1，
由题意可得所求直线的斜率k＝3.
(1)∵直线过点P(3,4)．
∴所求直线的方程是y－4＝3(x－3)．
即3x－y－5＝0.(2)∵直线的斜率k＝3，在x轴上的截距是－5，
即过点(－5,0)，
∴所求直线的方程是y－0＝3(x＋5)，
即3x－y＋15＝0.
(3)∵直线的斜率k＝3，在y轴上的截距是5，
∴所求直线的方程是y＝3x＋5.
即3x－y＋5＝0. 已知直线上的两点坐标．应验证两点的横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式方程，也可先求出直线的斜率，再利用点斜式求解．若已知直线在x轴，y轴上的截距(都不为0)，用截距式方程最为方便．[悟一法]2．三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求这个
三角形三边所在直线的方程．[通一类] [例3] 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6.根据下列条件确定m的值：
(1)直线l在x轴上的截距为－3.
(2)直线l的斜率是－1.[研一题] 把直线方程一般式Ax＋By＋C＝0化成其它形式时，要注意式子成立的条件．特别是当B＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．[悟一法] 求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和等于12的直线的方程． 点击此图进入点击此图进入课件34张PPT。2.2
直线的方程2.2.3
两条直线的位置关系课前预习
·巧设计名师
课堂
·一
点通创新演练
·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测第一课时
两条直线相交
、平行与重合的条件平行相交重合 2．几何方法判断：若两直线的斜率均存在，也可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：
设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
(1)l1与l2相交? ；
(2)l1∥l2? ；
(3)l1与l2重合? . k1≠k2k1＝k2且b1≠b2k1＝k2且b1＝b21．两条直线平行，是否一定斜率相等？
提示：当两条直线斜率都存在且平行时，斜率相等，当
斜率都不存在时，两直线也平行，所以两条直线平行，
要么斜率相等，要么斜率都不存在．[小问题·大思维]提示：不一定．当A2·B2＝0时不成立．提示：相交的有(1)(2)；平行的有(3)(4)． 判定两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等，若存在再看斜率是否相等．还要注意重合这种情况．[悟一法]1．根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．
(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，
H(2，3)．[通一类] [例2] (1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程；
(2)求过点P(3,2)且与经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线平行的直线方程． [研一题] 1．法一求直线方程的方法是通法，根据是两直线平行斜率相等；
2．法二是常常采用的解题技巧，一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)，其中λ待定．[悟一法]2．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点
C(1,2)，D(－2，a＋2)．若l1∥l2，求a的值．[通一类] [例3] 求经过直线l1：x＋3y－4＝0，l2：5x＋2y＋6＝0的交点，且过点A(2,3)的直线方程．[研一题] (1)两条直线的交点坐标是直线方程对应方程组的解；
(2)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.[悟一法]3．求经过直线l1：x－y＋1＝0与l2：x＋2y－5＝0的交点且
斜率为－1的直线的方程．[通一类]法二：过直线l1：x－y＋1＝0与l2：x＋2y－5＝0的交点的直线方程为x－y＋1＋λ(x＋2y－5)＝0，
即(1＋λ)x＋(2λ－1)y＋1－5λ＝0.
由于k＝－1.即1＋λ＝2λ－1，解得λ＝2，
故所求直线为x＋y－3＝0. 求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．点击此图进入点击此图进入课件35张PPT。2.2
直线的方程2.2.3
两条直线的位置关系课前预习
·巧设计名师
课堂
·一
点通创新演练
·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测第二课时
两条直线垂直的条件第二课时 两条直线垂直的条件1．两条直线垂直的条件
(1)代数方法判断：
已知两条直线：
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为零)，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为零)，
则l1⊥l2? .[读教材·填要点]A1A2＋B1B2＝0(2)几何方法判断：
已知两条直线：
l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
l1⊥l2? .
2．与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系
设l：Ax＋By＋C＝0，则与l垂直的直线方程可表示为
.k1k2＝－1Bx－Ay＋D＝0两条直线垂直，则斜率乘积一定等于－1吗？
提示：不一定．若一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，仍有两直线垂直，但不满足斜率乘积等于－1.[小问题·大思维][自主解答] (1)A1＝1，B1＝－1，A2＝3，B2＝3.
∵A1A2＋B1B2＝1×3＋(－1)×3＝0，∴两直线垂直．
(2)A1＝1，B1＝4，A2＝5，B2＝－2.
∵A1A2＋B1B2＝1×5＋4×(－2)＝－3≠0，
∴两直线不垂直．
(3)A1＝3，B1＝－1，A2＝1，B2＝－3.
∴A1A2＋B1B2＝6≠0，∴两直线不垂直． 1．判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两直线也垂直．
2．直接使用A1A2＋B1B2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．[悟一法]1．判断下列各小题中l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，
N(2,1)．
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，
N(10,40)．[通一类] [例2] 求与2x＋3y＋1＝0垂直，且过点P(1，－1)的直线l的方程．[研一题]法二：设与2x＋3y＋1＝0垂直的直线方程为3x－2y＋c＝0，
∵P(1，－1)在l上，
∴3×1－2×(－1)＋c＝0，∴c＝－5.
∴所求方程为3x－2y－5＝0.[悟一法]
求与已知直线垂直的直线方程可利用它们斜率乘积等于－1，求出斜率，然后写出点斜式方程；也可利用直线系方程求解，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0，m为参数，这是垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程． 2．当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：
(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？解：法一：由题意，直线应是l1⊥l2.
(1)若1－a＝0，即a＝1，
此时l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然l1与l2垂直；[通一类]法二：由题意可得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
即1－a2＝0，∴a＝±1. [例3] 已知三角形内角A的内角平分线所在的直线是l：2x＋y＋1＝0，而B(1,2)和C(－1，－1)是三角形的另外两个顶点，求顶点A的坐标．[研一题] 1．点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点Q(x′，y′)，满足条件：P、Q中点在对称轴上；PQ与Ax＋By＋C＝0垂直．
2.直线关于直线的对称直线常转化为点关于直线的对称问题解决．[悟一法][通一类]
3．已知△ABC的一个顶点A(－1，－4)，内角∠B，∠C
的角平分线所在直线方程分别是l1：y＋1＝0，l2：x＋
y＋1＝0，求BC边所在的直线方程．
解：设点A关于直线l1的对称点为A′，
则A′的坐标为(－1,2)，
点A关于直线l2的对称点为A″(m，n)，求点P(－4,2)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点P′的坐标．点击此图进入点击此图进入课件33张PPT。2.2
直线的方程2.2.4
点到直线的距离课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测 1．点到直线的距离公式
点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距
离：d＝ .
2．两条平行线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝
0的距离d＝ .[读教材·填要点]1．使用点到直线的距离公式要注意什么？
提示：(1)直线方程必须化成一般式；(2)A＝0或B＝0或
点P在直线上的情况仍适合公式．
2．使用两平行线间的距离公式的前提是什么？
提示：(1)两直线方程必须是一般式．
(2)两直线方程x、y的系数对应相等．[小问题·大思维][例1] 求点P(1,2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．[研一题] (1)求点到直线的距离，要注意公式的条件，先将直线方程化成一般式，然后代入公式求解．
(2)若直线平行(重合)于坐标轴，可以直接转化为横坐标(或纵坐标)的差的绝对值计算．[悟一法] [例2] 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行，且到l的距离为2的直线的方程．[研一题] (1)求平行线间的距离，平行线方程一般化为一般式，且未知数对应的系数必须相同，然后运用公式计算即可．
(2)如果平行线平行于坐标轴，直接转化为横坐标或纵坐标之差的绝对值较为简便．[悟一法] [例3] 已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程．[研一题] 此类问题主要是求解参数问题，解决参数问题关键是正确利用距离公式列出关于参数的方程或方程组解之即可．[悟一法]3．求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它
的距离相等的直线方程．[通一类]法二：由平面几何知识知l∥AB或l过AB中点．
∵kAB＝4，
若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0.
若l过AB中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，
∴所求直线方程为：x＝1或4x－y－2＝0. 已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．点击此图进入点击此图进入课件32张PPT。2.3
圆的方程2.3.1
圆的标准方程课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测 1．圆的定义
平面内到一定点的距离等于 的点的轨迹是圆．
是圆心， 是圆的半径．
2．圆的标准方程
(1)以点C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为： .
(2)以坐标原点为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为： .[读教材·填要点]定点定长(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2定长3．点与圆的位置关系
(1)若点M1(x1，y1)在圆外，则
(x1－a)2＋(y1－b)2 r2.
(2)若点M2(x2，y2)在圆内，
则(x2－a)2＋(y2－b)2 r2.
(3)若点M0(x0，y0)在圆上，则
(x0－a)2＋(y0－b)2 r2.><＝1．圆的标准方程体现了圆的哪些几何特征？
提示：圆心(a，b)，半径r.
2．已知圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝25，则圆心C的坐标和半
径分别是什么？
提示：(－1,2) 5
3．圆心C(－3，－2)，半径为4的圆的标准方程是什么？
提示：(x＋3)2＋(y＋2)2＝16[小问题·大思维] [例1] 求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)，B(3，－2)的圆的标准方程．[研一题] 1．法一为待定系数法，由题目给出的已知条件实现和参数a，b，r的联系，从而得出方程并求出a，b，r，但此方法的计算量较大．
2．法二主要是利用了圆心在圆的弦的垂直平分线上这一几何性质，在计算上更为简捷；在解题时若能善于应用圆的几何性质，往往会收到较好的效果．[悟一法]1．一圆经过点P(－4,3)，圆心在直线2x－y＋1＝0上，且半
径为5，求该圆的标准方程．[通一类] [例2] 求以点C(3，－5)为圆心，以6为半径的圆的方程，并判断点P1(4，－3)、P2(3,1)、P3(－3，－4)与这个圆的位置关系．[研一题] 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系：
①点在圆上?d＝r；②点在圆外?d>r；③点在圆内?d2．已知两点A(4,9)和B(6,3)，
(1)求以AB为直径的圆的方程；
(2)在(1)的条件下，试分别判断点M(6,9)、N(3,3)、P(5，
3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ [例3] 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[研一题] [自主解答]我们以台风中心为原点
O，东西方向为x轴，南北方向为y轴，
建立如图所示的直角坐标系．
这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝302①
轮船航线所在直线l的方程为 圆具有对称性．在实际应用时，一般通过建立平面直角坐标系，把实际问题转化为圆的半径、弦长等问题求解，然后再回到实际问题，根据实际意义作答．[悟一法]3．有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，
某地居民从两地之一购得商品后往家里运的费用是：
每千米A地的运费是B地运费的3倍．已知A，B两地距
离10千米，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是
包括运费和价格的总费用较低．当P地居民选择A地或
B地购货的总费用相等时，求点P所在曲线的形状．[通一类]解：如右图，以AB所在直线为x轴，
线段AB的中点O为原点建立直角坐
标系．
?∵|AB|＝10，
∴A(－5,0)，B(5,0)．
设P(x，y)，P到A，B两地购物的运费分别是3a，a(元/千米)．
当由P地到A，B两地购物费用相等时，即到两地的运费相等， 平面上两点A(－1,0)、B(1,0)，在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上取一点P，求使|PA|2＋|BP|2取得最小值时点P的坐标．
[巧思] 设出点P的坐标将|AP|2＋|BP|2化简即可转化为求圆上一点到原点的距离的平方取得最小值时点P的坐标．[妙解] 设点P的坐标为(x，y)，
则|AP|2＋|BP|2
＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2
＝2(x2＋y2)＋2≥2×(5－2)2＋2
＝20，
取等号时，点P在P0处(如图)，
此时|OP0|2＝9，点击此图进入点击此图进入课件34张PPT。2.3
圆的方程2.3.2
圆的一般方程课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测 1．圆的一般方程
只有当 时，二元二次方程x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0才表示一个圆，这时这个方程叫做圆的
一般方程．[读教材·填要点]D2＋E2－4F>0D2＋E2－4F<0D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F>01．二元二次方程x2＋y2－6x＋2y＋6＝0能表示圆吗？
提示：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0?(x－3)2＋(y＋1)2＝4表
示圆，圆心(3，－1)，半径为2.[小问题·大思维]2．若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆
的方程，则其系数有何要求？[例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．[研一题] 这个类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即：①x2与y2的系数相等，②不含xy的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可．[悟一法]1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－4x＝0.[通一类]解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，x2的系数为2，y2的系数为1.
∵2≠1，∴不能表示圆．
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0，方程中含xy项，
∴此方程不能表示圆．
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0.
法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：
D＝－2，E＝－4，F＝10.
∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10
＝20－40＝－20<0.
∴此方程不能表示圆．法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0.
配方：(x－1)2＋(y－2)2＋5＝0，
∵(x－1)2≥0，(y－2)2≥0.
∴方程(x2－1)2＋(y－2)2＋5＝0中不存在(x，y)，满足方程．
∴方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0不能表示圆．
(4)2x2＋2y2－4x＝0，∴x2＋y2－2x＝0，
∴(x－1)2＋y2＝1.
∴表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆. [例2] 已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求它的外接圆的方程． [研一题] 1．利用待定系数法，先设出圆的方程，再根据条件列出方程组求出未知数，这是求方程问题的常用方法．
2．如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用设圆的一般方程，再用待定系数法求D、E、F.[悟一法][通一类]
2．求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求
这个圆的半径和圆心坐标． [例3] 已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？[研一题] 1．求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的等量关系，并把这个方程化成最简形式，如果题目中无坐标系，就先要建立适当的直角坐标系．
2.轨迹与轨迹方程不同，前者是曲线，后者是方程，但要求轨迹往往先求轨迹方程．[悟一法]3．动点M到定点A和B的距离的比为2∶1，且|AB|＝3，求
动点M的轨迹方程．[通一类] 已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．点击此图进入点击此图进入课件40张PPT。2.3
圆的方程2.3.3
直线与圆的位置关系课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测[读教材·填要点]1．直线与圆的位置关系2个1个0个Δ>0dr 3．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为
.x0x＋y0y＝r21．能否从直线与圆的公共点的个数来判断直线与圆的位
置关系？
提示：能．若直线与圆有两个公共点，则直线与圆相
交；有一个公共点，则相切；没有公共点，则相离．
2．过圆上一点作圆的切线有几条？过圆外一点呢？
提示：过圆上一点作圆的切线只有一条；过圆外一点
作圆的切线有两条．[小问题·大思维] [例1] 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点？[研一题] 解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．[悟一法]1．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2
－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．[通一类] [例2] 过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．?[研一题] 1．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，设出切线的斜率，写出切线的方程，由圆心到切线的距离等于半径，求出斜率，最后将点斜式化为一般式，应特别注意斜率不存在的情况．
2．过切点且垂直于切线的直线必过圆心；过圆心且垂直于切线的直线必过切点．[悟一法]2．圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y
＋15＝0也相切，求圆C的方程．[通一类][错因] 上述解法中，将直线方程和圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程．有两个解用Δ>0，忽视了方程中要求y≥0，－1≤x≤1这一限制条件，导致了错误的结论．点击此图进入点击此图进入课件42张PPT。2.3
圆的方程2.3.4
圆与圆的位置关系课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为
、 、 、 、 五种情况．
2．圆与圆的位置关系的判定
(1)几何法：设两圆半径分别为r1，r2，圆心距为d，则[读教材·填要点]外离外切相交内切内含d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2| 定两圆的位置关系？
提示：不能．当两圆的方程组成的方程组有一解时，
两圆有外切、内切两种可能情况；当方程组无解时，
两圆有外离、内含两种可能情况．[小问题·大思维]2．在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，两
圆的公切线条数分别为多少条？ 提示： [例1] (1)判断圆C1：x2＋y2－2x－3＝0和圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系；
(2)判断圆C1：x2＋y2＋2x－6y－39＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的位置关系．[研一题] 利用圆的方程判断圆与圆的位置关系，宜用几何法，先将两圆化成标准方程，确定出圆心和半径，比较两,圆圆心距d和R＋r，|R－r|的大小，尽量不使用代数法，代数法不仅运算量较大，而且无法确定相离还是内含，外切还是内切．[悟一法]1．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，
圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，当m为何值时，
(1)圆C1与圆C2相切．
(2)圆C1与圆C2内含？[通一类] [例2] 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度． [研一题]2．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与圆C2：x2＋y2＋6x
＋2y－40＝0相交于A、B两点，求弦AB的长．[通一类]r1＋r2＝4，
∴C1和C2两圆外切.
又∵圆心O1、O2到x轴的距离分别为3与1，
∴圆O1与圆O2均与x轴相切，
又∵圆心的纵坐标均为正值3与1，
故两圆均在x轴上方，x轴为它们的一条外公切线． 当圆与圆外切时，两圆有两条外公切线和一条内公切线，内公切线过两圆的切点且与两圆圆心连线垂直，当圆与圆内切时两圆心的连线过切点且与切线垂直．[悟一法][通一类] 求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．点击此图进入点击此图进入课件33张PPT。2.4
空间直角坐标系2.4.1
空间直角坐标系课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测 1．空间直角坐标系的概念
为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都
，这样它们中的任意两条都 ；轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转
能与y轴的正半轴重合．这时，我们说在空间建立了一个 Oxyz，O叫做 ．每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做 ．[读教材·填要点]垂直互相垂直空间直角坐标系坐标原点坐标平面90° 2．空间中点的坐标
过点P作一个平面平行于平面yOz，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的
．
过点P作一个平面平行于平面xOz，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴的坐标为y，这个数y叫做点P的 ．x坐标y坐标 过点P作一个平面平行于坐标平面xOy，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的 ．
这样对空间的一点P，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作 ，其中x，y，z也可称为点P的 ．
3．卦限的概念
三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个
，在各个卦限内，点的坐标各分量的符号是 ．z坐标P(x，y，z)坐标分量卦限不变的1．在空间直角坐标系中，点的坐标与空间中的点之间是
否是一一对应关系？
提示：是一一对应关系．
2．确定点的位置有哪些方法？
提示：确定点的位置一般有三种方法：
(1)在x轴上找点M1(x0,0,0)，过M1作与x轴垂直的平面α；
再在y轴上找点M2(0，y0,0)，过M2作与y轴垂直的平面β；
再在z轴上找点M3(0,0，z0)，过M3作垂直于z轴的平面γ，
于是α，β，γ交于一点，该点即为所求．[小问题·大思维](2)确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0，z0)的位置．
(3)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点． [例1] 已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，建立如图不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．[研一题][自主解答] (1)∵D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴，y轴，z轴正半轴上，又正方体棱长为2，
∴D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D′(0,0,2)．
∵B点在xDy面上，它在x轴、y轴上的射影分别是A、C，
∴B(2,2,0)，同理，A′(2,0,2)，C′(0,2,2)．
∵B′在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影是D′，
∴B′(2,2,2)．
(2)方法同(1)，可求得A′(2,0,0)，B′(2,2,0)，C′(0,2,0)，D′(0,0,0)，
A(2,0，－2)，B(2,2，－2)，C(0,2，－2)，D(0,0，－2)． 空间的点有以下几种：点在坐标轴上、在坐标平面内、既不在坐标轴上，也不在坐标平面内．若是前两种情形，则能比较容易地求出点的坐标，若是第三种情形，则通过该点分别作平行于坐标轴的平面，与坐标轴产生交点，则交点的坐标便组成了所求点的坐标．[悟一法]1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱
长为1.求E，F的坐标．[通一类] 1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
2．对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x、y、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．[悟一法]2．已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．[通一类][研一题]
[例3] 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． [自主解答] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，
则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12)．[悟一法]
在空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊的对称点的坐标如下：
(1)关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)．
(2)关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)．
(3)关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)．
(4)关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)．
(5)关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)．
(6)关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)．
(7)关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．[通一类]
3．已知点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于
xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求
线段AA3的中点M的坐标．
解：∵点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标
为(4，－2，－3)，点A1(4，－2，－3)关于xOz平面的
对称点A2的坐标为(4,2，－3)，点A2(4,2，－3)关于z
轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)，∴AA3中点
M的坐标为(－4,0,0). 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝4，A1C1与B1D1相交于点P，建立适当的坐标系，求点C、B1、P的坐标(写出符合题意的一种情况即可)． [错解] 如图所示，分别以AB、AD和AA1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系．
∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4，
∴B(5,0,0)，D(0,4,0)，A1(0,0,4)，
从而C(5,4,0)，B1(5,0,4)．
又D1(0,4,4)，P为B1D1的中点，∴P(，2,4)． [错因] 空间直角坐标系中，x轴、y轴和z轴的正方向排列次序要符合如下规则：从z轴的正方向看，x轴的正半轴按逆时针方向转90°与y轴的正半轴重合．错解中，坐标系的建立不符合如上法则，因此解答是不正确的．点击此图进入点击此图进入课件31张PPT。2.4
空间直角坐标系2.4.2
空间两点的距离公式课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
平面解析几何初步考点一考点二读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测 1．空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是d(A，B)＝|AB|＝ .
2．点A(x，y，z)到原点的距离公式是d(O，A)＝|OA|＝ . [读教材·填要点]在空间直角坐标系中，方程x2＋y2＋z2＝4表示什么图形？
提示：表示以原点为球心，2为半径的球．[小问题·大思维][研一题]
[例1] 如图所示，在长方体OABC
－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，
|AA1|＝2，E是BC的中点，作OD⊥AC
于点D，求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离． 熟练掌握空间两点间的距离公式是关键，求点到坐标平面或点到坐标轴的距离，通常转化为过点作平面或直线的垂线，计算点与垂足间的距离即可．[悟一法]1．分别求下列点与点、点与线、点与面之间的距离：
(1)O(0,0,0)，P(－3,4,5)；
(2)A(0,1，－3)，B(－2,0，－1)；
(3)C(－3,1,5)到平面yOz的距离；
(4)D(4，－2,3)到y轴的距离．[通一类] [例2] 已知三角形的三顶点A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，试证明它是等腰直角三角形．[研一题] 空间两点间距离公式常用来判断空间图形的形状，求空间几何体中有关线段的长度，当坐标给定时直接利用公式计算，当坐标没有给定时可以建立适当的空间直角坐标系，再找出相关点的坐标，利用公式计算即可．[悟一法]解：(1)∵面ABCD⊥面ABEF，
面ABCD∩面ABEF＝AB，
AB⊥BE，
∴BE⊥面ABCD.
∴AB、BC、BE两两垂直．
∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系． 如图，以正方体的三条棱所在直线
为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
点P在正方体的对角线AB上，点Q在正
方体的棱CD上．
(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；
(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值；
(3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值． [点评] 对于空间几何体建立空间直角坐标系后，就把点和坐标联系起来，这样就可以把空间中的线段长、距离及位置关系等几何问题转化成代数式，再用代数的方法来解决，从而借助代数中最基本最普遍的函数与方程的思想，解决几何问题，使许多复杂的几何问题迎刃而解．点击此图进入点击此图进入课件52张PPT。要点整合再现高频考点例析阶段质量检测章末复习方案与全优评估考点一考点二考点三考点四考点五 1．直线与方程
(1)研究直线问题时，不要忘记考虑斜率不存在的情形．根据斜率公式，可以得到在两条直线的斜率都存在的条件下平行与垂直的判定结论：l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.值得注意的是：当直线l1、l2的斜率都不存在且不重合时，有l1∥l2；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，有l1⊥l2. (2)直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有局限性，应用时一定要注意对特殊情况(如截距等于0)进行补充说明或讨论．
(3)求直线方程的本质是确定方程中的两个独立系数，这需要两个独立条件，基本方法是合理选择某种形式的直线方程后，利用待定系数法求解．
(4)通过直线的方程可以用代数方法解决与直线有关的问题，如两条直线的交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离及两平行线间的距离． 2．圆的方程、直线与圆、圆与圆
(1)①求圆的方程，可以用直接法，即由条件直接求圆心和半径，但基本方法是以待定系数法为主，在设方程时应根据条件选择使用标准方程还是一般方程，如果题目给出圆心坐标等关系，则采用标准方程；如果已知圆上多个点的坐标，则采用一般方程．
②用动点轨迹的方法求圆的方程时，除定义外还有其他等量关系，如动点到两定点连线互相垂直、动点到两定点的距离的比是常数等． (3)圆与圆的位置关系共有外离，外切，相交，内切，内含五种，其判别方法有：
①代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组．若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆外离或内含． ②几何法：设两圆半径分别为r1，r2，两圆心分别为C1，C2，则
当|C1C2|>r1＋r2时，两圆外离；
当|C1C2|＝r1＋r2时，两圆外切；
当|C1C2|＝|r1－r2|时，两圆内切；
当|r1－r2|<|C1C2|<|r1＋r2|时，两圆相交；
当|C1C2|<|r1－r2|时，两圆内含． [例1] 直线l过点P(8,6)且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．1．直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为
2，两截距之差为3，求直线l的一般式方程．2．已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，
求三角形三条边所在的直线方程． [例2] 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．法二：∵l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，
而l过l1、l2的交点(－1,2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
故l的方程为5x＋3y－1＝0. [借题发挥] 此题可以借助于过两直线交点的直线系解决．设出直线系方程3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0利用与直线l3垂直得出λ的方程，进而求出直线方程．3．已知直线l1：x＋ay－2a－2＝0，l2：ax＋y－1－a＝0.
(1)若l1∥l2，试求a的值；
(2)若l1⊥l2，试求a的值．4．(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2
－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y
＝4x－3垂直？ [例3] 有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．5．已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与
直线x－y－1＝0相切，求圆的方程．6．求经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得弦长
等于6的圆的方程．由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36④
由①②④得，D＝－2，E＝－4，F＝－8或
D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或
x2＋y2－6x－8y＝0.法二：设圆与x轴交点为A(t－3,0)，B(t＋3,0)．
圆心为PQ的中垂线和AB的中垂线交点．
PQ的垂直平分线为x－y＋1＝0
AB的垂直平分线为x＝t，
∴圆心(t，t＋1)
由圆心到A、P距离相等得， [例4] 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0 ，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． [解] 假设存在直线l满足题意．
圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝32，
∴圆心为C(1，－2)．
设以AB为直径的圆的圆心为M(a，b)，
由于CM⊥l，∴kC M·kl＝－1，此时直线l的方程为x－y－4＝0；
当a＝－1时，b＝0，此时直线l的方程为x－y＋1＝0.
故存在两条直线l满足题意，方程分别为
x－y－4＝0或x－y＋1＝0.[借题发挥] 此题还可以用这种方法求解
设直线l的方程为y＝x＋b，联立直线与圆C方程整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，由Δ>0?b2＋6b－9<0.由题意转化为OA⊥OB，即kOA·kOB＝－1.
∴x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2代入求得b＝1或b＝－4，然后再检验满足．从而得到所求的直线方程．7．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切
点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．答案：4解：(1)当直线l存在斜率时，
设直线l的方程为
y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0.
作示意图如图，作MC⊥AB于C. [例5] 已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y2－4y－6＝0
(1)判定两圆的位置关系；
(2)求两圆公共弦所在直线方程． [借题发挥] (1)判断两圆位置关系时，可利用两圆圆心距与R＋r及|R－r|的大小进行判断，两圆的位置关系决定了两圆的公切线的条数．
(2)两圆相交求其公共弦所在直线方程，可利用两圆方程作差，但应注意当两圆不相交时，作差得出的直线方程并非两圆公共弦所在直线方程．答案：110．求与y轴相切，且与圆A：x2＋y2－4x＝0也相切的圆P
的圆心的轨迹方程．
解：把圆的方程配方得(x－2)2＋y2＝4.
设P(x，y)为轨迹上任意一点．11．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x
＋2y－11＝0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共
弦长．点击此图进入