直线、圆、圆锥曲线 讲义-2023届高考数学二轮复习专题（无答案）

直线+圆+及圆锥曲线（知识点串讲）
知识点一 直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角与斜率的关系
(1).倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°. 需补充弧度制 客观存在与人为规定 点线面关系 数形结合
(2).倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．
当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．
当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．
2..求直线斜率的公式
经过两点的直线的斜率公式为 .
例1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l的方程为x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
【变式训练1-1】、（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为__________________．
知识点二 直线的点斜式方程与斜截式方程
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y1＝k(x－x1) 不能表示与x轴垂直的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示与x轴垂直的直线
两点式 ＝ 不能表示与坐标轴垂直的直线
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 适合所有的直线
例2、已知点和直线l：.求：
（1）过点A且与直线l平行的直线方程；
（2）过点A且与直线l垂直的直线方程.
【变式训练2-1】、（山西省吕梁一中2019届模拟）l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________________．
知识点三 直线的两点式方程与截距式方程
例3．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．
【变式训练3-1】、（2020全国高二课时练）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：
(1)斜率是，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(－2,0)，且与x轴垂直；
(3)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(4)经过点A(－1,8)，B(4，－2)．
(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；
(6)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
知识点四 点到直线的距离与平行线间的距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 ＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝
例4．（湖北省十堰一中2019届期末）已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，且点P(，－1)，则点|PM|的最小值为(　　)
A. B．1
C．2 D．3
【变式训练4-1】、（湖南省郴州一中2019届模拟）在平面直角坐标系中，已知点P(－2,2)，直线l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0(a，b∈R且不同时为零)，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是________．
【变式训练4-2】、(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练4-3】、若直线：与直线：平行，则与的距离为( )
A． B．
C． D．
知识点五 直线与直线的平行与垂直
若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,，
则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：
（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且.
即,且或.
（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即
（3）平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
（4）垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为 (其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
例5．（江苏省盐城一中2019届期末）若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于(　　)
A．1 B．－ C．－ D．－2
【变式训练5-1】、（一中2019届期末）已知点A(1，－2)，B(m,2)，若线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．－7
C．3 D．1
直线与圆、圆与圆的位置关系
知识点一 圆的标准方程与一般方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r＞0) 圆心C：(a，b)
半径：r
一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 圆心：
半径：r＝
例1.（成都七中2020年高二上半期考试）圆经过三点：，，.
（1）求圆的方程；
（2）求圆与圆:的公共弦的长.
【变式训练1-1】．（成都七中2020年高二上半期考试）如果实数x,y满足，那么的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】．（四川成都华西中学2020年高二11月月考）在平面直角坐标系中，曲线围成的图形的面积为
知识点二 直线与圆的位置关系（相交、相切与相离）
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
例2.（四川成都华西中学2020年高二11月月考）已知圆，
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）直线过点且被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；
（3）过点的直线与圆于不同的两点、，线段的中点的轨迹为，直线与曲线只有一个交点，求的值.
【变式训练2-1】．（2020湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【变式训练2-2】．（四川成都华西中学2020年高二11月月考），且有四个子集，则的取值范围是_______．
知识点三 圆的综合应用
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
　方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
例3.（四川成都华西中学2020年高二11月月考）圆与圆的公切线条数是　
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练3-1】．（成都七中2020年高二上半期考试）圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【变式训练3-2】．如图，已知圆，圆．过原点的直线与圆，的交点依次是，，．
（1）若，求直线的方程；
（2）若线段的中点为，求点的轨迹方程．
圆锥曲线的方程、图像与性质
知识点一 椭圆的方程与性质
1、椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距 ＝2c
离心率 e＝，　　e∈(0,1)
a，b，c 的关系 c2＝a2－b2
例1、(2020·河南洛阳一模)已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．6
C．9 D．10
【变式训练1-1】、已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，那么点M的轨迹C的方程为____．
【变式训练1-2】、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是____．
知识点二 直线与椭圆的位置关系
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个顶点为(3，0)，(－3，0)，离心率为；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
【变式训练2-1】、已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】、设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
知识点三 双曲线的方程与性质
1、 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
2、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
例3、（华东师范大学附中2019届模拟）(1)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3＝4，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．24 D．48
(2)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．
【变式训练3-1】、　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．