2023年春季北师版数学九年级下册第一章 《直角三角形的边角关系》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·玉林）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·宜宾）如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，，则建筑物AB的高度为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·乐山）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD.若，，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
8．（2022·金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·毕节）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接.若，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
10．（2021·桂林）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题（共9题，共72分）
11．（2022·广安）计算：
12．（2022·泸州）计算：.
13．（2022·日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
14．（2022·内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°.
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离.（结果保留根号）
15．（2022·无锡）如图，已知四边形ABCD为矩形 ， ，点E在BC上， ，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF.
（1）求EF的长；
（2）求sin∠CEF的值.
16．（2022·株洲）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处.如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米.
（1）求的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.
17．（2022·绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37° ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，tan84°≈ ）
18．（2022·嘉兴）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
19．（2022·自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 .测量时，使支杆 、量角器90°刻度线 与铅垂线 相互重合（如图①），绕点 转动量角器，使观测目标 与直径两端点 共线（如图②），此目标 的仰角 .请说明两个角相等的理由.
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 处测得顶端 的仰角 ，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米；求树高 . （ ，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距离地面高度 （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （ 在同一直线上），分别测得点 的仰角 ，再测得 间的距离 ，点 到地面的距离 均为1.5米；求 （用 表示）.
三、填空题（每题3分，共18分）
20．（2022·湘西）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA
b2＝a2＋c2﹣2accosB
c2＝a2＋b2﹣2abcosC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝ ．
21．（2022·德阳）如图，直角三角形 纸片中， ，点 是 边上的中点，连接 ，将 沿 折叠，点 落在点 处，此时恰好有 .若 ，那么 .
22．（2022·连云港）如图，在 正方形网格中， 的顶点 、 、 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则 .
23．（2021·广安）如图，将三角形纸片 折叠，使点 、 都与点 重合，折痕分别为 、 .已知 ， ， ，则 的长为 .
24．（2021·黄石）如图，直立于地面上的电线杆 ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是 、 ，测得 米， 米， ，在 处测得电线杆顶端 的仰角为 ，则电线杆 的高度约为 米.（参考数据： ， ，结果按四舍五入保留一位小数）
25．（2021·邵阳）如图，在矩形 中， ，垂足为点 .若 ， ，则 的长为 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，
∴∠DAC为对应的俯角.
故答案为：D.
【分析】朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，据此解答.
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得：，
则.
故答案为：A.
【分析】根据斜面AB的坡度结合BC的值可得AC，然后利用勾股定理计算即可.
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°.
在Rt△CDB中，CD=m×cosα，BD=m×sinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）.
故答案为：A.
【分析】过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，根据锐角三角形函数的定义求出CD=
mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，可得AD=CD×tan45°=mcosα，根据AB=AD-BD即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
由折叠的性质可得，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠A=90°，AB∥CD，AB=CD=5，AD=BC=3，易得∠BDC=∠DBF，根据折叠的性质可得∠BDC=∠BDF，进而可推出BF=DF，设BF=x，则DF=x，AF=5-x，然后在Rt△ADF中，利用勾股定理可求出x，接下来根据三角函数的概念进行计算即可.
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】设AB=x，由题意知，∠ACB=α，∠ADB=β，
∴，，
∵CD=BC-BD，
∴，
∴，即AB=，
故答案为：D.
【分析】利用解直角三角形分别表示出BD，BC的长；再根据CD=BC-BD=a，建立关于x的方程，解方程表示出x，即可得到建筑物AB的高.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图.
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC.
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝.
故答案为：B.
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，根据平行线的性质可得∠APC＝∠EDC.，利用勾股定理可得EC、DC、DE，结合勾股定理逆定理知△DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，然后结合三角函数的概念进行计算.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得，
过点D作于点E，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
在中，
∴
∵
∴
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的概念可得AC，由勾股定理求出AB，过点D作DE⊥AB于点E，根据三角函数的概念可得DE=AE，DE=BE，则BE=AE，结合AE+BE=5可得AE，然后求出DE，利用勾股定理求出AD，由AD+CD=AC可得AC，然后根据CD=AC-AD进行计算.
8．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，
∵配电房是轴对称图形，BC=6m，
∴BH=HC=3m，
在Rt△AHB中，∠ABH=α，
∴AH=3tanα m，
∵HQ=4m，
∴AQ=AH+HQ=（3tanα+4）m，
即房顶A离地面EF的高度（3tanα+4）m.
故答案为：B.
【分析】如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，由轴对称图形性质，可得BH=HC=3m，再由锐角三角函数正切关系，求得AH=3tanα m，从而得AQ=（3tanα+4）m，即可求得房顶A离地面EF的高度.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接BF，与AE相交于点G，如图，
∵将沿AE折叠得到
∴与关于AE对称
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=
∵点E是BC中点
∴BE=CE=DF=
∴
∵
∴
∴
∵BE=CE=DF
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=
∴
故答案为： D.
【分析】连接BF，与AE相交于点G，根据折叠的性质可得BE=FE，BG=FG=BF，根据中点的概念可得BE=CE=3，利用勾股定理可得AE，根据三角函数的概念可得BG，由BF=2BG可得BF，根据等腰三角形的性质可得∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，则∠BFC=90°，然后利用勾股定理计算即可.
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴ ，
故答案为：D
【分析】作PM⊥x轴于点M，根据勾股定理求出OP，然后根据正弦三角函数定义计算即可.
11．【答案】解：
=
=0
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.
12．【答案】解：原式=
=2
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.
13．【答案】（1）解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：
根据题知∠ABF=∠DAB=30°，∴，∵BC的坡度i=1：2.4，∴BE：CE=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，∵BE2+CE2=BC2，∴t2+（2.4t）2=2602，解得t=100（m），（负值已舍去），∴h=AF+BE=235（m），答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）解：设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，根据题意得：，解得x=15，经检验，x=15是原方程的解，也符合题意，∴x+35=50，答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）先求出 BE：CE=1：2.4， 再利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等 ，列方程求解即可。
14．【答案】（1）解：过点A作AE⊥l，垂足为E，
设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝CE tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝30+30，
经检验：x＝30+30是原方程的根，
∴AE＝（30+30）米，
∴河的宽度为（30+30）米；
（2）解：过点B作BF⊥l，垂足为F，
则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），
∴古树A、B之间的距离为20米.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝(x+60)米，根据平角的概念可得∠ACE＝45°，则AE＝x米，利用三角函数的概念可求出x，据此可得AE；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝(30+30)米，AB＝EF，根据邻补角的性质可得∠BCF＝60°，利用三角函数的概念可得CF，然后根据AB＝EF＝CE-CF进行计算.
15．【答案】（1）解：设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
（2）解：过F作FM⊥BC于M，
∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a，则EC=3-a，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）设BE=x，则AE=EC=4-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得x，据此可得BE、AE、CE的值，根据等腰三角形的性质得∠1=∠2，由折叠得△FAC≌△BAC，得到∠FAC=∠CAB，AF=AB，结合∠1+∠CAB=90°可得∠FAC+∠1=90°，则∠FAE=90°，然后利用勾股定理可得EF；
（2）过F作FM⊥BC于M，设EM=a，则EC=3-a，在Rt△FME、Rt△FMC中，由勾股定理建立方程，求解可得a及FM的长，然后根据三角函数的概念进行计算.
16．【答案】（1）解：∵山坡②的坡度，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）解：∵，，
∴，
∴千米，
∵，，
∴，
∴，
∴该登山运动爱好者走过的路程..
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据山坡②的坡度结合特殊角的三角函数值可得∠BCN=45°，然后根据平角的概念进行计算；
（2）根据∠BCN的余弦三角函数的概念及∠ACM的正弦三角函数概念可得BC、AC的值，然后求出AC+BC即可.
17．【答案】（1）解：∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC，
∴∠BAD＝47°．
答：∠BAD的度数是47°．
（2）解：在Rt△ABC中， ，
∴ ．
同理，在Rt△ADC中，有 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ (米)．
答：表AC的长是3.3米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）由∠BAD＝∠ADC－∠ABC代入计算求出∠BAD的度数.
（2）在Rt△ABC中，利用解直角三角形表示出BC的长；在Rt△ADC中，利用解直角三角形表示出DC的长，根据BC-DC=BD，代入可得到关于AC的方程，解方程求出AC的长.
18．【答案】（1）解：如图2，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°，
∴∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=DE，
∴在Rt△DFC中，sin20°=≈0.34，
∴DF=1.7cm，
∴DE=2DF=3.4cm.
（2）解：如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∴∠AGD=90°，
由题意可得：CF垂直平分AB，
∴DG∥CF，
∴∠GDC=∠DCF=20°，
又∵AD⊥CD，
∴∠A+∠ADG=∠GDC+∠ADG=90°，
∴∠A=∠GDC=20°，
∴在Rt△AGD中，AD=10cm，cos20°=≈0.94，
∴AG=9.4，
同理可得：HB=9.4，
∴AB=AG+GH+HB=AG+DE+HB=9.4+3.4+9.4=22.2cm.
答：点A、B之间的距离为22.2cm.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）如图2，过点C作CF⊥DE于点F，由等腰三角形性质可得∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=DE，再根据锐角三角函数定义，即在Rt△DFC中，sin20°=≈0.34，求得DF的长，进而求得DE的长；
（2）如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，∠AGD=90°，由题意得CF垂直平分AB，从而得DG∥CF，进而得∠GDC=∠DCF=20°，通过角互余等量代换得∠A=∠GDC=20°，
由cos20°=≈0.94，求得AG=9.4，同理得HB=9.4，最后由AB=AG+GH+HB代入数据计算即可求解.
19．【答案】（1）解：由题意可知
∠PON=90°，∠COM=90°，
∴∠POC=90°-∠CON，∠GON=90°-∠CON，
∴∠POC=∠GON.
（2）解：过点O作OQ⊥PH于点Q，
由题意可知四边形OKHQ是矩形，
∴OQ=KH=5，OK=QH=1.5，
在Rt△PQO中，∠POQ=60°，
∴
∴.
答：树高为10.2m.
（3）解：过点O1作O1D⊥PH于点D，
由题意可知DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，
在Rt△PDO1和Rt△PDO2中
，
，
∵O2D-O1D=O1O2=m
∴
∴
解之：
∴
答：PH的长为米.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到∠PON=90°，∠COM=90°，利用同角的余角相等，可证得结论.
（2）过点O作OQ⊥PH于点Q，易证四边形OKHQ是矩形，利用矩形的性质可求出QH，OQ的长；再利用解直角三角形求出PQ的长；然后根据PH=PQ+QH，代入计算求出PH的长.
（3）过点O1作O1D⊥PH于点D，利用矩形的性质可求出DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，利用解直角三角形分别表示出O1D，O2D的长，根据O2D-O1D=O1O2=m，可得方程，从而可求出PD的长；然后根据PH=PD+DH，代入计算求出PH的长.
20．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，
∴BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A=16+9-2×3×4cos60°，
BC2=25-12
解之：BC=.
故答案为：.
【分析】由题意可知利用余弦定理：BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A；然后代入计算求出结果.
21．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵D为AB中点，
∴在直角三角形中有AD=CD=BD，
∴∠A=∠DCA，
根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA，
∵∠BCE+∠ECD+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°
∴∠A=30°，
∴在Rt△ACB中，BC=1，
则有 ，
∴
故答案为：.
【分析】根据内角和定理可得∠A+∠B=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=CD=BD，由等腰三角形的性质可得∠A=∠DCA，根据翻折的性质可得∠DCA=∠DCE，CE=AC，由同角的余角相等可得∠A=∠BCE，则∠A=∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°，根据三角函数的概念可得AC，据此可得CE.
22．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，
∴AD=3，CD=4，
在Rt△ADC中，AC==5，
∴sinA==.
故答案为：.
【分析】如图，过点C作CD⊥AB，在Rt△ADC中利用勾股定理求得AC=5，再根据正弦的定义，即一个角的正弦等于这个角的对边比上斜边，代入数据即可求解.
23．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，
∴BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，
∴∠AFE=30°，又AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE=30°，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，∠AED=∠BED=30°，
∴∠BAE=60°，
∵DE= ，
∴AE=BE=AB= =2，
∴BF=BE+EF=4，∠BAF=60°+30°=90°，
∴FC=AF= = ，
∴BC=BF+FC= ，
故答案为： .
【分析】由折叠的性质得出BE＝AE，AF＝FC，∠FAC＝∠C＝15°，得出∠AFE＝30°，由等腰三角形的性质得出∠EAF＝∠AFE＝30°，证出△ABE是等边三角形，求得∠BAE的度数，求出AE＝BE的值，易求得∠BAF＝90°，利用勾股定理求出AF，即CF，由线段的构成BC=BF+FC可求解．
24．【答案】10.5
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF= ＝2 ，
由题意得∠E=45°，
∴EF=DF=2，
∴BE=BC+CF+EF=5+2+2 =7+2 ，
∴AB=BE×tanE=（7+2 ）×1≈10.5米，
故答案为：10.5.
【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，利用邻补角的定义可求出∠DCF的度数，利用勾股定理求出CF的长；再求出EF的长，根据BE=BC+CF+EF，代入计算求出BE的长；然后利用解直角三角形求出AB的长.
25．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中，
在矩形 中，
故答案为：3.
【分析】在 中，由求出AE，利用勾股定理求出DE，根据余角的性质求出，从而得出，据此求出CD，利用矩形的性质得出AB=CD，从而得出结论.
1 / 12023年春季北师版数学九年级下册第一章 《直角三角形的边角关系》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·玉林）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，
∴∠DAC为对应的俯角.
故答案为：D.
【分析】朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，据此解答.
2．（2022·毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得：，
则.
故答案为：A.
【分析】根据斜面AB的坡度结合BC的值可得AC，然后利用勾股定理计算即可.
3．（2022·十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°.
在Rt△CDB中，CD=m×cosα，BD=m×sinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）.
故答案为：A.
【分析】过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，根据锐角三角形函数的定义求出CD=
mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，可得AD=CD×tan45°=mcosα，根据AB=AD-BD即可求解.
4．（2022·宜宾）如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
由折叠的性质可得，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠A=90°，AB∥CD，AB=CD=5，AD=BC=3，易得∠BDC=∠DBF，根据折叠的性质可得∠BDC=∠BDF，进而可推出BF=DF，设BF=x，则DF=x，AF=5-x，然后在Rt△ADF中，利用勾股定理可求出x，接下来根据三角函数的概念进行计算即可.
5．（2022·随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，，则建筑物AB的高度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】设AB=x，由题意知，∠ACB=α，∠ADB=β，
∴，，
∵CD=BC-BD，
∴，
∴，即AB=，
故答案为：D.
【分析】利用解直角三角形分别表示出BD，BC的长；再根据CD=BC-BD=a，建立关于x的方程，解方程表示出x，即可得到建筑物AB的高.
6．（2022·广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图.
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC.
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝.
故答案为：B.
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，根据平行线的性质可得∠APC＝∠EDC.，利用勾股定理可得EC、DC、DE，结合勾股定理逆定理知△DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，然后结合三角函数的概念进行计算.
7．（2022·乐山）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD.若，，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得，
过点D作于点E，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
在中，
∴
∵
∴
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的概念可得AC，由勾股定理求出AB，过点D作DE⊥AB于点E，根据三角函数的概念可得DE=AE，DE=BE，则BE=AE，结合AE+BE=5可得AE，然后求出DE，利用勾股定理求出AD，由AD+CD=AC可得AC，然后根据CD=AC-AD进行计算.
8．（2022·金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，
∵配电房是轴对称图形，BC=6m，
∴BH=HC=3m，
在Rt△AHB中，∠ABH=α，
∴AH=3tanα m，
∵HQ=4m，
∴AQ=AH+HQ=（3tanα+4）m，
即房顶A离地面EF的高度（3tanα+4）m.
故答案为：B.
【分析】如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，由轴对称图形性质，可得BH=HC=3m，再由锐角三角函数正切关系，求得AH=3tanα m，从而得AQ=（3tanα+4）m，即可求得房顶A离地面EF的高度.
9．（2022·毕节）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接.若，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接BF，与AE相交于点G，如图，
∵将沿AE折叠得到
∴与关于AE对称
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=
∵点E是BC中点
∴BE=CE=DF=
∴
∵
∴
∴
∵BE=CE=DF
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=
∴
故答案为： D.
【分析】连接BF，与AE相交于点G，根据折叠的性质可得BE=FE，BG=FG=BF，根据中点的概念可得BE=CE=3，利用勾股定理可得AE，根据三角函数的概念可得BG，由BF=2BG可得BF，根据等腰三角形的性质可得∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，则∠BFC=90°，然后利用勾股定理计算即可.
10．（2021·桂林）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴ ，
故答案为：D
【分析】作PM⊥x轴于点M，根据勾股定理求出OP，然后根据正弦三角函数定义计算即可.
二、解答题（共9题，共72分）
11．（2022·广安）计算：
【答案】解：
=
=0
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.
12．（2022·泸州）计算：.
【答案】解：原式=
=2
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.
13．（2022·日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
【答案】（1）解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：
根据题知∠ABF=∠DAB=30°，∴，∵BC的坡度i=1：2.4，∴BE：CE=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，∵BE2+CE2=BC2，∴t2+（2.4t）2=2602，解得t=100（m），（负值已舍去），∴h=AF+BE=235（m），答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）解：设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，根据题意得：，解得x=15，经检验，x=15是原方程的解，也符合题意，∴x+35=50，答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）先求出 BE：CE=1：2.4， 再利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等 ，列方程求解即可。
14．（2022·内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°.
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离.（结果保留根号）
【答案】（1）解：过点A作AE⊥l，垂足为E，
设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝CE tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝30+30，
经检验：x＝30+30是原方程的根，
∴AE＝（30+30）米，
∴河的宽度为（30+30）米；
（2）解：过点B作BF⊥l，垂足为F，
则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），
∴古树A、B之间的距离为20米.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝(x+60)米，根据平角的概念可得∠ACE＝45°，则AE＝x米，利用三角函数的概念可求出x，据此可得AE；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝(30+30)米，AB＝EF，根据邻补角的性质可得∠BCF＝60°，利用三角函数的概念可得CF，然后根据AB＝EF＝CE-CF进行计算.
15．（2022·无锡）如图，已知四边形ABCD为矩形 ， ，点E在BC上， ，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF.
（1）求EF的长；
（2）求sin∠CEF的值.
【答案】（1）解：设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
（2）解：过F作FM⊥BC于M，
∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a，则EC=3-a，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）设BE=x，则AE=EC=4-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得x，据此可得BE、AE、CE的值，根据等腰三角形的性质得∠1=∠2，由折叠得△FAC≌△BAC，得到∠FAC=∠CAB，AF=AB，结合∠1+∠CAB=90°可得∠FAC+∠1=90°，则∠FAE=90°，然后利用勾股定理可得EF；
（2）过F作FM⊥BC于M，设EM=a，则EC=3-a，在Rt△FME、Rt△FMC中，由勾股定理建立方程，求解可得a及FM的长，然后根据三角函数的概念进行计算.
16．（2022·株洲）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处.如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米.
（1）求的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.
【答案】（1）解：∵山坡②的坡度，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）解：∵，，
∴，
∴千米，
∵，，
∴，
∴，
∴该登山运动爱好者走过的路程..
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据山坡②的坡度结合特殊角的三角函数值可得∠BCN=45°，然后根据平角的概念进行计算；
（2）根据∠BCN的余弦三角函数的概念及∠ACM的正弦三角函数概念可得BC、AC的值，然后求出AC+BC即可.
17．（2022·绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37° ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，tan84°≈ ）
【答案】（1）解：∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC，
∴∠BAD＝47°．
答：∠BAD的度数是47°．
（2）解：在Rt△ABC中， ，
∴ ．
同理，在Rt△ADC中，有 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ (米)．
答：表AC的长是3.3米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）由∠BAD＝∠ADC－∠ABC代入计算求出∠BAD的度数.
（2）在Rt△ABC中，利用解直角三角形表示出BC的长；在Rt△ADC中，利用解直角三角形表示出DC的长，根据BC-DC=BD，代入可得到关于AC的方程，解方程求出AC的长.
18．（2022·嘉兴）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【答案】（1）解：如图2，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°，
∴∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=DE，
∴在Rt△DFC中，sin20°=≈0.34，
∴DF=1.7cm，
∴DE=2DF=3.4cm.
（2）解：如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∴∠AGD=90°，
由题意可得：CF垂直平分AB，
∴DG∥CF，
∴∠GDC=∠DCF=20°，
又∵AD⊥CD，
∴∠A+∠ADG=∠GDC+∠ADG=90°，
∴∠A=∠GDC=20°，
∴在Rt△AGD中，AD=10cm，cos20°=≈0.94，
∴AG=9.4，
同理可得：HB=9.4，
∴AB=AG+GH+HB=AG+DE+HB=9.4+3.4+9.4=22.2cm.
答：点A、B之间的距离为22.2cm.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）如图2，过点C作CF⊥DE于点F，由等腰三角形性质可得∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=DE，再根据锐角三角函数定义，即在Rt△DFC中，sin20°=≈0.34，求得DF的长，进而求得DE的长；
（2）如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，∠AGD=90°，由题意得CF垂直平分AB，从而得DG∥CF，进而得∠GDC=∠DCF=20°，通过角互余等量代换得∠A=∠GDC=20°，
由cos20°=≈0.94，求得AG=9.4，同理得HB=9.4，最后由AB=AG+GH+HB代入数据计算即可求解.
19．（2022·自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 .测量时，使支杆 、量角器90°刻度线 与铅垂线 相互重合（如图①），绕点 转动量角器，使观测目标 与直径两端点 共线（如图②），此目标 的仰角 .请说明两个角相等的理由.
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 处测得顶端 的仰角 ，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米；求树高 . （ ，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距离地面高度 （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （ 在同一直线上），分别测得点 的仰角 ，再测得 间的距离 ，点 到地面的距离 均为1.5米；求 （用 表示）.
【答案】（1）解：由题意可知
∠PON=90°，∠COM=90°，
∴∠POC=90°-∠CON，∠GON=90°-∠CON，
∴∠POC=∠GON.
（2）解：过点O作OQ⊥PH于点Q，
由题意可知四边形OKHQ是矩形，
∴OQ=KH=5，OK=QH=1.5，
在Rt△PQO中，∠POQ=60°，
∴
∴.
答：树高为10.2m.
（3）解：过点O1作O1D⊥PH于点D，
由题意可知DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，
在Rt△PDO1和Rt△PDO2中
，
，
∵O2D-O1D=O1O2=m
∴
∴
解之：
∴
答：PH的长为米.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到∠PON=90°，∠COM=90°，利用同角的余角相等，可证得结论.
（2）过点O作OQ⊥PH于点Q，易证四边形OKHQ是矩形，利用矩形的性质可求出QH，OQ的长；再利用解直角三角形求出PQ的长；然后根据PH=PQ+QH，代入计算求出PH的长.
（3）过点O1作O1D⊥PH于点D，利用矩形的性质可求出DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，利用解直角三角形分别表示出O1D，O2D的长，根据O2D-O1D=O1O2=m，可得方程，从而可求出PD的长；然后根据PH=PD+DH，代入计算求出PH的长.
三、填空题（每题3分，共18分）
20．（2022·湘西）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA
b2＝a2＋c2﹣2accosB
c2＝a2＋b2﹣2abcosC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝ ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，
∴BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A=16+9-2×3×4cos60°，
BC2=25-12
解之：BC=.
故答案为：.
【分析】由题意可知利用余弦定理：BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A；然后代入计算求出结果.
21．（2022·德阳）如图，直角三角形 纸片中， ，点 是 边上的中点，连接 ，将 沿 折叠，点 落在点 处，此时恰好有 .若 ，那么 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵D为AB中点，
∴在直角三角形中有AD=CD=BD，
∴∠A=∠DCA，
根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA，
∵∠BCE+∠ECD+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°
∴∠A=30°，
∴在Rt△ACB中，BC=1，
则有 ，
∴
故答案为：.
【分析】根据内角和定理可得∠A+∠B=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=CD=BD，由等腰三角形的性质可得∠A=∠DCA，根据翻折的性质可得∠DCA=∠DCE，CE=AC，由同角的余角相等可得∠A=∠BCE，则∠A=∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°，根据三角函数的概念可得AC，据此可得CE.
22．（2022·连云港）如图，在 正方形网格中， 的顶点 、 、 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则 .
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，
∴AD=3，CD=4，
在Rt△ADC中，AC==5，
∴sinA==.
故答案为：.
【分析】如图，过点C作CD⊥AB，在Rt△ADC中利用勾股定理求得AC=5，再根据正弦的定义，即一个角的正弦等于这个角的对边比上斜边，代入数据即可求解.
23．（2021·广安）如图，将三角形纸片 折叠，使点 、 都与点 重合，折痕分别为 、 .已知 ， ， ，则 的长为 .
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，
∴BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，
∴∠AFE=30°，又AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE=30°，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，∠AED=∠BED=30°，
∴∠BAE=60°，
∵DE= ，
∴AE=BE=AB= =2，
∴BF=BE+EF=4，∠BAF=60°+30°=90°，
∴FC=AF= = ，
∴BC=BF+FC= ，
故答案为： .
【分析】由折叠的性质得出BE＝AE，AF＝FC，∠FAC＝∠C＝15°，得出∠AFE＝30°，由等腰三角形的性质得出∠EAF＝∠AFE＝30°，证出△ABE是等边三角形，求得∠BAE的度数，求出AE＝BE的值，易求得∠BAF＝90°，利用勾股定理求出AF，即CF，由线段的构成BC=BF+FC可求解．
24．（2021·黄石）如图，直立于地面上的电线杆 ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是 、 ，测得 米， 米， ，在 处测得电线杆顶端 的仰角为 ，则电线杆 的高度约为 米.（参考数据： ， ，结果按四舍五入保留一位小数）
【答案】10.5
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF= ＝2 ，
由题意得∠E=45°，
∴EF=DF=2，
∴BE=BC+CF+EF=5+2+2 =7+2 ，
∴AB=BE×tanE=（7+2 ）×1≈10.5米，
故答案为：10.5.
【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，利用邻补角的定义可求出∠DCF的度数，利用勾股定理求出CF的长；再求出EF的长，根据BE=BC+CF+EF，代入计算求出BE的长；然后利用解直角三角形求出AB的长.
25．（2021·邵阳）如图，在矩形 中， ，垂足为点 .若 ， ，则 的长为 .
【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中，
在矩形 中，
故答案为：3.
【分析】在 中，由求出AE，利用勾股定理求出DE，根据余角的性质求出，从而得出，据此求出CD，利用矩形的性质得出AB=CD，从而得出结论.
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