2023年春季北师版数学九年级下册第一章 《直角三角形的边角关系》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·毕节）计算的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
＝
＝
＝.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式即可.
2．（2021·金华）如图是一架人字梯，已知 米，AC与地面BC的夹角为 ，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质可证得BD=CD，再利用解直角三角形，可表示出DC的长；然后根据BC=2DC，可得到BC的长.
3．（2022·毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得：，
则.
故答案为：A.
【分析】根据斜面AB的坡度结合BC的值可得AC，然后利用勾股定理计算即可.
4．（2022九下·铁岭月考）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，如图，
AB＝＝3，BC＝＝，
根据题意可得，
S△ABC＝＝，
即＝，
解得：CD＝，
在Rt△BCD中，
sin∠ABC＝＝＝．
故答案为：B．
【分析】过点C作CD⊥AB，先利用勾股定理求出AB和BC的长，再利用等面积法求出CD＝，最后利用正弦的定义可得sin∠ABC＝＝＝。
5．（2022九下·大埔期中）如图，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴，点E在AD边E上，将沿BE折叠，使点A的对应点F落在直线MN上，若，则BE的长是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵MN是矩形ABCD的一条对称轴，
∴，，
∴∠AEF+∠MFE=180°，，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴∠BFM=30°，
∴∠MFE=60°，
∴∠AEF=120°，
∴∠AEB=60°，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用矩形和折叠的性质求出∠AEB=60°，再利用锐角三角函数求出即可。
6．（2022·福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴，
∵BC＝44cm，
∴cm.
∵△ABC，AB＝AC，，
∴.
∵AD为BC边上的高，，
∴在中，
，
∵，cm，
∴cm.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得DC=BC=22cm，∠ACB=∠ABC=27°，然后根据三角函数的概念就可求出AD.
7．（2021·巴中）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将 BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中： ，
∴ ，
设 ，则
在直角三角形ADE中： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵∠DEB=90°，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质以及点C的坐标可得BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，由勾股定理求出OE，进而得到AE的值，设CD=DE=x，则AD=8-x，在Rt△ADE中，应用勾股定理可求得x的值，得到DE的值，然后根据三角函数的概念进行求解.
8．（2021·玉林）如图， 底边 上的高为 ， 底边 上的高为 ，则有（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，如图所示，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，可得 ，可得结果.
9．（2021·随县）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点 处，底端落在水平地面的点 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 ，已知 ，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ ，
在Rt△ECD中，sin ，
∴CD= ，
在Rt△ABD中，sin ，
∴ ，
∴AC=CD-AD=8-6=2.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可得到AB，CE的长；利用同角三角函数，可求出sinβ的值；在Rt△ECD中，利用解直角三角形求出CD的长，再求出AD的长；然后根据AC=CD-AD，可求出AC的长.
10．（2021·绍兴）如图， 中， ， ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 ，连结CE，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵在 中，点D是边BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
∴在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，结合平行线的性质推出∠ADE=∠CDE，再利用边角边定理证明△ADE≌△CDE，得出AE=CE，然后证明△ABD∽△ADE，列出比例式 , 结合cosB=, 则知 ，从而得出结果.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·通辽）在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ．
【答案】或9或3
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°，
∴，
∴，
当点P在线段AB上时，如图，
∵，
∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，
∴；
当点P在AB的延长线上时，
∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB，
∴∠CPB=30°，
∴∠CPB=∠PCB，
∴PB=BC=3，
∴AP=AB+PB=9；
当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图，
∴，
∵，
∴∠APC=60°，
∴∠ACP=60°，
∴∠APC=∠PAC=∠ACP，
∴△APC为等边三角形，
∴PA=AC=3．
综上所述，的长为或9或3．
故答案为：或9或3
【分析】分类讨论，结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
12．（2022·绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝ 海里（计算结果不取近似值）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，
∴∠DEA=∠DEC=90°，
由题意得
∠FAD=15°，∠FAC=45°，∠CBA=45°，AB=×20=10，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠ACB=90°，∠DAE=∠FAC-∠FAD=45°-15°=30°，
∴AC=BC
∴2AC2=AB2=100
解之：；
∵DC∥AB，
∴∠CAB=∠DCE=45°，
设DE=EC=x，
在Rt△ADE中
，
∵AE+EC=AC，
∴
解之：，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，利用垂直的定义可证得∠DEA=∠DEC=90°，利用方位角的定义可得∠FAD=15°，∠FAC=45°，∠CBA=45°，同时可求出AB的长，可证得∠CAB=∠CBA=45°；再利用勾股定理求出AC的长，利用平行线的性质可知∠CAB=∠DCE=45°，设DE=EC=x，利用解直角三角形表示出AE的长，根据AE+EC=AC，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；然后利用解直角三角形求出CD的长.
13．（2022·岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛.如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为 米（结果保留整数，参考数据：）.
【答案】87
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为P，
设米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵米，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴点P到赛道AB的距离约为87米.
故答案为：87.
【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC=x米，根据三角函数的概念可得AC=x米，BC=x米，由AB=AC+BC=200米可求出x，据此解答.
14．（2022·武汉）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工.取，，，则，两点的距离是 .
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AD于点D，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBD=180°-∠ABC=30°，
∴∠BCE=90°-30°=60°.
∵∠BCD=105°，
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=45°，
∴CE=DE.
∵sin∠BCE=sin30°=，
∴CE=800，
∴CE=DE=800，
∴CD==.
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥AD于点D，根据邻补角的性质可得∠CBD=30°，则∠BCE=60°，∠DCE=∠BCD-∠BCE=45°，推出CE=DE，根据∠BCE的正弦三角函数的概念可得CE，然后利用勾股定理进行计算.
15．（2021·绵阳）在直角 中， ， ， 的角平分线交 于点 ，且 ，斜边 的值是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF， ，
又 ，
∴四边形CEDF为正方形，
， ，
在 中， ，
∵ ，
，
， ， ，
，
即 ，
又 ，
，
∵在 中， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
，
，
，
即 （舍负），
故答案为： .
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由角平分线的性质可得DE＝DF，易得四边形CEDF为正方形，则DE=EC=CF=FD，∠ECD=∠EDC=45°，根据CD的值可得DE=EC=CF=FD=2，根据三角函数的概念可得 ，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，推出，根据三角函数的概念表示出AE、BF，然后根据AC·BC=(CE+AE)(CF+BF)进行求解.
16．（2021·贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若 ，则tan∠DEC的值是 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点 ，
在 与 中，
，
，
， ，
，tan∠ADB＝ ＝ ，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝ a，
∵S△ABD＝ BD AE＝ AB AD，
∴AE＝CF＝ a，
∴BE＝FD＝ a，
∴EF＝BD﹣2BE＝ a﹣ a＝ a，
∴tan∠DEC＝ ＝ ，
故答案为： .
【分析】过点 作 于点 ，证明 ，可得 ， ，由tan∠ADB＝ ＝ ，可设AB＝a，则AD＝2a，由勾股定理求出BD＝ a，根据S△ABD＝ BD AE＝ AB AD，可求出AE＝CF＝ a，继而可得BE＝FD＝ a，利用EF=BD-2BE求出EF，据此tan∠DEC＝ 即可求出结论.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022·遂宁）计算：tan30°+|1﹣ |+（π﹣ ）0﹣（ ）﹣1+ .
【答案】解：tan30°+|1﹣ |+（π﹣ ）0﹣（ ）﹣1+
＝ +1﹣ +1﹣3+4
＝3.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值可得原式=+1-+1-3+4，然后根据二次根式的减法法则以及有理数的加减法法则进行计算.
18．（2022·德阳）计算： .
【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质可得原式=+1-3×+-1+，然后计算乘法，再根据二次根式的加减法法则以及有理数的加减法法则进行计算.
19．（2022·六盘水）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m．
（参考数据：，，，）
（1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）；
（2）下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）．
【答案】（1）解：由题意得： 是轴对称图形，
，
， ，
，
，
答：遮阳宽度 约为 ．
（2）解：如图，设点 下降到点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则四边形 和四边形 都是矩形，
，
，即 ，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，
答：点 下降的高度约为 ．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用轴对称图形的性质可证得∠AOC=∠AOD=90°，CD=2OC=2OD，利用解直角三角形求出OD的长，即可得到CD的长.
（2）设点E降到点E′，过点E作EM⊥AB于点M，过点E′作E′N⊥AB于点N，易证四边形BFEM和四边形BFE′N是矩形，利用矩形的性质可得到EM，E′N的长，同时可证得BM=EF，BN=E′F，由此可推出MN=EE′；利用解直角三角形分别求出AM，AN的长；然后根据EE′=MN=AN-AM，代入计算求出EE′的长.
20．（2022·长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为.
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.（假设图中C，A，D三点共线）
【答案】（1）解：，
（2）解：C，A，D三点共线，
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=AB，据此计算；
（2）根据外角的性质可得∠ABC=∠BAD-∠C=15°，则AC=AB，据此解答.
21．（2022·江西）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点G到的距离）．
（参考数据：）
【答案】（1）证明：∵，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴ ∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
在Rt△APG中，sinA= ，
∴=0.96，
∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高为7.5m.
【知识点】平行四边形的判定；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判断即可；
（2）过点G作GP⊥AB于P，先利用线段的和差求出AG的长，再利用sinA= ，将数据代入计算可得PG的长。
22．（2022·宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)
（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
【答案】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9，
∴ AB= ≈ =15 (m)．
答：此时云梯AB的长为15m．
（2）解：∵AE=19，DE=BC=2，
∴AD=AE-DE=19-2=17．
在Rt△ABD中，BD=9，
∴AB= = (m)，
∵ <20，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】(1)在Rt△ABD中， 根据锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
(2)根据题意可得DE=BC= 2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再和20m进行比较，即可判断.
23．（2021·盐城）某种落地灯如图1所示， 为立杆，其高为 ； 为支杆，它可绕点 旋转，其中 长为 ； 为悬杆，滑动悬杆可调节 的长度.支杆 与悬杆 之间的夹角 为 .
（1）如图2，当支杆 与地面垂直，且 的长为 时，求灯泡悬挂点 距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，同时调节 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 到地面的距离为 ，求 的长.（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】（1）解：过点 作 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
答：点 距离地面113厘米；
（2）解：过点 作 垂直于地面于点 ，
过点 作 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，
∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，
∴四边形ABGN为矩形，
∴AB=GN=84(cm)，
∵ ，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，
∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，
∴ ，
，
，
∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
答： 长为58厘米.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过点作交 于 ，利用求出FC， 根据FA=AB+BC-CF计算即得结论；
（2）过点 作 垂直于地面于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，由求出CN，根据线段的和差求出CG、MN、CM，由即可求出结论.
24．（2022九下·莱山期中）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（参考数据：，，，，，）
（1）求点转动到点的路径长；
（2）求点到直线的距离（结果精确到）．
【答案】（1）解：如图，
∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点转动到点的路径长
（2）解：如图，
过点作于点，过点作于点．
在中，
．
在中，
．
∴．
又∵，
∴点到直线的距离约为7.3cm．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）由可得，从而求出，再根据弧长公式求出点转动到点的路径长即可；
（2）过点作于点，过点作于点．在中， 求出，在中，求出，从而求出DG+EH的长，即得点到直线的距离 .
25．（2022九下·平凉期中）图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
（1）求AB的长（精确到0.01米）；
（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径的长度．（结果保留π）
【答案】（1）解：过B作BE⊥AC于E，则AE=AC﹣BD=0.66米﹣0.26米=0.4米，∠AEB=90°，（米）.
（2）解：∠MON=90°+20°=110°，
∴弧MN的长度是米.
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）观察图形可求出AE的长，利用解直角三角形求出AB的长.
（2）利用三角形的外角的性质可求出∠MON的度数，再利用弧长公式求出 的长度.
1 / 12023年春季北师版数学九年级下册第一章 《直角三角形的边角关系》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·毕节）计算的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·金华）如图是一架人字梯，已知 米，AC与地面BC的夹角为 ，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
3．（2022·毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九下·铁岭月考）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九下·大埔期中）如图，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴，点E在AD边E上，将沿BE折叠，使点A的对应点F落在直线MN上，若，则BE的长是（ ）
A．5 B． C． D．
6．（2022·福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
7．（2021·巴中）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将 BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·玉林）如图， 底边 上的高为 ， 底边 上的高为 ，则有（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
9．（2021·随县）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点 处，底端落在水平地面的点 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 ，已知 ，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
10．（2021·绍兴）如图， 中， ， ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 ，连结CE，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·通辽）在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ．
12．（2022·绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝ 海里（计算结果不取近似值）．
13．（2022·岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛.如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为 米（结果保留整数，参考数据：）.
14．（2022·武汉）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工.取，，，则，两点的距离是 .
15．（2021·绵阳）在直角 中， ， ， 的角平分线交 于点 ，且 ，斜边 的值是 .
16．（2021·贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若 ，则tan∠DEC的值是 .
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022·遂宁）计算：tan30°+|1﹣ |+（π﹣ ）0﹣（ ）﹣1+ .
18．（2022·德阳）计算： .
19．（2022·六盘水）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m．
（参考数据：，，，）
（1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）；
（2）下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）．
20．（2022·长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为.
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.（假设图中C，A，D三点共线）
21．（2022·江西）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点G到的距离）．
（参考数据：）
22．（2022·宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)
（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
23．（2021·盐城）某种落地灯如图1所示， 为立杆，其高为 ； 为支杆，它可绕点 旋转，其中 长为 ； 为悬杆，滑动悬杆可调节 的长度.支杆 与悬杆 之间的夹角 为 .
（1）如图2，当支杆 与地面垂直，且 的长为 时，求灯泡悬挂点 距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，同时调节 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 到地面的距离为 ，求 的长.（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ， ， ）
24．（2022九下·莱山期中）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（参考数据：，，，，，）
（1）求点转动到点的路径长；
（2）求点到直线的距离（结果精确到）．
25．（2022九下·平凉期中）图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
（1）求AB的长（精确到0.01米）；
（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径的长度．（结果保留π）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
＝
＝
＝.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式即可.
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质可证得BD=CD，再利用解直角三角形，可表示出DC的长；然后根据BC=2DC，可得到BC的长.
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得：，
则.
故答案为：A.
【分析】根据斜面AB的坡度结合BC的值可得AC，然后利用勾股定理计算即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，如图，
AB＝＝3，BC＝＝，
根据题意可得，
S△ABC＝＝，
即＝，
解得：CD＝，
在Rt△BCD中，
sin∠ABC＝＝＝．
故答案为：B．
【分析】过点C作CD⊥AB，先利用勾股定理求出AB和BC的长，再利用等面积法求出CD＝，最后利用正弦的定义可得sin∠ABC＝＝＝。
5．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵MN是矩形ABCD的一条对称轴，
∴，，
∴∠AEF+∠MFE=180°，，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴∠BFM=30°，
∴∠MFE=60°，
∴∠AEF=120°，
∴∠AEB=60°，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用矩形和折叠的性质求出∠AEB=60°，再利用锐角三角函数求出即可。
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴，
∵BC＝44cm，
∴cm.
∵△ABC，AB＝AC，，
∴.
∵AD为BC边上的高，，
∴在中，
，
∵，cm，
∴cm.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得DC=BC=22cm，∠ACB=∠ABC=27°，然后根据三角函数的概念就可求出AD.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中： ，
∴ ，
设 ，则
在直角三角形ADE中： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵∠DEB=90°，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质以及点C的坐标可得BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，由勾股定理求出OE，进而得到AE的值，设CD=DE=x，则AD=8-x，在Rt△ADE中，应用勾股定理可求得x的值，得到DE的值，然后根据三角函数的概念进行求解.
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，如图所示，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，可得 ，可得结果.
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ ，
在Rt△ECD中，sin ，
∴CD= ，
在Rt△ABD中，sin ，
∴ ，
∴AC=CD-AD=8-6=2.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可得到AB，CE的长；利用同角三角函数，可求出sinβ的值；在Rt△ECD中，利用解直角三角形求出CD的长，再求出AD的长；然后根据AC=CD-AD，可求出AC的长.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵在 中，点D是边BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
∴在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，结合平行线的性质推出∠ADE=∠CDE，再利用边角边定理证明△ADE≌△CDE，得出AE=CE，然后证明△ABD∽△ADE，列出比例式 , 结合cosB=, 则知 ，从而得出结果.
11．【答案】或9或3
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°，
∴，
∴，
当点P在线段AB上时，如图，
∵，
∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，
∴；
当点P在AB的延长线上时，
∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB，
∴∠CPB=30°，
∴∠CPB=∠PCB，
∴PB=BC=3，
∴AP=AB+PB=9；
当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图，
∴，
∵，
∴∠APC=60°，
∴∠ACP=60°，
∴∠APC=∠PAC=∠ACP，
∴△APC为等边三角形，
∴PA=AC=3．
综上所述，的长为或9或3．
故答案为：或9或3
【分析】分类讨论，结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，
∴∠DEA=∠DEC=90°，
由题意得
∠FAD=15°，∠FAC=45°，∠CBA=45°，AB=×20=10，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠ACB=90°，∠DAE=∠FAC-∠FAD=45°-15°=30°，
∴AC=BC
∴2AC2=AB2=100
解之：；
∵DC∥AB，
∴∠CAB=∠DCE=45°，
设DE=EC=x，
在Rt△ADE中
，
∵AE+EC=AC，
∴
解之：，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，利用垂直的定义可证得∠DEA=∠DEC=90°，利用方位角的定义可得∠FAD=15°，∠FAC=45°，∠CBA=45°，同时可求出AB的长，可证得∠CAB=∠CBA=45°；再利用勾股定理求出AC的长，利用平行线的性质可知∠CAB=∠DCE=45°，设DE=EC=x，利用解直角三角形表示出AE的长，根据AE+EC=AC，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；然后利用解直角三角形求出CD的长.
13．【答案】87
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为P，
设米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵米，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴点P到赛道AB的距离约为87米.
故答案为：87.
【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC=x米，根据三角函数的概念可得AC=x米，BC=x米，由AB=AC+BC=200米可求出x，据此解答.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AD于点D，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBD=180°-∠ABC=30°，
∴∠BCE=90°-30°=60°.
∵∠BCD=105°，
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=45°，
∴CE=DE.
∵sin∠BCE=sin30°=，
∴CE=800，
∴CE=DE=800，
∴CD==.
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥AD于点D，根据邻补角的性质可得∠CBD=30°，则∠BCE=60°，∠DCE=∠BCD-∠BCE=45°，推出CE=DE，根据∠BCE的正弦三角函数的概念可得CE，然后利用勾股定理进行计算.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF， ，
又 ，
∴四边形CEDF为正方形，
， ，
在 中， ，
∵ ，
，
， ， ，
，
即 ，
又 ，
，
∵在 中， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
，
，
，
即 （舍负），
故答案为： .
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由角平分线的性质可得DE＝DF，易得四边形CEDF为正方形，则DE=EC=CF=FD，∠ECD=∠EDC=45°，根据CD的值可得DE=EC=CF=FD=2，根据三角函数的概念可得 ，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，推出，根据三角函数的概念表示出AE、BF，然后根据AC·BC=(CE+AE)(CF+BF)进行求解.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点 ，
在 与 中，
，
，
， ，
，tan∠ADB＝ ＝ ，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝ a，
∵S△ABD＝ BD AE＝ AB AD，
∴AE＝CF＝ a，
∴BE＝FD＝ a，
∴EF＝BD﹣2BE＝ a﹣ a＝ a，
∴tan∠DEC＝ ＝ ，
故答案为： .
【分析】过点 作 于点 ，证明 ，可得 ， ，由tan∠ADB＝ ＝ ，可设AB＝a，则AD＝2a，由勾股定理求出BD＝ a，根据S△ABD＝ BD AE＝ AB AD，可求出AE＝CF＝ a，继而可得BE＝FD＝ a，利用EF=BD-2BE求出EF，据此tan∠DEC＝ 即可求出结论.
17．【答案】解：tan30°+|1﹣ |+（π﹣ ）0﹣（ ）﹣1+
＝ +1﹣ +1﹣3+4
＝3.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值可得原式=+1-+1-3+4，然后根据二次根式的减法法则以及有理数的加减法法则进行计算.
18．【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质可得原式=+1-3×+-1+，然后计算乘法，再根据二次根式的加减法法则以及有理数的加减法法则进行计算.
19．【答案】（1）解：由题意得： 是轴对称图形，
，
， ，
，
，
答：遮阳宽度 约为 ．
（2）解：如图，设点 下降到点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则四边形 和四边形 都是矩形，
，
，即 ，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，
答：点 下降的高度约为 ．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用轴对称图形的性质可证得∠AOC=∠AOD=90°，CD=2OC=2OD，利用解直角三角形求出OD的长，即可得到CD的长.
（2）设点E降到点E′，过点E作EM⊥AB于点M，过点E′作E′N⊥AB于点N，易证四边形BFEM和四边形BFE′N是矩形，利用矩形的性质可得到EM，E′N的长，同时可证得BM=EF，BN=E′F，由此可推出MN=EE′；利用解直角三角形分别求出AM，AN的长；然后根据EE′=MN=AN-AM，代入计算求出EE′的长.
20．【答案】（1）解：，
（2）解：C，A，D三点共线，
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=AB，据此计算；
（2）根据外角的性质可得∠ABC=∠BAD-∠C=15°，则AC=AB，据此解答.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴ ∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
在Rt△APG中，sinA= ，
∴=0.96，
∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高为7.5m.
【知识点】平行四边形的判定；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判断即可；
（2）过点G作GP⊥AB于P，先利用线段的和差求出AG的长，再利用sinA= ，将数据代入计算可得PG的长。
22．【答案】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9，
∴ AB= ≈ =15 (m)．
答：此时云梯AB的长为15m．
（2）解：∵AE=19，DE=BC=2，
∴AD=AE-DE=19-2=17．
在Rt△ABD中，BD=9，
∴AB= = (m)，
∵ <20，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】(1)在Rt△ABD中， 根据锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
(2)根据题意可得DE=BC= 2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再和20m进行比较，即可判断.
23．【答案】（1）解：过点 作 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
答：点 距离地面113厘米；
（2）解：过点 作 垂直于地面于点 ，
过点 作 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，
∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，
∴四边形ABGN为矩形，
∴AB=GN=84(cm)，
∵ ，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，
∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，
∴ ，
，
，
∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
答： 长为58厘米.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过点作交 于 ，利用求出FC， 根据FA=AB+BC-CF计算即得结论；
（2）过点 作 垂直于地面于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，由求出CN，根据线段的和差求出CG、MN、CM，由即可求出结论.
24．【答案】（1）解：如图，
∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点转动到点的路径长
（2）解：如图，
过点作于点，过点作于点．
在中，
．
在中，
．
∴．
又∵，
∴点到直线的距离约为7.3cm．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）由可得，从而求出，再根据弧长公式求出点转动到点的路径长即可；
（2）过点作于点，过点作于点．在中， 求出，在中，求出，从而求出DG+EH的长，即得点到直线的距离 .
25．【答案】（1）解：过B作BE⊥AC于E，则AE=AC﹣BD=0.66米﹣0.26米=0.4米，∠AEB=90°，（米）.
（2）解：∠MON=90°+20°=110°，
∴弧MN的长度是米.
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）观察图形可求出AE的长，利用解直角三角形求出AB的长.
（2）利用三角形的外角的性质可求出∠MON的度数，再利用弧长公式求出 的长度.
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