2023年春季北师版数学九年级下册第二章 《二次函数》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·郴州）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5
D．当 时，y随x的增大而增大
2．（2022·泸州）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·泰州）已知点在下列某一函数图象上，且那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黔东南）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·绥化）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·资阳）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2022·株洲）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·宁波）点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上。若y1A．m>2 B．m> C．m<1 D． 9．（2022·温州）已知点 A（a，2）、B（b，2）、C（c，7）都在抛物线 上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．（2022·梧州）如图，已知抛物线 的对称轴是 ，直线 轴，且交抛物线于点 ，下列结论错误的是（ ）
A．
B．若实数 ，则
C．
D．当 时，
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021·泰州）在函数 中，当x＞1时，y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”）
12．（2022·徐州）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．
13．（2022·广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米.
14．（2022·黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 .
15．（2021·南通）平面直角坐标系 中，已知点 ，且实数m，n满足 ，则点P到原点O的距离的最小值为 .
16．（2021·贵州）如图，二次函数 的函数图象经过点（1，2），且与 轴交点的横坐标分别为 、 ，其中 －1＜ ＜0，1＜ ＜2，下列结论：① ；② ；③ ；④当 时， ；⑤ ，其中正确的有 .（填写正确的序号）
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价（元/）与时间第天之间满足函数关系式（，为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量与时间第天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第天 … 2 5 9 …
销售量 … 33 30 26 …
（1）求与的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
18．（2022九下·大埔期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数解析式为．已知
（1）求二次函数的函数解析式和直线DC的函数解析式；
（2）连接BD，求的面积．
19．（2022·宁夏）北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为2.5米，若斜坡的坡度（即）．求：
（1）点的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到0.1米）（参考数据：）
20．（2022·黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：数据如下表．
时间x（分钟） 0 1 2 3 … 8
累计人数y（人） 0 150 280 390 … 640 640
（1）求a，b，c的值；
（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；
（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
21．（2022·呼和浩特）如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．
22．（2022·绵阳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（2022·郴州）已知抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴相交于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN.点D是直线MN上任意一点.
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由.
24．（2022·玉林）如图，已知抛物线： 与x轴交于点A， （A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线 ，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段 的中点，则 能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段 交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与 相似，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，∴抛物线开口向上，故选项A错误；
顶点坐标为（1，5），故选项B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故选项C错误；
当 时，y随x的增大而增大，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，当a>0时，图象开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k），当x=h时，函数取得最小值k；当x>h时，y随x的增大而增大，据此判断.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到.
故答案为：D.
【分析】抛物线经过平移后，a的值不会发生改变，据此判断.
3．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：A、把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1B、把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故此选项错误，不符合题意；
C、 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2D、 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】将x=-3、-1、1分别代入y=3x、y=3x2、y=、y=-中求出y1、y2、y3的值，然后进行比较即可判断.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a>0，，c<0，
∴b>0，-c>0，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象在第一，三象限，选项C符合题意.
故答案为：C
【分析】观察二次函数的图象开口向上，可知a＞0，对称轴在y轴的左侧，左同右异，可得到b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，可得到c＜0，由此可得到直线y=ax+b所经过的象限，同时可得到 反比例函数 的两个分支所在的象限，由此可得答案.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，则，与轴存在2个交点，则，
∴一次函数图象经过一、二、三象限，
二次函数的图象，当时，，
反比例函数图象经过一、三象限
结合选项，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是B选项
故答案为：B
【分析】根据二次函数、一次函数的图象和反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，∴，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；
∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，
∴，∴，故③正确；
∵二次函数的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为，将代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴当时，；
∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论.
故答案为：A.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得=-1，则ab>0，由图象过点（0，1）可得c=1，据此判断①；根据x=-1对应的函数值大于1可判断②；根据x=1对应的函数值为负可判断③；根据顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2，将（0，1）代入求出a的值，得到对应的解析式，令x=1，求出y的值，然后结合对称性可判断④.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：对于二次函数，
令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵，
∴，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴，
∵，
∴，
∴抛物线开口向下，可以排除B选项.
故答案为：C.
【分析】令x=0，得y=-c，结合c>0可得抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为x=，结合各个图象确定出a的正负，据此判断.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上 ，
∴y1=(m-1-1)2+n ， y2=(m-1)2+n ，
∵y1∴(m-1-1)2+n<(m-1)2+n ，
整理得：-2m+3<0，
∴m>，
故答案为：B.
【分析】把A、B点坐标代入函数式，根据y19．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝（x 1）2 2，a＞0
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，
当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x 1）2 2上，点A在点B左侧，
∴a＜b
若c＜0，则c＜a＜b，故A、B均不符合题意；
若c＞0，则a＜b＜c，故C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性，可知当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，利用点A在点B左侧，可确定出a＜b；再分情况讨论：若c＜0；若c＞0；可得到符合题意的选项.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴是 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线开口向上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时， ，
∴当实数 ，则 ，
∴当实数 时， ，故B说法正确，不符合题意；
∵当 时， ，
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；
∵ ，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴ ，故D说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得b=2a，根据图象开口向上得a>0，则b2+8a=4a2+8a>0，据此判断A；由图象得当x=-1时，函数取得最小值，ymin=a-b-2，进而判断B；当x=1时，y=a+b-2<0，结合b=2a可判断C；由图象可得直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，据此判断D.
11．【答案】增大
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由题意可知： 函数 ，开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，又∵对称轴为 ，
∴当 时，y随的增大而增大，
故答案为：增大.
【分析】由函数 ，可知抛物线开口向上，对称轴为x=1，在对称轴右侧y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小，据此填空即可.
12．【答案】4
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得其开口方向、对称轴以及顶点坐标，根据顶点坐标可得顶点到x轴的距离为4，据此不难求出m的值.
13．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C（0，2），设y=ax2+2，把A点坐标代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式，令x=4，求出y的值，据此解答.
14．【答案】（1，-3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即.
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）.
【分析】将二次函数函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，利用旋转的性质，可得到旋转后的抛物线的解析式；再利用二次函数图象平移规律：上加下减，可得到平移后的抛物线的解析式.
15．【答案】
【知识点】点的坐标；两点间的距离；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，则 ，
∴点P的坐标为( ， )，
∴PO= ，
∵ ，
∴ 当 时，有最小值，
且最小值为 ，
∴PO的最小值为 .
故答案为： .
【分析】 由 ，可得，可得点P的坐标为( ， )，由两点间的距离公式可得PO=，利用二次函数的性质求解即可.
16．【答案】②④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜- ＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误；
当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确；
当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤.
【分析】由于抛物线开口向下得出a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，即得c＞0，据此判断①；由图象得0＜x=- ＜1，当x=-2时，y=4a-b+c＜0，据此判断②③；由图象及点（1，2）位置知，当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，据此判断④；当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，据此判断⑤.
17．【答案】（1）解：设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y＝kx＋b，
根据题意，得：，
解得，
∴y＝ x＋35（1≤x≤10，x为整数）
（2）解：设销售这种水果的日利润为w元，
则w＝
＝
＝，
∵1≤x≤10，x为整数，
∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378，
答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）设销售这种水果的日利润为w元，根据题意列出函数解析式，再求解即可。
18．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，
∴点，则，
∵，
∴，，
∴点，
将点代入，得，
∴二次函数的解析式为；
∵，
∴点，
将点代入，得，
∴直线CD的解析式为；
（2）解：∵点，，，
∴
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点B的坐标代入求出a的值，利用二次函数的解析式求出点Ｄ的坐标，再将点Ｄ的坐标代入求出k的值即可；
（2）根据点B、C、D的坐标，直接利用三角形的面积公式求解即可。
19．【答案】（1）解：∵，且点在轴正半轴，
∴．
（2）解：∵抛物线最高点的坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（3）解：在中，，，
设CE＝3x，DE＝4x，
∴，
即，
解得x＝0.5，
∴，．
点的纵坐标为，
令，
解得，或不合题意，舍去，
∴．
∴．
∴的长约为7.2米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用OA的长和点A的位置，可得到点A的坐标；
（2）利用抛物线的顶点坐标B（4，12），设函数解析式为y=a（x-4）2+12，将点A的坐标代入，可求出a的值，即可得到抛物线的解析式；
（3）利用已知条件： ，设CE=3x，DE=4x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CE，DE的长，由CE的长，可得到点D的纵坐标，将点D的纵坐标代入函数解析式，可求出对应的x的值，可得到点D的坐标，然后求出OC的长.
20．【答案】（1）解：将，，代入，
得，
解之得，，；
（2）解：设排队人数为w，由（1）知，
由题意可知，，
当时，，
∴时，排队人数的最大值是490人，
当时，，，
∵随自变量的增大而减小，
∴，
由得，排队人数最大值是490人；
（3）解：在（2）的条件下，全部学生完成核酸检测时间（分钟）
设从一开始增加n个检测点，则，解得，n为整数，
∴从一开始应该至少增加3个检测点．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用表中数据将表中x，y的三组对应值分别代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到函数解析式；
（2）设排队人数为w，利用（1）可得到W=y-20x，分情况讨论：当0≤x≤8时，可得到W与x之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出W的最大值；当8＜x≤10时，可得到W与x的函数解析式，利用一次函数的性质可得W的最大值，综上所述可求出排队人数的最大值；
（3）由题可知，共有640人需要进行核酸检测，在（2）的条件下，可全部学生完成核酸检测时间，设从一开始增加n个检测点，根据题意可得到关于n的不等式，然后求出不等式的最小整数解.
21．【答案】（1）解：把点和点代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，则，
解得：，
∴点A（-1，0）；
（2）解：存在，理由如下：
∵点A（-1，0），点，点是线段的中点，
∴点，
设点E（0，m），
∴，
，
，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
整理得：，
解得：或-1，
∴点E的坐标为（0，3）或（0，-1）；
（3）解：∵点B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，CF=a，
∴，
若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF∥x轴交PM于点F，如图甲所示，
图甲
∴∠FCM=∠OBC，即，
∴∠PCF=∠FCM，
∵轴，
∴CF⊥PQ，
∴PM=2FM，
∴，
∴，解得：解得：a=2或0（舍去），
∴点P的横坐标为2；
若∠PMC=2∠OBC，
∵∠PMC=∠BMN，
∴∠BMN=2∠OBC，
∵∠OBC+∠BMN=90°，
∴∠OBC=30°，与相矛盾，不合题意，舍去；
若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，
图乙
∵∠PMG=∠BMN，
∴△PMG∽△BMN，
∴∠PGM=∠BNM=90°，
∴∠PGC=90°，
∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=PM，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点P的横坐标为；
综上所述，点P的横坐标为2或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线解析式，令y=0可得点A坐标；
（2）由点A（-1，0），点，点是线段的中点可得，点，设点E（0，m）， 则，，
，根据是以为斜边的直角三角形，可得， 解之即可；
（3）先求出直线BC的解析式 ，设点，则，CF=a，则
，分为当∠PCM=2∠OBC、∠PMC=2∠OBC、 ∠CPM=2∠OBC时三种情况，利用二次函数的性质和等腰直角三角形，勾股定理等性质进行求解即可。
22．【答案】（1）解：∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵A（-1，0），∴B（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入抛物线的解析式得：-3a=3，解得a=-1，∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）解：存在，P（0，-1），理由如下：∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，
∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠APC=∠ABC=45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP=OA=1，∴P（0，-1）；
（3）解：存在，理由如下：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴D（1，4），由抛物线的对称性得：E（2，3），∵A（-1，0），∴，∴，∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，∵点M在直线l下方的抛物线上，
设，则t＞2或t＜0，∵MF⊥l，∴点F（t，3），∴，，∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，∴或，∴或，解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或，∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或，综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的顶点的横坐标可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性可得到点B的坐标，利用点A，B的坐标，设抛物线的解析式为交点式，然后将点C的坐标代入，可求出二次函数解析式.
（2）利用圆内接四边形的对角互补，由∠APB＋∠ACB＝180°，可知点点A，C，B，P四点共圆；利用点的坐标可证得△APO是等腰直角三角形，可得到OP的长，即可得到点P的坐标.
（3）利用二次函数的对称性求出点E的坐标；再利用勾股定理的逆定理证明△AED是直角三角形且∠AED=90°，同时还可以证得DE：AE=1：3；再根据点M在直线l下方的抛物线上，利用函数解析式设，利用t＞2或t＜0，可表示出EF，MF的长，利用相似三角形的对应边成比例，分情况讨论：当EF：MF=DE：AE=1：3时；当MF：EF=DE：AE=1：3时；分别可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得满足条件的点M的坐标.
23．【答案】（1）解：将点 ， 代入 得：
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：①由（1）可知： ，
设直线BC： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线BC： ，则直线MN： .
∵抛物线的对称轴： ，
把 代入 ，得 ，
∴ .
设直线CD： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线CD： .
当 时，得 ，
∴ ，
∴ .
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形.
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由 可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即 .
由点D在直线MN上，设 .
如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则 .
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则 .
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 .
∴ ，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则 .
同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 .
∴
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方.
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即 .
设 ， ，同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ .
解得
∴ ， .
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形.
当点F的坐标为 时，点D的坐标： 或 ；
当点F的坐标为 时，点D的坐标： .
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c中可得b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①易得C（0，-3），利用待定系数法求出直线BC、MN的解析式，由抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，将x=1代入直线MN的解析式中求出y，得点D的坐标，然后求出直线CD的解析式，令y=0，求出x的值，可得点E的坐标，进而可得OE的长；
②（I）若平行四边形以BC为边时，由BC∥FD可知：FD在直线MN上，即点F是直线MN与对称轴l的交点，F（1，1），设D（t，t），若四边形BCFD是平行四边形，则DF=BC，过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），由平行线性质得∠OBC=∠DOB，∠GDF=∠DOB，则∠OBC=∠GDF，证明△DGF≌△BOC，得到GD=OB，GF=OC，据此可得t的值，进而得点D的坐标；若四边形BCDF是平行四边形，则DF=CB，同理求解即可；（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，存在一种平行四边形，即平行四边形BFCD，设D（t，t），F（1，m）同理可证△DHC≌△BPF，得到DH=BP，HC=PF，表示出DH、BP、HC、PF，求出t、m的值，进而可得点D、F的坐标.
24．【答案】（1）解：∵ 的对称轴为 ，
∴ ，即b=2，
∵ 过B点(2，0)，
∴ ，
∴结合b=2可得c=4，
即抛物线解析式为：
（2）解：△POD不可能是等边三角形，
理由如下：
假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，如图，
∵当x=0时， ，
∴C点坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∵D点是OC的中点，
∴DO=2，
∵在等边△POD中，PN⊥OD，
∴DN=NO= DO=1，
∵在等边△POD中，∠NOP=60°，
∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°= ，
∴P点坐标为( ，1)，
经验证P点不在抛物线上，
故假设不成立，
即△POD不可能是等边三角形；
（3）解：∵PH⊥BO，
∴∠MHB=90°，
根据（2）中的结果可知C点坐标为(0，4)，
即OC=4，
∵B点(2，0)，
∴OB=2，
∴tan∠CBO=2，
分类讨论
第一种情况：△BMH∽△CMP，
∴∠MHB=∠MPC=90°，
∴ ，
∴即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，
当y=4时， ，
解得：x=1或者0，
∵P点在第一象限，
∴此时P点坐标为(1，4)，
第二种情况：△BMH∽△PMC，
过P点作PG⊥y轴于点G，如图，
∵△BMH∽△PMC，
∴∠MHB=∠MCP=90°，
∴∠GCP+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠GCP=∠OBC，
∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，
∵PG⊥OG，
∴在Rt△PGC中，2GC=GP，
设GP=a，
∴GC= ，
∴GO= +OC= +4，
∵PG⊥OG，PH⊥OH，
∴可知四边形PGOH是矩形，
∴PH=OG= +4，
∴P点坐标为(a， +4)，
∴ ，
解得：a= 或者0，
∵P点在第一象限，
∴a= ，
∴ ，
此时P点坐标为( )；
∵△BMH与△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，
∴△PCM中，当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，
通过相似可知△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，故不存在当∠CPM为直角时，∠PCM=∠BMH相等的情况；
同理不存在当∠PCM为直角时，∠CPM=∠BMH相等的情况，
综上所述：P点坐标为：(1，4)或者( )．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x=可得b的值，将B（2，0）代入求出c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，易得C(0，4)，则OC=4，结合中点的概念可得DO=2，根据等边三角形的性质可得DN=NO= DO=1，∠NOP=60°，根据三角函数的概念可得NP，据此可得点P的坐标，然后代入抛物线解析式中验证即可；
（3）根据垂直的概念可得∠MHB=90°，易得OC=4，OB=2，则tan∠CBO=2，当△BMH∽△CMP时，∠MHB=∠MPC=90°，推出PC∥OB，得到点P的纵坐标为4，令y=4，求出x的值，结合点P在第一象限可得点P的坐标；当△BMH∽△PMC时，过P点作PG⊥y轴于点G，根据相似三角形的性质可得
∠MHB=∠MCP=90°，由同角的余角相等可得∠GCP=∠OBC，则tan∠GCP=tan∠OBC=2，即2GC=GP，设GP=a，则GC=a，GO=a+4，易得四边形PGOH是矩形，PH=OG=a+4，则
P点坐标为(a， a+4)，代入抛物线解析式中可得a的值，结合点P在第一象限可得点P的坐标；当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质可得
△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，据此解答.
1 / 12023年春季北师版数学九年级下册第二章 《二次函数》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·郴州）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5
D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，∴抛物线开口向上，故选项A错误；
顶点坐标为（1，5），故选项B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故选项C错误；
当 时，y随x的增大而增大，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，当a>0时，图象开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k），当x=h时，函数取得最小值k；当x>h时，y随x的增大而增大，据此判断.
2．（2022·泸州）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到.
故答案为：D.
【分析】抛物线经过平移后，a的值不会发生改变，据此判断.
3．（2022·泰州）已知点在下列某一函数图象上，且那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：A、把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1B、把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故此选项错误，不符合题意；
C、 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2D、 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】将x=-3、-1、1分别代入y=3x、y=3x2、y=、y=-中求出y1、y2、y3的值，然后进行比较即可判断.
4．（2022·黔东南）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a>0，，c<0，
∴b>0，-c>0，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象在第一，三象限，选项C符合题意.
故答案为：C
【分析】观察二次函数的图象开口向上，可知a＞0，对称轴在y轴的左侧，左同右异，可得到b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，可得到c＜0，由此可得到直线y=ax+b所经过的象限，同时可得到 反比例函数 的两个分支所在的象限，由此可得答案.
5．（2022·绥化）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，则，与轴存在2个交点，则，
∴一次函数图象经过一、二、三象限，
二次函数的图象，当时，，
反比例函数图象经过一、三象限
结合选项，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是B选项
故答案为：B
【分析】根据二次函数、一次函数的图象和反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
6．（2022·资阳）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，∴，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；
∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，
∴，∴，故③正确；
∵二次函数的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为，将代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴当时，；
∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论.
故答案为：A.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得=-1，则ab>0，由图象过点（0，1）可得c=1，据此判断①；根据x=-1对应的函数值大于1可判断②；根据x=1对应的函数值为负可判断③；根据顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2，将（0，1）代入求出a的值，得到对应的解析式，令x=1，求出y的值，然后结合对称性可判断④.
7．（2022·株洲）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：对于二次函数，
令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵，
∴，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴，
∵，
∴，
∴抛物线开口向下，可以排除B选项.
故答案为：C.
【分析】令x=0，得y=-c，结合c>0可得抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为x=，结合各个图象确定出a的正负，据此判断.
8．（2022·宁波）点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上。若y1A．m>2 B．m> C．m<1 D． 【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上 ，
∴y1=(m-1-1)2+n ， y2=(m-1)2+n ，
∵y1∴(m-1-1)2+n<(m-1)2+n ，
整理得：-2m+3<0，
∴m>，
故答案为：B.
【分析】把A、B点坐标代入函数式，根据y19．（2022·温州）已知点 A（a，2）、B（b，2）、C（c，7）都在抛物线 上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝（x 1）2 2，a＞0
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，
当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x 1）2 2上，点A在点B左侧，
∴a＜b
若c＜0，则c＜a＜b，故A、B均不符合题意；
若c＞0，则a＜b＜c，故C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性，可知当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，利用点A在点B左侧，可确定出a＜b；再分情况讨论：若c＜0；若c＞0；可得到符合题意的选项.
10．（2022·梧州）如图，已知抛物线 的对称轴是 ，直线 轴，且交抛物线于点 ，下列结论错误的是（ ）
A．
B．若实数 ，则
C．
D．当 时，
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴是 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线开口向上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时， ，
∴当实数 ，则 ，
∴当实数 时， ，故B说法正确，不符合题意；
∵当 时， ，
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；
∵ ，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴ ，故D说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得b=2a，根据图象开口向上得a>0，则b2+8a=4a2+8a>0，据此判断A；由图象得当x=-1时，函数取得最小值，ymin=a-b-2，进而判断B；当x=1时，y=a+b-2<0，结合b=2a可判断C；由图象可得直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，据此判断D.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021·泰州）在函数 中，当x＞1时，y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由题意可知： 函数 ，开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，又∵对称轴为 ，
∴当 时，y随的增大而增大，
故答案为：增大.
【分析】由函数 ，可知抛物线开口向上，对称轴为x=1，在对称轴右侧y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小，据此填空即可.
12．（2022·徐州）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．
【答案】4
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得其开口方向、对称轴以及顶点坐标，根据顶点坐标可得顶点到x轴的距离为4，据此不难求出m的值.
13．（2022·广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米.
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C（0，2），设y=ax2+2，把A点坐标代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式，令x=4，求出y的值，据此解答.
14．（2022·黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 .
【答案】（1，-3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即.
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）.
【分析】将二次函数函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，利用旋转的性质，可得到旋转后的抛物线的解析式；再利用二次函数图象平移规律：上加下减，可得到平移后的抛物线的解析式.
15．（2021·南通）平面直角坐标系 中，已知点 ，且实数m，n满足 ，则点P到原点O的距离的最小值为 .
【答案】
【知识点】点的坐标；两点间的距离；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，则 ，
∴点P的坐标为( ， )，
∴PO= ，
∵ ，
∴ 当 时，有最小值，
且最小值为 ，
∴PO的最小值为 .
故答案为： .
【分析】 由 ，可得，可得点P的坐标为( ， )，由两点间的距离公式可得PO=，利用二次函数的性质求解即可.
16．（2021·贵州）如图，二次函数 的函数图象经过点（1，2），且与 轴交点的横坐标分别为 、 ，其中 －1＜ ＜0，1＜ ＜2，下列结论：① ；② ；③ ；④当 时， ；⑤ ，其中正确的有 .（填写正确的序号）
【答案】②④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜- ＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误；
当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确；
当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤.
【分析】由于抛物线开口向下得出a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，即得c＞0，据此判断①；由图象得0＜x=- ＜1，当x=-2时，y=4a-b+c＜0，据此判断②③；由图象及点（1，2）位置知，当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，据此判断④；当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，据此判断⑤.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价（元/）与时间第天之间满足函数关系式（，为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量与时间第天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第天 … 2 5 9 …
销售量 … 33 30 26 …
（1）求与的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
【答案】（1）解：设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y＝kx＋b，
根据题意，得：，
解得，
∴y＝ x＋35（1≤x≤10，x为整数）
（2）解：设销售这种水果的日利润为w元，
则w＝
＝
＝，
∵1≤x≤10，x为整数，
∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378，
答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）设销售这种水果的日利润为w元，根据题意列出函数解析式，再求解即可。
18．（2022九下·大埔期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数解析式为．已知
（1）求二次函数的函数解析式和直线DC的函数解析式；
（2）连接BD，求的面积．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，
∴点，则，
∵，
∴，，
∴点，
将点代入，得，
∴二次函数的解析式为；
∵，
∴点，
将点代入，得，
∴直线CD的解析式为；
（2）解：∵点，，，
∴
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点B的坐标代入求出a的值，利用二次函数的解析式求出点Ｄ的坐标，再将点Ｄ的坐标代入求出k的值即可；
（2）根据点B、C、D的坐标，直接利用三角形的面积公式求解即可。
19．（2022·宁夏）北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为2.5米，若斜坡的坡度（即）．求：
（1）点的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到0.1米）（参考数据：）
【答案】（1）解：∵，且点在轴正半轴，
∴．
（2）解：∵抛物线最高点的坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（3）解：在中，，，
设CE＝3x，DE＝4x，
∴，
即，
解得x＝0.5，
∴，．
点的纵坐标为，
令，
解得，或不合题意，舍去，
∴．
∴．
∴的长约为7.2米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用OA的长和点A的位置，可得到点A的坐标；
（2）利用抛物线的顶点坐标B（4，12），设函数解析式为y=a（x-4）2+12，将点A的坐标代入，可求出a的值，即可得到抛物线的解析式；
（3）利用已知条件： ，设CE=3x，DE=4x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CE，DE的长，由CE的长，可得到点D的纵坐标，将点D的纵坐标代入函数解析式，可求出对应的x的值，可得到点D的坐标，然后求出OC的长.
20．（2022·黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：数据如下表．
时间x（分钟） 0 1 2 3 … 8
累计人数y（人） 0 150 280 390 … 640 640
（1）求a，b，c的值；
（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；
（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【答案】（1）解：将，，代入，
得，
解之得，，；
（2）解：设排队人数为w，由（1）知，
由题意可知，，
当时，，
∴时，排队人数的最大值是490人，
当时，，，
∵随自变量的增大而减小，
∴，
由得，排队人数最大值是490人；
（3）解：在（2）的条件下，全部学生完成核酸检测时间（分钟）
设从一开始增加n个检测点，则，解得，n为整数，
∴从一开始应该至少增加3个检测点．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用表中数据将表中x，y的三组对应值分别代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到函数解析式；
（2）设排队人数为w，利用（1）可得到W=y-20x，分情况讨论：当0≤x≤8时，可得到W与x之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出W的最大值；当8＜x≤10时，可得到W与x的函数解析式，利用一次函数的性质可得W的最大值，综上所述可求出排队人数的最大值；
（3）由题可知，共有640人需要进行核酸检测，在（2）的条件下，可全部学生完成核酸检测时间，设从一开始增加n个检测点，根据题意可得到关于n的不等式，然后求出不等式的最小整数解.
21．（2022·呼和浩特）如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．
【答案】（1）解：把点和点代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，则，
解得：，
∴点A（-1，0）；
（2）解：存在，理由如下：
∵点A（-1，0），点，点是线段的中点，
∴点，
设点E（0，m），
∴，
，
，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
整理得：，
解得：或-1，
∴点E的坐标为（0，3）或（0，-1）；
（3）解：∵点B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，CF=a，
∴，
若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF∥x轴交PM于点F，如图甲所示，
图甲
∴∠FCM=∠OBC，即，
∴∠PCF=∠FCM，
∵轴，
∴CF⊥PQ，
∴PM=2FM，
∴，
∴，解得：解得：a=2或0（舍去），
∴点P的横坐标为2；
若∠PMC=2∠OBC，
∵∠PMC=∠BMN，
∴∠BMN=2∠OBC，
∵∠OBC+∠BMN=90°，
∴∠OBC=30°，与相矛盾，不合题意，舍去；
若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，
图乙
∵∠PMG=∠BMN，
∴△PMG∽△BMN，
∴∠PGM=∠BNM=90°，
∴∠PGC=90°，
∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=PM，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点P的横坐标为；
综上所述，点P的横坐标为2或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线解析式，令y=0可得点A坐标；
（2）由点A（-1，0），点，点是线段的中点可得，点，设点E（0，m）， 则，，
，根据是以为斜边的直角三角形，可得， 解之即可；
（3）先求出直线BC的解析式 ，设点，则，CF=a，则
，分为当∠PCM=2∠OBC、∠PMC=2∠OBC、 ∠CPM=2∠OBC时三种情况，利用二次函数的性质和等腰直角三角形，勾股定理等性质进行求解即可。
22．（2022·绵阳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵A（-1，0），∴B（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入抛物线的解析式得：-3a=3，解得a=-1，∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）解：存在，P（0，-1），理由如下：∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，
∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠APC=∠ABC=45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP=OA=1，∴P（0，-1）；
（3）解：存在，理由如下：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴D（1，4），由抛物线的对称性得：E（2，3），∵A（-1，0），∴，∴，∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，∵点M在直线l下方的抛物线上，
设，则t＞2或t＜0，∵MF⊥l，∴点F（t，3），∴，，∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，∴或，∴或，解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或，∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或，综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的顶点的横坐标可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性可得到点B的坐标，利用点A，B的坐标，设抛物线的解析式为交点式，然后将点C的坐标代入，可求出二次函数解析式.
（2）利用圆内接四边形的对角互补，由∠APB＋∠ACB＝180°，可知点点A，C，B，P四点共圆；利用点的坐标可证得△APO是等腰直角三角形，可得到OP的长，即可得到点P的坐标.
（3）利用二次函数的对称性求出点E的坐标；再利用勾股定理的逆定理证明△AED是直角三角形且∠AED=90°，同时还可以证得DE：AE=1：3；再根据点M在直线l下方的抛物线上，利用函数解析式设，利用t＞2或t＜0，可表示出EF，MF的长，利用相似三角形的对应边成比例，分情况讨论：当EF：MF=DE：AE=1：3时；当MF：EF=DE：AE=1：3时；分别可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得满足条件的点M的坐标.
23．（2022·郴州）已知抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴相交于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN.点D是直线MN上任意一点.
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将点 ， 代入 得：
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：①由（1）可知： ，
设直线BC： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线BC： ，则直线MN： .
∵抛物线的对称轴： ，
把 代入 ，得 ，
∴ .
设直线CD： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线CD： .
当 时，得 ，
∴ ，
∴ .
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形.
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由 可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即 .
由点D在直线MN上，设 .
如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则 .
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则 .
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 .
∴ ，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则 .
同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 .
∴
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方.
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即 .
设 ， ，同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ .
解得
∴ ， .
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形.
当点F的坐标为 时，点D的坐标： 或 ；
当点F的坐标为 时，点D的坐标： .
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c中可得b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①易得C（0，-3），利用待定系数法求出直线BC、MN的解析式，由抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，将x=1代入直线MN的解析式中求出y，得点D的坐标，然后求出直线CD的解析式，令y=0，求出x的值，可得点E的坐标，进而可得OE的长；
②（I）若平行四边形以BC为边时，由BC∥FD可知：FD在直线MN上，即点F是直线MN与对称轴l的交点，F（1，1），设D（t，t），若四边形BCFD是平行四边形，则DF=BC，过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），由平行线性质得∠OBC=∠DOB，∠GDF=∠DOB，则∠OBC=∠GDF，证明△DGF≌△BOC，得到GD=OB，GF=OC，据此可得t的值，进而得点D的坐标；若四边形BCDF是平行四边形，则DF=CB，同理求解即可；（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，存在一种平行四边形，即平行四边形BFCD，设D（t，t），F（1，m）同理可证△DHC≌△BPF，得到DH=BP，HC=PF，表示出DH、BP、HC、PF，求出t、m的值，进而可得点D、F的坐标.
24．（2022·玉林）如图，已知抛物线： 与x轴交于点A， （A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线 ，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段 的中点，则 能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段 交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与 相似，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵ 的对称轴为 ，
∴ ，即b=2，
∵ 过B点(2，0)，
∴ ，
∴结合b=2可得c=4，
即抛物线解析式为：
（2）解：△POD不可能是等边三角形，
理由如下：
假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，如图，
∵当x=0时， ，
∴C点坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∵D点是OC的中点，
∴DO=2，
∵在等边△POD中，PN⊥OD，
∴DN=NO= DO=1，
∵在等边△POD中，∠NOP=60°，
∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°= ，
∴P点坐标为( ，1)，
经验证P点不在抛物线上，
故假设不成立，
即△POD不可能是等边三角形；
（3）解：∵PH⊥BO，
∴∠MHB=90°，
根据（2）中的结果可知C点坐标为(0，4)，
即OC=4，
∵B点(2，0)，
∴OB=2，
∴tan∠CBO=2，
分类讨论
第一种情况：△BMH∽△CMP，
∴∠MHB=∠MPC=90°，
∴ ，
∴即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，
当y=4时， ，
解得：x=1或者0，
∵P点在第一象限，
∴此时P点坐标为(1，4)，
第二种情况：△BMH∽△PMC，
过P点作PG⊥y轴于点G，如图，
∵△BMH∽△PMC，
∴∠MHB=∠MCP=90°，
∴∠GCP+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠GCP=∠OBC，
∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，
∵PG⊥OG，
∴在Rt△PGC中，2GC=GP，
设GP=a，
∴GC= ，
∴GO= +OC= +4，
∵PG⊥OG，PH⊥OH，
∴可知四边形PGOH是矩形，
∴PH=OG= +4，
∴P点坐标为(a， +4)，
∴ ，
解得：a= 或者0，
∵P点在第一象限，
∴a= ，
∴ ，
此时P点坐标为( )；
∵△BMH与△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，
∴△PCM中，当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，
通过相似可知△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，故不存在当∠CPM为直角时，∠PCM=∠BMH相等的情况；
同理不存在当∠PCM为直角时，∠CPM=∠BMH相等的情况，
综上所述：P点坐标为：(1，4)或者( )．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x=可得b的值，将B（2，0）代入求出c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，易得C(0，4)，则OC=4，结合中点的概念可得DO=2，根据等边三角形的性质可得DN=NO= DO=1，∠NOP=60°，根据三角函数的概念可得NP，据此可得点P的坐标，然后代入抛物线解析式中验证即可；
（3）根据垂直的概念可得∠MHB=90°，易得OC=4，OB=2，则tan∠CBO=2，当△BMH∽△CMP时，∠MHB=∠MPC=90°，推出PC∥OB，得到点P的纵坐标为4，令y=4，求出x的值，结合点P在第一象限可得点P的坐标；当△BMH∽△PMC时，过P点作PG⊥y轴于点G，根据相似三角形的性质可得
∠MHB=∠MCP=90°，由同角的余角相等可得∠GCP=∠OBC，则tan∠GCP=tan∠OBC=2，即2GC=GP，设GP=a，则GC=a，GO=a+4，易得四边形PGOH是矩形，PH=OG=a+4，则
P点坐标为(a， a+4)，代入抛物线解析式中可得a的值，结合点P在第一象限可得点P的坐标；当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质可得
△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，据此解答.
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