2023年春季北师版数学九年级下册第二章 《二次函数》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021·兰州）二次函数 的图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6.
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．（2022·陕西）已知二次函数y=x2 2x 3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当 13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·新疆）已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
5．（2022·绍兴）已知抛物线 y=x2+mx的对称轴为直线 x=2 ，则关于x的方程 x2+mx=5的根是（ ）
A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5
6．（2021·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·玉林）小嘉说：将二次函数 的图象平移或翻折后经过点 有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022·毕节）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022·丹东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021·齐齐哈尔）如图，二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，结合图象给出下列结论：
① ；
② ；
③关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1；
④若点 ， ， 均在二次函数图象上，则 ；
⑤ （m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）之间具有函数关系： ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s.
12．（2022·遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 .
13．（2021·沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
14．（2021·遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点.则下列四个结论正确的有 （填写序号）.
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a ；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个.
15．（2021·台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）.若h1＝2h2，则t1：t2＝ .
16．（2022·贵港）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则.其中正确结论的个数共有 个.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·锦州）某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当时，；当时，．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
18．（2022·河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度.
（1）求抛物线的表达式.
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.
19．（2022·金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点(图1)，发现该蔬菜需求量y需求(吨)关于售价x(元/千克)的函数图象可以看成抛物线，其表达式为 ，部分对应值如下表：
售价x(元/千克) … 2.5 3 3.5 4 …
需求量y需求(吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
②该蔬菜供给量y供给(吨)关于售价x(元/千克)的函数表达式为y供给=x-1，函数图象见图1.
③1~7月份该蔬菜售价x售价(元/千克)、成本x成本(元/千克)关于月份t的函数表达式分别为 ， ，函数图象见图2.
请解答下列问题：
（1）求a，c的值.
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由.
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润.
20．（2022·百色）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
21．（2022·宜宾）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，连结.
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点，点为抛物线上一动点，使得以点、、、为顶点、为边的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点向下平移5个单位得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值.
22．（2022·益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2022·资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结，当四边形为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2022·赤峰）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是 （可省略单位），水池2面积的最大值是 ；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 ，此时的值是 ；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ；
（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
（5）假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解： .
二次函数 的图象的对称轴是 .
故答案为：A.
【分析】根据公式“y=ax2+bx+c=a(x+)2+”将解析式配成顶点式，然后由x=-即为对称轴可求解.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解： y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，
∴当x＝2时，y取得最小值﹣9，故①符合题意；
y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为，
而
故②符合题意；
将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；
当时，则
解得：
而
故④符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向上，对称轴为直线x=2，最小值为-9，判断出函数的增减性，据此判断①②；根据二次函数图象的几何变换可判断③；令y=0，求出x的值，根据两点间距离公式求出两交点的距离，据此判断④.
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=x2 2x 3=(x-1)2-4，
∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2 2x 3的图象如图：
由图象知.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，令y=0，求出x的值，可得抛物线与x轴的交点坐标，然后画出二次函数的图象，据此进行比较.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线解析式可得a=1>0，据此判断A；根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1），据此判断B、C；根据开口方向以及对称轴可判断D.
5．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 y=x2+mx的对称轴为直线 x=2 ，
∴
解之：m=-4，
∴x2-4x=5即x2-4x-5=0
∴（x-5）（x+1）=0
∴x-5=0或x+1=0
解之：x1=5，x2=-1.
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的对称轴为直线x=2，可求出m的值；将m的值代入方程，利用因式分解法求出方程的解.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵ 的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为 ，
故答案为：B
【分析】 先求出 的顶点坐标为（0，0），再求出平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，1），利用平移的性质利用顶点式写出平移后抛物线解析式即可.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①将二次函数 向右平移2个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数 向下平移4个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数 沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个.
故答案为：D.
【分析】抛物线y=ax2向右平移m个单位长度，可得y=a(x-m)2；抛物线y=ax2向下平移n个单位长度可得y=ax2-n；抛物线y=ax2向上平移n个单位长度可得y=ax2+n；抛物线y=ax2沿x轴翻折，可得y=-ax2，据此得出平移后或翻折后的函数解析式，然后将（2，0）代入验证即可.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴为x＝＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵对称轴为x＝＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②错误；
③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，
∴9a＋3b+c＜0，
故③错误；
④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故④正确；
⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴，
故⑤正确.
综上所述，正确的结论是：④⑤.
故答案为：B.
【分析】由图象可得：抛物线的开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；根据对称轴为直线x=1可得b＝-2a，据此判断②；根据图象的对称性可得当x＝3时，y＜0，据此判断③；根据图象与x轴有两个不同的交点可判断④；由图象可知当x＝-1时，y＜0，则a-b+c＜0，据此判断⑤.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①符合题意，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②符合题意，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③不符合题意，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④符合题意．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴＝，
∴＝，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，故⑤符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个结论一一判断即可。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，
∴当x=1时， ，
故结论①符合题意；
根据函数图象可知，
当 ，即 ，
对称轴为 ，即 ，
根据抛物线开口向上，得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故结论②符合题意；
根据抛物线与x轴的一个交点为 ，
对称轴为 可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1，
故结论③符合题意；
根据函数图象可知： ，
故结论④不符合题意；
当 时， ，
∴当 时， ，
即 ，
故结论⑤不符合题意，
综上：①②③符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，再结合函数图象对每个结论一一判断求解即可。
11．【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20.
故答案为：2.
【分析】将h与t的函数关系式化为顶点式，据此可得h的最大值.
12．【答案】﹣4＜m＜0
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴﹣ ＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝m=a-b+c=a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
∴﹣4＜m＜0.
故答案为：﹣4＜m＜0.
【分析】由图像可得：抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，则a＞0，b＞0，将（0，-2）代入可得c=-2；将（1，0）代入可得a+b+c＝0，则b＝2-a，令x=-1，可得y=m=a-b+c=2a-4，根据b=2-a>0可得a的范围，进而可得2a-4的范围，据此解答.
13．【答案】11
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，
则
，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
【分析】设销售单价定为元，每天所获利润为元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
14．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 .
① ，则 ，故①正确，符合题意；
② ，又a＞0，
∴ ，故②错误，不符合题意；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有 ，即一元二次方程 有实数根，
则 ，
∵a＞0，
∴ ，解得： ，故③正确，符合题意；
④如图，
∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，
一元二次方程可化为 ，即抛物线 与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足.故④正确，满足题意.
故答案为：①③④
【分析】将点（0，0），（4，0）代入函数解析式，可得到y=ax2-4ax，利用b=-4a，可对①作出判断；将b=-4a，c=0代入，可得到5a+3b+2c=-7a，由a的取值范围，可得到-7a的取值范围，可对②作出判断；利用已知可得到一元二次方程，再根据b2-4ac≥0，可求出a的取值范围，可对③作出判断；将方程转化为抛物线 与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，可得到横坐标可以为0，1，2，3，4，可得到满足条件的t的值，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
15．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意得，图1中的函数图象解析式为：h＝v1t 4.9t2，令h=0， 或 （舍去）， ，
图2中的函数解析式为：h＝v2t 4.9t2， 或 （舍去）， ，
∵h1＝2h2，
∴ =2 ，即： = 或 =- （舍去），
∴t1：t2= ： = ，
故答案是： .
【分析】利用图1的函数解析式，可求出h=0时的t的值，可求出h1，利用图2的函数解析式，由h=0求出对应的t的值，可求出h2的值；再根据h1＝2h2，可得v的值，然后求出t1：t2的值.
16．【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，
将(1，0)代入函数解析式中可得a+b+c=0，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
又∵抛物线的对称轴在y轴的左边，且抛物线交y轴的正半轴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
将(-2，0)、(1，0)代入函数解析式中可得，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，将(1，0)代入y=ax2+bx+c中可得a+b+c=0，据此判断③；根据图象可得抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴正半轴，确定出a、b、c的符号，据此判断①；根据抛物线与x轴有两个不同的交点可判断②；将(1，0)、(-2，0)代入函数解析式中可得b=a，c=-2a，表示出am2+bm，(a-2b)，然后作差即可判断④；根据图象确定出函数的增减性，据此判断⑤.
17．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，由题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设每天获得的利润为w元，由（1）可得：
，
∵，且-10＜0，
∴当时，w有最大值，最大值为160；
答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）设每天获得的利润为w元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
18．【答案】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为
（2）解：由 ，令 ，
得 ，
解得 ，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 (m)，或 (m).
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1） 由于抛物线的顶点为（5，3.2） ，可设抛物线的解析式为 ，将点（0，0.7）代入解析式中，求出a值即得结论；
（2）利用（1）解析式求出y=1.6时x值，然后求解即可.
19．【答案】（1）解：把 代入y需求 可得
②-①，得7a=-1.4，解得 ，
把 代入①，得c=9，
（2）解：设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
有w=x售价-x成本=，
化简，得 ，
∵ 在 的范围内，
∴当 时，w有最大值.
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
（3）解：由 ，得 ，
化简，得 ，解得 (舍去)，
∴售价为5元/千克.
此时， (吨) (千克)，
把x=5代入 ，得 ，
把t=6代入 ，得 ，
∴总利润 (元).
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据统计售价与需求量表格中数据，利用待定系数法，将（3，7.2）和（4，5.8）代入函数表达式，列出关于a和c的方程组，解之即可求得a和c的值；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w=x售价-x成本，得w=，再利用二次函数性质求得1≤t≤7时，w最大时t的值即可；
（3）根据 得 ，解之可得售价为5元/千克，即求得=4000千克，t=6，再把t=6代入求出w值，再由总利润=每千克利润×数量即可求出总利润.
20．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时，
，
设，
设直线OM的解析式为，
，
解得，
直线OM的解析式为，
设直线BC的解析式为，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
令，解得，则，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
点M为射线BD上一动点，
，
，
，
当时，解得或，
，
.
当点M在线段BD上时，此时，，
，
，
，
由（2）得，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，ME的长为或.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，将A（-1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入求出a、b、c的值，据此可得抛物线的表达式；
（2）根据正方形的性质可得BO=BD，∠OBC=∠DBC，证明△OBF≌△DBF，据此可得结论；
（3）当点M在线段BD的延长线上时，此时∠FDM>90°，DF=DM，设M（m，3），求出直线OM、BC的解析式，联立表示出x、y，可得点F的坐标，根据正方形的性质可得BO=BD=OC=CD=3，则D（3，3），根据两点间距离公式表示出DF2，根据DF=DM可得m的值，由点M为射线BD上一动点可得m>0，据此可得BM，令抛物线解析式中的y=3，求出x的值，可得BE，由ME=BM-BE可得ME；当点M在线段BD上时，此时∠DMF>90°，MF=DM，根据等腰三角形的性质可得∠MFD=∠MDF，则∠BMO=2∠MDF，由（2）得∠BOF=∠BDF，根据正方形的性质可得∠OBD=90°，据此可得∠BOM的度数，根据三角函数的概念可得BM，由ME=BD-BM-DE可得ME.
21．【答案】（1）解：∵抛物线经过、，，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为
（2）解：设直线是解析式为，
把，代入，得，
，
直线的解析式为，
过点作于点，
以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，
，，
，
，
≌，
，
设，则，
，
或，
当时，，
，
当时，，
综上所述，满足条件点点的坐标为或
（3）解：由题意，，，关于对称轴直线对称，连接交对称轴于点，连接，，过点作于点，交对称轴于点，连接则，，，
在中，，则在中，，
，
，
为最小值，
，
，
的最小值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；解直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再求其顶点坐标；
（2）先求出直线AC的解析式为 ，过点F作FG⊥DE于点G，以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，可得AC=EF，AC∥EF，证明△OAC≌△GFE ，得，设，则，即得，据此求出m，继而得解；
（3） 易知M（1，-1），F1（4，-5）与F2（-2，-5）关于直线x=1对称，连接F1F2交对称轴于H，连F1M，F2M，过F2作F2N⊥F1N于点N，交对称轴于P，连PF1则MH=4，HF1=3，MF1=5， 证明，由可得为最小值.
22．【答案】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为，点在抛物线上，，．
（2）解：直线与抛物线，分别交于点，，，，，，当时，的最大值为，的最大值为4，，解得，，．
（3）解：存在，理由如下：设点的坐标为，则，，点在轴正半轴上，且，，，，，．如图，过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，，
，，，，，，，即．，，，解得．．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将抛物线E的函数解析式转化为顶点式，可得到点P的坐标；再根据点P在抛物线F上，将其代入，可得到关于m的方程，解方程求出a的值.
（2）将x=t代入两个抛物线的解析式，求出对应的y的值；再根据s＝yA﹣yB，代入可得到s与t的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质及s的最大值为4，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
（3）设点M的坐标为n，可表示出点M，Q的坐标；利用点Q在x轴的正半轴，可得到关于m的不等式，求出m的取值范围；同时可得到关于n的方程，解方程表示出n，代入可表示出点M，Q的坐标；过点Q作KN⊥x轴，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于点K，N，利用余角的性质可证得∠QPK=∠GQN，可得到△PKQ∽△QNG，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，建立关于MQ的方程，解方程求出QM的长，即可得到点G的坐标.
23．【答案】（1）解：∵二次函数的图象的顶点坐标为，
∴设二次函数的表达式为，
又∵，∴，
解得：，
∴（或）；
（2）解：①∵点P在x轴正半轴上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴，
过点作轴于点E，
∴，，
在中，，
当四边形为矩形时，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
解得；
②由题可得点与点C关于点成中心对称，
∴，
∵点M在直线上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）、当以为边时，平行四边形为，
点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
解得：，
∴，
2）、当以为边时，平行四边形为，
点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
解得：，
∴，
3）、当以为对角线时，
点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
得：，
∴，
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由题意可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4，将B（-1，0）代入求出a的值，据此可得二次函数的表达式；
（2）①由题意可得m>0，BP=m+1，根据旋转的性质可得BD=2BP=2(m+1)，过点A作AE⊥x轴于点E，则BE=2，AE=4，利用勾股定理可得AB2，根据矩形的性质可得∠BAD=∠BEA=90°，证明△BAE∽△BDA，然后根据相似三角形的性质就可求出m的值；
②由题意可得C（7，-4），然后分BC为边、平行四边形为BCMQ；BC为边，平行四边形为BCQM；BC为对角线，结合点的平移规律求出点Q的横坐标，然后代入二次函数解析式中求出y的值，据此可得点Q的坐标.
24．【答案】（1）3＜x＜6；9
（2）C，E；1，4
（3）0＜x＜1或4＜x＜6
（4）解：在范围内，两个水池面积差，
∵
∴函数有最大值，
∵
∴当时，函数有最大值，为
即，当时，面积最大值为
（5）解：∵水池3与水池2的面积相等，
∴，
整理得，
∵有唯一值，
∴
解得，
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】(1)∵
∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，
∵水池2的面积随长度的增加而减小，
∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是9；
故答案为：；9；
(2)由图象得，两函数交于点C，E，
所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组
解得，
∴x的值为1或4，
故答案为：C，E；1或4
(3)由（3）知，C（1，5），E（4，8），
又直线在抛物线上方时，或，
所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或，
故答案为或；
【分析】（1）依据函数图象和函数解析式，利用二次凹函数的性质解答即可；
（2）利用图象交点的数字异议解答即可；
（3）依据图象，利用数形结合发解答即可；
（4）在范围内， 求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可；
（5）令y3=y2，得到关于x的一元二次方程，解=0的方程可求出b。
1 / 12023年春季北师版数学九年级下册第二章 《二次函数》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021·兰州）二次函数 的图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解： .
二次函数 的图象的对称轴是 .
故答案为：A.
【分析】根据公式“y=ax2+bx+c=a(x+)2+”将解析式配成顶点式，然后由x=-即为对称轴可求解.
2．（2022·雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6.
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解： y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，
∴当x＝2时，y取得最小值﹣9，故①符合题意；
y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为，
而
故②符合题意；
将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；
当时，则
解得：
而
故④符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向上，对称轴为直线x=2，最小值为-9，判断出函数的增减性，据此判断①②；根据二次函数图象的几何变换可判断③；令y=0，求出x的值，根据两点间距离公式求出两交点的距离，据此判断④.
3．（2022·陕西）已知二次函数y=x2 2x 3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当 13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=x2 2x 3=(x-1)2-4，
∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2 2x 3的图象如图：
由图象知.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，令y=0，求出x的值，可得抛物线与x轴的交点坐标，然后画出二次函数的图象，据此进行比较.
4．（2022·新疆）已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线解析式可得a=1>0，据此判断A；根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1），据此判断B、C；根据开口方向以及对称轴可判断D.
5．（2022·绍兴）已知抛物线 y=x2+mx的对称轴为直线 x=2 ，则关于x的方程 x2+mx=5的根是（ ）
A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 y=x2+mx的对称轴为直线 x=2 ，
∴
解之：m=-4，
∴x2-4x=5即x2-4x-5=0
∴（x-5）（x+1）=0
∴x-5=0或x+1=0
解之：x1=5，x2=-1.
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的对称轴为直线x=2，可求出m的值；将m的值代入方程，利用因式分解法求出方程的解.
6．（2021·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵ 的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为 ，
故答案为：B
【分析】 先求出 的顶点坐标为（0，0），再求出平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，1），利用平移的性质利用顶点式写出平移后抛物线解析式即可.
7．（2022·玉林）小嘉说：将二次函数 的图象平移或翻折后经过点 有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①将二次函数 向右平移2个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数 向下平移4个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数 沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个.
故答案为：D.
【分析】抛物线y=ax2向右平移m个单位长度，可得y=a(x-m)2；抛物线y=ax2向下平移n个单位长度可得y=ax2-n；抛物线y=ax2向上平移n个单位长度可得y=ax2+n；抛物线y=ax2沿x轴翻折，可得y=-ax2，据此得出平移后或翻折后的函数解析式，然后将（2，0）代入验证即可.
8．（2022·毕节）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴为x＝＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵对称轴为x＝＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②错误；
③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，
∴9a＋3b+c＜0，
故③错误；
④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故④正确；
⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴，
故⑤正确.
综上所述，正确的结论是：④⑤.
故答案为：B.
【分析】由图象可得：抛物线的开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；根据对称轴为直线x=1可得b＝-2a，据此判断②；根据图象的对称性可得当x＝3时，y＜0，据此判断③；根据图象与x轴有两个不同的交点可判断④；由图象可知当x＝-1时，y＜0，则a-b+c＜0，据此判断⑤.
9．（2022·丹东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①符合题意，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②符合题意，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③不符合题意，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④符合题意．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴＝，
∴＝，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，故⑤符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个结论一一判断即可。
10．（2021·齐齐哈尔）如图，二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，结合图象给出下列结论：
① ；
② ；
③关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1；
④若点 ， ， 均在二次函数图象上，则 ；
⑤ （m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，
∴当x=1时， ，
故结论①符合题意；
根据函数图象可知，
当 ，即 ，
对称轴为 ，即 ，
根据抛物线开口向上，得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故结论②符合题意；
根据抛物线与x轴的一个交点为 ，
对称轴为 可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1，
故结论③符合题意；
根据函数图象可知： ，
故结论④不符合题意；
当 时， ，
∴当 时， ，
即 ，
故结论⑤不符合题意，
综上：①②③符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，再结合函数图象对每个结论一一判断求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）之间具有函数关系： ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s.
【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20.
故答案为：2.
【分析】将h与t的函数关系式化为顶点式，据此可得h的最大值.
12．（2022·遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 .
【答案】﹣4＜m＜0
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴﹣ ＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝m=a-b+c=a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
∴﹣4＜m＜0.
故答案为：﹣4＜m＜0.
【分析】由图像可得：抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，则a＞0，b＞0，将（0，-2）代入可得c=-2；将（1，0）代入可得a+b+c＝0，则b＝2-a，令x=-1，可得y=m=a-b+c=2a-4，根据b=2-a>0可得a的范围，进而可得2a-4的范围，据此解答.
13．（2021·沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
【答案】11
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，
则
，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
【分析】设销售单价定为元，每天所获利润为元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
14．（2021·遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点.则下列四个结论正确的有 （填写序号）.
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a ；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个.
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 .
① ，则 ，故①正确，符合题意；
② ，又a＞0，
∴ ，故②错误，不符合题意；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有 ，即一元二次方程 有实数根，
则 ，
∵a＞0，
∴ ，解得： ，故③正确，符合题意；
④如图，
∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，
一元二次方程可化为 ，即抛物线 与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足.故④正确，满足题意.
故答案为：①③④
【分析】将点（0，0），（4，0）代入函数解析式，可得到y=ax2-4ax，利用b=-4a，可对①作出判断；将b=-4a，c=0代入，可得到5a+3b+2c=-7a，由a的取值范围，可得到-7a的取值范围，可对②作出判断；利用已知可得到一元二次方程，再根据b2-4ac≥0，可求出a的取值范围，可对③作出判断；将方程转化为抛物线 与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，可得到横坐标可以为0，1，2，3，4，可得到满足条件的t的值，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
15．（2021·台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）.若h1＝2h2，则t1：t2＝ .
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意得，图1中的函数图象解析式为：h＝v1t 4.9t2，令h=0， 或 （舍去）， ，
图2中的函数解析式为：h＝v2t 4.9t2， 或 （舍去）， ，
∵h1＝2h2，
∴ =2 ，即： = 或 =- （舍去），
∴t1：t2= ： = ，
故答案是： .
【分析】利用图1的函数解析式，可求出h=0时的t的值，可求出h1，利用图2的函数解析式，由h=0求出对应的t的值，可求出h2的值；再根据h1＝2h2，可得v的值，然后求出t1：t2的值.
16．（2022·贵港）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则.其中正确结论的个数共有 个.
【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，
将(1，0)代入函数解析式中可得a+b+c=0，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
又∵抛物线的对称轴在y轴的左边，且抛物线交y轴的正半轴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
将(-2，0)、(1，0)代入函数解析式中可得，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，将(1，0)代入y=ax2+bx+c中可得a+b+c=0，据此判断③；根据图象可得抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴正半轴，确定出a、b、c的符号，据此判断①；根据抛物线与x轴有两个不同的交点可判断②；将(1，0)、(-2，0)代入函数解析式中可得b=a，c=-2a，表示出am2+bm，(a-2b)，然后作差即可判断④；根据图象确定出函数的增减性，据此判断⑤.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·锦州）某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当时，；当时，．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，由题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设每天获得的利润为w元，由（1）可得：
，
∵，且-10＜0，
∴当时，w有最大值，最大值为160；
答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）设每天获得的利润为w元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
18．（2022·河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度.
（1）求抛物线的表达式.
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.
【答案】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为
（2）解：由 ，令 ，
得 ，
解得 ，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 (m)，或 (m).
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1） 由于抛物线的顶点为（5，3.2） ，可设抛物线的解析式为 ，将点（0，0.7）代入解析式中，求出a值即得结论；
（2）利用（1）解析式求出y=1.6时x值，然后求解即可.
19．（2022·金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点(图1)，发现该蔬菜需求量y需求(吨)关于售价x(元/千克)的函数图象可以看成抛物线，其表达式为 ，部分对应值如下表：
售价x(元/千克) … 2.5 3 3.5 4 …
需求量y需求(吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
②该蔬菜供给量y供给(吨)关于售价x(元/千克)的函数表达式为y供给=x-1，函数图象见图1.
③1~7月份该蔬菜售价x售价(元/千克)、成本x成本(元/千克)关于月份t的函数表达式分别为 ， ，函数图象见图2.
请解答下列问题：
（1）求a，c的值.
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由.
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润.
【答案】（1）解：把 代入y需求 可得
②-①，得7a=-1.4，解得 ，
把 代入①，得c=9，
（2）解：设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
有w=x售价-x成本=，
化简，得 ，
∵ 在 的范围内，
∴当 时，w有最大值.
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
（3）解：由 ，得 ，
化简，得 ，解得 (舍去)，
∴售价为5元/千克.
此时， (吨) (千克)，
把x=5代入 ，得 ，
把t=6代入 ，得 ，
∴总利润 (元).
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据统计售价与需求量表格中数据，利用待定系数法，将（3，7.2）和（4，5.8）代入函数表达式，列出关于a和c的方程组，解之即可求得a和c的值；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w=x售价-x成本，得w=，再利用二次函数性质求得1≤t≤7时，w最大时t的值即可；
（3）根据 得 ，解之可得售价为5元/千克，即求得=4000千克，t=6，再把t=6代入求出w值，再由总利润=每千克利润×数量即可求出总利润.
20．（2022·百色）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时，
，
设，
设直线OM的解析式为，
，
解得，
直线OM的解析式为，
设直线BC的解析式为，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
令，解得，则，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
点M为射线BD上一动点，
，
，
，
当时，解得或，
，
.
当点M在线段BD上时，此时，，
，
，
，
由（2）得，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，ME的长为或.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，将A（-1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入求出a、b、c的值，据此可得抛物线的表达式；
（2）根据正方形的性质可得BO=BD，∠OBC=∠DBC，证明△OBF≌△DBF，据此可得结论；
（3）当点M在线段BD的延长线上时，此时∠FDM>90°，DF=DM，设M（m，3），求出直线OM、BC的解析式，联立表示出x、y，可得点F的坐标，根据正方形的性质可得BO=BD=OC=CD=3，则D（3，3），根据两点间距离公式表示出DF2，根据DF=DM可得m的值，由点M为射线BD上一动点可得m>0，据此可得BM，令抛物线解析式中的y=3，求出x的值，可得BE，由ME=BM-BE可得ME；当点M在线段BD上时，此时∠DMF>90°，MF=DM，根据等腰三角形的性质可得∠MFD=∠MDF，则∠BMO=2∠MDF，由（2）得∠BOF=∠BDF，根据正方形的性质可得∠OBD=90°，据此可得∠BOM的度数，根据三角函数的概念可得BM，由ME=BD-BM-DE可得ME.
21．（2022·宜宾）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，连结.
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点，点为抛物线上一动点，使得以点、、、为顶点、为边的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点向下平移5个单位得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值.
【答案】（1）解：∵抛物线经过、，，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为
（2）解：设直线是解析式为，
把，代入，得，
，
直线的解析式为，
过点作于点，
以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，
，，
，
，
≌，
，
设，则，
，
或，
当时，，
，
当时，，
综上所述，满足条件点点的坐标为或
（3）解：由题意，，，关于对称轴直线对称，连接交对称轴于点，连接，，过点作于点，交对称轴于点，连接则，，，
在中，，则在中，，
，
，
为最小值，
，
，
的最小值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；解直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再求其顶点坐标；
（2）先求出直线AC的解析式为 ，过点F作FG⊥DE于点G，以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，可得AC=EF，AC∥EF，证明△OAC≌△GFE ，得，设，则，即得，据此求出m，继而得解；
（3） 易知M（1，-1），F1（4，-5）与F2（-2，-5）关于直线x=1对称，连接F1F2交对称轴于H，连F1M，F2M，过F2作F2N⊥F1N于点N，交对称轴于P，连PF1则MH=4，HF1=3，MF1=5， 证明，由可得为最小值.
22．（2022·益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为，点在抛物线上，，．
（2）解：直线与抛物线，分别交于点，，，，，，当时，的最大值为，的最大值为4，，解得，，．
（3）解：存在，理由如下：设点的坐标为，则，，点在轴正半轴上，且，，，，，．如图，过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，，
，，，，，，，即．，，，解得．．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将抛物线E的函数解析式转化为顶点式，可得到点P的坐标；再根据点P在抛物线F上，将其代入，可得到关于m的方程，解方程求出a的值.
（2）将x=t代入两个抛物线的解析式，求出对应的y的值；再根据s＝yA﹣yB，代入可得到s与t的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质及s的最大值为4，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
（3）设点M的坐标为n，可表示出点M，Q的坐标；利用点Q在x轴的正半轴，可得到关于m的不等式，求出m的取值范围；同时可得到关于n的方程，解方程表示出n，代入可表示出点M，Q的坐标；过点Q作KN⊥x轴，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于点K，N，利用余角的性质可证得∠QPK=∠GQN，可得到△PKQ∽△QNG，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，建立关于MQ的方程，解方程求出QM的长，即可得到点G的坐标.
23．（2022·资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结，当四边形为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象的顶点坐标为，
∴设二次函数的表达式为，
又∵，∴，
解得：，
∴（或）；
（2）解：①∵点P在x轴正半轴上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴，
过点作轴于点E，
∴，，
在中，，
当四边形为矩形时，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
解得；
②由题可得点与点C关于点成中心对称，
∴，
∵点M在直线上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）、当以为边时，平行四边形为，
点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
解得：，
∴，
2）、当以为边时，平行四边形为，
点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
解得：，
∴，
3）、当以为对角线时，
点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
得：，
∴，
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由题意可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4，将B（-1，0）代入求出a的值，据此可得二次函数的表达式；
（2）①由题意可得m>0，BP=m+1，根据旋转的性质可得BD=2BP=2(m+1)，过点A作AE⊥x轴于点E，则BE=2，AE=4，利用勾股定理可得AB2，根据矩形的性质可得∠BAD=∠BEA=90°，证明△BAE∽△BDA，然后根据相似三角形的性质就可求出m的值；
②由题意可得C（7，-4），然后分BC为边、平行四边形为BCMQ；BC为边，平行四边形为BCQM；BC为对角线，结合点的平移规律求出点Q的横坐标，然后代入二次函数解析式中求出y的值，据此可得点Q的坐标.
24．（2022·赤峰）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是 （可省略单位），水池2面积的最大值是 ；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 ，此时的值是 ；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ；
（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
（5）假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．
【答案】（1）3＜x＜6；9
（2）C，E；1，4
（3）0＜x＜1或4＜x＜6
（4）解：在范围内，两个水池面积差，
∵
∴函数有最大值，
∵
∴当时，函数有最大值，为
即，当时，面积最大值为
（5）解：∵水池3与水池2的面积相等，
∴，
整理得，
∵有唯一值，
∴
解得，
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】(1)∵
∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，
∵水池2的面积随长度的增加而减小，
∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是9；
故答案为：；9；
(2)由图象得，两函数交于点C，E，
所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组
解得，
∴x的值为1或4，
故答案为：C，E；1或4
(3)由（3）知，C（1，5），E（4，8），
又直线在抛物线上方时，或，
所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或，
故答案为或；
【分析】（1）依据函数图象和函数解析式，利用二次凹函数的性质解答即可；
（2）利用图象交点的数字异议解答即可；
（3）依据图象，利用数形结合发解答即可；
（4）在范围内， 求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可；
（5）令y3=y2，得到关于x的一元二次方程，解=0的方程可求出b。
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