椭圆小题中的8类最值问题
一.圆与椭圆上点点距离最值
1．已知A，B分别是椭圆与圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为
A． B． C． D．
3．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二.点和椭圆上点的最值
4．已知点是椭圆上的一点，点，则的最小值为
A． B． C． D．
5．已知定点到椭圆上的点的距离的最小值为1，则a的值为___________．
6．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
三.数量积最值
7．设、为椭圆的左、右焦点，动点P在椭圆上，当面积最大时，的值等于（ ）
A． B． C．0 D．1
8．已知椭圆的左右焦点,,点在椭圆上,是椭圆上的动点,则的最大值为
A． B． C． D．
9．已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
四.周长和面积最值
10．点为椭圆的右焦点，在椭圆上运动，点，则周长的最大值为_________
11．椭圆的左、右焦点分别为、，动点A在椭圆上，B为椭圆的上顶点，则周长的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
12．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．12
五.距离和最值
13．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知椭圆，设点的轨迹为曲线，已知点与点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
六.距离差最值
16．已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且在轴的左侧过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点）则等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
17．已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
18．点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．点在椭圆：上，的右焦点为，点在圆：上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
七.距离商最值
20．椭圆的焦点为，点在上，当最大时，则＝（ ）
A． B． C． D．
21．椭圆的中心、右焦点、右顶点、右准线与轴的交点依次为，则的最大值为
A． B． C． D．
22．已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
八.椭圆上点到直线距离最值
23．点在椭圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
24．椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
25．椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
26．若点在椭圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．椭圆小题中的8类最值问题
1．B
【详解】依据题意，圆心记为，半径，则的最小值为的最小值减去圆的半径，设，在椭圆上，则有，且 ，当时，有最小值.的最小值为.
故选：B
2．B
【详解】解：设圆的圆心为，则，
设则
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以.
故选：B.
3．D
【详解】设点，则，得，
圆的圆心，半径为，
则
，
令，对称轴为，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为，
所以的最小值为，
故选：D
4．D
【详解】设，则，.
所以当时，的最小值为.
故选D.
5．2或4
【详解】解：设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，
则，
当时，有.∴当时，，
得 (舍)，
当时，有，
当且仅当x＝3时， ，
故a＝2或a＝4，
综上得a＝2或4.
故答案为：2或4.
6．A
【详解】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
7．B
【详解】根据对称性，可设点，,则的面积为，则当面积最大时，即最大，此时为上顶点时，即时最大.此时.又，则、.
则，.
故选：B
8．B
【详解】由题意得，
因为点在椭圆上，
所以，联立，可解得，
所以椭圆方程为，
由题意得，
因为P是椭圆上的动点，设，
由椭圆的参数方程可得（为参数），
所以，
又因为
则，
，
所以
，其中，
所以当时，取得最大值为，
故选：B.
9．D
【详解】设，由可知，，
，，
，
，时，的最小值为，解得.
当时，的最大值为.
故选：D
10．
【详解】由椭圆方程知：，，，则右焦点，左焦点，
由椭圆定义知：，，
当三点共线，如下图所示时，取得最大值，
，
，
即周长的最大值为.
故答案为：.
11．C
【详解】
由题意，椭圆，其中，，
由于点B为椭圆的上顶点，故，
周长为，
其中，当且仅当点在线段延长线上时取得等号，
，
即，故周长最大值为12.
故选：C
12．D
【详解】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
由消去y得：，设，
由椭圆对称性，不妨令，焦点，
△ABF的面积，当且仅当时取“=”，
所以△ABF面积的最大值为12.
故选：D
13．D
【详解】因为，所以在椭圆的内部，设椭圆右焦点为，易得，则，由椭圆定义可知：，所以，因为，所以.
故选：D.
14．D
【详解】解：点为椭圆的右焦点，
，
点为椭圆上任意一点，点A的坐标为，点A在椭圆外，
设椭圆的左焦点为，
，
，
，当点在的延长线上时取等号，
，
则的最大值为．
故选：．
15．C
【详解】依题意，为曲线的左焦点，
由于满足，故点N在椭圆内部，
设C的右焦点为 ，连接 ，
由于M为曲线C上的动点，则 ，
从而，
因为,
当 共线，且N在线段上时取等号(如图)，
故的最小值为，
故选：C.
16．A
【详解】延长交的延长线于点,作图如下：
因为为的角平分线，且，
所以，
所以，
因为分别为的中点，
所以为的中位线，
所以，
所以.
故选：A
17．C
【详解】依题意可知，对于椭圆，，
对于圆，圆心为，半径，
设椭圆的右焦点为，
根据椭圆的定义有，
根据圆的几何性质有，
当且仅当是线段与圆交点时等号成立，
所以，
其中，当且仅当三点共线，且是线段与椭圆的交点时等号成立，
所以，
此时四点共线，且分别是线段与圆、椭圆的交点.
故选：C
18．D
【详解】设椭圆的左焦点为，则
求的最小值即求的最小值，圆的半径为圆心为
所以的最小值为
所以的最小值为
故选：D.
19．D
【详解】由题得圆：，
所以圆心为，半径为2.
设椭圆的左焦点为，则，
故要求的最小值，即求的最小值，
圆的半径为2，
所以的最小值等于，
∴的最小值为，
故选：D.
20．A
【详解】解：由题意可得，且直线与轴的交点为，
作过点与，且与直线相切的圆，设切点为，如图，
由图可知，，当且仅当与切点重合等号成立，
所以，当与切点重合时，满足最大，
此时圆心在轴上，设，则圆的半径，
又（弦切角定理），
所以，，
所以，＝＝
＝＝＝.
故选：A.
21．C
【详解】试题分析：依题意有．
考点：直线与圆锥曲线位置关系，基本不等式．
22．B
【详解】椭圆的左焦点为,
当l：时，，，
所以，
设与椭圆联立，可得：
，
由韦达定理得：，
取中点为，
所以的中垂线方程为：
，
令 ，得，
所以，
又，
所以，
综上所述，
故选：B.
23．B
【详解】点在椭圆上，∴令，，
，，
则当时，可取得最大值为，
故选：B
24．A
【详解】设点的坐标为，其中，
则点到直线的距离
，其中，
当时，等号成立，
所以点到直线：的距离的最小值为.
故选：A.
25．C
【详解】由，设，
设点到直线：的距离，
所以有，
其中，
所以当时，有最小值，
故选：C
26．D
【详解】由题知椭圆的方程为，
求的最小值即求点到点斜率的最小值，
设过点和点的直线方程为，
联立，
知当时直线斜率取最小值，
，
故当时，斜率取最小值，
即的最小值为.
故选：D.
