2013-2014学年高一（上）期末数学试卷（二）
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，则?UA=（ ）
A．
{4}
B．
{2，4，5}
C．
{4，5}
D．
{1，3，4}
2．（4分）设，则f[f（﹣1）]=（ ）
A．
1
B．
2
C．
421世纪教育网
D．
8
3．（4分）已知A（1，1），B（2，4），则直线AB的斜率为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
4．（4分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．
y=x+1
B．
y=﹣x2
C．
D．
y=x3
5．（4分）若直线mx+y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行，则m的值为（ ）
A．
B．
21世纪教育网
C．
2
D．
﹣2
6．（4分）设a=30.3，b=logπ3，c=log0.32则a，b，c的大小关系是（ ）21cnjy
A．
a＜b＜c
B．
c＜b＜a
C．
b＜a＜c
D．
c＜a＜b
7．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．
若m∥n，m∥α，则n∥α
B．
若α⊥β，m∥α，则m⊥β
C．
若α⊥β，m⊥β，则m∥α21世纪教育网
D．
若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
8．（4分）（2011?惠州一模）当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）如图是一个正三棱柱体的三视图，该柱体的体积等于（ ）21世纪教育网
A．
B．
221世纪教育网
C．
2
D．
10．（4分）（2010?许昌模拟）函数的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（4分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（ ）
A．
内切
B．
相交
C．
外切21世纪教育网
D．
外离
12．（4分）已知函数，若f（2a+1）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）
C．
D．
（﹣3，﹣1）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）函数f（x）=lg（x﹣1）的定义域是 _________ ．21世纪教育网
14．（4分）已知球的某截面的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为 _________ ．
21cnjy
15．（4分）圆心为（1，1）且与直线x﹣y=4相切的圆的方程是 _________ ．
16．（4分）下列四个判断：
①若f（x）=x2﹣2ax在[1，+∞）上是增函数，则a=1；21世纪教育网
②函数y=ln（x2+1）的值域是R；
③函数y=2|x|的最小值是1；
④在同一坐标系中函数y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；
其中正确命题的序号是 _________ ．
三、解答题（共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．
（1）求A∩B；21世纪教育网
（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．
18．（8分）已知直线l1：3x+4y+1=0和点A（1，2），设过A点与l1垂直的直线为l2．
（1）求直线l2的方程；21cnjy
（2）求直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积．
19．（10分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．，求证：
（1）PA∥平面BDE；21cnjy
（2）平面PAC⊥平面BDE．
20．（10分）某企业拟投资A、B两个项目，预计投资A项目m万元可获得利润21cnjy 万元；投资B项目n万元可获得利润（40﹣n）2（40﹣n）万元．若该企业用40万元来投资这两个项目，则分别投资多少万元能获得最大利润？最大利润是多少？
21．（10分）直线l经过点P（5，5），且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．21cnjy
22．（10分）已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；21cnjy
（2）若g（x）=loga[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
2013-2014学年高一（上）期末数学试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，则?UA=（ ）
A．
{4}
B．
{2，4，5}
C．
{4，5}
D．
{1，3，4}
2．（4分）设，则f[f（﹣1）]=（ ）
A．
1
B．
2
C．
4
D．
8
3．（4分）已知A（1，1），B（2，4），则直线AB的斜率为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
斜率的计算公式.
专题：
计算题．
分析：
把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．
解答：
解：因为A（1，1），B（2，4），
所以直线AB的斜率k==321cnjy
故选：C．
点评：
此题考查学生会利用两点坐标求两点确定直线的斜率，是一道基础题．
4．（4分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．
y=x+1
B．
y=﹣x2
C．
D．
y=x3
5．（4分）若直线mx+y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行，则m的值为（ ）
A．
B．
C．
2
D．
﹣2
考点：
直线的一般式方程与直线的平行关系.
专题：
直线与圆．
分析：
由两直线平行，斜率相等列出方程，解方程求得m值．
解答：
解：∵直线mx+y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行
∴它们的斜率相等
∴﹣m=
∴m=﹣
故选B．21cnjy
点评：
本题考查两直线平行的性质，斜率都存在的两直线平行时，它们的斜率一定相等．
6．（4分）设a=30.3，b=logπ3，c=log0.32则a，b，c的大小关系是（ ）
A．
a＜b＜c
B．
c＜b＜a
C．
b＜a＜c
D．
c＜a＜b
考点：
对数函数的单调性与特殊点.
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据指数函数、对数函数的单调性和特殊点可得a=30.3＞1，b=logπ3＜1，c=log0.32＞0，从而得到a，b，c的大小关系．21cnjy
解答：
解：由于a=30.3＞30=1，b=logπ3＜logππ=1，c=log0.32＞log0.31=0，
故有c＜b＜a，
故选 B．
点评：
本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．
7．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．
若m∥n，m∥α，则n∥α
B．
若α⊥β，m∥α，则m⊥β
C．
若α⊥β，m⊥β，则m∥α
D．
若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
8．（4分）（2011?惠州一模）当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质.
专题：
压轴题；数形结合．
分析：
先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果21*cnjy*com
解答：
解：∵函数y=a﹣x与可化为
函数y=，其底数大于1，是增函数，
又y=logax，当0＜a＜1时是减函数，
两个函数是一增一减，前增后减．21cnjy
故选C．
点评：
本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．
9．（4分）如图是一个正三棱柱体的三视图，该柱体的体积等于（ ）
A．
B．
2
C．
2
D．
10．（4分）（2010?许昌模拟）函数的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
函数零点的判定定理.
分析：
根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：21cnjy
画出函数y=ex，y=的图象，由图得一个交点．
解答：
解：画出函数y=ex，y=的图象：
由图得一个交点，由于图的局限性，
下面从数量关系中找出答案．
∵，21cnjy ，
∴选B．
点评：
超越方程的零点所在区间的判断，往往应用零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，21cnjy
且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有零点．
11．（4分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（ ）
A．
内切
B．
相交
C．
外切
D．
外离
12．（4分）已知函数，若f（2a+1）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）
C．
D．
（﹣3，﹣1）
考点：
二次函数的性质.
专题：
函数的性质及应用．
分析：
先判断函数f（x）的奇偶性和单调性，求参数的取值范围．21cnjy
解答：
解：因为函数，所以作出函数f（x）的图象，则函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增．
则f（2a+1）＞f（a），等价为f（|2a+1|）＞f（|a|），
所以|2a+1|＞|a|，平方得4a2+4a+1＞a2，即3a2+4a+1＞0，
解得．
故选A．
点评：
本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数单调性的应用．21cnjy
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）函数f（x）=lg（x﹣1）的定义域是 {x|x＞1} ．
14．（4分）已知球的某截面的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为 100π ．
考点：
球的体积和表面积.
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
先确定截面圆的半径，再求球的半径，从而可得球的表面积
解答：
解：∵截面的面积为16π，∴截面圆的半径为4，
∵球心O到平面α的距离为3，
∴球的半径为 =521cnjy
∴球的表面积为4π×52=100π
故答案为：100π
点评：
本题考查球的表面积，解题的关键是求球的半径，属于基础题．
15．（4分）圆心为（1，1）且与直线x﹣y=4相切的圆的方程是 （x﹣1）2+（y﹣1）2=8 ．
16．（4分）下列四个判断：
①若f（x）=x2﹣2ax在[1，+∞）上是增函数，则a=1；
②函数y=ln（x2+1）的值域是R；
③函数y=2|x|的最小值是1；
④在同一坐标系中函数y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；
其中正确命题的序号是 ③④ ．
考点：
命题的真假判断与应用.
专题：
函数的性质及应用．21cnjy
分析：
①利用二次函数的性质判断．②利用对数函数的性质判断．③利用指数函数的性质判断．④利用指数函数的图象判断．
解答：
解：①二次函数的对称轴为x=a，要使函数在[1，+∞）上是增函数，则a≤1，所以①错误．
②因为x2+1≥1，所以ln（x2+1）≥ln1=0，即函数的值域为[0，+∞），所以②错误．
③因为|x|≥0，所以y=2|x|≥20=1，所以函数y=2|x|的最小值是1，所以③正确．
④与函数y=2x图象关于y轴对称的函数为y=2﹣x，所以④正确．
故答案为：③④．21cnjy
点评：
本题主要考查常见基本初等函数的性质，要求熟练掌握指数函数，对数函数的图象和性质．
三、解答题（共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．
（1）求A∩B；
（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．
考点：
集合关系中的参数取值问题；交集及其运算.
专题：
探究型．21cnjy
分析：
（1）化简集合B，然后求集合的交集．（2）利用B∪C=C，得到B?C，然后求实数a的取值范围．
解答：
解：（1）由题意知，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…（2分）
所以A∩B={x|2≤x＜3}…（4分）
（2）因为B∪C=C，
所以B?C…（6分）
所以a﹣1≤2，即a≤3…（8分）21cnjy
点评：
本题主要考查集合的基本运算以及利用集合关系求参数问题，比较基础．
18．（8分）已知直线l1：3x+4y+1=0和点A（1，2），设过A点与l1垂直的直线为l2．
（1）求直线l2的方程；
（2）求直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积．
19．（10分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．，求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．
20．（10分）某企业拟投资A、B两个项目，预计投资A项目m万元可获得利润万元；投资B项目n万元可获得利润（40﹣n）2（40﹣n）万元．若该企业用40万元来投资这两个项目，则分别投资多少万元能获得最大利润？最大利润是多少？
21*cnjy*com
21．（10分）直线l经过点P（5，5），且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．
考点：
直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用.
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先画出图象可得到直线l的斜率k存在，然后根据直线的点斜式设出直线方程，再由点到直线的距离可得到，再由Rt△AOC中，d2+AC2=OA2，得到可求出k的值，进而可得到最后答案．21cnjy
解答：
解：如图易知直线l的斜率k存在，
设直线l的方程为y﹣5=k（x﹣5）
圆C：x2+y2=25的圆心为（0，0）
半径r=5，圆心到直线l的距离
在Rt△AOC中，d2+AC2=OA2，21cnjy
∴2k2﹣5k+2=0，21cnjy
∴k=2或l的方程为2x﹣y﹣5=0或x﹣2y+5=0．
21*cnjy*com
点评：
本题主要考查直线方程的点斜式方程、点到直线的距离公式勾股定理的运用．考查综合运用能力和计算能力．
22．（10分）已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
考点：
复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合.
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）由幂函数在（0，+∞）上为增函数且m∈Z求出m的值，然后根据函数式偶函数进一步确定m的值，则函数的解析式可求；21cnjy
（2）把函数f（x）的解析式代入g（x）=loga[f（x）﹣ax]，求出函数g（x）的定义域，由函数g（x）在区间[2，3]上有意义确定出a的范围，然后分类讨论使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2的a的值．21*cnjy*com
解答：
因为1＜a＜2，所以．21*cnjy*com
当0＜a＜1时，g（x）max=g（2）=loga（4﹣2a）=2，
∴a2+2a﹣4=0，解得，
∵0＜a＜1，∴此种情况不存在，
综上，存在实数，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2．
点评：
本题考查了幂函数的单调性和奇偶性，考查了复合函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．21cnjy
