2023年春季北师版数学九年级下册总复习检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·哈尔滨）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数解析式求顶点坐标即可。
2．（2022·兰州）如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 （ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理得∠ADC＝∠B，∠CAD＝90°，由三角形的内角和定理得∠ACD+∠D＝90°，结合∠ACD的度数可得∠ADC的度数，据此解答.
3．（2022·湖州）将抛物线y=x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y=x2+3 B．y=x2-3 C．y=(x+3)2 D．y=(x-3)2
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2向上平移3个单位，
∴ 平移后的抛物线解析式为y=x2+3.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象平移特征，即“左减右加，看x；上加下减，看y”，因为抛物线y=x2向上平移3个单位，只需要在解析式后加平移单位即可得到平移后的抛物线解析式.
4．（2022·北部湾）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则高BC是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米）.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的概念可得BC=AB·sinα，据此计算.
5．（2022·长沙）如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB是的切线，
∴，
，
，
则.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，根据垂直的概念可得∠PAO=∠PBO=90°，然后结合四边形内角和为360°进行计算.
6．（2022·衢州）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：y＝a（x 1）2 a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1， a），
当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a，
∵y的最小值为 4，
∴ a＝ 4，
∴a＝4；
当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a a＝ 4，
解得a＝ ；
综上所述：a的值为4或 .
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴及顶点坐标；再分情况讨论：当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a；当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值为-4；分别得到关于a的方程，解方程求出a的值.
7．（2022·陕西）如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵直角△ADC中，，
∴，
∴直角△ABD中，由勾股定理可得，.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件知BD=2CD=6，则CD=3，根据三角函数的概念可得AD，然后利用勾股定理进行计算.
8．（2022·巴中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点逆时针旋转到如图的位置，的对应点恰好落在直线上，连接，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：对于，
当时，，当时，由得：，
则A（1，0），B（0，），
∴，，
∴，则∠OAB=60°，
由旋转性质得：，，，
∴是等边三角形，
∴，又
∴是等边三角形，
∴
故答案为：B.
【分析】分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B的坐标，求出OA、OB，利用正切三角函数的概念可得tan∠OAB的值，根据特殊角的三角函数值得到∠OAB的度数，由旋转的性质得OA′=OA，OB′=OB，∠AOA′=∠BOB′，推出△A′OA是等边三角形，得到∠AOA′=∠BOB′=60°，结合OB′=OB可得△B′OB为等边三角形，据此解答.
9．（2022·资阳）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴
故答案为：B.
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，则OA=OC=2，AD=OD=1，根据三角函数的概念求出cos∠COD的值，得到∠COD的度数，由勾股定理可得CD，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
10．（2022·资阳）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，∴，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；
∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，
∴，∴，故③正确；
∵二次函数的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为，将代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴当时，；
∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论.
故答案为：A.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得=-1，则ab>0，由图象过点（0，1）可得c=1，据此判断①；根据x=-1对应的函数值大于1可判断②；根据x=1对应的函数值为负可判断③；根据顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2，将（0，1）代入求出a的值，得到对应的解析式，令x=1，求出y的值，然后结合对称性可判断④.
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022·益阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝ ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，
∴∠A+∠B=90°，
∴.
故答案为：.
【分析】利用锐角三角函数的定义，可求出cosB的值.
12．（2022·巴中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，，）
【答案】50
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°， PAB为直角三角形，
∴，
∴BP=
故答案为：50.
【分析】对图形进行点标注，根据题意得∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，则∠PAB=90°，∠APB=53°，根据三角函数的概念可得BP.
13．（2021·盐城）如图，在⊙O内接四边形 中，若 ，则 .
【答案】80
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴ .
故答案为80.
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可得∠ABC+∠ADC=180°，据此计算即可.
14．（2022·湘西）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
当y＝0时， x2＋4x＋5＝0，
x1＝ 1，x2＝5，
∴A（ 1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x＋1）（x 5），
即y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5），
当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，
∴1＋b＝0，
解之：b＝ 1；
当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2 4x 5＝ x＋b有相等的实数解，
∴x2-3x-5-b=0
∴9-4（-5-b）=0
解之：
∴当直线y＝ x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜ 1.
故答案为：＜b＜ 1.
【分析】由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点A，B的坐标；再利用折叠的性质，可求出折叠后的二次函数的解析式；当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，代入计算求出b的值；当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，利用一元二次方程根的判别式，可求出b的值；综上所述可得到b的取值范围.
15．（2022·广州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 （结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，
∵
∴
∵与边AB相切于点D，
∴
∴
的长
故答案为：．
【分析】先求出再利用弧长公式计算求解即可。
16．（2022·贵港）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则.其中正确结论的个数共有 个.
【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，
将(1，0)代入函数解析式中可得a+b+c=0，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
又∵抛物线的对称轴在y轴的左边，且抛物线交y轴的正半轴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
将(-2，0)、(1，0)代入函数解析式中可得，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，将(1，0)代入y=ax2+bx+c中可得a+b+c=0，据此判断③；根据图象可得抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴正半轴，确定出a、b、c的符号，据此判断①；根据抛物线与x轴有两个不同的交点可判断②；将(1，0)、(-2，0)代入函数解析式中可得b=a，c=-2a，表示出am2+bm，(a-2b)，然后作差即可判断④；根据图象确定出函数的增减性，据此判断⑤.
三、解答题（共0题，共72分）
17．（2022·广元）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2.
【答案】解：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2
=2×-2++1-2+4
=-2++1-2+4
=3.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质、二次根式的性质及特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
18．（2022·遂宁）计算：tan30°+|1﹣ |+（π﹣ ）0﹣（ ）﹣1+ .
【答案】解：tan30°+|1﹣ |+（π﹣ ）0﹣（ ）﹣1+
＝ +1﹣ +1﹣3+4
＝3.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值可得原式=+1-+1-3+4，然后根据二次根式的减法法则以及有理数的加减法法则进行计算.
19．（2022·长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为.
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.（假设图中C，A，D三点共线）
【答案】（1）解：，
（2）解：C，A，D三点共线，
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=AB，据此计算；
（2）根据外角的性质可得∠ABC=∠BAD-∠C=15°，则AC=AB，据此解答.
20．（2022·遵义）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角.综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得m，m（A，E，F在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）.
【答案】（1）解：在中，
（2）解：如图，延长交于点，
中，
是等边三角形
答：灯管支架的长度约为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据∠AED的正切函数就可求出AD的值；
（2）延长FC交AB于点G，由AF=AE+EF可得AF，根据三角函数的概念可得AG，由余角的性质可得∠AGF=60°，推出△DGC为等边三角形，然后根据DC=DG=AG-AD进行计算.
21．（2022·徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；垂径定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OA，根据平行线的性质得∠D=∠DBC，根据等腰三角形的性质得∠D=∠ABD，则∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∠BAO=∠ABD=30°，推出∠OAD=90°，据此证明；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，由等腰三角形的性质“等边对等角”得∠OCB=∠OBC=30°，则∠BOC=120°，OH=OB=3，利用勾股定理可得BH，由垂径定理可得BC=2BH，然后根据S阴影=S扇形BOC-S△BOC进行计算.
22．（2022·济宁）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵，
∴，
∴
（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
（2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
【答案】（1）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．
在RtΔABE中，，
同理：，．
．
．
．
．
（2）解：在ΔABC中，
∴
解得：
答：点A到点B的距离为m．
【知识点】推理与论证；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出 ，再求解即可。
23．（2022·泰州）如图，二次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点B(3，1).
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当随x的增大而增大且时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图象相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
【答案】（1）解：二次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点，
，，
解得，，
二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）
（3）解：由题意作图如下：
当时，，
，
，
的边上的高与的边上的高相等，
与的面积相等，
，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）二次函数的解析式为，
对称轴为直线，
由图象知，当随x的增大而增大且时，；
【分析】（1）将B（3，1）分别代入y1=x2+mx+1、y2=中进行计算可得m、k的值，据此可得二次函数以及反比例函数的解析式；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴，然后根据图象，找出二次函数图象在对称轴右侧、且在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）画出示意图，易得A（0，1），根据△ACE与△BDE的面积相等可得CE=DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，令反比例函数解析式中的x=，求出y的值，据此可得点E的坐标.
24．（2022·安顺）如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）延长，交于点，若，求的半径．
【答案】（1）证明：∵ 是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
是 的切线
（2）解：如图，连接 ，
平分 ，
，
∴DE=BE=2
∴OE⊥BD
，
，
，
，
是 的直径，
， ，
即∠ADF=∠BEF=90°，
，
，
，
（3）解：如图，过点 作 ，
由（2）可知 ，
，
，
，
设 的半径为 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
解得： （负值舍去），
的半径为2．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，即∠DAB+∠DBA=90°，根据同弧所对的圆周角相等，结合已知条件得出∠PAD=∠ABD，从而求出∠PAB=90°，即可得证；
(2)连接OE，EB，根据角平分线的定义，以及等腰三角形的性质求出，则得AD∥OE，根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAE=∠DBE，利用垂径定理求出DE=BE=2，进而可得tan∠EBF的值，最后根据三角函数定义求EF长即可；
(3)过点B作BG∥AD，根据平行线分线段成比例的性质，得出，设 的半径为 ，则GB =x，再求出DG长，证明△CGB∽△CDA，根据成比例的性质求出AD=x，在Rt△ADB中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答.
25．（2022·青海）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
图1 图2
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）
【答案】（1）解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，，
∴，解得．
∴所求抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则，
又，
∴．
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，则该直线的解析式为．
故当时，，即，
∴，
即．
（3）解：
设点，由题意，得，
∴，∴，
当时，，
∴，，
当时，，
∴，，
∴当点P的坐标分别为，，，时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 该直线的解析式为，再求解即可；
（3）利用三角形面积公式先求出 ， 再列方程求解即可。
1 / 12023年春季北师版数学九年级下册总复习检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·哈尔滨）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·兰州）如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 （ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
3．（2022·湖州）将抛物线y=x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y=x2+3 B．y=x2-3 C．y=(x+3)2 D．y=(x-3)2
4．（2022·北部湾）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则高BC是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．（2022·长沙）如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·衢州）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
7．（2022·陕西）如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·巴中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点逆时针旋转到如图的位置，的对应点恰好落在直线上，连接，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
9．（2022·资阳）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·资阳）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022·益阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝ ．
12．（2022·巴中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，，）
13．（2021·盐城）如图，在⊙O内接四边形 中，若 ，则 .
14．（2022·湘西）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
15．（2022·广州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 （结果保留）
16．（2022·贵港）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则.其中正确结论的个数共有 个.
三、解答题（共0题，共72分）
17．（2022·广元）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2.
18．（2022·遂宁）计算：tan30°+|1﹣ |+（π﹣ ）0﹣（ ）﹣1+ .
19．（2022·长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为.
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.（假设图中C，A，D三点共线）
20．（2022·遵义）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角.综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得m，m（A，E，F在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）.
21．（2022·徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
22．（2022·济宁）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵，
∴，
∴
（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
（2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
23．（2022·泰州）如图，二次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点B(3，1).
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当随x的增大而增大且时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图象相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
24．（2022·安顺）如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）延长，交于点，若，求的半径．
25．（2022·青海）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
图1 图2
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数解析式求顶点坐标即可。
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理得∠ADC＝∠B，∠CAD＝90°，由三角形的内角和定理得∠ACD+∠D＝90°，结合∠ACD的度数可得∠ADC的度数，据此解答.
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2向上平移3个单位，
∴ 平移后的抛物线解析式为y=x2+3.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象平移特征，即“左减右加，看x；上加下减，看y”，因为抛物线y=x2向上平移3个单位，只需要在解析式后加平移单位即可得到平移后的抛物线解析式.
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米）.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的概念可得BC=AB·sinα，据此计算.
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB是的切线，
∴，
，
，
则.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，根据垂直的概念可得∠PAO=∠PBO=90°，然后结合四边形内角和为360°进行计算.
6．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：y＝a（x 1）2 a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1， a），
当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a，
∵y的最小值为 4，
∴ a＝ 4，
∴a＝4；
当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a a＝ 4，
解得a＝ ；
综上所述：a的值为4或 .
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴及顶点坐标；再分情况讨论：当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a；当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值为-4；分别得到关于a的方程，解方程求出a的值.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵直角△ADC中，，
∴，
∴直角△ABD中，由勾股定理可得，.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件知BD=2CD=6，则CD=3，根据三角函数的概念可得AD，然后利用勾股定理进行计算.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：对于，
当时，，当时，由得：，
则A（1，0），B（0，），
∴，，
∴，则∠OAB=60°，
由旋转性质得：，，，
∴是等边三角形，
∴，又
∴是等边三角形，
∴
故答案为：B.
【分析】分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B的坐标，求出OA、OB，利用正切三角函数的概念可得tan∠OAB的值，根据特殊角的三角函数值得到∠OAB的度数，由旋转的性质得OA′=OA，OB′=OB，∠AOA′=∠BOB′，推出△A′OA是等边三角形，得到∠AOA′=∠BOB′=60°，结合OB′=OB可得△B′OB为等边三角形，据此解答.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴
故答案为：B.
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，则OA=OC=2，AD=OD=1，根据三角函数的概念求出cos∠COD的值，得到∠COD的度数，由勾股定理可得CD，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，∴，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；
∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，
∴，∴，故③正确；
∵二次函数的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为，将代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴当时，；
∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论.
故答案为：A.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得=-1，则ab>0，由图象过点（0，1）可得c=1，据此判断①；根据x=-1对应的函数值大于1可判断②；根据x=1对应的函数值为负可判断③；根据顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2，将（0，1）代入求出a的值，得到对应的解析式，令x=1，求出y的值，然后结合对称性可判断④.
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，
∴∠A+∠B=90°，
∴.
故答案为：.
【分析】利用锐角三角函数的定义，可求出cosB的值.
12．【答案】50
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°， PAB为直角三角形，
∴，
∴BP=
故答案为：50.
【分析】对图形进行点标注，根据题意得∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，则∠PAB=90°，∠APB=53°，根据三角函数的概念可得BP.
13．【答案】80
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴ .
故答案为80.
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可得∠ABC+∠ADC=180°，据此计算即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
当y＝0时， x2＋4x＋5＝0，
x1＝ 1，x2＝5，
∴A（ 1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x＋1）（x 5），
即y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5），
当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，
∴1＋b＝0，
解之：b＝ 1；
当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2 4x 5＝ x＋b有相等的实数解，
∴x2-3x-5-b=0
∴9-4（-5-b）=0
解之：
∴当直线y＝ x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜ 1.
故答案为：＜b＜ 1.
【分析】由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点A，B的坐标；再利用折叠的性质，可求出折叠后的二次函数的解析式；当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，代入计算求出b的值；当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，利用一元二次方程根的判别式，可求出b的值；综上所述可得到b的取值范围.
15．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，
∵
∴
∵与边AB相切于点D，
∴
∴
的长
故答案为：．
【分析】先求出再利用弧长公式计算求解即可。
16．【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，
将(1，0)代入函数解析式中可得a+b+c=0，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
又∵抛物线的对称轴在y轴的左边，且抛物线交y轴的正半轴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
将(-2，0)、(1，0)代入函数解析式中可得，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)，将(1，0)代入y=ax2+bx+c中可得a+b+c=0，据此判断③；根据图象可得抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴正半轴，确定出a、b、c的符号，据此判断①；根据抛物线与x轴有两个不同的交点可判断②；将(1，0)、(-2，0)代入函数解析式中可得b=a，c=-2a，表示出am2+bm，(a-2b)，然后作差即可判断④；根据图象确定出函数的增减性，据此判断⑤.
17．【答案】解：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2
=2×-2++1-2+4
=-2++1-2+4
=3.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质、二次根式的性质及特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
18．【答案】解：tan30°+|1﹣ |+（π﹣ ）0﹣（ ）﹣1+
＝ +1﹣ +1﹣3+4
＝3.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值可得原式=+1-+1-3+4，然后根据二次根式的减法法则以及有理数的加减法法则进行计算.
19．【答案】（1）解：，
（2）解：C，A，D三点共线，
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=AB，据此计算；
（2）根据外角的性质可得∠ABC=∠BAD-∠C=15°，则AC=AB，据此解答.
20．【答案】（1）解：在中，
（2）解：如图，延长交于点，
中，
是等边三角形
答：灯管支架的长度约为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据∠AED的正切函数就可求出AD的值；
（2）延长FC交AB于点G，由AF=AE+EF可得AF，根据三角函数的概念可得AG，由余角的性质可得∠AGF=60°，推出△DGC为等边三角形，然后根据DC=DG=AG-AD进行计算.
21．【答案】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；垂径定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OA，根据平行线的性质得∠D=∠DBC，根据等腰三角形的性质得∠D=∠ABD，则∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∠BAO=∠ABD=30°，推出∠OAD=90°，据此证明；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，由等腰三角形的性质“等边对等角”得∠OCB=∠OBC=30°，则∠BOC=120°，OH=OB=3，利用勾股定理可得BH，由垂径定理可得BC=2BH，然后根据S阴影=S扇形BOC-S△BOC进行计算.
22．【答案】（1）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．
在RtΔABE中，，
同理：，．
．
．
．
．
（2）解：在ΔABC中，
∴
解得：
答：点A到点B的距离为m．
【知识点】推理与论证；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出 ，再求解即可。
23．【答案】（1）解：二次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点，
，，
解得，，
二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）
（3）解：由题意作图如下：
当时，，
，
，
的边上的高与的边上的高相等，
与的面积相等，
，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）二次函数的解析式为，
对称轴为直线，
由图象知，当随x的增大而增大且时，；
【分析】（1）将B（3，1）分别代入y1=x2+mx+1、y2=中进行计算可得m、k的值，据此可得二次函数以及反比例函数的解析式；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴，然后根据图象，找出二次函数图象在对称轴右侧、且在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）画出示意图，易得A（0，1），根据△ACE与△BDE的面积相等可得CE=DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，令反比例函数解析式中的x=，求出y的值，据此可得点E的坐标.
24．【答案】（1）证明：∵ 是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
是 的切线
（2）解：如图，连接 ，
平分 ，
，
∴DE=BE=2
∴OE⊥BD
，
，
，
，
是 的直径，
， ，
即∠ADF=∠BEF=90°，
，
，
，
（3）解：如图，过点 作 ，
由（2）可知 ，
，
，
，
设 的半径为 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
解得： （负值舍去），
的半径为2．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，即∠DAB+∠DBA=90°，根据同弧所对的圆周角相等，结合已知条件得出∠PAD=∠ABD，从而求出∠PAB=90°，即可得证；
(2)连接OE，EB，根据角平分线的定义，以及等腰三角形的性质求出，则得AD∥OE，根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAE=∠DBE，利用垂径定理求出DE=BE=2，进而可得tan∠EBF的值，最后根据三角函数定义求EF长即可；
(3)过点B作BG∥AD，根据平行线分线段成比例的性质，得出，设 的半径为 ，则GB =x，再求出DG长，证明△CGB∽△CDA，根据成比例的性质求出AD=x，在Rt△ADB中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答.
25．【答案】（1）解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，，
∴，解得．
∴所求抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则，
又，
∴．
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，则该直线的解析式为．
故当时，，即，
∴，
即．
（3）解：
设点，由题意，得，
∴，∴，
当时，，
∴，，
当时，，
∴，，
∴当点P的坐标分别为，，，时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 该直线的解析式为，再求解即可；
（3）利用三角形面积公式先求出 ， 再列方程求解即可。
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