2022-2023高一数学期末章节复习——对数运算与对数函数2（北师大版2019）（含解析）

一、单选题
1．设，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不确定
4．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A．16 B． C． D．
6．给出下列四个命题:
①函数的图象过定点;
②已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，则实数或;
③若，则的取值范围是:
④对于函数，其定义域内任意，都满足
其中所有正确命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
8．若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
10．已知函数，，，有，则实数a的可能取值是（ ）
A． B．1 C． D．3
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）．
A．函数的图象恒过定点
B．函数在区间上单调递减
C．函数在区间上的最小值为0
D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是
12．当时，，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知为上的奇函数，且，当时，，则_____.
14．解指数方程：__________.
15．计算：（1）_________．
（2）_________．
（3）_________．
（4）__________．
（5）__________．
16．已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是_____________．
四、解答题
17．如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数的图象交于C，D两点.
（1）试利用相似形的知识，证明O，C，D三点在同一条直线上；
（2）当轴时，求A点的坐标.
18．已知，且，求的最小值．
19．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；
（2）已知，求函数的最大值和最小值.
20．设，，均为正数，且.
（1）试求，，之间的关系.
（2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.
（3）比较，，的大小.
21．若函数的定义域为，求实数k的取值范围.
22．已知函数的图象关于轴对称．
(1)求的值．
(2)若关于的方程无实数解，求实数的取值范围．
(3)若函数，，则是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】先求出，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解.
【详解】因为，
所以，
则，
所以则.
故选：B.
2．A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
3．C
【分析】令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解
【详解】令，
则当时，，当时，；
由，得
考虑到得，
由，得，
即
故选：C
4．D
【分析】设，确定的定义域、单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可.
【详解】设，
因为对任意的恒成立，故的定义域为R，
又
是定义在R上的奇函数，
又均在R上单调递增，
又对于函数，
当时，明显为单调递增函数，
当时，，由于在上单调递减，故为单调递增函数，
又函数为连续函数，故函数在R上单调递增，
在R上单调递增.
由，
可得，
即，
从而，
解得.
故选：D.
5．C
【分析】根据分段函数解析式先求出，再求即可得解.
【详解】因函数，于是得，
所以.
故选：C
6．B
【分析】由指数函数的图象的特点解方程可判断①；由奇函数的定义，解方程可判断②；由对数不等式的解法可判断③；由对数函数的运算性质可判断④．
【详解】解：①函数，则，故①错误；
②因为当时， ，且，所以由函数f（x）是定义在R上的奇函数得，故②错误；
③若，可得，故③正确；
④对于函数
当且仅当取得等号，其定义域内任意都满足，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题关键在于正确运用函数的单调性、奇偶性和对称性，以及函数图象等基本性质.
7．A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识 信息处理能力 阅读理解能力以及指数对数运算.
8．B
【分析】先求得的解析式中参数的值和的取值范围，再去判断其图像形状.
【详解】因为函数在R上是奇函数，
所以，所以，经检验，满足题意，
又因为为减函数，所以，则（）
由
可知的图象关于直线轴对称，排除选项CD ；
又，可知选项A错误.所以的大致图象为B．
故选：B
9．CD
【解析】先将问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，作出图象，进行数形结合即得结果.
【详解】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知，当时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：已知方程的根的情况，求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
10．CD
【分析】将问题转化为当，时，，然后分别求出两函数的最小值，从而可求出a的取值范围，进而可得答案
【详解】，有等价于当，时，．
当时，令，则，因为在上为增函数，在定义域内为增函数，
所以函数在上单调递增，所以．
的图象开口向上且对称轴为，
∴当时，，
∴，解得．
故选：CD．
11．ACD
【分析】代入验证可判断A，由复合函数的单调性判断B，根据绝对值的意义及对数的运算可判断C，由函数单调性建立不等式求解可判断D.
【详解】代入函数解析式，成立，故A正确；
当时，，又，所以，由复合函数单调性可知，时，单调递增，故B错误；
当时，，所以，故C正确；
当时，恒成立，所以由函数为增函数知即可，解得，故D正确.
故选：ACD
12．ABC
【分析】分和，分别作函数与的图象，观察在处的函数值关系可解.
【详解】分别记函数，
由图1知，当时，不满足题意；
当时，如图2，要使时，不等式恒成立，只需满足，即，即，解得.
故选：ABC
13．##
【分析】首先判断函数的周期，再利用对数运算，以及周期公式，化简，最后代入求值.
【详解】因为函数是奇函数，所以，
所以，即，
所以函数是周期的函数，
因为，所以，
所以.
故答案为：
14．或
【分析】直接对方程两边取以3为底的对数，讨论和，解出方程即可.
【详解】由得，即，当即时，显然成立；
当时，，解得；故方程的解为：或.
故答案为：或.
15． 1 ）
【分析】（1）利用对数的运算及换底公式得解；
（2）利用对数的运算性质即可得解；
（3）利用对数的运算性质及换底公式即可得解；
（4）利用对数的运算性质即可得解；
（5）先利用对数的运算性质计算，即可求解。
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）
所以原式
故答案为：1，，，，
【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算，熟悉对数的运算性质及应用是解题的关键，属于一般题.
16．6
【分析】设，根据已知条件求得的值，求得表达式，构造函数，判断的奇偶性，由此求得的最大值与最小值之和.
【详解】设，依题意，所以，
.
，
构造函数，
，
所以为奇函数，图象关于原点对称，在区间上的最大值和最小值的和为.
所以在区间上的最大值和最小值的和为.
故答案为：
17．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）设出、的坐标，解出、的坐标，根据三角形相似可得，，即证出O，C，D三点在同一条直线上．
（2）由平行轴，可知、纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合（1）即可求出的坐标．
【详解】（1）如图所示：
设点、的横坐标分别为、，由题设知，，．则点、纵坐标分别为、．因为、在过点的直线上，，，所以，从而，即．因为点、坐标分别为，，，．由于，，而， ，所以，即，而，所以，，即有．由此可知，即、、在同一条直线上．
（2）由平行于轴知，即得，．
代入得．
由于知，．考虑解得．
于是点的坐标为．
18．-4
【分析】应用换元法先解出 的值，找出和的关系，从而求的最小值．
【详解】解：令，，，．
由得，，
，，
，即，，
，
，
当时，．
【点睛】本题考查换元法的数学思想方法，及用配方法求二次函数最值，属于中档题．
19．（1）；（2），.
【分析】（1）结合指数函数性质首先求的值，再解指数不等式；
（2）通过换元，设，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.
【详解】（1）由题意知定点A的坐标为，
∴解得.
∴.
∴由得，.
∴.
∴.
∴.
∴不等式的解集为.
（2）由得令，则，
.
∴当，即，时，，
当，即，时，.
【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．
20．（1）；（2）3；（3）.
【分析】设，将指数式换成对数式可得，，.
（1）通过对数运算可得，，之间的关系；
（2）由题意得，证明，即可得答案；
（3）利用作差法结合对数运算，即可得答案；
【详解】设，由，，均为正数知.
故取以为底的对数，可得.
∴，，.
（1），
∴，，之间的关系为.
（2）.
由，得，从而.
而，.
由知，
∴.
从而所求正整数为3.
（3）∵
.
而，，，，∴.
又∵，
而，，，，∴.
故有.
【点睛】本题考查指数式与对数式的互化、对数运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
21．或．
【分析】先将函数的定义域为转化为的解集为，再由可得，故有，解方程即可得k的取值.
【详解】函数的定义域为是指当时，解集为．
∵时，，又∵，∴．
从而令，得，则或．
22．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由题意得到，即对任意恒成立，结合对数的运算法则，即可求解；
（2）由（1）根据题意转化为方程无实数解，令得到函数的图象与直线无交点，利用单调性的定义求得在上是减函数，得到，即可求解；
（3）令，则，，分、和，三种情况讨论，结合函数的最小值列出方程，即可求解.
（1）
解：由函数的图象关于轴对称，
所以，
即对任意恒成立，
所以，
所以．
（2）
解：由（1），可知关于的方程无实数解，
即方程无实数解．
令则函数的图象与直线无交点．
，
任取，，且，则，
所以，所以，所以在上是减函数．
因为，所以，
所以实数的取值范围是．
（3）
解：由题意知，，
令，则，，
当，即时，，令，解得；
当，即时，，
令，解得（舍去），
当，即时，，
令，解得舍去．
综上，存在，使得的最小值为．
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