2022-2023高一数学期末章节复习——对数运算与对数函数1（北师大版2019）（含解析）

一、单选题
1．已知是定义在R上的奇函数，当时，，（ ）
A． B．2 C． D．4
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
6．定义在上的函数满足：，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中是偶函数且在区间单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，，，，则下列各式中，恒等的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
12．在同一坐标系中，与的图象如图，则下列关系不正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．时，
三、填空题
13．已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是___________．
14．已知，，且，则______．
15．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
16．函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f（3）＝________.
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
18．（1）已知，，试用表示；
（2）已知（），求．
19．已知a，b，c均为正数，且，求证：；
20．设函数的值域为．
（1）求；
（2）记中的正整数的个数为，若，求n的最小值．
21．已知函数的定义域是.
(1)求实数a的取值范围；
(2)解关于m的不等式.
22．（1）根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；
（2）请你运用（1）中的对数运算性质计算的值；
（3）因为，所以的位数为4．请判断的位数．
（参考数据：，）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】因是定义在上的奇函数，所以，从而可求，再由奇函数的定义即可求出的值.
【详解】解：是定义在上的奇函数，又当时，，
，
，
当时，，
，
故选：A.
2．A
【分析】运用对数的定义和换底公式、以及运算性质，计算即可得到所求值．
【详解】解：若，
可得，，
则
，
故选：A．
3．D
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.
【详解】，，
令，解得：，
根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知函数单调递增，在区间函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是.
故选：D
4．D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
5．B
【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误．
【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：B.
6．C
【分析】先考虑当时不等式的解集，再根据图象的对称性可得时不等式的解集，从而得到正确的选项.
【详解】当时，的解为或，解得，
因为，故的图象关于直线对称，
故当时，的解为，
所以的解集为：.
故选：C.
【点睛】本题考查函数图象的对称性、分段函数构成的不等式的解，后者一般有两类处理方法：（1）根据范围分类讨论；（2）画出分段函数的图象，数形结合解决与分段函数有关的不等式或方程等，本题属于中档题.
7．B
【分析】先换底，然后由对数运算性质可得.
【详解】.
故选：B
8．A
【分析】利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．
【详解】解：是偶函数且在区间上单调递减，满足条件；
是非奇非 偶函数，不满足条件；
是偶函数，但在区间上单调递增，不满足条件；
是奇函数不是偶函数，不合题意.
故选：．
9．BCD
【分析】讨论参数a的取值，根据对数函数的单调性、二次函数的开口及对称轴，判断函数图象是否符合函数性质即可.
【详解】若，则对数函数在上单调递增，二次函数开口向上，对称轴，经过原点，可能为A，不可能为B.
若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点， C、D都不可能.
故选：BCD.
10．BCD
【解析】根据对数的运算法则及对数的性质以及换底公式一一计算可得；
【详解】解：因为，，，，
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：BCD
11．BD
【分析】根据指数式与对数式的互化公式，依次验证每个选项即可得解.
【详解】对于A，可化为：，故不正确；
对于B，可化为：，故正确；
对于C，可化为：，故不正确；
对于D，可化为：，故正确.
故选：BD
12．ABC
【分析】根据图象确定的取值范围，结合图像判断CD选项的正确性.
【详解】由图象可知，，所以AB选项错误.
当时，，所以C选项错误.
当时，，所以，所以D选项正确.
故选：ABC
13．
【分析】由题可判断f(x)为偶函数，再根据单调性即可求解不等式.
【详解】根据题意的图象关于对称，则函数的图象关于y轴对称，即函数为偶函数，
由得，
又由函数在区间上单调递增，
则，
解可得：.
故答案为：.
14．
【解析】将指数式化为对数式可求出，将指数式化为对数式可分别求出，代入可求出，进而可求出的值.
【详解】因为，，
所以，，，
所以，
所以.
故答案为：
15．-3
【分析】当时，代入条件即可得解.
【详解】因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
16．27
【分析】由对数函数的图象所过定点求得点坐标，设出幂函数解析式，代入点的坐标求得幂函数解析式，然后可得函数值．
【详解】由题意，，则，定点A为(2,8)，
设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f（3）＝33＝27.
故答案为：27
17．(1)0
(2)
(3)
【分析】（1）（3）结合指数恒等式、对数运算性质化简；（2）只需结合对数运算性质化简.
（1）
原式；
（2）
解法一：；
解法二： ；
（3）
原式．
18．（1）；（2）.
【分析】（1）利用换底公式即可求解.
（2）利用指数的运算即可求解.
【详解】（1）由换底公式得．
（2）由于，且，所以；
又；
所以．
19．证明见解析
【分析】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证.
【详解】设，则.
∴，
∴，
而，
∴，得证.
20．（1）；（2）11.
【解析】（1）可分析函数单调性求值域；
（2）可算出，与比较得出，得出n的最小值.
【详解】解：（1）当时，，
因为在单调递增，
所以的值域为，即；
（2）因为在上单调递增，
当时，，，
当时，，，
所以n的最小值为11．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，在R上恒成立，由判别式求解即可得答案；
（2）由指数函数在R上单调递减，可得，求解不等式即可得答案.
【详解】（1）解：∵函数的定义域是，
∴在R上恒成立，
∴，解得，
∴实数a的取值范围为.
（2）解：∵，
∴指数函数在R上单调递减，
∴，解得或，
所以原不等式的解集为.
22．（1）证明见解析；（2）；（3）6689．
【分析】（1）设，对数式改写为指数式，等式两边次方，然后指数式改写为对数式即得；
（2）直接利用（1）中性质化简对数后计算即可得；
（3），取常用对数，利用（1）求得后可得的位数．
【详解】（1） 设，则，所以，
所以，得证．
（2）．
（3）设，则，
所以，又，
所以N有6689位数，即的位数为6689．
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