2022-2023高一数学期末章节复习——函数2（北师大版2019）（含解析）

一、单选题
1．已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
2．已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（1，4）
3．定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论：
①；
②；
③函数的图象关于原点对称；
④函数的图象关于点对称；
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函数，都是上的奇函数，不等式与的解集分别为，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
二、多选题
9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的定义域为
C．
D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立
10．已知偶函数，有，时，成立，则对任意的恒成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
12．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递减 B．单调递增区间为
C．最大值为2 D．没有最小值
三、填空题
13．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为___________.
14．设函数f（x），a∈R的最大值为M，最小值为m，则M+m＝__．
15．函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为________．
16．定义：对于函数，若定义域内存在实数满足：，则称为“局部奇函数”．若是定义在区间上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是________．
四、解答题
17．已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
(1)求的值；
(2)证明：是定义域上的减函数；
(3)若，解不等式.
18．已知______，且函数.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为.
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.
19．已知函数是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．
(1)求在R上的解析式；
(2)判断在(0,1)的单调性，并给出证明．
20．若函数的定义域为，求的定义域．
21．已知函数为上的偶函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)求在的最大值.
22．已知是定义在R上的奇函数，当时，．
（1）求时，函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
（3）解不等式．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
2．A
【分析】将问题化为在对应定义域内，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.
【详解】由题意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可．
当时，，
由对勾函数的性质得：在[3,4]上单调递增，故．
当时，单调递增，则，
所以，可得．
故选：A
3．C
【分析】由题可知，将化为，再根据定义域和单调性即可求解.
【详解】∵是偶函数，
，
故可变形为，
∵在区间上单调递减，
故.
故选：C.
4．C
【解析】令，①：根据求解出的值并判断；②：根据为奇函数可知，化简此式并进行判断；根据与的图象关系确定出关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.
【详解】令，
①因为为上的奇函数，所以，所以，故正确；
②因为为上的奇函数，所以，所以，即，故正确；
因为的图象由的图象向左平移一个单位得到的，
又的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故③错误④正确，
所以正确的有：①②④，
故选：C.
【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：
（1）若为偶函数，则函数的图象关于直线对称；
（2）若为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称.
5．C
【分析】把所解不等式利用有理数乘法的符号法则转化成不等式组，再借助奇函数的性质及给定的条件即可作答.
【详解】不等式化为：或，
由已知，解得，而，于是得，
因函数，都是上的奇函数，解得，即，变形为，从而得，
综上得或，
所以不等式的解集是.
故选：C
6．C
【分析】由可求得，得出单调递增，根据单调性即可得出大小.
【详解】由可得，∴，
∴，即.由此可知函数在上单调递增.
而由换底公式可得，，，
∵，∴，于是，
又∵，∴，故，，的大小关系是.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小.
7．B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
8．B
【分析】根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由可得到相应的不等式组，即可求得答案.
【详解】因为是偶函数且在上单调递增，，故，
所以当或时，，当时，．
所以等价于或 ，
解得或，所以不等式的解集为，
故选：B．
9．BCD
【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.
【详解】因为函数，所以的值城为，故A不正确；
因为函数，所以的定义城为，故B正确；
因为，所以，故C正确；
对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，
故选：BCD.
10．AD
【分析】由题意可判断函数在为单调递减函数，在上单调递增函数，只需恒成立,分离参数，利用基本不等式即可求出的取值，再结合必要不充分条件的概念可解.
【详解】当时，成立，
则函数在为单调递减函数，又函数为偶函数，
则函数在上单调递增函数，
对任意的恒成立，
所以，
当时，不等式恒成立，
当时，，
又，
当且仅当时取等号，
则，即，解得，
由必要不充分条件的概念可知选项A、D正确，选项B、C错误.
故选：AD
11．AB
【分析】根据函数奇偶性的定义分别判断函数的奇偶性，接着判断函数的单调性，最后得到正确选项即可.
【详解】因为，定义域为，且，
所以函数是奇函数，
设，则，
所以时，，
又因为函数是奇函数，
所以函数在上单调递减，故选项A正确；
由函数的图像可知：函数关于原点对称且单调递减，
故选项B正确；
而选项中的函数是非奇非偶函数，故选项C错误；
对于函数，定义域为，定义域关于原点对称，
，所以函数是奇函数，
设，则
，
所以时，，所以函数在上单调递增，
又因为函数是奇函数，，所以函数在上也单调递增，但是不满足题意.
故选：AB.
12．ABC
【分析】先求出函数定义域，令，根据二次函数的性质，由已知解析式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】由得，即函数的定义域为，
令，则的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故A，B正确；
，当x＝－3时，，当x＝1时，，则，故C正确，D错误.
故选：ABC.
13．
【分析】分类讨论，根据函数解析式得到函数在上的单调性，再根据已知列式可得结果.
【详解】当时，在上单调递增，故在区间上单调递增，不合题意；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在区间上单调递减，则，；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在区间上单调递减，则，；
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
14．1
【分析】令g（x）＝f（x），易判断g（x）为奇函数，由奇函数的性质，可得（M）+（m）＝0，即可求出M+m的值.
【详解】解：f（x），
令g（x）＝f（x），
则g（﹣x）g（x），所以g（x）为奇函数，
所以g（x）的最大最小值分别为M，m，
由奇函数的性质，可得（M）+（m）＝0，
所以M+m＝1．
故答案为：1．
15．
【分析】首先求得函数的解析式，然后利用函数的解析式分类讨论即可求得最终结果．
【详解】解：
当x∈时，设线段所在直线的方程为，线段过点（﹣1，0），（0，1），
根据一次函数解析式的特点，可得出方程组 ，
解得 ．故当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝x+1；
同理当x∈（0，1]时，f（x）＝x1；
当x∈[﹣1，0）时，不等式f（x）﹣f（﹣x）1可化为：
x+1﹣（x1）1，解得：x，∴﹣1≤x＜0．
当x∈（0，1]时，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化为：
x1﹣（x+1）1，解得：，∴x≤1，
综上所述，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集为 ．
故答案为：
16．
【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数是定义在上的“局部奇函数”，只需解决方程有解即可．
【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：
若函数是的“局部奇函数”，
则方程有解，即有解；
变形可得，
即有解即可.
设，，易知为偶函数且在上单调递增，
所以可得，所以有解时，．
故答案为：．
17．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）令即可求得结果；
（2）设，由即可证得结论；
（3）将所求不等式化为，结合单调性和定义域的要求即可构造不等式组求得结果.
（1）
令，则，解得：；
（2）
设，则，
，，，是定义域上的减函数；
（3）
由得：，即，
又，，
是定义域上的减函数，，解得：；
又，，
的解集为.
【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的函数值的求解、单调性证明以及利用单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的基本思路是将所求不等式化为同一函数的两个函数值之间的比较问题，进而通过函数的单调性得到自变量的大小关系.
18．(1)选择条件见解析，a＝2，b＝0；为奇函数，证明见解析；
(2).
【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数；
若选择②，利用单调性得到关于的方程，求解即可；
将的值代入到的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性；
（2）将题中条件转化为“的值域是的值域的子集”即可求解.
（1）
选择①.
由在上是偶函数，
得，且，所以a＝2，b＝0.
所以.
选择②.
当时，在上单调递增，则，解得，
所以.
为奇函数.
证明如下：的定义域为R.
因为，所以为奇函数.
（2）
当时，，因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；
当时，因为为奇函数，所以；
当x＝0时，，所以的值域为.
因为在上单调递减，所以函数的值域是.
因为对任意的，总存在，使得成立，
所以，所以,解得.
所以实数c的取值范围是.
19．(1)；
(2)在上是减函数，证明见解析.
【分析】（1）根据奇函数的性质进行转化求解析式即可．
（2）根据函数单调性的定义进行判断单调性．
（1）
∵是定义在R上的奇函数，
∴＝0，又当x＞0时，．
∴当x＜0时，则x＞0，则＝x1＝，则＝x1（x＜0），
综上，．
（2）
设，则＝＝(1)＝，
∵，
∴，0＜＜1，＜0，则，即，
∴函数在(0,1)上是减函数．
20．分类讨论，答案见解析.
【分析】根据复合函数的定义域的求法，建立不等式组即可得到结论．
【详解】解：∴的定义域为，∴中的自变量应满足
即
当，即 时， ；当 ，即 时， ，如图：
当，即时，，如图
综上所述，当时，的定义域为；
当时，的定义域为；当时，函数不存在．
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，根据复合函数的定义域之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；
（2）根据偶函数的性质，结合函数在单调递减，在单调递增，讨论的取值范围，进行求解即可.
（1）
设，则，且有，
由于函数为上的偶函数，则，
因此时，，
所以的解析式为；
（2）
由函数在单调递减，函数在单调递增，可知函数在单调递减，在单调递增.
当，即时，在单调递减，故；
当，即时，在单调递减，在单调递增，
若，即，则；
若，即，
则，
当时，在单调递增，故，
综上所述，.
22．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，即可得对应解析式；
（2）作出函数的图像，利用数形结合思想，列出关于的不等式组求解；
（3）由（1）知分段函数的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可.
【详解】（1）设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，，
（2）作出函数的图像，如图所示：
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
（3）由（1）知，解不等式，
等价于或，解得：或
综上可知，不等式的解集为
【点睛】易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题.
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