第一章 直角三角形的边角关系单元检测卷（含解析）

第一章 直角三角形的边角关系
一、单选题
1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）
A． B．1 C． D．
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，
则sinA的值为（ ）．
A． B．
C． D．
3．若α为锐角，且，则α等于（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝（　　）
A． B． C． D．
7．在中，，则边长为（ ）
A．7 B．8 C．7或17 D．8或17
8．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
9．如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
10．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
11．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（　　）
A． B． C． D．
13．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】
A．米 B．12米 C．米 D．10米
14．如图，小明想测量斜坡旁一棵垂直于地面的树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，斜坡顶点到地面的垂直高度，则树的高度是（ ）
A．20 B．30 C．30 D．40
15．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为( )米
A． B． C． D．24
16．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为( )
A．(40＋40)海里 B．(80)海里
C．(40＋20)海里 D．80海里
17．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（　　）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
二、填空题
18．已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ___________．
19．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
20．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．
21．如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是____米（结果保留根号）.
22．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）
23．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．
24．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号）
25．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）
26．如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为_______米(结果保留一位小数．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)．
27．如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为______米．
（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）
三、解答题
28．计算：
（1）cos30°+sin45°；
（2）6tan230°﹣sin 60°﹣2sin 45°．
29．计算：
(1)(－1)2－2cos30°＋＋(－2017)0；
(2)＋4sin60°.
30．计算：sin 45°＋cos230°-＋2sin 60°．
31．先化简再求值：其中.
32．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛位于它的北偏东方向．如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长．
（参考数据：，，，，，）
33．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者．在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米．为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数．参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4）
34．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°.
(1)求BD和AD的长；
(2)求tanC的值．
35．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．
36．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
37．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）
（1）求B，C的距离．
（2）通过计算，判断此轿车是否超速．
38．某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高（结果保留根号）
39．如图，一艘渔船正以海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
40．如图所示，嘉嘉在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为米，，求旗杆AB的高度？
41．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）
42．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）
43．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
44．2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离.

45．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是米，坡面的倾斜角，在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.
（参考数据：，）
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参考答案：
1．B
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【详解】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
2．C
【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA= 求解即可．
【详解】∵∠C=90°，BC=3，AC=4
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可．
3．B
【分析】根据得出α的值．
【详解】解：∵
∴α-10°=60°，
即α=70°．
故选B．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
4．A
【详解】试题解析：∵cosA=，tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°-45°-60°=75°．
∴△ABC为锐角三角形．
故选A．
5．B
【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，
∴斜边为，
∴cos∠ABC=，
故选：B．
6．B
【详解】过C作CD⊥AB，
根据勾股定理得： AC=AB= = ，
S△ABC=4---=，
即 CD AB=，所以 CD =，
解得：CD= ，
则sin∠CAB== ，
故选B．
7．C
【分析】由的余弦值得到它的度数，再分情况讨论，画出图象，利用锐角三角函数求出BC的长．
【详解】解：∵，
∴，
如图，当是钝角三角形时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，当是锐角三角形时，
．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法，需要注意进行分类讨论．
8．C
【详解】试题解析：∵sin30°=cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
故选C．
9．B
【分析】过D作EF⊥，交于E，交于F，可得DE=1，DF=2．再证明，可得DE=CF=1，然后根据勾股定理可得，再由锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：过D作EF⊥，交于E，交于F，
∵，
∴EF与都垂直，
∴DE=1，DF=2．
∵四边形ABCD是正方形，
又
∴∠α=∠CDF，
∴DE=CF=1，
∴在中，
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正方形的性质，平行线间的距离，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10．A
【详解】锐角三角函数的定义．
【分析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．故选A．
11．A
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF=x，
∴tan∠BDE= .
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
12．B
【详解】解：∵AC与BC互相垂直，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中 cos∠BCD=，
BC=.
故选B．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
13．A
【分析】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质．
【详解】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°．
作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30°=2，
在Rt△CED中，CE=2，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
∴DE=4．
∴BD=BF+EF+ED=12+2．
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，
∴在Rt△ABD中，AB=BD=．
故选A．
14．C
【分析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】在Rt△CDE中，
∵CD=20m，DE=10m，
∴sin∠DCE=，
∴∠DCE=30°．
∵∠ACB=60°，DF∥AE，
∴∠BGF=60°
∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．
∵∠BDF=30°，
∴∠DBF=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BC=（m），
∴AB=BC sin60°=20×=30（m）．
故选C．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
15．B
【分析】根据斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度为12米，可得AE=12，BE=6，然后利用勾股定理求出AB的长度．
【详解】解：如图,过B作BE⊥AD于点E，
∵斜面坡度为1：2，AE=12，
∴BE=6，
在Rt△ABC中， ．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
16．A
【详解】试题分析：根据题意可得：△APC为等腰直角三角形，则AC=PC=40海里，根据Rt△BCP的性质可得：BC=40海里，则AB=AC+BC=(40+40)海里，故选A．
17．A
【详解】如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE=PQ=2，CQ=PE，
∵i=，
∴设CQ=4x、BQ=3x，
由BQ +CQ =BC 可得(4x) +(3x) =102，
解得：x=2或x= 2(舍)，
则CQ=PE=8，BQ=6，
∴DP=DE+PE=11，
在Rt△ADP中,∵AP=≈13.1，
∴AB=AP BQ PQ=13.1 6 2=5.1，
故选A.
点睛：此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
18．75°##75度
【分析】根据非负数的性质得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可．
【详解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0，
∴α=30°，β=45°，
∴α+β=75°．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
19．2
【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
【详解】如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为2
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
20．
【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】如图所示：
∵∠C=90°，tanA=，
∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，
则sinB=.
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题的关键．
21．(15+15)
【分析】过点B作BM⊥AC，垂足为E，则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩形，继而证明∠CEB=∠CBE，从而可得CE长，在Rt△ABE中，利用tan∠ABE=，求出AE长，继而可得AC长.
【详解】过点B作BM⊥AC，垂足为E，
则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩形，
∴BE=CD=15，
∵∠CEB=90°，
∴∠CEB=90°-∠CBE=45°=∠CBE，
∴CE=BE=15，
在Rt△ABE中，tan∠ABE=，
即，
∴AE=15，
∴AC=AE+CE=15+15，
即教学楼AC的高度是(15+15)米，
故答案为(15+15).
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解题的关键.
22．40
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系即可得出答案．
【详解】解:由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA=tan30°=，
解得：CD=40（m），
故答案为40．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．
23．
【详解】【分析】在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．
【详解】由于，
，，
在中，，
米，
在，，
米，
米，
故答案为.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．
24．
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，
∴CE=，
∴DF=CE=，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
25．100（1+）
【详解】分析：如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可．
详解：如图，
∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A=60°，∠B=45°，
在Rt△ACD中，∵tanA=，
∴AD==100，
在Rt△BCD中，BD=CD=100，
∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．
答：A、B两点间的距离为100（1+）米．
故答案为100（1+）．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
26．15.3．
【详解】解：如图，在Rt△ACD中，AD=CD tan54°≈10×1.3764=13.764米，AC≈1.5+13.764≈15.3米．
故答案为15.3米．
27．137．
【详解】设AB=x米，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，
∴BC=AB=x米，则BD=BC+CD=x+100（米），
在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，
∴tan∠ADB=，即，
解得：x=50+50≈137，
即建筑物AB的高度约为137米．
故答案为137．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
28．（1）；（2）.
【分析】直接代入特殊角度的三角函数值进行运算即可.
【详解】解：（1）原式＝×+×＝；
（2）原式＝6×﹣×﹣2×＝．
【点睛】本题考查了含有特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值是解题关键.
29．(1) 2；(2) 0.
【详解】试题分析：(1)先求出式子每一项的值，然后相加即可.
(2)先计算每一个特殊角的三角函数值，然后代入式子求值即可.
试题解析：(1) 原式＝1－2×＋＋1＝1－＋＋1＝2；
(2) 原式＝＋4×＝－2＋2＝0.
30．
【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
31．
【分析】先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法转化为乘法，约分化简即可.
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练应用分式的基本性质进行约分和通分是解题的关键.
32．还需要航行的距离的长为20.4海里．
【分析】根据题意得：∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD=27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．
【详解】解：由题知：，，．
在中，，
，
（海里）．
在中，，
，
（海里）．
答：还需要航行的距离的长为20.4海里．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度是解决问题的关键．
33．云梯需要继续上升的高度约为9米．
【分析】过点作于点，于点，在中，求得AD的长；在中，求得CD的长，根据即可求得BC的长．
【详解】过点作于点，于点，
∵，
∴，
∴四边形为矩形．
∴米．
∴（米），
由题意可知，，，
∵，
∴，
在中，，
∴（米）．
在中，，
∴（米）．
∴（米）．
答：云梯需要继续上升的高度约为9米．
【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．
34．(1) BD＝3，AD＝3；(2) tanC＝.
【详解】（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°．
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝AB·sin30°＝3，
∴．
（2），
在Rt△BDC中，．
35．（1）证明见解析；（2）△ABC的面积为48.
【分析】（1）在直角三角形中，表示，根据它们相等，即可得出结论
（2）利用和勾股定理表示出线段长，根据，求出长
【详解】(1)∵AD是BC上的高
∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵=，=
又已知
∴=．
∴AC=BD．
(2)在Rt△ADC中，，故可设AD=12k，AC=13k．
∴CD==5k．
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12， ∴18k=12．
∴k=．
∴AD=12k=12=8．
36．2
【分析】过B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．
【详解】解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD=AB sin∠BAD=4×=（千米），
∵△BCD中，∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD=（千米），
∴BC=BD=（千米）．
答：B，C两地的距离是千米．
【点睛】此题考查了方向角问题和解直角三角形的应用．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
37．（1）20m；（2）没有超速．
【分析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，由BD-CD求出BC的长即可；
（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断．
【详解】解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，
∴tan31°=，即BD==40m，
在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，
∴tan50°=，即CD==20m，
∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m，
则B，C的距离为20m；
（2）根据题意得：20÷2=10m/s＜15m/s，
则此轿车没有超速．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
38．立柱CD的高为（15﹣）米．
【详解】分析：作CH⊥AB于H，得到 BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义分别用x表示出HC、ED，根据正切的定义列出方程，解方程即可．
详解：作CH⊥AB于H，
则四边形HBDC为矩形，
∴BD=CH，
由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，
设CD=x米，则AH=（30-x）米，
在Rt△AHC中，HC=，
则BD=CH=（30-x），
∴ED=（30-x）-10，
在Rt△CDE中，=tan∠CED，即，
解得，x=15-，
答：立柱CD的高为（15-）米．
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键．
39．（1）小岛C到航线AB的距离为16海里；（2）这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能；渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区．
【分析】（1）作CD⊥AB于D，由题意得出∠CAB＝∠ACB＝30°，从而得出AB＝CB＝，在Rt△BCD中，求得CD的长即可．
（2）利用勾股定理得出MD的长进而得出答案．
【详解】（1）作CD⊥AB交AB于点D，如图1所示
由题意可知：∠CAB＝90°-60°＝30°，∠CBD＝90°-30°＝60°
∴∠ACB＝∠CBD-∠CAB＝30°
∴∠CAB＝∠ACB
∵∴AB＝CB＝＝
在Rt△CBD中
∴小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）∵CD＝16＜20
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能
设M为开始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图2所示：
即CM＝CN＝20
∵CD⊥AB
∴DM＝DN
在Rt△CMD中
DM＝
∴MN＝2DM＝24
∴可穿过危险区的时间为：小时
即分钟
∴渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区．
【点睛】本题考查了方位角、勾股定理、等腰三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌方位角、握勾股定理、等腰三角形、三角函数的性质，从而完成求解．
40．旗杆的高度为8米
【分析】延长交于点，过点作于点，解直角三角形求出的长，再由同一时刻物高与影长成正比得出的长，然后根据可知，根据相似三角形的对应边成比例即可得出的长．
【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点，
∵米，，，
∴米，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，解得（米），
∵米，
∴（米），
∵，
，
∴，
∴，即，
解得（米），
答：旗杆的高度为8米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用、解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
41．（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）宣传牌CD高约2.7米.
【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH.
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度.
【详解】解：（1）过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=，
∴∠BAH=30°
∴BH=AB=5（米）.
答：点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）由（1）得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15.
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15.
在Rt△ADE中，
∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15.
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7（米）.
答：宣传牌CD高约2.7米.
42．7
【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．
【详解】假设点D移到D’的位置时，恰好∠α=39°，过D点作DE⊥AC于E点，作D’E⊥AC于E’
∵CD=12，∠DCE=60°
∴DE=CD·sin60°=6，CE=CD·cos60°=6
∵DE⊥AC，D’E’⊥AC，DD’∥CE’
∴四边形DEE’D’是矩形
∴DE=D’E’=6，
∵∠D’CE’=39°
∴CE′=≈13
∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）．
即
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
【点睛】本题考查了解直角三角的应用，锐角三角函数是解题的关键．
43．OC＝100米；PB＝米．
【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAB，利用60°的三角函数值以及坡度，求出OC，再分别表示出CF和PF，然后根据两者之间的关系，列方程求解即可．
【详解】解：过点P作PF⊥OC，垂足为F．
在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA tan∠OAC＝100（米），
由坡度＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x．
∴PF＝OB＝100+2x，CF＝100﹣x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，
∴PF＝CF，即100+2x＝100﹣x，
∴x＝，即PB＝米．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
44．
【详解】分析：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=AD=700，DE=AE=700，则BE=300，所以DF=300，BF=700，再在Rt△CDF中计算出CF，然后计算BF和CF的和即可．
详解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，
在Rt△ADE中，AE=AD=×1400=700，
DE=AE=700，
∴BE=AB-AE=1000-700=300，
∴DF=300，BF=700，
在Rt△CDF中，CF=DF=×300=100，
∴BC=700+100=800．
答：选手飞行的水平距离BC为800m．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
45．该建筑物需要拆除.
【详解】分析：根据正切的定义分别求出AB、DB的长，结合图形求出DH，比较即可．
详解：由题意得，米，米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴ （米），
∵米米，
∴该建筑物需要拆除.
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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