2022——2023高一数学期末考试章章通关练——第四章 对数运算与对数函数1（含解析）

一、单选题
1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
2．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
4．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W 信道内信号的平均功率S 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A．20% B．23% C．28% D．50%
5．函数y＝的定义域为（ ）
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
6．已知，则
A． B． C． D．
7．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
8．设，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知 则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知实数x y z满足.则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选）有以下四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
12．若10a＝4，10b＝25，则（ ）
A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞8lg22 D．b﹣a＜lg6
三、填空题
13．已知，则实数a的取值范围为______．
14．已知，，且，则______．
15．若，则________．
16．对数型函数的值域为，且在上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．
四、解答题
17．已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
18．设实数a，b，c为正数，且满足，，，求实数a，b，c的值．
19．已知函数（，）
（1）当时，求函数的定义域；
（2）当时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围.
20．计算：（1）；
（2）.
21．2013年9月22日，为应对台风“天兔”侵袭，我校食堂做好了充分准备，储备了至少三天的食物，食物在储藏时，有些易于保存，而有些却需要适当处理，如牛奶等，它们的保鲜时间会因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192时，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42时.
（1）写出保鲜时间（单位：时）关于储藏温度（单位：℃）的函数解析式；
（2）请运用（1）的结论计算，若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为多少？（精确到整数）.（参考数据：）
22．（1）计算：；
（2）设，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项.
【详解】对于A：定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项A不正确；
对于B：定义域为，的定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项B不正确；
对于C：的定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项C不正确；
对于D：由可得，解得：，所以的定义域为，由可得，所以函数的定义域为且，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D正确，
故选：D.
2．D
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.
【详解】，，
令，解得：，
根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知函数单调递增，在区间函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是.
故选：D
3．C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
4．B
【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.
【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了
.
故选：B.
5．A
【分析】根据具体函数的定义域建立不等式组，解之可得选项.
【详解】解：由题意得，解得1故选：A.
6．B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
7．B
【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误．
【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：B.
8．B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
9．ABC
【分析】由题意可知，，根据对数函数的单调性可知D错误；，可知A正确；利用基本不等式可知，化简整理可知B正确；在根据，利用不等式的性质，即可判断C正确.
【详解】由题可知，，又，所以 ，D错误；
因为，有．所以A正确；
由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；
又因为，，所以，故，B正确；
由于，，所以，C正确.
故选：ABC．
10．ABC
【分析】对等式进行变形，构造函数，画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】设，，则，，，画出函数图象，如图所示：当时，；当时，；当时，；
故选：ABC
11．AB
【分析】利用对数的恒等式与对数式与指数式的互化可判断出各等式的正误.
【详解】因为 ，，，所以①②均正确；③中若，则 ，故③错误；④中，而没有意义，故④错误.
故选AB.
【点睛】本题考查对数式正误的判断，解题时要熟悉对数恒等式的应用，同时也要掌握对数式与指数式的互化，考查计算能力，属于基础题.
12．AC
【分析】由指对互化求出，进而利用对数的运算法则求出a+b和b﹣a的值，可判断ABD，且，可判断C.
【详解】解：∵，∴，∴，所以选项A正确；，选项BD错误；所以C正确.
故选：AC.
13．.
【分析】分和两种情况求解即可.
【详解】解：当时，由，可得，解得；
当时，，可得，得，不满足，故无解.
综上所述a的取值范围为：.
故答案为：.
14．
【解析】将指数式化为对数式可求出，将指数式化为对数式可分别求出，代入可求出，进而可求出的值.
【详解】因为，，
所以，，，
所以，
所以.
故答案为：
15．64
【分析】利用对数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求解.
【详解】
.
故答案为：64
【点睛】本题考查了对数的运算性质以及指数式与对数式的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
16．（答案不唯一，满足，，即可）
【分析】根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.
【详解】∵函数的值域为，且在上单调递增，
∴满足题意的一个函数是．
故答案为：（答案不唯一）
17．(1)见解析；
(2)﹒
【分析】(1)由对数函数的性质，得函数的定义域，再由，能求出函数的值域．
(2)由题设知：当时，函数有最小值，由此能求的值．
【详解】（1）由，得，
函数的定义域，
，
设，
，又，
则．
当时，，值域为．
当时，，值域为．
（2）由题设及(1)知：
当时，函数有最小值，
，
解得．
18．
【分析】利用对数式指数式互化及条件即求.
【详解】由得，即，
由得，又，
∴.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）利用真数大于0，即可求解定义域；（2）令，由题意可知，令，求解的取值范围，然后可求，从而求出的取值范围.
【详解】（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；
（2）由题意知，（），定义域为，易知为上的增函数，
设，，设，，故，，因为单调递增，则.
因为存在使得不等式成立故：,即.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）根据指数幂运算求解即可；
（2）根据对数运算法则运算求解即可.
【详解】解：（1）原式.
（2）原式
.
21．（1）；（2）14℃.
【分析】（1）运用代入法进行求解即可；
（2）由（1）的函数解析式，根据题意得到不等式，利用换底公式进行求解即可.
【详解】（1）设（且），则有，，.
（2）依题意有，
若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为14℃.
22．（1）4；（2）2．
【分析】（1）根据指数的运算性质直接计算即可；
（2）通过换底公式可得，，进而可得解.
【详解】（1）原式．
（2）∵，
∴．同理可得，，
则，，
∴．
∴．
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