北师大版九年级数学下册第2章二次函数 单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册第2章二次函数 单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 923.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-20 21:24:30 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册单元测试卷
第2章 二次函数
时间：120分 总分150分
一、选择题（每题4分，共32分）
1．抛物线的顶点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
2．若二次函数的图像开口向下，则a的值可能是 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
3．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 （ ）
A．3或1 B．或1 C．3或 D．或
4．已知二次函数，若，且，则它的图象可能是 （ ）
5．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点在直线上，则k的值为 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
6．某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
（ ）
A．6s B．7s C．8s D．9s
7．二次函数的部分对应值如下表，则二次函数在时，y等于 （ ）
x 0 1 3 5
y 7 0 7
A．0 B． C． D．
8．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，则h的值为（ ）
A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6
二、填空题（每题4分，共32分）
9．如果关于x的函数是二次函数，则m＝_____．
10．抛物线，对称轴为直线，且经过点，则的值为___________．
11．已知抛物线与轴只有一个公共点，则的值为________．
12．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为______．
13．已知函数，若，则函数的最大值是_____________．
14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则当时，小球的高度为______m．
15．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________．
16．如图，二次函数的图像，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；……，若在这个图像连续旋转后的所得图像上，则_______．
三、解答题（17－18题每题8分，其余每题10分，共86分）
17．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-4），且过点（2，-3）.求该函数的解析式.
18．已知二次函数的图像经过点．
(1)求实数的值：
(2)请你判断点是否在这个二次函数图像上？
19．某公司销售一种蚕豆，已知该蚕豆的成本是元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于元．经过市场调查发现，某天该蚕豆的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）的函数关系如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求这一天销售蚕豆获得的利润的最大值．
20．已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．某百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．
(1)假设每件童装降价元，商场每天销售这种童装的利润为元，请写出与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
22．姐弟二人在院子里玩跳绳，跳绳甩到高处形状视为一条抛物线，姐姐先将绳子一端系在院墙的点处，（如图所示建立平面直角坐标系），随后姐姐站在距离院墙有6米的点处，她的手始终在开始甩绳，弟弟在绳子正下方玩．
(1)当跳起后，总高度1.5米的弟弟距离1米时，绳子刚好碰到他的头顶，求此时抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，弟弟想让绳子与他跳起后的头顶垂直距离至少0.1米，至多0.3米，求弟弟与院墙的距离x的取值范围．
23．某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制．该企业第天生产的防护服数量为件，与之间的关系可以用图中的函数图像来刻画．
(1)当时，与的函数关系式为___________；
(2)由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成木前5天为每件50元，从第6天起每件服装的成本比前一天增加2元，设第x天创造的利润为w元，那么第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）
24．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求点、的坐标，
(2)求抛物线的对称轴；
(3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，抛物线，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A坐标为，点B坐标为，F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于点E．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，是否为定值？如果是：请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
试卷第2页，共6页
参考答案：
1．
解：的顶点坐标为，
故选：B
2．
解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴选项中符合题意，
故选：D．
3．
解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线，与轴的一个交点是，
则该函数与轴的另一个交点是，
即当时，时，，，
故关于的一元二次方程的解为，，
故选：B．
4．
解：，即时，，
，且，
且，
二次函数开口向上，与y轴交于负半轴，只有A选项符合，
故选：A．
5．
解：∵二次函数的顶点坐标为（k，k+1），
∴将的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后顶点坐标为．
根据顶点在直线上，得，
解得．
故选C．
6．
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴当时，升到最高点，
故选：A.
7．
因为对称点，，
所以对称轴为直线，
所以抛物线的顶点坐标为，
设解析式为，
把代入解析式，，
解得，
所以解析式，
当是，，
故选：D．
8．
解：由题意可得，
抛物线的顶点为，最小值为1，
∵当函数值y的最小值为，
∴有两种情况对称轴 ，
当时，
，时y随x增大而减小，
∴时取最小，
即 ，解得，（不符合题意舍去），
时，
，时y随x增大而增大，
∴时取最小，
即 ，解得，（不符合题意舍去），
综上所述或，
故选D．
9．
解：由题意得：且，
∴且，
∴，
故答案为：1．
10．
∵对称轴为直线，
∴和的函数值相同，
即，
故答案为：．
11．
解：∵抛物线与轴只有一个公共点，
∴有两个相等的实数根，
∴ ，
解得，
故答案为：．
12．
解：二次函数的，因此在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大，
又∵当时，y随x的增大而增大，
∴，
故答案为：．
13．
解：将二次函数配方，得
，
，
，
抛物线开口方向向下，
，
当时，二次函数取最大值，最大值为；
故答案为：．
14．
解：设函数解析式为，
将代入得：，
解得，
∴函数解析式为，
当时，
，
故答案为：30．
15．
解：抛物线与直线交于，两点，
，，
抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当时，
直线在抛物线的上方，
不等式的解集是．
故答案为．
16．
解：由一段抛物线为，
∴图象与x轴交点坐标为：；
∵将绕点旋转得，交x轴于点，
此时与x轴交点坐标为：，图像在x轴上方；
将绕点旋转得，交x轴于点，
此时与x轴交点坐标为：，C3图像在x轴下方；
……
如此进行下去，直至得．
∴此时与x轴的交点横坐标为，且图象在x轴上方，
∴的解析式为：，
∴点P在的图像上，
当时，，
∴；
故答案为：2．
17．
解：设此二次函数的解析式为，
∵其图象经过点（2，-3），
∴a（2﹣1）2﹣4＝-3，
∴a＝1，
∴，即．
18．
1）解：将代入二次函数得，，解得，
∴实数的值是．
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，当时，，
∴点不在这个二次函数图像上．
19．
（1）解：设y与x之间的函数解析式为．
由图可知．图象过，，
则：，
解得，
∴y与x之间的函数解析式；
（2）根据题意：
，
∵，
∴当时，W的最大值为2500；
答：这一天销售蚕豆获得的利润W的最大值是2500元．
20．
（1）把，两点代入，
得，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）当时，，所以，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
把代入抛物线表达式得，
解得（舍去）或2；
把代入抛物线表达式得，
解得，
综述所述，点的坐标为或或．
21．
（1）解：设每件童装降价元，则平均每天就可多售出件，每件盈利元，
则商场每天销售这种童装的利润为，
即与之间的函数关系式为；
（2）根据题意，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，
可得，
解方程，可得，
为了尽快减少库存，应该降价20元．
答：要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价20元．
22．
（1）由题意可知抛物线过，
设抛物线的解析式为，
将，，分别代入得：
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）当时，
解得，；
当时，
解得，，
故取值范围为或．
23．
（1）解：当时,设表达式为
由题意得: ,解得
所以解析式为．
（2）解：当时，，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，；
当时，，
对称轴，
∴时，．
∵，
∴第8天时利润最大，最大利润是8640元．
24．
（1）令，则
解得
所以，点
令，则，
所以，点；
（2）∵
∴对称轴方程为直线；
（3）∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
当点P在点A的上方时，点P的坐标为，
当点P在点A的下方时，点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或时，以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形．
25．
（1）解：把代入得到，
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）①把代入得：，
．
又当，，
，
线段轴，，
，
，
；
②是定值，求解过程如下：
设，
直线，，
因此可得：
，，
解得：或，
直线，
．
令得，，
，，
．
第2章 二次函数
时间：120分 总分150分
一、选择题（每题4分，共32分）
1．抛物线的顶点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
2．若二次函数的图像开口向下，则a的值可能是 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
3．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 （ ）
A．3或1 B．或1 C．3或 D．或
4．已知二次函数，若，且，则它的图象可能是 （ ）
5．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点在直线上，则k的值为 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
6．某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
（ ）
A．6s B．7s C．8s D．9s
7．二次函数的部分对应值如下表，则二次函数在时，y等于 （ ）
x 0 1 3 5
y 7 0 7
A．0 B． C． D．
8．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，则h的值为（ ）
A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6
二、填空题（每题4分，共32分）
9．如果关于x的函数是二次函数，则m＝_____．
10．抛物线，对称轴为直线，且经过点，则的值为___________．
11．已知抛物线与轴只有一个公共点，则的值为________．
12．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为______．
13．已知函数，若，则函数的最大值是_____________．
14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则当时，小球的高度为______m．
15．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________．
16．如图，二次函数的图像，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；……，若在这个图像连续旋转后的所得图像上，则_______．
三、解答题（17－18题每题8分，其余每题10分，共86分）
17．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-4），且过点（2，-3）.求该函数的解析式.
18．已知二次函数的图像经过点．
(1)求实数的值：
(2)请你判断点是否在这个二次函数图像上？
19．某公司销售一种蚕豆，已知该蚕豆的成本是元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于元．经过市场调查发现，某天该蚕豆的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）的函数关系如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求这一天销售蚕豆获得的利润的最大值．
20．已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．某百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．
(1)假设每件童装降价元，商场每天销售这种童装的利润为元，请写出与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
22．姐弟二人在院子里玩跳绳，跳绳甩到高处形状视为一条抛物线，姐姐先将绳子一端系在院墙的点处，（如图所示建立平面直角坐标系），随后姐姐站在距离院墙有6米的点处，她的手始终在开始甩绳，弟弟在绳子正下方玩．
(1)当跳起后，总高度1.5米的弟弟距离1米时，绳子刚好碰到他的头顶，求此时抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，弟弟想让绳子与他跳起后的头顶垂直距离至少0.1米，至多0.3米，求弟弟与院墙的距离x的取值范围．
23．某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制．该企业第天生产的防护服数量为件，与之间的关系可以用图中的函数图像来刻画．
(1)当时，与的函数关系式为___________；
(2)由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成木前5天为每件50元，从第6天起每件服装的成本比前一天增加2元，设第x天创造的利润为w元，那么第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）
24．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求点、的坐标，
(2)求抛物线的对称轴；
(3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，抛物线，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A坐标为，点B坐标为，F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于点E．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，是否为定值？如果是：请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
试卷第2页，共6页
参考答案：
1．
解：的顶点坐标为，
故选：B
2．
解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴选项中符合题意，
故选：D．
3．
解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线，与轴的一个交点是，
则该函数与轴的另一个交点是，
即当时，时，，，
故关于的一元二次方程的解为，，
故选：B．
4．
解：，即时，，
，且，
且，
二次函数开口向上，与y轴交于负半轴，只有A选项符合，
故选：A．
5．
解：∵二次函数的顶点坐标为（k，k+1），
∴将的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后顶点坐标为．
根据顶点在直线上，得，
解得．
故选C．
6．
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴当时，升到最高点，
故选：A.
7．
因为对称点，，
所以对称轴为直线，
所以抛物线的顶点坐标为，
设解析式为，
把代入解析式，，
解得，
所以解析式，
当是，，
故选：D．
8．
解：由题意可得，
抛物线的顶点为，最小值为1，
∵当函数值y的最小值为，
∴有两种情况对称轴 ，
当时，
，时y随x增大而减小，
∴时取最小，
即 ，解得，（不符合题意舍去），
时，
，时y随x增大而增大，
∴时取最小，
即 ，解得，（不符合题意舍去），
综上所述或，
故选D．
9．
解：由题意得：且，
∴且，
∴，
故答案为：1．
10．
∵对称轴为直线，
∴和的函数值相同，
即，
故答案为：．
11．
解：∵抛物线与轴只有一个公共点，
∴有两个相等的实数根，
∴ ，
解得，
故答案为：．
12．
解：二次函数的，因此在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大，
又∵当时，y随x的增大而增大，
∴，
故答案为：．
13．
解：将二次函数配方，得
，
，
，
抛物线开口方向向下，
，
当时，二次函数取最大值，最大值为；
故答案为：．
14．
解：设函数解析式为，
将代入得：，
解得，
∴函数解析式为，
当时，
，
故答案为：30．
15．
解：抛物线与直线交于，两点，
，，
抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当时，
直线在抛物线的上方，
不等式的解集是．
故答案为．
16．
解：由一段抛物线为，
∴图象与x轴交点坐标为：；
∵将绕点旋转得，交x轴于点，
此时与x轴交点坐标为：，图像在x轴上方；
将绕点旋转得，交x轴于点，
此时与x轴交点坐标为：，C3图像在x轴下方；
……
如此进行下去，直至得．
∴此时与x轴的交点横坐标为，且图象在x轴上方，
∴的解析式为：，
∴点P在的图像上，
当时，，
∴；
故答案为：2．
17．
解：设此二次函数的解析式为，
∵其图象经过点（2，-3），
∴a（2﹣1）2﹣4＝-3，
∴a＝1，
∴，即．
18．
1）解：将代入二次函数得，，解得，
∴实数的值是．
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，当时，，
∴点不在这个二次函数图像上．
19．
（1）解：设y与x之间的函数解析式为．
由图可知．图象过，，
则：，
解得，
∴y与x之间的函数解析式；
（2）根据题意：
，
∵，
∴当时，W的最大值为2500；
答：这一天销售蚕豆获得的利润W的最大值是2500元．
20．
（1）把，两点代入，
得，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）当时，，所以，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
把代入抛物线表达式得，
解得（舍去）或2；
把代入抛物线表达式得，
解得，
综述所述，点的坐标为或或．
21．
（1）解：设每件童装降价元，则平均每天就可多售出件，每件盈利元，
则商场每天销售这种童装的利润为，
即与之间的函数关系式为；
（2）根据题意，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，
可得，
解方程，可得，
为了尽快减少库存，应该降价20元．
答：要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价20元．
22．
（1）由题意可知抛物线过，
设抛物线的解析式为，
将，，分别代入得：
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）当时，
解得，；
当时，
解得，，
故取值范围为或．
23．
（1）解：当时,设表达式为
由题意得: ,解得
所以解析式为．
（2）解：当时，，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，；
当时，，
对称轴，
∴时，．
∵，
∴第8天时利润最大，最大利润是8640元．
24．
（1）令，则
解得
所以，点
令，则，
所以，点；
（2）∵
∴对称轴方程为直线；
（3）∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
当点P在点A的上方时，点P的坐标为，
当点P在点A的下方时，点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或时，以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形．
25．
（1）解：把代入得到，
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）①把代入得：，
．
又当，，
，
线段轴，，
，
，
；
②是定值，求解过程如下：
设，
直线，，
因此可得：
，，
解得：或，
直线，
．
令得，，
，，
．