2021-2022学年山东省济南五中九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※
※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
2021-2022学年山东省济南五中九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
的平方根等于( )
A. B. C. D.
下列几何体中，俯视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
某种细胞的直径是米，将米用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
如图，直线分别与直线、相交于点、，平分交直线于点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
下列算式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
化简：的结果是( )
A. B. C. D.
如图是成都某市一周内日最高气温的折线统计图，关于这天的日最高气温的说法正确的是( )
A. 极差是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 平均数是
在同一平面直角坐标系中，函数与为常数，且的图象大致是( )
A. B.
C. D.
如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
如图，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：

点、、是该抛物线上的点，则
为任意实数
其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
分解因式：______．
一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球和若干个白球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是，则白球的个数是______．
一个正多边形的每个外角都是，这个正多边形的边数是______．
若代数式的值是，则______．
小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系．则点的坐标为______．
如图，矩形中，，，动点从点出发向终点运动，连，并过点作，垂足为∽；的最小值为；在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积；在运动过程中，点的运动路径的长为，其中正确的有______填写序号
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
计算：
先化简，再求值，其中，．
如图，在菱形中，、分别是和的中点，连接、求证：．
如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点．
若，求的度数；
若，，求半径的长．
钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答年新型冠状病毒防治全国统一考试全国卷试卷满分分，社区管理员随机从有人的某小区抽取名人员的答卷成绩，并对他们的成绩单位：分统计如下：
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
等级 成绩 频数 频率
______
______
合计
根据上面提供的信息，回答下列问题：
统计表中的______，______；
请补全条形统计图；
根据抽样调查结果，请估计该小区答题成绩为“级”的有多少人？
该社区有名男管理员和名女管理员，现从中随机挑选名管理员参加“社区防控”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率．
某商店欲购进、两种商品，已知购进种商品件和种商品件共需元；若购进种商品件和种商品件共需元；
求、两种商品每件的进价分别为多少元？
若该商店，种商品每件的售价为元，种商品每件的售价为元，且商店将购进、共件的商品全部售出后，要获得的利润超过元，求种商品至少购进多少件？
如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内．
点的坐标______；
将正方形以每秒个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
在的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由．
某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题发现：如图，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接，与的数量关系是______ ；
变式探究：如图，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
解决问题：如图，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接若正方形的边长为，，求正方形的边长．
抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．
求抛物线的解析式；
如图，点是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点，当：：时，求点的坐标；
如图，点是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点落在点处，且，点是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点，连接当的值最小时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的平方根是，
故选：．
根据平方根的定义即可求出答案．
本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的概念，本题属于基础题型．
2.【答案】
【解析】解：、圆柱的俯视图是圆，故本选项错误；
B、三棱锥的俯视图是三角形，故本选项正确；
C、长方体的俯视图是长方形，故本选项错误；
D、六棱柱的俯视图是六边形，故本选项错误；
故选：．
根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
由角平分线的定义可得，由同位角相等，两直线平行可得，即可求解．
【解答】
解：平分，
，
，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】
解：原式，故A错误．
B.原式，故B错误．
C.原式，故C错误．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
本题需先把分母进行整理，再合并即分子分母进行约分．即可求出所要求的结果．
本题主要考查了分式的加减法运算，在解题时要注意运算顺序和结果的符号是本题的关键．
8.【答案】
【解析】
【解答】
解：由图可得，
极差是：，故选项A错误；
众数是，故选项B正确；
这组数按照从小到大排列是：、、、、、、，故中位数是，故选项C错误；
平均数是：，故选项D错误．
故选：．
【分析】
本题考查了折线统计图、极差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，能够判断各个选项中结论是否正确．
根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．
9.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以解决．
【解答】
解：函数与为常数，且
当时，经过第一、三、四象限，经过第一、三象限，故选项A符合题意，选项B不符合题意，
当时，经过第一、二、三象限，经过第二、四象限，故选项C、不符合题意，
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得，，，，过作于，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题关键是利用特殊角的三角函数求解．
【解答】
解：根据题意得，，，，
过作于，
，
在中，，，
，
在中，，
，
，
，两港之间的距离为，
故选B．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查扇形面积的计算、锐角三角函数定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，作出合适的辅助线，即可求得的长、的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积减去的面积和扇形的面积，从而可以解答本题．
【解答】
解：连接，作于．
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选A．
12.【答案】
【解析】解：由函数图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，
关于的方程有两个不相等的实数根，
，
正确；
抛物线的对称轴为，
，
，
正确；
抛物线的对称轴为，点在抛物线上，
点关于对称轴对称的点为
，且抛物线对称轴左边图象值随的增大而增大，
．
错误；
当时，，且，
，
，
正确；
，
方程中，
抛物线与轴只有一个交点，
图中抛物线开口向下，
，
，
即．
正确．
故选：．
逐一分析条结论是否正确：由抛物线与轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出该结论正确；根据抛物线的对称轴为，即可得出，即正确；根据抛物线的对称性找出点在抛物线上，再结合抛物线对称轴左边的单调性即可得出错误；由时，，即可得出，结合即可得出正确；由方程中结合，即可得出抛物线中，由此即可得出正确．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及抛物线与轴的交点，解题的关键是逐一分析条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象是关键．
13.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
直接利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：．
14.【答案】
【解析】解：设白球有个，
则，
解得：，
经检验：是原分式方程的解；
所以白球有个．
故答案为．
首先设白球有个，由概率公式可得，解此方程即可求得答案．
本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】
【解析】解：设所求正边形边数为，
则，
解得．
故正多边形的边数是．
多边形的外角和等于，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成，列方程可求解．
本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
16.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
则．
故答案为：．
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17.【答案】
【解析】解：由图象可得，
小王骑车的速度为：，
小李骑车的速度为：，
，
，
点坐标，
故答案为：．
根据图象求出小王和小李的速度，再求点坐标即可．
本题考查了一次函数的实际应用，理解图象各点的含义以及求出两人各自的速度是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，
，
，
∽，
故正确；
如图，取的中点，连接，，
，，
，
，
，
，
，
的最小值是，
故正确；
如图，点的运动路径为以的中点为圆心，半径长为的一段圆弧，
当点与点重合时，则为与矩形的对角线重合，
扫过的面积为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
扫过的面积为，
，
扫过的面积不是始终等于扫过的面积，
故错误；
，
点的运动路径的长为，
故正确，
故答案为：．
由四边形是矩形，，得，则，即可证明∽，可判断正确；
取的中点，连接，，可求得，由勾股定理求得，因为，所以，则，即可求得的最小值是，可判断正确；
当点与点重合时，则为与矩形的对角线重合，可求得扫过的面积为，由，得，则，，可求得扫过的面积为，可知此时，可判断错误；
可求得，则点的运动路径的长为，可判断正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定、旋转的性质、两点之间线段最短、锐角三角函数、勾股定理的应用、三角形的面积公式、扇形的面积公式、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：原式，
当，时，原式．
【解析】原式利用平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】证明：四边形是菱形，
，
、分别是和的中点，
，，
，
又，
≌，
．
【解析】证明≌，即可得出．
此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22.【答案】解：连接，
是的切线，是的半径，
，
，
，，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的半径为，
，
，
解得：，
的半径为．
【解析】
【分析】
此题考查切线的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是根据切线的性质进行解答．
连接，利用切线的性质和圆周角定理解答即可；
利用圆周角定理和等腰三角形的性质得出，然后根据直角三角形的性质解答即可．
23.【答案】解： ，；
如图即为补全的条形统计图；
名
答：估计该小区答题成绩为“级”的有人；
如图，
根据树状图可知：
所有可能的结果共有种，
恰好选中“男女”的有种，
恰好选中“男女”的概率为．
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数率分布表、条形统计图，解决本题的关键是准确求出概率．
根据题中数据即可求得、的值；
根据中表格数据即可补全条形统计图；
根据结果，即可用样本估总体，可得该小区答题成绩为“级”人数；
根据树状图法求即可求出恰好选中“男女”的概率．
【解答】
解：由题意可知：
等级的频数，
等级的频率为：，
等级的频数为，
．
故答案为：、；
见答案；
见答案；
见答案．
24.【答案】解：设种进价为元，种进价为元．
由题意，得，
解得：，
答：种进价为元，种进价为元．
设购进种商品件，则购进种商品件．由题意，得
，
解得：，
答：至少购进种商品件．
【解析】设种进价为元，种进价为元．由购进种商品件和种商品件需元和购进种商品件和种商品件需元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；
设购进种商品件，则购进种商品件．根据获得的利润超过元，建立不等式求出其解即可．
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．
25.【答案】
【解析】解：如图，
过点、分别作轴、轴交于点、，
点、，
，，，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
点坐标为；
由知，，
运动秒时，点、，
设反比例函数解析式为，
点，在反比例函数图象上，
，
，，
反比例函数解析式为；
存在，理由：
由知，点、，，
、，
由知，反比例函数解析式为，
设点，点，
以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，
当与是对角线时，
，，
，，
，，
当与是对角线时，
，，
，，
，
当与是对角线时，
，，
，，
，，
综上：，或，或，
先求出，，，再判断出≌，得出，，即可得出结论；
先根据运动表示出点，的坐标，进而求，，即可得出结论；
先求出点，的坐标，再分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求解即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，用分类讨论的思想和方程的思想解决问题是解本题的关键．
26.【答案】
变式探究：，
理由如下：，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
；
解决问题：如图，连接、，
四边形是正方形，
，，
是正方形的中心，
，，
，即，
，
∽，
，
，
，
设，则 ，
在中，，即，
解得，舍去，，
正方形的边长为：．
【解析】解：问题发现：和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
利用定理证明≌，根据全等三角形的性质解答；
先证明∽，得到，再证明∽，根据相似三角形的性质解答即可；
连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
27.【答案】解：经过，，
，
解得，
抛物线的解析式为．
如图中，过点作轴交于，过点作交于．
设，
对于抛物线，令，可得或，
，
，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得或，
或．
如图中，连接，过点作于，过点作于．
抛物线，
顶点，
，
直线的解析式为，，
，
，，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
此时为与的交点，
，
平移后抛物线的解析式为，平行轴，将代入抛物线解析式，
，
．
【解析】利用待定系数法，把问题转化为方程组解决．
如图中，过点作轴交于，过点作交于设，求出，，利用平行线分线段成比例定理构建方程求解即可．
如图中，连接，过点作于，过点作于证明轴，由，推出，推出，可得，根据，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用垂线段最短，解决最值问题，属于中考压轴题．
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