2023届高中数学二轮复习专题五解析几何 课件（218张）

(共218张PPT)
专题五　解析几何
上篇
2023
内容索引
01
02
03
高考小题突破6　直线与圆
培优拓展 　隐形圆问题
高考小题突破7　圆锥曲线的方程与性质
04
培优拓展 　圆锥曲线的常用二级结论及其应用
05
◎高考增分大题五　圆锥曲线的综合问题
06
培优拓展　 求解直线与圆锥曲线相交弦长问题的方法
考情分析 1.题型、题量稳定:近几年高考试题对解析几何的考查一直以“2小1大”或“3小1大”的形式出现,分值约22~27分.
2.重点突出:本专题在高考中均以重要知识模块命制试题,题型覆盖面广.客观题重点考查直线与圆,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系等;主观题主要考查圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值及证明等问题,常与函数、不等式等知识综合,有时会以探索性问题形式呈现,难度较大.
3.核心素养:直观想象、逻辑推理、数学运算.
备考策略 1.注重夯实基础.直线、圆、圆锥曲线的定义、方程是解析几何的根本,也是高考的重要命题点.
2.既要掌握解题的基本方法和基本规律,也要掌握解题的重要结论和解题的技巧,注重条件的转化及方法的提炼、优化.
3.强化审题中的作图意识.依据题意画出比较准确的图形是研究解析几何问题的基础,作图的过程是读题、审题、理解题意与探索解题思路的过程,将条件标在图形上的过程则是条件转化及建立条件与结论联系的过程.
真题感悟
答案 A　
解析 设椭圆C的右顶点为B,由于P,Q均在C上,且关于y轴对称,所以直线BP与AQ的斜率互为相反数.设直线AP的斜率为kAP,直线BP的斜率为kBP,
2.(多选)(2022·新高考Ⅰ·11)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(　　)
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
答案 BCD
∵点A(1,1),B(0,-1),∴直线AB的方程为y=2x-1,联立抛物线C与直线AB的方程,得 消去y整理得x2-2x+1=0,Δ1=(-2)2-4×1×1=0,∴直线AB与抛物线C相切,故B正确;
∴|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正确.
故选BCD.
3.(多选)(2020·山东·9)已知曲线C:mx2+ny2=1.(　　)
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
答案 ACD　
4.(2022·全国甲·理14)若双曲线y2- =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=　　　　　.
5.(2021·新高考Ⅰ·14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　　　　　.
解析 ∵PF⊥x轴,
6.(2022·新高考Ⅰ·21)已知点A(2,1)在双曲线C: =1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率;
(2)若tan∠PAQ=2 ,求△PAQ的面积.
∴(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=0,
∴(kx1+m-1)(x2-2)+(kx2+m-1)(x1-2)=0,
整理,得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,
∴2k(-2m2-2)+4km(m-1-2k)-4(m-1)(1-2k2)=0,
即2k2+k(m+1)+m-1=0,(k+1)(2k+m-1)=0.
∴k=-1或m=1-2k,把m=1-2k代入y=kx+m,得y=kx+1-2k=k(x-2)+1,此时直线PQ过点A(2,1),舍去,
∴k=-1,即直线l的斜率为-1.
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,
可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.
整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.
因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,
故2k+3m+1=0,k≠1.
知识精要
1.直线与圆
知识点 内容
两条直线平行和垂直的充要 条件 (1)斜截式:若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2 k1=k2,l1⊥l2 k1k2=-1.
(2)一般式:若直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1∥l2
l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
对于此形式的含参方程,要注意确定其表示圆的条件
名师点析
1.求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.
2.讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.
3.要注意直线方程每种形式的局限性.
4.与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
5.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
2.圆锥曲线
知识点 内容
三个定义 (1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|);
(3)抛物线:|MF|=d(d为点M到准线的距离)
　　　　　　　　 若点F在准线l上,点的轨迹是过F且与l垂直的直线
误区警示
1.利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,0<2a<|F1F2|.如果满足第二个而不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.
2.注意区分椭圆与双曲线的标准方程,尤其是方程中a,b,c三者之间的关系,以及焦点所在位置.
3.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解,在应用根与系数的关系解决问题时,必须先有“判别式Δ≥0”.
3.圆锥曲线的重要结论
(1)圆锥曲线的中点弦斜率公式
　利用点差法推导
(2)过曲线上点P(x0,y0)的切线方程
过曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为
高考小题突破6　
考点一
直线的方程及应用
典例突破1(1)(2022·湖南常德一模)已知直线l1:ax-4y-3=0,l2:x-ay+1=0,则“a=2”是“l1∥l2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2022·山东临沂三模)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心和垂心在一条直线上,且外心至重心的距离是重心至垂心的距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),
C(-4,0),则其欧拉线方程为　　　　　　　　　　.
答案 (1)A　(2)x-y+2=0　
解析 (1)若l1∥l2,则-a2+4=0,解得a=±2,
当a=2时,l1:2x-4y-3=0,l2:x-2y+1=0,l1∥l2,
当a=-2时,l1:2x+4y+3=0,l2:x+2y+1=0,l1∥l2,
所以“a=2”是“l1∥l2”的充分不必要条件.
(2)设△ABC的重心坐标为G(x,y),垂心为H,
易知△ABC的边AC上的高线所在直线方程为x=0,
因为直线BC:y=x+4,A(2,0),所以△ABC的边BC上的高线所在直线方程为y=-x+2,
增分技巧
解直线方程问题注意几个误区
(1)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.
(2)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
对点练1(1)(2022·四川凉山三模)已知直线l1:2x-y+1=0,l2:x+ay-1=0,且l1⊥l2,点P(1,2)到直线l2的距离d=(　　)
(2)(多选)(2022·江苏南通模拟)已知直线l过点(3,4),点A(-2,2),B(4,-2)到l的距离相等,则l的方程可能是(　　)
A.x-2y+2=0
B.2x-y-2=0
C.2x+3y-18=0
D.2x-3y+6=0
(3)一束光线经过点A(-1,2)由x轴反射后,经过点B(2,1)射出,则反射光线所在的直线方程是　　　　　.
答案 (1)D　(2)BC　(3)y=x-1　
(3)点A(-1,2)关于x轴对称的点为A'(-1,-2),
则反射光线过B(2,1)和A'(-1,-2)两点,
考点二
圆的方程
典例突破2(1)(2022·全国甲·文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　　　　　.
(2)(2022·山西晋中一模)已知圆E的圆心为(a,2),直线l1:x-y+1=0,l2:x-y-1=0与圆E分别交于点A,B与C,D,若四边形ABCD是正方形,则圆E的标准方程为　　　　　　　　　　　　.
答案 (1)(x-1)2+(y+1)2=5　(2)(x-2)2+(y-2)2=1　
即圆心M的坐标为(1,-1).
设☉M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.
故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(方法二)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+
(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(2)设圆E的半径为r,此时圆E的标准方程为(x-a)2+(y-2)2=r2.
由题意知,圆心E在直线x-y=0上,所以a=2.
增分技巧
求圆的方程的两种方法
(1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.
对点练2(1)(2022·全国乙·文15)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　.
(2)(2022·天津南开中学模拟预测)与圆C:x2+y2-4x-2y=0外切于坐标原点,且被y轴截得的弦长为4的圆的标准方程为　　　　　　　　　　　　.
解析 (1)(方法一)若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),则设圆心为(a1,b1),半径为r1,
∴圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.
同理,若圆过点(0,0),(4,0),(4,2),则圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.若圆过点
(方法二)设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),圆过其中三点共有四种情况.
若圆过A,B,C三点,则线段AB的垂直平分线方程为x=2,线段AC的垂直平分
(2)圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),半径为 .
根据题意可知,所求圆的圆心在直线x-2y=0上,设所求圆的圆心为(2a,a)(a<0),
因为所求圆被y轴截得的弦长为4,所以-a=2,即a=-2.
所以所求圆的圆心为(-4,-2),半径为2 ,标准方程为(x+4)2+(y+2)2=20.
考点三
直线与圆的位置关系
考向1切线问题
典例突破3(1)(2022·河北石家庄一模)与直线x+2y+1=0垂直,且与圆x2+y2=1相切的直线方程是(　　)
(2)(2022·辽宁抚顺一模)经过直线y=2x+1上的点作圆x2+y2-4x+3=0的切线,则切线长的最小值为(　　)
答案 (1)C　(2)A　
解析 (1)因为直线x+2y+1=0的斜率为- ,所以所求直线的斜率为2.
设所求的直线方程为y=2x+b,即2x-y+b=0.
因为所求直线与圆x2+y2=1相切,
(2)在直线y=2x+1上任取一点P(x0,y0),作圆x2+y2-4x+3=0的切线,设切点为A.
圆x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,
设圆心为C,则圆心C(2,0),半径r=1.
增分技巧
直线与圆相切时,利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线长的问题,可先求出圆心到圆外点的距离,再结合半径利用勾股定理计算.
对点练3(1)(2022·河北衡水模拟)过圆O:x2+y2=2上一点P作圆C:(x-4)2+(y-4)2=2的切线,切点为Q,则|PQ|的最小值为　　　　　.
(2)(2022·新高考Ⅱ·15)设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为　　　　　.
考向2弦长问题
典例突破4(1)(2022·北京首都师范大学附属中学三模)在圆M:x2+y2-2x-3=0中,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　)
答案 (1)B　(2)B　
解析 (1)圆M:x2+y2-2x-3=0,即圆M:(x-1)2+y2=4,圆心为M(1,0),半径r=2.
增分技巧
圆的弦长的求法
对点练4(多选)已知直线l:kx-y-k+1=0,圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=16,则下列选项正确的是(　　)
A.直线l与圆一定相交
B.当k=0时,直线l与圆C交于两点M,N,E是圆C上的动点,则△MNE面积的最大值为3
C.当l与圆有两个交点M,N时,|MN|的最小值为2
D.若圆C与坐标轴分别交于A,B,C,D四个点,则四边形ABCD的面积为48
答案 AC
解析 直线l:kx-y-k+1=0过定点P(1,1),(1-2)2+(1+2)2<16,点P在圆内,因此直线l一定与圆相交,故A正确;
考点四
圆与圆的位置关系
典例突破5(1)(2022·山东聊城二模)已知点P在圆O:x2+y2=4上,点A(-3,0),
B(0,4),满足AP⊥BP的点P的个数为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)(2022·山东威海三模)圆x2+y2+4x=0与圆x2+y2+4y=0的公共弦长为　　　　　.
(2)设圆C1:x2+y2+4x=0与圆C2:x2+y2+4y=0交于A,B两点,把两圆方程相减,化简得x-y=0,即lAB:x-y=0.
增分技巧
几何法判断圆与圆的位置关系
设圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2= ,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2= ,两圆心之间的距离为d,则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下:
(1)d>r1+r2 两圆外离;
(2)d=r1+r2 两圆外切;
(3)|r1-r2|(4)d=|r1-r2|(r1≠r2) 两圆内切;
(5)0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 两圆内含.
对点练5(1)(2022·江西新余二模)已知圆O1:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆O2:
x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则正数a的取值范围为(　　　)
A.(0,1)
B.(0,3)
C.(1,3)
D.(3,+∞)
(2)(2022·天津七中模拟)过点P(-2,-3)作圆(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为　　　　　　　　.
答案 (1)C　(2)6x+5y-25=0　
解析 (1)圆O1的方程可化为(x-a)2+y2=1,则圆心O1(a,0),半径r1=1;
由圆O2的方程知,圆心O2(0,0),半径r2=2.
∵圆O1与圆O2有且仅有两条公切线,∴两圆相交.
又两圆圆心距d=|a|,∴2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3∵a为正数,∴1(2)设圆(x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C,则C(4,2),半径为3,以PC为直径的圆的方
将两圆的方程相减得公共弦AB的方程为6x+5y-25=0.
培优拓展
隐形圆问题
有些数学问题,题设没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目条件中,需要我们通过分析、转化,发现这些隐藏的圆(简称隐圆),再利用圆的知识来求解,我们称这类问题为隐形圆问题,是近年高考题和各地模拟题命题的热点.
类型1利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆
【例1】 (2020·全国Ⅰ·理11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　)
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
答案 D　
解析 由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4.
又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.
两圆方程相减得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.
规律方法
如果一个四边形的对角互补,那么它就一定有外接圆,特别地,如果一组对角为直角,则外接圆的直径即直角所对的那条对角线.
类型2阿波罗尼斯圆
【例2】 (2022·山东烟台三模)已知动点P到点A(1,0)的距离是到点B(1,3)的距离的2倍,记点P的轨迹为C,直线y=kx+1交C于M,N两点,Q(1,4),若△QMN的面积为2,则实数k的值为　　　　　.
答案 -7或1
规律方法
在平面上给定相异的两点A,B,设点P与点A,B在同一平面上,且满足|PA|=λ|PB|,当λ>0且λ≠1时,点P的轨迹是一个圆.这是古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中证明的一个命题,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.
高考小题突破7
考点二
圆锥曲线的定义及标准方程
典例突破1(1)(2022·全国乙·理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　)
(3)(2022·山东枣庄高三期末)已知点P为双曲线 -y2=1的右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,O为坐标原点,过点F1向∠F1PF2的平分线作垂线,垂足为Q,则|OQ|=　　　　　.
答案 (1)B　(2)D　(3)2　
解析 (1)设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.
由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,
所以xA+1=2,即xA=1,
(3)延长PF2交F1Q于点M,因为PQ为∠F1PF2的平分线,且F1Q⊥PQ,则|PF1|=|PM|,Q为F1M的中点.又O为F1F2的中点,所以OQ为△MF1F2的中位
由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=4,
所以|OQ|= ×4=2.
增分技巧
应用圆锥 曲线定义 的技巧 对于椭圆、双曲线,如果涉及曲线上的点与焦点的距离,一般要利用定义进行转化.对于抛物线,如果涉及曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化
求圆锥曲 线方程的 方法 先确定曲线类型,然后利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p
对点练1(2022·山东济南外国语学校模拟)已知双曲线 =1,直线l过其上焦点F2,交双曲线上支于A,B两点,且|AB|=4,F1为双曲线的下焦点,△ABF1的周长为18,则实数m的值为(　　)
A.8 B.9
C.10 D.
答案 D　
解析 由题意△ABF1的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|,由双曲线的定义,可知|AF1|=2a+|AF2|,|BF1|=2a+|BF2|,所以|AB|+|AF1|+|BF1|=|AB|+|AF2|+|BF2|+4a=4a+2|AB|.
考点三
圆锥曲线的几何性质
考向1椭圆、双曲线的离心率问题
(2)设△PF1F2的内切圆的半径为r,
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
增分技巧
求圆锥曲线离心率的值(取值范围)的方法
定义法 根据条件求出a,c,直接利用公式e= 求解
方程法 根据条件得到关于a,b,c的齐次等式(不等式),然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程
(不等式)即可得e的值(取值范围)
答案 (1)D　(2)C　
考向2圆锥曲线的几何性质
典例突破3(1)(2022·江苏无锡高三期末)已知F1,F2是双曲线C: =1(a>0,b>0)的左、右焦点,A1,A2是双曲线C的左、右顶点,P是双曲线C左支上的一点,以A1A2为直径的圆与PF2相切于点M,若M恰为PF2的中点,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
(2)(多选)(2022·湖北武汉模拟)如图所示,“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行,然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行,最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行,设圆形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则下列结论正确的有(　　)
A.轨道Ⅱ的焦距为R-r
B.若R不变,r越大,轨道Ⅱ的短轴长越小
C.轨道Ⅱ的长轴长为R+r
D.若r不变,R越大,轨道Ⅱ的离心率越大
(3)(2022·山西怀仁期末)已知F是抛物线y2=4x的焦点,过焦点F的直线l交抛物线的准线于点Q,点A在抛物线上且|AQ|=|AF|=3,则直线l的斜率为(　　)
答案 (1)D　(2)ACD　(3)A　
解析 (1)∵M为PF2的中点,O为F1F2的中点,∴OM为△PF1F2的中位线.
∵|OM|=a,∴|PF1|=2a.
∵以A1A2为直径的圆与PF2相切于点M,
增分技巧
1.涉及双曲线渐近线的两个结论
2.求解与圆锥曲线的几何性质有关问题的方法
几何法 如果题中给出的条件有明显的几何特征,主要考虑用图形的几何性质求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论求解
代数法 若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,将问题转化为求函数的值域或最值
对点练3(1)(2022·河南南阳期末)已知双曲线C: =1(a>0,b>0),P为双曲线C上的一点,若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1,则双曲线的半焦距c的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(1,2] C.(0,2] D.[2,+∞)
(2)(2021·全国甲·理15)已知F1,F2为椭圆C: =1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　　.
(3)(2022·河南南阳期末)设抛物线y2=6x上一点P到其焦点F的距离为 ,O为坐标原点,则△POF的面积为　　　　　.
∴QF1⊥QF2,即四边形PF1QF2为矩形.
∵|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48,
∴|QF1|·|QF2|= [(|QF1|+|QF2|)2-(|QF1|2+)]=8,即四边形PF1QF2的面积为8.
考点三
直线与圆锥曲线的位置关系
考向1弦长问题
典例突破4(2022·新高考Ⅰ·16)已知椭圆: =1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为 .过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　　.
答案 13　
∴|AF1|=|F1F2|,
∴直线DE为线段AF2的垂直平分线,
连接EF2,DF2,则四边形ADF2E为轴对称图形,
∴△ADE周长=|DE|+|AE|+|AD|=|DE|+|EF2|+|DF2|=4a=8c=13.
增分技巧
求圆锥曲线弦长的常用方法
(2)特别地,圆中求弦长用垂径定理,抛物线y2=2px(p>0)求焦点弦弦长可用抛物线的焦点弦弦长公式|AB|=x1+x2+p.
对点练4(1)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为圆x2+(y-1)2=2的圆心,又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A,B两点,则|AB|=　　　　　.
考向2中点弦问题
A.3x+y+7=0 B.4x+y+6=0
C.x+y+5=0 D.2x+y+3=0
答案 D　
直线AB的方程为y-1=-2(x+2),即2x+y+3=0.
增分技巧
处理中点弦问题常用的求解方法
对点练5(2022·新高考Ⅱ·16)已知直线l与椭圆 =1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别相交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2 ,则直线l的方程为　　　　　　　　.
培优拓展
一、椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式的应用
解析 (1)不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n,依题意
二、椭圆、双曲线焦点三角形的离心率公式的应用
(1)椭圆结论:设椭圆的焦点三角形的两个以焦点为顶点的角分别为α,β,则
(2)双曲线结论:设双曲线的焦点三角形的两个以焦点为顶点的角分别为α,
答案 (1)D　(2)D　
三、抛物线的二级结论的应用
(1)过抛物线y2=2px(p>0)对称轴上的一点M(t,0)的直线l与抛物线交于
【例3】 (1)(多选)(2022·山东滨州期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为4,过焦点F的直线与抛物线相交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则下列结论中正确的是(　　)
A.抛物线C的准线l的方程为x=-2
B.|MN|的最小值为4
C.若A(4,2),Q为抛物线C上的动点,则|QA|+|QF|的最小值为6
答案 (1)ACD　(2)C　(3)A　
解析 (1)∵焦点F到准线l的距离为4,∴p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.
抛物线C的准线方程为x=- =-2,故A正确;
设过焦点F的直线的倾斜角为θ,
则|MN|= ≥2p=8,故B不正确;
过点Q作准线的垂线,垂足为P,图略,则|QA|+|QF|=|QA|+|QP|≥|AP|=4+2=6,当且仅当A,Q,P三点共线时,等号成立,所以|QA|+|QF|的最小值为6,故C正确;
高考增分大题五
　考点一 最值问题
典例突破1(2021·全国乙·理21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
增分1
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
所以点A,B的坐标满足方程x0x-2y-2y0=0,
所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
设直线lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2-4kx-4b=0,
∴Δ=16k2+16b>0,即k2+b>0,且x1+x2=4k,x1x2=-4b,∴P(2k,-b).
增分技巧
目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型
对点练1已知点A(0,-3),B(0,3),动点M满足直线AM与BM的斜率之积为- ,记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)经过点D(0,1)的直线l与C相交于P,Q两点,求|AP|·|AQ|的最大值.
当t=2,即k1=1时,|AP|·|AQ|取得最大值,最大值为32.
考点二 范围问题
典例突破2(2022·湖南长沙一中模拟预测)已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的离心率为2,F为双曲线的右焦点,直线l过F与双曲线的右支交于P,Q两点,且当l垂直于x轴时,PQ=6.
(1)求双曲线的标准方程;
当m≠0时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),
因为直线PQ与双曲线右支相交,
增分技巧
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的取值范围,求新的参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
对点练2(2022·辽宁大连二模)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P在抛物线上,O为坐标原点,且|OP|=|PF|= .
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)如图所示,过点M(t,0)和点N(2t,0)(2≤t≤6)作两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A,B和点C,D,得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为k1和k2,且k1+k2-k1k2=0.
(i)试求实数k的值;
(ii)若存在实数λ,使得S梯形ABCD=λS△OAB,试求实数λ的取值范围.
考点三 证明问题
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|= .
(2)证明 由(1)得,曲线方程为x2+y2=1(x>0).
当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,不合题意.
当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),
增分技巧
解决证明问题的方法与步骤
解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
常用的证明方法有:
(3)证|AB|=|AC|,可证点A在线段BC的垂直平分线上.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设A为椭圆E的右顶点,过点M(-2a,0)且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于点B,C(点B在MC之间),若N为线段BC上的点,且满
(2)证明 由(1)可知M(-8,0),
设直线l的方程为x=my-8(m>0),
因为点N在直线x=-2上,且直线x=-2垂直平分线段MA,所以|NM|=|NA|,即∠AMC=∠MAN.
因为∠ANC为△MNA的一个外角,
所以∠ANC=∠AMC+∠MAN=2∠AMC.
增分2
圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
考点一 定点问题
典例突破1(2022·全国乙·理20)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B 两点.
(1)求E的方程;
(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足 .证明:直线HN过定点.
当过点P的直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=1.
当过点P的直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y+2=k(x-1),点M(x1,y1),N(x2,y2).
所以直线HN的方程为(3y1+6-x1-x2)(y-y2)=(y1-y2)(x-x2),
即(3y1+6-x1-x2)(y-y2)-(y1-y2)(x-x2)=0.
所以直线HN过定点(0,-2).
综上所述,直线HN恒过定点(0,-2).
增分技巧
解圆锥曲线中定点问题的常用方法
(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;
(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;
(3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)或斜截式方程y=kx+b来证明.
(1)求C的方程;
(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过点P且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,过点Q作QN⊥AD于点N,证明:直线AD过定点M.
(2)证明 显然直线BQ的斜率存在且不为零,设直线BQ:x=my+1,B(x1,y1),D(x2,y2),则A(x1,-y1),
考点二 定值问题
典例突破2(12分)(2021·新高考Ⅰ·21)在平面直角坐标系xOy中,已知点
(1)求C的方程;
(2)设点T在直线x= 上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
【规范解答】
【教师讲评】
(1)熟定义:根据圆锥曲线的定义求曲线方程.
(2)设参数:根据已知条件引入参数,设出直线或曲线或点的坐标.
(3)联方程:联立直线与曲线方程,设而不求,使用判别式和根与系数的关系.
(4)巧计算:根据题目要求,用类比和整体代换思想找规律.
增分技巧
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式化简即可得出定值;
(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;
(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可.
考点三 探索性问题
(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程.
(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A,B两点,与椭圆C相交于M,N两点,O为坐标原点,若 =-4,则在x轴上是否存在点H,使得x轴平分∠MHN 若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由.
∴抛物线E的标准方程为y2=4x.
由题意知直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
∴直线l的方程为y=k(x-2).
假设在x轴上存在点H(x0,0),使得x轴平分∠MHN,
则直线HM的斜率与直线HN的斜率之和为0,设M(x3,y3),N(x4,y4),x3≠x0,x4≠x0,
增分技巧
有关存在性问题的求解策略
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定的问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.
(3)解决存在性问题时要注意解题的规范性,一般先作出结论,后给出证明(理由).
对点练3(2022·湖北十堰三模)在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(2,0),
M(-1,0),N(1,0),P是平面内的动点,且以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆O1内切.
(1)证明|PM|+|PN|为定值,并求点P的轨迹Ω的方程.
(2)过点A的直线与轨迹Ω交于另一点Q(异于点B),与直线x=2交于一点G,∠QNB的角平分线与直线x=2交于点H,是否存在常数λ,使得 恒成立 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明 如图,以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆O1内切,
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问题提出
直线与圆锥曲线的综合题往往需要求出直线与曲线相交所得的弦长,求弦长可利用圆锥曲线的弦长公式,但很多同学计算能力不强,导致耗费大量时间所求的弦长不正确,为此,可以推出一般形式下直线与椭圆、双曲线相交的弦长,在求具体的弦长时当公式用,既省时又准确.
结论2的证明与结论1的证明同理.
规律方法
1.结论2中的一元二次方程、判别式、根与系数的关系只需将椭圆对应的式子的b2换成-b2即可,因此,两个结论只需记住结论1
3.对于解答题,弦长公式不能直接应用,应有过程步骤,若考生能够记住并书写出直线与椭圆联立整理后的方程式、判别式Δ的表达式及根与系数的关系表达式后,就可用弦长公式,就能极大地提高运算速度及运算的准确性.
结论应用
答案 B　
(2)不存在.理由如下:
若|AC|=|BD|,设C(x1,y1),D(x2,y2),如图所示,
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过F1且互相垂直的两条直线l1,l2分别交椭圆C于A,B两点和M,N两点,求|AB|+|MN|的取值范围.
同理当l2垂直于x轴时,|AB|+|MN|=7.
当l1,l2不垂直于x轴时,设l1的方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2),