(共35张PPT)
第5讲 函数与导数的综合应用
感悟高考 明确备考方向
1.[不等式恒成立问题](2020·全国Ⅰ卷,T21)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
解:(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f′(x)=ex+2x-1,设g(x)=f′(x),
因为g′(x)=ex+2>0,可得g(x)在R上单调递增,即f′(x)在R上单调递增,
因为f′(0)=0,所以当x>0时,f′(x)>0;当x<0时,f′(x)<0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.
1.[不等式恒成立问题](2020·全国Ⅰ卷,T21)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=0时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.
高考对这部分内容的考查主要有:利用导数研究函数的零点、证明不等式、解决恒(能)成立问题.大多与指数型函数、对数型函数、三角函数相结合,以压轴题的形式呈现,难度大.
突破热点 提升关键能力
热点一 利用导数研究函数的零点
判断函数零点个数的思路:判断函数在某区间[a,b]或(a,b)内的零点的个数时,主要思路:一是由f(a)·f(b)<0及函数零点存在定理,说明在此区间上至少有一个零点;二是求导,判断函数在区间(a,b)上的单调性,若函数在该区间上单调递增或递减,则说明至多只有一个零点;若函数在区间[a,b]或(a,b)上不单调,则要求其最大值或最小值,借用图象法等判断零点个数.
典例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
解:(1)当a=1时,f(x)=ex-(x+2),f′(x)=ex-1,令f′(x)<0,解得x<0,
令f′(x)>0,解得x>0,
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
典例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解:(2)法一 f′(x)=ex-a.
①当a≤0时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故f(x)至多存在一个零点,不符合题意.
利用函数零点情况求参数取值范围的方法
(1)分离参数(a=g(x))后,将问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离,次选分类)求解.
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解.
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.
(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.
热点二 利用导数证明不等式
单变量不等式的证明方法
(1)移项法:将证明不等式f(x)>g(x)(f(x)
0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x).
(2)最值法:欲证f(x)典例2 (2022·湖北模拟调研)已知函数f(x)=xex-1,g(x)=a(ln x+x).
(1)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求正实数a的值;
典例2 (2022·湖北模拟调研)已知函数f(x)=xex-1,g(x)=a(ln x+x).
(2)证明:x2ex>(x+2)ln x+2sin x.
证明双变量不等式的三种常见方法
(1)消元法:即借助题设条件,建立x1与x2的等量关系,如x2=g(x1),从而将f(x1,x2)> A的双变量不等式化成h(x1)>A的单变量不等式.
(3)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数.
热点三 利用导数解决不等式恒成立、存在性问题
常见的双变量不等式恒成立问题的类型
(1)对于任意的x1∈[a,b],总存在x2∈[m,n],使得f(x1)≤g(x2) f(x1)max≤g(x2)max.
(2)对于任意的x1∈[a,b],总存在x2∈[m,n],使得f(x1)≥g(x2) f(x1)min≥g(x2)min.
(3)若存在x1∈[a,b],对任意的x2∈[m,n],使得f(x1)≤g(x2) f(x1)min≤g(x2)min.
(4)若存在x1∈[a,b],对任意的x2∈[m,n],使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2)max.
(5)对于任意的x1∈[a,b],x2∈[m,n],使得f(x1)≤g(x2) f(x1)max≤g(x2)min.
(6)对于任意的x1∈[a,b],x2∈[m,n],使得f(x1)≥g(x2) f(x1)min≥g(x2)max.
典例3 (2022·云南模拟预测)已知e是自然对数的底数,f(x)=ax-ex+1,常数a是实数.
(1)设a=e,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
解:(1)若a=e,则f(x)=ex-ex+1,所以f(1)=1,f′(x)=e-ex,所以f′(1)=e-e1=0,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=0(x-1),即y-1=0.
典例3 (2022·云南模拟预测)已知e是自然对数的底数,f(x)=ax-ex+1,常数a是实数.
(2) x≥1,都有f(x-1)≤ln x,求a的取值范围.
1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
(1) 求最值法:将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.
(2) 分离参数法:将参数分离出来,进而转化为a>f(x)max或a2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化,要理解清楚两类问题的差别.
②当1f(x)单调递增.
所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)ln a-1.
(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;
(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)专题一 函数与导数
第1讲 函数的图象与性质
感悟高考 明确备考方向
A
D
B
解析:因为函数f(x+2)为偶函数,则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1-2x)=-f(2x+1),所以f(1-x)=-f(x+1),所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),故函数f(x)是以4为周期的周期函数,因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,则F(0)=f(1)=0,故f(-1)=-f(1)=0,其他三个选项未知.故选B.
答案:2
高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、分段函数、函数的性质及函数的图象等,主要考查求函数的定义域、分段函数的函数值、分段函数与方程、不等式或分段函数中求参数问题及函数图象的识别,难度属于中等及以上.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现,有时在压轴题的位置,多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.
突破热点 提升关键能力
热点一 函数及其表示
(1)复合函数的定义域.
①若f(x)的定义域为[m,n],则在f(g(x))中,由m≤g(x)≤n解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域.
②若f(g(x))的定义域为[m,n],则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围,即为f(x)的定义域.
(2)分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数值域的并集.
答案:(1)B
(1)对于分段函数的求值(解不等式)问题,基本方法是分段函数分段求解,即依据条件准确地找出利用哪一段求解;再者数形结合,利用图象法求解.
(2)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提.利用函数性质转化时,首先判断已知分段函数的性质,利用性质将所求问题简单化.形如f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则.
答案:(1)ABD
答案:(2)-7 (-∞,-2)∪(10,+∞)
热点二 函数的图象及应用
(1)作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
(2)利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性,作图时要准确画出图象的特点.
(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质,如定义域、奇偶性、单调性等,特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想,借助于函数图象的特点和变化规律,求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时,可以先画出已知函数完整的图象,再观察.
答案:(1)A
答案:(2)(2,3)
解析:(2)不妨设x1热点三 函数的性质及应用
1.函数的奇偶性
(1)定义:若函数的定义域关于原点对称,则有f(x)是偶函数 f(-x)=f(x)= f(|x|);
f(x)是奇函数 f(-x)=-f(x).
(2)判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
2.函数单调性的判断方法:定义法、图象法、导数法.
3.函数周期性:若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x),则函数y=f(x)的周期为2|a|.
(3)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称和直线x=b对称,则函数具有周期性,且周期T=2|a-b|;
若函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数具有周期性,且周期T=2|a-b|;
若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称和点(b,0)对称,则函数具有周期性,且周期T=4|a-b|.
考向1 单调性与奇偶性
典例3 (1)(2022·广东茂名二模)已知f(x)=x-sin x,则不等式f(2m+1)+
f(1-m)>0的解集为( )
A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)
解析:(1)由题意知f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x+sin x=-f(x),所以f(x)为奇函数,且f′(x)=1-cos x≥0,则f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.由f(2m+1)+f(1-m)>0得f(2m+1)>f(m-1),即2m+1>m-1,解得m>-2.故选B.
考向2 奇偶性、周期性与对称性
典例4 (1)(2022·福建模拟预测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+1)=
f(1-x),且f(-1)=1,则f(2 021)=( )
A.1 B.0 C.-2 021 D.-1
解析:(1)因为f(x)为奇函数,所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),
所以f(x+3)=f(x+2+1)=-f(x+2-1)=f(x-1),所以f(x+4)=f(x),
即f(x)是周期为4的周期函数,故f(2 021)=f(1)=-f(-1)=-1.故选D.
(2)(多选题)(2022·河北模拟预测)若函数f(2x+1)(x∈R)是周期为2的奇函数,则下列选项一定正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称
B.2是函数f(x)的一个周期
C.f(2 021)=0
D.f(2 022)=0
解析:(2)因为函数f(2x+1)(x∈R)是奇函数,所以f(2x+1)=-f(-2x+1) f(2x+1)+f(-2x+1)=0,函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故A正确;因为函数f(2x+1)(x∈R)的周期为2,所以f(x)的周期为4,故B错误;因为函数f(2x+1)(x∈R)是周期为2的奇函数,所以 f(2 021)=f(4×505+1)=f(1)=0,故C正确;f(2 022)=f(4×505+2)=f(2),无法判断f(2)的值,故D错误.故选AC.
函数的性质及应用
(1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上,尤其注意偶函数f(x)的性质:f(|x|)=f(x).
(2)单调性:可以用来比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性等.
(3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.
(4)对称性:①f(x)的图象关于直线x=a对称 f(a+x)=f(a-x) f(2a-x)=f(x);
热点训练3 (1)(2022·山东济宁一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=
-f(x),则f(2 022)=( )
A.0 B.1 C.-1 D.2 022
解析:(1)因为f(x-2)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4,函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(2)=
-f(0)=0,f(2 022)=f(505×4+2)=f(2)=0.故选A.
(2)(多选题)(2022·甘肃兰州一中期末)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,则下列关于f(x)的结论中正确的有( )
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)在[0,1]上是增函数
C.f(x)在[1,2]上是减函数
D.f(2)=f(0)
解析:(2)根据题意,若f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,则有f(2)=f(0),故D选项正确;若f(x+2)=f(x),且函数f(x)为偶函数,则有f(x+2)=f(-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A选项正确;f(x)在[-1,0]上是增函数,且函数f(x)为偶函数,则函数f(x)在[0,1]上是减函数,故B选项错误;f(x)在[-1,0]上是增函数,且f(x)是周期为2的周期函数,则函数f(x)在[1,2]上是增函数,故C选项错误.故选AD.(共33张PPT)
第2讲 基本初等函数、函数与方程
感悟高考 明确备考方向
B
C
C
D
当k=0时,在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=f(x)与y=|2x|的图象如图1所示,由图1知两函数的图象只有2个不同的公共点,不满足题意.
基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点,利用函数性质比较大小、解不等式、求函数值是常见题型,难度中等;函数零点的个数判断及求参数的取值范围是高考热点,常以压轴题的形式出现;以生活情境为背景命题来考查学生的阅读理解能力及运用数学模型解决实际问题的能力是近几年的高考热点,难度一般.
突破热点 提升关键能力
热点一 基本初等函数的图象与性质
1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,它们的图象和性质分01两种情况,着重关注两个函数图象的异同.
典例1 (1)(2022·山东潍坊二模)已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则以下说法正确的是( )
A.a+b<0
B.ab<-1
C.0D.loga|b|>0
(2)(2022·福建泉州模拟预测)已知函数f(x)=ax2-bx+c,若log3a=3b=c>1,则( )
A.f(a)C.f(b)1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数函数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的取值范围.
2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x2-3x+2)的单调区间时,容易只考虑t=x2-3x+2与函数y=ln t的单调性,而忽视t>0的限制条件.
3.指数函数、对数函数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.
(2)底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.
(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个函数值,常引入中间量或结合图象比较大小.
解析:(2)y=logax的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y=loga(-x),函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称,等价于y=loga(-x)与y=|x+2|,
-3≤x≤0的图象有且仅有一个交点.
当0当a>1时,只需loga3>1,所以1综上所述,实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3).故选D.
热点二 函数的零点
1.函数的零点与方程解的联系
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标,所以方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
2.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
考向1 函数零点的判断
考向2 求参数的值或取值范围
1.判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断.
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.
2.利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
热点三 函数模型及其应用
解函数应用题的步骤
(1)审题:缜密审题,准确理解题意,分清条件和结论,理清数量关系.
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.
(3)求模:求解数学模型,得出数学结论.
(4)反馈:将得到的数学结论还原为实际问题的意义.
(2)(2022·福建三明模拟预测)某科研机构新研制了一种治疗某种疾病的注射性新药,并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c(t)(单位:mg/L)随着时间t(单位:h)的变化用指数模型c(t)=c0e-kt描述,假定某药物的消除速率常数k=0.1(单位:h-1),刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2 000 mg/L,且这种新药在病人体内的血药含量不低于1 000 mg/L时才会对该疾病起疗效,现给某病人注射了这种新药,则该新药对病人有疗效的时长大约为(参考数据:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099)( )
A.5.32 h B.6.23 h C.6.93 h D.7.52 h
1.构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型.
(2)构建的函数模型有误.
(3)忽视函数模型中变量的实际意义.
2.解决新概念信息题的关键
(1)依据新概念进行分析.
(2)有意识地运用转化思想,将新问题转化为我们所熟知的问题.(共27张PPT)
第3讲 不等式
感悟高考 明确备考方向
ABD
C
C
4.[不等式的解法] (2019·天津卷,T10)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为 .
高考对不等式的性质及不等式的解法的考查一般不单独命题,常和集合、函数图象与性质相结合,也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中.基本不等式主要渗透在其他知识中求最值.题型多以选择题、填空题的形式呈现,中等难度.
突破热点 提升关键能力
热点一 不等式的性质及应用
典例1 (1)(多选题)(2022·河北张家口一模)若a>b,则下列不等式正确的有
( )
A.a-b>0 B.2a>2b
C.ac>bc D.a2>b2
解析:(1)对于A,因为a>b,所以a-b>0,故A正确;
对于B,因为函数f(x)=2x在R上单调递增,所以2a>2b,故B正确;
对于C,当c≤0时,ac>bc不成立,故C不正确;
对于D,当a=1,b=-2时,a2=1判断关于不等式命题真假的常用方法
(1)作差法、作商法.
(2)利用不等式的性质推理判断.
(3)利用函数的单调性.
(4)特殊值验证法,特殊值法只能排除错误的命题,不能判断正确的命题.
热点二 不等式的解法
不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立 f(x)min>a,x∈I;f(x)(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立 当x∈I时,f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方.
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.
求解含参不等式ax2+bx+c<0恒成立问题的易错点
(1)对参数进行讨论时分类不完整,易忽略a=0时的情况.
(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.
(3)不考虑a的符号.
热点训练2 (1)已知关于x的不等式ax-b≤0的解集是[2,+∞),则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0的解集是( )
A.(-∞,-3)∪(2,+∞)
B.(-3,2)
C.(-∞,-2)∪(3,+∞)
D.(-2,3)
解析:(1)由关于x的不等式ax-b≤0的解集是[2,+∞),得b=2a且a<0,
则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0可化为x2+x-6>0,
即(x+3)(x-2)>0,解得x<-3或x>2,
所以不等式的解集为(-∞,-3)∪(2,+∞).故选A.
答案:(1)A
答案:(2){x|-1≤x≤1}
热点三 基本不等式
基本不等式求最值的三种解题技巧
(1)凑项:通过调整项的符号,配凑出符合基本不等式条件的项,使其积或和为定值.
(2)凑系数:若无法直接运用基本不等式求解,通过凑系数后可得到和或积为定值,从而利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的条件
(1)一正二定三相等,三者缺一不可.
(2)若连续两次使用基本不等式求最值,必须使两次等号成立的条件一致,否则最值取不到.
答案:(1)A
答案:(2)9(共27张PPT)
第4讲 导数与函数的单调性、极值、最值
感悟高考 明确备考方向
D
1.[函数的极值](2021·全国乙卷,T10)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )
A.ab C.aba2
解析:令f(x)=0,解得x=a或x=b,即x=a及x=b是f(x)的两个零点.
当a>0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,
则函数f(x)的大致图象如图所示,则0当a<0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如图所示,则ba2.故选D.
C
D
3.[导数的几何意义](2021·新高考Ⅰ卷,T7)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )
A.ebC.0答案:1
5.[函数的最值](2021·新高考Ⅰ卷,T15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
答案:1
本讲内容是高考考查的重点与难点,主要涉及以下三个方面:(1)导数的几何意义和计算是导数应用的基础,是高考的热点,多以选择题、填空题的形式考查,难度较小.(2)应用导数研究函数的单调性,是导数应用的重点内容,也是高考的常见题型,以选择题、填空题的形式考查,或以导数解答题第一问的形式考查,难度中等偏上,属综合性问题.(3)利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容,多在选择题、填空题靠后的位置考查,或以解答题的形式出现,难度中等偏上,属综合性问题.
突破热点 提升关键能力
热点一 导数的几何意义
1.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=
y′u·u′x.
2.导数的几何意义
曲线的切线问题,把握以下三点:
(1)切点在曲线上.
(2)切点在切线上.
(3)导数即斜率.解决切线问题的关键是确定切点坐标.
典例1 (1)(2022·河南新乡三模)若函数f(x)=ex+x3+a的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=kx+2k,则a=( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
解析:(1)因为f(x)=ex+x3+a,则f′(x)=ex+3x2,则f′(0)=1=k,即切线方程为y=x+2,
所以f(0)=1+a=2,解得a=1.故选A.
答案:(1)A
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
答案:(2)(-∞,-4)∪(0,+∞)
求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.
热点训练1 (1)(2022·河北秦皇岛二模)已知函数f(x)为偶函数,当x>0时, f(x)=ln x-e1-x,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为( )
A.y-e2+1=0
B.y+1=0
C.(e2-1)x-y+e2-2=0
D.2x+y+3=0
答案:(1)D
(2)(2022·新高考Ⅱ卷) 曲线y=ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为 ,
.
热点二 利用导数研究函数的单调性
1.单调性的应用
(1)函数f(x)在区间D上单调递增(或递减),可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立.
(2)函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间,可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解.
2.利用导数研究函数单调性的步骤
(1)研究函数y=f(x)的定义域.
(2)求f(x)的导数f′(x).
(3)求出f′(x)的零点,划分单调区间.
(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号.
讨论含参数可导函数的单调性常见的四个方面:
(1)二次项系数的讨论.
(2)根的存在性讨论,“Δ”的讨论.
(3)根大小的讨论.
(4)根在不在定义域内的讨论.
提醒:若可导函数f(x)在区间D上单调递增,则有f′(x)≥0在区间D上恒成立,但反过来不一定成立.
热点训练2 (2021·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b.讨论函数f(x)的单调性.
解:由题意知f(x)的定义域为R,f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a).
①当a≤0时,令f′(x)=0 x=0,且当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
热点三 利用导数研究函数的极值和最值
1.判断函数的极值点,主要有两点
(1)导函数f′(x)的变号零点,即为函数f(x)的极值点.
(2)利用函数f′(x)的单调性可得函数的极值点.
2.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a,b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
3.若函数含有参数或区间含有参数,则需对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数的最值.
答案:(1)B
答案:(2)4-2ln 2
(1)求函数的极值或最值时,不能忽略函数的定义域.
(2)f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点,所以判断f(x)的极值点时,除了找f′(x)=0的实数根x0外,还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性.
(3)函数的极小值不一定比极大值小.
(4)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较大小才能下 结论.
(5)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值,还需研究单调性,结合单调性和极值情况,画出函数图象,借助图象得到函数的最值.
答案:(1)C
(2)(2022·广东模拟预测)已知直线y=t分别与函数f(x)=2x+1和g(x)=2ln x+x的图象交于点A,B,则|AB|的最小值为 .