(共43张PPT)
第4讲 圆锥曲线中的综合问题
感悟高考 明确备考方向
1.[圆锥曲线中的最值、范围问题](2021·全国乙卷,T21) 已知抛物线C:x2=
2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
1.[圆锥曲线中的最值、范围问题](2021·全国乙卷,T21) 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
(1)求E的方程;
(1)求C的方程;
圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容,常见的热点题型有:范围、最值问题,定点、定值问题,探索型问题等.常以解答题压轴题形式出现,难度较大.考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.
突破热点 提升关键能力
热点一 圆锥曲线中的最值、范围问题
考向1 范围问题
考向2 最值问题
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若M为椭圆C上的点,以M为圆心,MF的长为半径作圆M,若过点E(-1,0)可作圆M的两条切线EA,EB(A,B为切点),求四边形EAMB面积的最大值.
求解范围、最值问题的常见方法
(1)利用判别式来构造不等关系.
(2)利用已知参数的范围,在两个参数之间建立函数关系.
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.
(4)利用基本不等式.
热点二 圆锥曲线中的定点、定值问题
考向1 定点问题
考向2 定值问题
(1)动线过定点问题的两大类型及解法.
①动直线l过定点问题,解法:设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).
②动曲线C过定点问题,其中一种解法为:引入参变量建立曲线C的方程,将方程整理成关于参变量的多项式,再根据其对参变量恒成立,令多项式的各项系数等于零,建立方程组,得出定点.
(2)求解定值问题的两大途径.
①由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值:将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关.
②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值.
热点三 圆锥曲线中的存在性、证明问题
考向1 存在性问题
考向2 证明问题
(1)探索性问题的求解策略.
①若给出问题的一些特殊关系,要探索一般规律,并能证明所得规律的正确性,通常要对已知关系进行观察、比较、分析,然后概括一般规律.
②若只给出条件,求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时,一般先对结论给出肯定的假设,然后由假设出发,结合已知条件进行推理,从而得出结论.
(2)圆锥曲线中的证明问题常见的两个方面.
①位置关系方面:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等.
②数量关系方面:如存在定值、相等、恒成立等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算证明,但有时也会用反证法证明.
②椭圆C上是否存在三个点A,B,P,使得直线AB过椭圆C的左焦点F1,且四边形OAPB是平行四边形 若存在,求出直线AB的方程;若不存在,请说明理由.(共39张PPT)
专题六 解析几何
第1讲 直线与圆
感悟高考 明确备考方向
B
C
3.[直线与圆相切](2022·新高考Ⅰ卷,T14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 .
答案:x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(其中一条作答即可)
4.[直线与圆的位置关系](2022·新高考Ⅱ卷,T15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是
.
直线方程与圆的方程是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:
(1)直线方程:主要考查利用两直线平行、垂直求参数,高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查,难度中等,有时不直接考查,作为研究解析几何的基本工具隐性考查.主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.
(2)圆的方程:主要考查圆的方程的求解,研究直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,求弦长或切线;也常与圆锥曲线结合命题,难度中等偏上.主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.
突破热点 提升关键能力
热点一 直线的方程及应用
答案:(1)BD
(2)(2022·内蒙古赤峰模拟)已知直线l:ax+by+c=0,其中a,b,c成等差数列,则直线l恒过定点 ,若P(-1,0),N(2,1),过点P作直线l的垂线,垂足为M,则|MN|的最大值为 .
解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.
(2)要注意直线方程每种形式的局限性,点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直,而截距式方程既不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.
(3)讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.
热点训练1 (1)已知直线l1:x-my+1=0过定点A,直线l2:mx+y-m+3=0过定点B,l1与l2相交于点P,则|PA|2+|PB|2=( )
A.10 B.13 C.16 D.20
热点二 圆的方程及应用
1.圆的标准方程
当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.
(2)圆心在圆x2+y2=2上,与直线x+y-4=0相切,且面积最大的圆的方程为( )
A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.(x+1)2+(y+1)2=18 D.(x-1)2+(y-1)2=18
(1)直接法求圆的方程:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法求圆的方程:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
热点训练2 (1)(2022·山东菏泽一模)已知两条直线l1:2x-3y+2=0,l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都在变动)与l1,l2都相交,并且l1,l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,则动圆圆心的轨迹方程为( )
A.(y-1)2-x2=65 B.x2-(y-1)2=65
C.y2-(x+1)2=65 D.(x+1)2-y2=65
答案:(1)D
(2)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线,已知△ABC的顶点A(-2,0),
B(2,4),其欧拉线的方程为x-y=0,则△ABC的外接圆方程为 .
答案:(2)(x-1)2+(y-1)2=10
热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系:相交、相切和相离.
判断方法:
①点线距离法.
(2)与圆的切线有关的结论.
①过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.
③过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)圆与圆的位置关系,即内含、内切、相交、外切、外离.
答案:(1)BCD
(2)已知圆O:x2+y2=4,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点 .
(1)直线与圆相切问题的解题策略.
①直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题,可先求出圆心到圆外一点的距离,再结合半径利用勾股定理计算.
②求两圆的公共弦所在的直线方程,只需把两个圆的方程相减即可,而在求两圆的公共弦长时,则应注意数形结合思想的灵活运用.(共37张PPT)
第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
感悟高考 明确备考方向
C
B
ACD
答案:2(满足15.[抛物线的方程](2021·新高考Ⅰ卷,T14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px
(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
圆锥曲线的定义方程和性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:
(1)利用圆锥曲线的定义求解圆锥曲线的方程,利用定义实现距离的转化都是高考常见的命题方向,多以选择题、填空题的形式考查,难度中等,主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
(2)利用圆锥曲线的几何性质解决问题是高考的重点,尤其是椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线等,多以选择题、填空题的形式命题,难度中等,主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
突破热点 提升关键能力
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
(1)圆锥曲线的定义.
①椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).
②双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|).
③抛物线:|PF|=|PM|,l为抛物线的准线,点F不在定直线l上,PM⊥l于点M.
(2)求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”.
所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.
(1)方法技巧:回归定义,借助几何条件解题.
涉及圆锥曲线上的点与焦点的问题,一般都与圆锥曲线的定义有关,解题的关键一是回归定义,二是分析图形的几何关系.
①椭圆、双曲线定义的应用,主要是关联焦点三角形的周长和面积问题,注意正弦定理、余弦定理(涉及最值问题时常用到基本不等式)在解题中的应用.
②抛物线定义的应用,主要是利用定义确定动点的运动轨迹是不是抛物线的问题,涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题等,注意在解题中利用两个距离之间的相互转化.
热点训练1 (1)已知双曲线x2-5y2=25上一点P到其左焦点F的距离为8,则PF的中点M到坐标原点O的距离为( )
A.9 B.6 C.5 D.4
热点二 椭圆、双曲线的性质
②根据条件建立关于a,b,c的齐次式,消去b后,转化为关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.
热点三 抛物线的性质
答案:(1)AC
答案:(2)2
利用抛物线的几何性质解题时,要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系,灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论,使问题简单化且减少数学运算.(共37张PPT)
第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系
感悟高考 明确备考方向
B
直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.一般考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.
突破热点 提升关键能力
热点一 弦长、面积问题
解析:由y2=4x得F(1,0).由对称性知,不妨分析直线AB的斜率大于0的情形,作出图象.
如图所示,设点B,F在准线上的射影分别是点G,K,连接GB.根据抛物线的定义可知,原点O是线段KF的中点,所以Q是线段PF的中点,|PQ|=|QF|.
(1)设直线方程时,需考虑特殊直线,如直线的斜率不存在、斜率为0等.
(2)涉及直线与圆锥曲线相交时,Δ>0易漏掉.
(3)|AB|=x1+x2+p是抛物线过焦点的弦的弦长公式,其他情况该公式不成立.
热点二 中点弦问题
(1)处理中点弦问题常用的求解方法.
(2)中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.
热点三 直线与圆锥曲线位置关系的应用
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.
(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.
(3)利用判别式Δ,判断直线与圆锥曲线的位置关系.
(1)直线与双曲线只有一个交点,包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
热点训练3 (1)(多选题)(2022·河北秦皇岛二模)过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点A(1,-4)作两条相互垂直的直线,与C的另外两个交点分别为M,N,则
( )
A.C的准线方程是x=-4
B.过C的焦点的最短弦长为8
C.直线MN过定点(0,4)
D.当点A到直线MN的距离最大时,直线MN的方程为2x+y-38=0
