(共23张PPT)
培优提能 三角形中的中线、高线、角平分线问题
一、中线
[点睛]灵活运用同角的余弦定理,适用于解三角形的题型.
二、角平分线
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
1.利用角度的倍数关系:∠BAC=2∠BAD=2∠CAD.
2.求高一般采用等面积法,即求某底边上的高,需要求出面积和底边长度.
3.高线的两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关.
培优点1 三角形的中线问题
(1)求角B;
处理与三角形中线有关的问题的常用方法:
(1)利用互补角(如本例中∠ADB与∠CDB互补,其余弦值互为相反数)及余弦定理求解.
(2)利用中线长定理求解,但要书写其证明过程.
(3)利用向量法求解.
(1)求A的值;
培优点2 三角形的角平分线问题
(1)求∠ACB;
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
sin 2C=sin B,且AD为BC边上的中线,AE为∠BAC的平分线.
(1)求cos C及线段BC的长;
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,sin 2C=
sin B,且AD为BC边上的中线,AE为∠BAC的平分线.
(2)求△ADE的面积.
培优点3 三角形中的高线问题
典例3 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A;
典例3 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
解决与三角形的高线有关的问题常用等积法得到边的关系,进而用正弦定理、余弦定理解决.
(1)求sin B的值;
(2)若△ABC是钝角三角形,求BC边上的高.(共13张PPT)
培优提能 向量极化恒等式
答案:(3)[0,2]
利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化,体现了向量的几何属性,特别适用于以三角形为载体,含有线段中点的向量问题.
答案:(1)C
答案:(2)2
0
D
A
B
C E
ty
A
D
B
0
M N
C
x
D
C
M
A
B
美
C
N
B
C
M
B
D
N
0
A
X
A
E
F
B
D
C(共13张PPT)
培优提能 隐圆问题
隐圆问题在近几年高考题和各地模拟题中都出现过,难度为中高档,在题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中,要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐圆问题”.
培优点1 圆的定义或几何性质确定隐圆
解析:直线mx-y=0过定点A(0,0),直线x+my-4m-3=0过定点B(3,4),
①当m=0时,过定点A的直线方程为y=0,过定点B的直线方程为x=3,
两直线垂直,此时P(3,0),所以|PA|+|PB|=3+4=7,
利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆,是解决问题的关键,要注意数形结合.
D
(2)已知点A(-5,-5)在动直线mx+ny-m-3n=0上的射影为点B,若点C(5,-1),那么|BC|的最大值为( )
A.6 B.14 C.12 D.10
C
培优点2 定值确定隐圆
答案:[-2,1]
培优点3 阿波罗尼斯圆
在平面上给定相异的两点A,B,设点P在同一平面上且满足|PA|=λ|PB|,当λ>
0且λ≠1时,点P的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.
触类旁通3 在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+2)2+(y-m)2=3.若圆C上存在以G为中点的弦AB,且|AB|=2|GO|,则实数m的取值范围是 . (共16张PPT)
培优提能 圆锥曲线中二级结论的应用
(1)椭圆、双曲线中的常用二级结论.
④以AB为直径的圆与准线相切,以FA为直径的圆与y轴相切.
(3)抛物线方程为y2=2px(p>0),过点(2p,0)的直线与之交于A,B两点,则OA⊥OB,反之,也成立.
培优点1 结论在椭圆、双曲线中的应用
B
B
培优点2 结论在抛物线中的应用
答案:(1)C
该题通过抛物线弦长公式的结论的拓展,将复杂的面积问题抽象为长度、距离问题,体现了数学抽象的核心素养;通过倾斜角、斜率联立方程坐标运算,体现了数学运算的核心素养.
C
D
↑y
A
B
x
0
A
B
X
0
y
P
P3
Ps P
9
MA
A
Mr
M3
M
B
X
P2
P41
P10
y
A
f
0
B
x
C
y
A
D
f
M
0
B
X
C(共15张PPT)
培优提能 数列的奇偶项问题
数列的奇偶项问题主要考查学生的综合运用能力与探究问题能力,解决此类问题的难点在于搞清数列中奇数项和偶数项各自的首项、项数、公差、公比等,特别注意分类讨论等思想在解题中的灵活运用.
培优点1 累加法
A.a6=14
B.数列{a2k-1+3}(k∈N*)是以2为公比的等比数列
C.对于任意的k∈N*,a2k=2k+1-3
D.Sn>1 000的最小正整数n的值为15
答案:1 133
(1)求a2,a3,a4;
(2)求证:数列{bn}为等比数列,并求其通项公式;
(3)求和:Tn=a2+a4+…+a2n.
(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型.
①数列中连续两项和或积的问题(an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n));
②含有(-1)n的类型;
③含有{a2n},{a2n-1}的类型;
④已知条件明确的奇偶项问题.
(2)对于通项公式分奇数项与偶数项不同的数列{an}求Sn时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再求S2k-1=
S2k-a2k.
答案:(2)2n+1-2
①判断数列{bn}是不是等比数列,并写出其通项公式;
②求数列{an}的通项公式;
③求Sn.(共18张PPT)
培优提能 数列通项公式的求法
求数列的通项公式是高考重点考查内容,作为两类特殊数列——等差数列、等比数列,可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列,再利用公式求解,体现化归思想在数列中的应用.常见方法有累加法、累乘法、构造法(构造等比或等差数列)、利用an与Sn的关系求通项公式等.
培优点1 累加法
形如an+1=an+f(n)的数列,常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)求通项公式.
培优点2 累乘法
触类旁通2 设数列{an}满足a1=1,an+1=2nan,则通项公式an= .
培优点3 构造法
典例3 (1)已知数列{an}满足an+1=3an-1,a1=2,则数列{an}的通项公式为 .
(1)若数列{an}满足an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0),构造an+1+λ=p(an+λ).
(2)若数列{an}满足an+1=pan+f(n)(p≠0,1),构造an+1+g(n+1)=p[an+g(n)].
触类旁通3 (1)数列{an}满足an+1=3an+2n+1,a1=-1,则数列{an}的前n项和Sn=
.
(2)在数列{an}中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x-y+1=0上,则数列{an}的通项公式为 .
培优点4 已知Sn求an(或已知an与Sn的关系求an)
典例4 (1)(2022·辽宁六校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an+1,则a5= .
答案:(1)-16
当已知数列{an}含有an,Sn的等式时,往往用n-1替换n得到一个新的等式,然后两个等式相减,从而把前n项和转化为数列的通项之间的关系,再根据这个关系求解数列的通项公式.
由含an与Sn的关系式求an时,应注意以下三点:
(1)注意分n=1和n≥2两种情况处理,特别要注意使用an=Sn-Sn-1时需n≥2.
(2)由Sn-Sn-1=an(n≥2)推得an,当n=1时,a1也符合“an式”,则需“合写”通项公式.
触类旁通4 (1)(2022·安徽宿州十三校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=2(n∈N*),则{an}的通项公式为an= . (共27张PPT)
培优提能 立体几何中的动态问题
立体几何中的“动态问题”是指空间中的某些点、线、面的位置是不确定的或可变的一类开放性问题,解答此类问题应该动静结合、化动为静,找到相应的几何关系,具体有以下几种解决方法:
(1)函数法:某些点、线、面的运动,必然导致某些位置关系或一些变量的变化.变量变化时会引发其他变量的变化,从而建立函数关系,将立体几何问题转化为函数问题来解.
(2)解析法:我们常利用空间直角坐标系解决立体几何问题,即实现几何问题代数化.因此利用空间直角坐标系将空间图形中的若干元素坐标化后,借助向量进行运算和分析,是解决这类问题的常用方法.
(3)等价转换法:动和静是相对的,在运动变化过程中,要善于寻找或构造与之相关的一些不变因素,将一些变化的点、线、面进行合理转换,实现变量与不变量的结合.
培优点1 以静制动(旋转问题、射影问题)
典例1 正四面体ABCD的棱长为1,棱AB∥平面α(如图),则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .
在解决立体几何中的“动态”问题时,需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面,让几何图形的实质“形销骨立”,即从混沌中找出秩序,是解决“动态”问题的关键.
培优点2 动点轨迹(长度)问题
空间中动点轨迹问题变化并不多,一般此类问题可以从三个角度进行分析处理,一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释;二是平面与平面交线得直线或线段;三是平面和曲面(圆锥,圆柱侧面,球面)交线得圆、圆锥曲线.很少有题目会脱离这三个方向.
触类旁通2 (多选题)(2022·湖南郴州高三期末)如图,点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点,则( )
AC
培优点3 翻折问题
典例3 如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的
中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的
等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,
使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积的最大值为 cm3.
在解决立体几何中的“动态”问题时,对于一些很难把握运动模型(规律)的求值问题,可以通过构建某个变量的函数,以数解形.
触类旁通3 (1)(多选题)(2022·河北唐山高三期末)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,E为AB的中点,将△AED沿DE所在的直线翻折,使A与A′重合,得到四棱锥A′-BCDE,则在翻折的过程中( )
A.DE⊥AA′
B.存在某个位置,使得A′E⊥CD
C.存在某个位置,使得A′B∥DE
D.存在某个位置,使四棱锥A′-BCDE的体积为1
AB
(2)(多选题)(2022·广东罗湖高三期末)在△ABC中,AB⊥BC,且AC=2,BC=1,若将△ABC沿AC边上的中线BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD.点E在由此得到的四面体ABCD的棱AC上运动,则下列结论正确的为( )
BCD
培优点4 动态最值问题
典例4 (多选题)(2022·江苏常州高三期末)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长
为3a,点M是棱BC上的定点,且BM=2CM,点P是棱C1D1上的动点,则( )
解决与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题,一般可以从三方面着手:
(1)从问题的几何特征入手,充分利用其几何性质去解决;
(2)利用空间几何体的侧面展开图;
(3)找出问题中的代数关系,建立目标函数,利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多,在函数建成后,可用一次函数的端点法,二次函数的配方法、公式法,函数有界法(如三角函数等)及导数法等.
触类旁通4 (多选题)(2022·广东揭阳高三期末)如图所示,已知正方体
ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是AD,CC1的中点,P是线段AB上的动点,则下列说法正确的是( )
BD(共15张PPT)
培优提能 球的切、接问题
空间几何体的外接球与内切球是高中数学的重点、难点,也是高考命题的热点,解决此类问题的关键是确定球心,一般通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心两大策略解决此类问题.
典例1 (1)(2022·天津滨海新区校级模拟)已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,且侧棱长为1,则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A.π B.3π C.6π D.9π
答案:(1)B
答案:(2)D
1.解决多面体的外接球问题,关键是确定球心的位置,方法是先选择多面体的一面,确定此面外接圆的圆心,再过圆心作垂直此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点确定球心的准确位置.对于特殊的多面体还可以采用补成正方体或者长方体的方法找到球心的位置.
2.求解多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以球心为顶点、多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径.
C
D
(3)(2022·湖北黄冈中学三模)若一个正六棱柱既有外接球又有内切球,则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比为( )
A.2∶1 B.3∶2 C.7∶3 D.7∶4
C
(4)(2022·江西赣州模拟预测)已知正三棱锥S-ABC的内切球与外接球的球心恰好重合,如果其内切球的半径为1,
其外接球的体积为36π,那么这个三棱锥的表面积为( )
B(共16张PPT)
培优提能 非线性回归问题
1.直接换元的非线性模型
2.间接转化
(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1,{xi}和{vi}的相关系数为r2,请从样本相关系数的角度,选择一个拟合程度更好的模型;
(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据,建立Y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01);
(ⅱ)若下一年销售额y需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元
非线性回归方程的求法
(1)根据原始数据作出散点图.
(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数.
(3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求经验回归方程.
(4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性回归方程.
(1)请从样本相关系数的角度分析哪一个模型的拟合程度更好;
Y年销售额亿元
83060
x
1015202530年研发资金/亿元(共24张PPT)
培优提能 概率与统计的创新问题
概率与统计问题主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息,搞清各数据、各事件间的关系,建立相应的数学模型.
典例1 为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,人们希望知道哪种新药更有效,为此进行了动物试验.试验方案如下:每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验.对于两组白鼠,当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得 -1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列;
典例1 为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,人们希望知道哪种新药更有效,为此进行了动物试验.试验方案如下:每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验.对于两组白鼠,当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得 -1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),
其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.
①求证:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;
典例1 为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,人们希望知道哪种新药更有效,为此进行了动物试验.试验方案如下:每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验.对于两组白鼠,当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得 -1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),
其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.
②求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
概率统计问题与数列的交汇,综合性较强,主要有以下类型:
(1)求通项公式:关键是找出概率Pn或数学期望E(Xn)的递推关系式,然后根据构造法(一般构造等比数列),求出通项公式.
(2)求和:主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和.
(3)利用等差、等比数列的性质,研究单调性、最值或求极限.
触类旁通1 (2021·沈阳模拟)某学校某班组织开展了“防疫有我,爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动,抽取四位同学,分成甲、乙两组,每组两人,进行对战答题.规则如下:每次每位同学给出6道题目,其中有道是送分题(即每位同学至少答对1题).若每次每组答对的题数之和为3的倍数,原答题组的人再继续答题;若答对的题数之和不是3的倍数,就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立,无论答对几道题概率都一样,且每次答题顺序不考虑,第一次由甲组开始答题.求:
(1)若第n次由甲组答题的概率为Pn,求Pn;
触类旁通1 (2021·沈阳模拟)某学校某班组织开展了“防疫有我,爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动,抽取四位同学,分成甲、乙两组,每组两人,进行对战答题.规则如下:每次每位同学给出6道题目,其中有道是送分题(即每位同学至少答对1题).若每次每组答对的题数之和为3的倍数,原答题组的人再继续答题;若答对的题数之和不是3的倍数,就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立,无论答对几道题概率都一样,且每次答题顺序不考虑,第一次由甲组开始答题.求:
(2)前4次答题中甲组恰好答题2次的概率为多少
典例2 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高
气温 [10,15) [15,20) [20, 25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
典例2 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高
气温 [10,15) [15,20) [20, 25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值
概率统计问题与函数的交汇,综合性较强,一是借助二次函数、分段函数的性质,利用单调性求均值、方差的最值;二是利用导数研究函数的极值点,从而确定最优解.但问题的本质仍是以概率统计为主导,利用函数的性质或借助导数这一工具加以辅助求解.
触类旁通2 某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱.
(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如表:
年份 2017 2018 2019 2020 2021
成交额
百亿元 9 12 17 21 27
求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2017年为 x=1,2018年为x=2,……依次类推)的经验回归方程,并预测2022年该平台“双十一”购物节当天的成交额
(百亿元);
触类旁通2 某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱.
(2)在2022年“双十一”购物节前,某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A,B两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸、妈妈在A,B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p,q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X.
①求X的分布列及E(X);
触类旁通2 某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱.
(2)在2022年“双十一”购物节前,某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A,B两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸、妈妈在A,B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p,q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X.(共22张PPT)
培优提能 函数的同构问题
1.利用结构相同构造函数
(1)同构式:是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式.
(2)同构式的应用:
①在方程中的应用:如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征,则a,b可视为方程f(x)=0的两个根.
②在不等式中的应用:如果不等式的两侧呈现同构特征,则可将相同的结构构造为一个函数,进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.
③在解析几何中的应用:如果A(x1,y1),B(x2,y2)满足的方程为同构式,则A,B为方程所表示的曲线上的两点.特别地,若满足的方程是直线方程,则该方程即为直线AB的方程.
④在数列中的应用:可将递推公式变形为“依序同构”的特征,即关于(an,n)与(an-1,n-1)的同构式,从而将同构式设为辅助数列便于求解.
究其实质,都是找到数式中的“结构”相同之处,将变数视为“变量”,从而构造出函数、方程或数列.
2.指对混合同构
(1)指对变形的五种等价形式.
①ln ex=x=eln x(核心公式);
②xex=eln xex=eln x+x;
④x+ln x=ln ex+ln x=ln (xex);
说明:上述三个方法“取对”是最快捷和直观的.
培优点1 利用同构特点解决问题
典例1 (1)(2020·全国Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y,则( )
A.ln (y-x+1)>0 B.ln (y-x+1)<0
C.ln |x-y|>0 D.ln |x-y|<0
解析:(1)由2x-2y<3-x-3-y移项变形为2x-3-x<2y-3-y.设f(t)=2t-3-t,
因为f(t)=2t-3-t单调递增,易知f(t)是定义在R上的增函数,故由2x-3-x<2y-3-y,可得x所以y-x>0 y-x+1>1,从而ln (y-x+1)>0.故选A.
答案:(1)A
答案:(2)C
答案:(3)2
构造函数的策略
(1)直接构造:如果关系式的左右形式相当,一边一个变量,取左或取右,构造函数.
(2)变形构造:如果关系式的左右形式少有差异,可适当变形后得到已知中出现的“两个变量”,然后利用结构相同,构造出一个函数,最后利用函数的性质解题.
触类旁通1 (1)(多选题)若2-x-2y>ln x-ln (-y)(其中x>0),则( )
A.y-x>0 B.x-y>0
C.x+y>0 D.x+y<0
解析:(1)显然-y>0,又x>0,则x-y>0,故B正确;
由2-x-2y>ln x-ln (-y)移项变形为2-x-ln x>2y-ln (-y),
设f(x)=2-x-ln x(x>0),
易知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,
由2-x-ln x>2y-ln (-y),即f(x)>f(-y),可得x<-y,故x+y<0,故D正确.故选BD.
答案:(1)BD
答案:(2){x|x<-2或-1答案:(3)[1,+∞)
培优点2 指、对同构问题
典例2 对下列不等式或方程进行同构变形,并写出相应的同构函数.
(1)log2x-k·2kx≥0;
(2)aln (x-1)+2(x-1)≥ax+2ex;
解:(2)aln (x-1)+2(x-1)≥ax+2ex aln (x-1)+2(x-1)≥aln ex+2ex,相应的同构函数f(x)=aln x+2x.
典例2 对下列不等式或方程进行同构变形,并写出相应的同构函数.
(3)e-x-2x-ln x=0.
解:(3)e-x-2x-ln x=0 e-x-x=x+ln x e-x+ln e-x=x+ln x,相应的同构函数f(x)=x+ln x.
同构法的基本思路是通过恒等变形,创造“相同结构”,为构造函数做准备.要提高“识别”能力,即什么样的函数结构会用“同构法”解决,在解决问题的过程中不断提高运用函数思想方法解决问题的意识和能力.
触类旁通2 已知函数f(x)=aexln x(a≠0),若 x∈(0,1),f(x)(2)(2020·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a,若f(x)≥1,求a的取值范围.
同构法解题步骤
第一步:对不等式或方程进行同构变形,找到对应的同构函数.
第二步:判断对应函数的单调性.
第三步:求参数取值范围或证明不等式.
答案:(1)C
答案:(2)-e(共15张PPT)
培优提能 极值点偏移问题
培优点1 对称变换(对称化构造)
典例1 已知函数h(x)与函数f(x)=xex(x∈R)的图象关于原点对称,如果x1≠x2,且h(x1)=h(x2),求证:x1+x2>2.
证明:由题意知,h(x)=-f(-x)=xe-x,h′(x)=e-x(1-x),令h′(x)=0,解得x=1.
当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如表:
对称变换,常用来解决题设中f(x1)=f(x2),且与x1,x2之和或积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下:
(1)定函数(极值点为x0),即利用导函数符号的变化判断函数单调性,进而确定函数的极值点x0.
(3)判断单调性,即利用导数讨论F(x)的单调性.
(4)比较大小,即判断函数F(x)在某段区间上的正负,并得出f(x)与f(2x0-x)的大小关系.
(5)转化,即利用函数f(x)的单调性,将f(x)与f(2x0-x)的大小关系转化为x与2x0-x之间的关系,进而得到所证或所求.
(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;
(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.
培优点2 消参减元(含参数问题先消参)
典例2 (2022·湖南郴州高三期末节选)已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R).若函数f(x)存在两个不同的零点x1,x2,证明:x1x2>e.
消参减元在消去参数后常利用比(差)值换元进行减元,进而建立与所求解问题相关的函数.就是根据已知条件首先建立x1,x2之间的关系,然后利用x1,x2之比
(差)作为变量,从而实现消参、减元的目的.设法用比值或差值(一般用t表示)表示x1,x2,继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解.其解题要点如下:
建方程 根据题设条件建立x1,x2所满足的方程
定关系 根据x1,x2所满足的方程,利用方程解的理论,建立x1,x2与参数之间的关系
消参减元 根据x1,x2之间的关系,化简或转化所求解问题,进行消参减元
构造函数 根据消参减元后的式子结构特征,构建相应的函数
求解问题 利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等,从而解决相关问题
触类旁通2 设f(x)=ex-mx,m∈R.若函数y=f(x)在(0,+∞)有两个零点x1,x2,
证明:x1+x2>2.
