专题2 函数与方程-2023年高考数学二轮复习专题 学案（含答案）

专题2 函数与方程
探究1：判断零点个数或已知零点个数求参问题
【典例剖析】
例1.(2022·安徽省合肥市联考) 已知是函数的零点，设，，则( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练1-1(2021·北京市月考卷) 已知函数若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
练1-2(2021.江苏省南通市月考) 设是定义域为的奇函数，且，当时，
，将函数的正零点从小到大排序，则的第个正零点为( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.解题的理论依据
⑴函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.
即方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点.
⑵函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线,且有,那么,函数在区间内至少有一个零点,即存在,使得,这个也就是方程的解.
2.方法提炼
(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
①解方程法：先函数对应的方程，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；
②定理法：利用零点存在定理进行判断；
③图象法：画出函数图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断．
(2)判断函数零点个数
①直接求零点：令，则方程根的个数即为零点的个数；
②利用零点存在定理：利用零点存在定理及函数的图象和性质(单调性、奇偶性、周期性)确定函数零点个数；
③数形结合：直接作出的图象，由图象与轴交点个数得出函数零点个数；或令，转化为,则函数的零点个数即为与的图象的交点个数.
(3)利用函数零点的情况求参数值或取值范围
①直接法：结合题干条件，直接利用零点存在定理构建关于参数的不等式求解．
②分离参数法：分离参数，转化为求函数的值域(最值)问题求解．
③数形结合法：对解析式变形，转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，进而构建关于参数的不等式求解．　 　
探究2：函数零点与方程根的转化
【典例剖析】
例2.(2021·安徽省池州市月考) 已知函数，若方程在区间内有且仅有一个根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练2-1(2022·山东省日照市联考) 设函数的图象在点处的切线为，若方程
有两个不等实根，则实数的取值范围是 ．
练2-2(2022·广东省惠州市月考) 设，是定义在上的两个周期函数，的周期为，的周期为，且是奇函数．当时，，，其中若在区间上，关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是 ．
【规律方法】
1.方程问题的关键是转化为“点”的问题解决：
⑴将方程的根转化为函数图象的交点问题解决：将方程,转化为，从而将方程根问题转化为函数图象交点问题；
⑵将方程的根转化为函数的零点问题解决：构造函数，利用零点存在定理，判断零点所在区间、判断零点个数、求出参数的取值范围.
在解决函数零点与方程根问题时，要有二个意识：一是会转化，函数零点、方程的根、两个图象的交点三者之间等价转化；二是要有整体观,结合图象的表征深化到图象所体现出的函数的性质，如中心对称、轴对称，奇函数或者偶函数的零点关于数轴原点对称等，从而推导出新的结论.
专题2 函数与方程--答案解析
例1.【解析】由可得，
进而得，因此，故，
，
，即，
，又，
，即，
，
综上，．
故选：．
练1-1.【解析】且存在实数，使得，
整理得，
原题转化为与的图象有交点，
画出的图象如下：
当 时，由图可知，．
故选A．
练1-2.【解析】由知函数的图像关于直线对称，
由是定义域为的奇函数知函数的图像关于点中心对称且，
所以函数是周期函数且周期，
又当时，，，且，
所以，解得
故当时，，再函数的性质，可大致作出的图像如下，
令，得，在上图中作出直线，
由图可知函数的第个正零点即为图中点对应的横坐标，又点与点相差一个周期，
令，解得，即点的横坐标为，
所以点的横坐标为，即函数的正零点按从小到大排序的第个正零点为．
故选C．
例2.【解析】方程等价于，等价于，
令，由题意知函数有且仅有一个零点，
则，令，
则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以要使函数在区间内有且仅有一个零点，需
解得，
即实数的取值范围是．
故选A．
练2-1.【解析】由，得，
得，且．
作出函数的图象如图，
由图可知，要使方程有两个不等实根，
则实数的取值范围是．
故答案为：．
练2-2.【解析】作出函数与的图象如图，
由图可知，函数的图象与的图象仅有个交点
要使关于的方程有个不同的实数根，
则，与，的图象有个不同交点，
①当函数与的图象相切时，
由到直线的距离为，得，解得，
②当的图象过点时，过两点，连线的斜率，
由图象可得，当时，函数与的图象在区间内有2个不同的交点，
即在区间、内各有2个不同的交点，
综上所述：的取值范围为
故答案为：
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