专题3 导数的几何意义-2023年高考数学二轮复习专题 学案（含答案）

专题3 导数的几何意义
探究1：求切线方程
【典例剖析】
例1.(2022·湖北省荆州市联考) 若函数和的图象有且仅有一个公共点，则函数的图象在点处的切线方程是 ．
【变式训练】
练1-1(2021·江苏省模拟) 请写出与函数的图象在点处具有相同切线的一个函数 ．
练1-2(2022·福建省模拟·多选) 若函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是( )
A. B.
C. ， D.
练1-3(2022·山西省联考)已知函数，，，．
求函数在区间上的极值；
证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切．
【规律方法】
1.求切线方程的方法：
⑴已知切点求切线方程：求出切线的斜率，由点斜式求出方程；
⑵已知切线的斜率为求切线方程：设切点，通过方程解得x0，由点斜式求出方程；
⑶求过点的切线方程：
①若为切点，求出斜率，求出切线方程；
②若点不是切点时：设出切点坐标 ,写出过的切线方程为
，将点的坐标代入切线方程求出，进而求出切线方程.
⑷若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由
求出切点坐标，求出切线方程．
2.补充
利用导数的几何意义解决不等式证明问题（切线放缩法）：常见的不等式如即为图象的一条切线；即为图象的一条切线；即为图象的一条切线，在利用导数解决不等式问题时，通过放缩能够简化证明.
探究2：与切线有关的参数问题
【典例剖析】
例2.(2022·广东省佛山市模拟) 已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则( )
A. B.
C. D. 或
【变式训练】
练2-1(2022·湖北省荆州市模拟) 已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·河南省豫东名校联考) 设函数的图象与的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则实数的最大值为 ．
练2-3(2022·湖北省模拟) 已知，是曲线的两条倾斜角互补的切线，且，分别交轴于点和点，为坐标原点，若，则实数的最小值是__________．
【规律方法】
1.已知切线方程而求函数中的参数
利用以下三点,即：①切点在切线上；②切点在曲线上；③切点处的导数值等于切线的斜率(斜率常常用两点确定的斜率公式表示).
2.含参数的两条曲线的公切线问题
两个函数与的图象存在公切线时,切点可以是同一个,也可是不同的两个切点.当切点一致时，利用、，建立关系求参；当切点不一致时,可以理解为该切线对于其中一条曲线是“在其上一点处”的切线,对另一曲线则是“过曲线外一点”的切线,用上述的思路即可解决.
3.利用导数的几何意义求解最值范围问题：数形结合法求最值范围时，导数生成的“切线”一种“临界状态”来解决不等问题.
专题3 导数的几何意义--答案解析
例1.【解析】由题意知的导数为，的导数为，
设，则①，
，即，化简得
②，
联立①②消得，，
令，
可得在上单调递增，又
在上有唯一零点，
方程有唯一解，即，
则，．
故，切线的斜率为，切线的方程为．
故答案为：
练1-1.【解析】，所以，则，
所以的图象在点处的切线方程为：，即；
若，则，即过点，
所以，，
所以的图象在点处的切线方程为；
即的图象与的图象在点处的切线方程相同．
故答案为：答案不唯一．
练1-2.【解析】当时，，
当时，满足条件；
当时，恒成立，不满足条件；
当，时，
当，满足条件；
当时，，函数单调递增，
且，，
所以存在，，满足条件．
故本题选ACD．
练1-3.【解析】解：，，
，
由得；由得．
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
，无极小值．
方法一
证明：设直线与相切于点，．
则直线的斜率，所以直线的方程为，
又因为直线与的图象相切，
联立得
由得
令，，
由得；由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，；
所以在区间和上各有一个零点．即有且只有两个不同的值，
故有且只有两条直线与函数，的图象都相切．
方法二
证明：设直线分别切，的图象于点，，
由，得的方程为，即：；
由，得的方程为，
即：
比较的方程，得，消去，得
令，则
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因，所以在上有零点，
，所以在上有零点，
所以在区间和上各有一个零点，即有且只有两个不同的值．
故有且只有两条直线与函数，的图象都相切
例2. 【解析】设切点为，由，
得，，
则过切点的切线方程为，把代入，
可得，即，
令，则，
可得当时，，当时，，
的增区间为，，减区间为，
又，，且当时，，当时，，
若经过点且与曲线相切的直线有三条，则，
可得．
故选：．
练2-1.【解析】设切点为，
的导数为，
由题意可得，
又，，
解得，，
即有，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故选A．
练2-2.【解析】设点，由于点为两函数曲线的公共点，
则，
而，且，
又在公共点处的切线重合，，
即，即．
又，，，
于是，．
设，，
则，，
在内单调递增，在内单调递减，
实数的最大值为．
故答案为：．
练2-3.【解析】设，则，设切点横坐标分别为，，
则切线方程分别为，，
且，即，
依题意，两点坐标分别为，，
，
由于，不相等，故取不到等号
则，即．
即的最小值为： ．
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