专题4 函数的单调性、极值与最值-2023年高考数学二轮复习专题 学案（含答案）

专题4 函数的单调性、极值与最值
探究1：利用导数研究函数单调性
【典例剖析】
例1.(2021·福建省福州市期中) 已知函数．
当时，求函数的单调区间；
是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
练1-1(2021·广东省汕头市联考) 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是( )
A. B.
C. 或 D.
练1-2(2022·湖南省长沙市一模) 已知，若对任意两个不等的正实数，都有
恒成立，则的取值范围是 ，若在区间上存在单调递增区间，则的取值范围是 ．
练1-3(2021·江苏省无锡市月考)已知函数．
若曲线在点处的切线为，求，的值；
若，讨论函数的单调区间．
【规律方法】
1.确定函数单调区间的步骤
⑴确定函数的定义域；
⑵求；
⑶解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
⑷解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2.含参函数的单调性讨论
⑴确定函数的定义域；
⑵求；
⑶确定导函数有效部分，记为:
对进行化简变形后，去除符号已经确定的部分，留下的部分则为的有效部分（如：,则）.
⑷确定导函数有效部分的类型：
①导函数有效部分是一次型：，则，因则“临界状态”即为0，讨论与0的大小关系；
②导函数有效部分是二次型且可因式分解型：，
，讨论与1的大小关系；
③导函数有效部分是二次型且不可因式分解型：,
，讨论，判断根个数.
④二次求导，研究单调性及零点从而判断原函数的单调性.
3.根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：在上单调，则区间是相应单调区间的子集．
(2)为增函数的充要条件是对任意的都有且在内的任一非空子区间上不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
探究2：函数的极值、最值问题
【典例剖析】
例2.(2022·重庆市市辖区模拟) 已知函数．
求函数的极值；
是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
练2-1(2021·浙江省宁波市期中) 已知函数有两个不同的极值点、，且，则实数的取值范围是 ．
练2-2(2022·山东省潍坊市模拟) 若对恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练2-3(2022·广东省联考·多选) 已知函数，则以下结论正确的是( )
A. 函数的单调减区间是 B. 函数有极小值，但无最小值
C. 函数有极大值，但无最大值 D. 函数有且只有个零点
【规律方法】
1.函数极值问题的常见类型及解题策略
⑴利用图象判断函数极值：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
⑵已知函数求极值：求导，判断函数单调性，判断极值点，进而求出极值.
⑶已知极值点个数求参数：已知函数极值点个数转化为导函数零点个数，转化为已知函数零点个数求参.
2.求函数在闭区间内的最大值和最小值的解题策略
⑴区间不含有参数：利用导数判断函数在区间上的单调性，若单调则在区间端点处取最值，若不单调则在极值点或区间端点处取最值；
⑵区间含有参数：分类讨论极值点与区间的位置关系，判断函数在区间上的单调性，从而得到函数的最值．
专题4 函数的单调性、极值与最值--答案解析
例1.【解析】当时，．
所以，
令，则或，
令，则．
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
存在，满足题设，
因为函数，
所以，
要使函数在上单调递增，
，，
即，，
令，，
则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以是的极小值点，也是最小值点，且，
在上的最大值为，
所以存在，满足题设．
练1-1.【解析】当时，，在上单调递减，显然，
，
令，可知该函数图象的对称轴为，
若在上不单调，则函数的图象与轴在内有交点，
只需或
解得或，
充分不必要条件，只要满足是或的真子集即可，因此只有选项符合要求.
故选D．
练1-2.【解析】不妨设，
因为恒成立，
则，
，
令，
则，所以函数是增函数，
对于恒成立，
对于恒成立，
，
当时，取得最大值，
．
即的取值范围是．
，
若在区间上存在单调递增区间，
则在区间上有解，且解为一个区间，
即在区间上有解，故，
故答案为；．
练1-3.【解析】由题意，，得点坐标为，
又，解得，
又点在直线上，，解得．
函数，
，
令，
易知，取值正负与取值正负一致，
①当时，，，
得：当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
②当时，为开口向下的二次函数，，令，
得，，
，，得：当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
③当时，为开口向上的二次函数，正负号不确定，
当时，，方程有两个不等的正根，．
则：当及时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，恒成立，得：当时，，单调递增；
综上：当时：函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时：函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时：函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时：函数的单调递增区间为．
例2.【解析】函数的定义域为，，．
由，得，由，得，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以当时，函数有极小值，无极大值．
由的单调递增区间是，单调递减区间是知，
①当，即时，函数在 上单调递减，
故函数最的小值为，显然，故不满足条件；
②当，时，函数上单调递减，在上单调递增，
故函数在上的最小值为，
令，，则，
可知在上单调递增，
因为，所以，可得，满足条件；
③当，即时，函数在上单调递减，
故函数在上的最小值为，
由，得，不满足条件．
综上所述，存在实数，使得函数在上的最小值为．
练2-1.【解析】函数的定义域为，且，
令可得，
设，其中，
因为函数有两个不同的极值点、，且，
则函数在上有两个不等的零点，
所以，，解得．
故答案为．
练2-2.【解析】令，则，
所以当时，在上恒成立，
故函数在上单调递增，且当时，，不满足题意
当时，由得，由得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，，
故令，，则，令得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以 ，
所以的最小值为．
故选A．
练2-3.【解析】，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，取得极小值点，，也为最小值点，
当时，取得极大值点，
又时，时，
作出函数的大致图像如图所示，
因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值．
函数与只有一个交点，
故函数有且只有个零点．
故选CD．
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