专题5 恒成立问题与有解问题-2023年高考数学二轮复习专题 学案（含答案）

专题5 恒成立问题与有解问题
探究1：函数最值法
【典例剖析】
例1.(2021·河南省焦作市期中) 设函数．
若函数在处的切线方程是，求实数，的值；
在的条件下，若对于恒成立，求实数的取值范围．
【变式训练】
练1-1(2022·江苏省镇江市联考) 已知不等式恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·江苏省南京市模拟) 对于任意的，恒成立，则的取值范围是 ．
【规律方法】
对于含参不等式的恒成立问题，将不等式朝着有利于通过导数判断函数单调性的方向变形,整理成一侧为常数的
形式,根据题目的全称量词或存在量词，将问题转化为函数最值与常数的关系,这是处理不等式问题的通法.
探究2：切线放缩法
【典例剖析】
例2.(2022·江苏省扬州市联考) 当时，不等式有解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练2-1(2022·辽宁省大连市模拟) 若对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
练2-2(2021·江苏省常州市质检) 已知函数其中为自然对数的底数．
当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；
若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【规律方法】
一些含参不等式中,将指数函数、对数函数综合起来考查,尤其是与有关的超越函数问题,若直接求导找零点(多数情况下是隐零点) ,过程往往复杂烦琐, 此时若能巧妙运用一些“切线不等式”进行放缩,将复杂的超越函数转化为简单函数(以直代曲),常常可以起到化繁为简、化难为易的效果.牢记两个重要的“切线不等式”:
(,当且仅当时等号成立)； (,当且仅当x=1时等号成立),这两个不等式是“切线”放缩法的基础.
探究3：必要性“探路”法
【典例剖析】
例3.( 2022·青海省西宁市一模)
已知函数，．
当时，求曲线在处的切线方程；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【变式训练】
练3-1(2022·江苏省联考) 已知函数
讨论函数的单调性
令，若恒成立，求实数的取值范围．
练3-2(2022·广东省模拟) 设函数．
当时，求函数的导函数的值域；
如果恒成立，求实数的最大值．
【规律方法】
对一类函数不等式恒成立问题,可以通过取函数定义域中某个数,缩小参数的讨论范围,获得初步的参数范围,之后在此范围内继续讨论进而解决问题.在这个定义中,“取函数定义域中的某一个数”相当于寻找一个能使题意成立的必要条件,而题目本身要寻求的参数的取值范围(或最值)相当于是使题意成立的充分必要条件.因此,在找到必要条件的基础上,只需要证明这个条件反过来能推出题意,即证明这个条件也是满足题意的充分条件.这样,充分性和必要性都成立,那么所求出的范围必然是题目所寻求的参数的准确取值范围,这便是必要性“探路”法.
探究4：同构法
【典例剖析】
例4.( 2022·安徽省蚌埠市联考) 已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ．
【变式训练】
练4-1(2022·广东省深圳市模拟) 已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
练4-2(2022·江苏省南通市联考) 对任意，不等式恒成立，则正实数的取值范围为 ．
【规律方法】
有些题中的不等式经适当整理变形后,可以表示成两侧结构相同的形式,如等价变形为,利用这个结构式构造对应函数,进而利用所构造函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)解题,这就是同构法.常见的同构形式有, ,,等.
探究5：“凸凹”反转法
【典例剖析】
例5.( 2022·湖北省模拟) 若关于不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练5-1(2021·湖南省模拟) 函数，若在恒成立，则的取值范围是 ．
练5-2(2021·广东省阳江市模拟) 已知函数，，，其中是自然对数的底数．
求函数在处的切线方程；
当时，恒成立，求的最大值．
【规律方法】
对不等式做适当变形：⑴不等式变形后,不等号两侧的对应函数呈现凹凸反转的特点；⑵两侧对应函数在同一点取最值.如不等式变形为,为凹函数且在处取得最小值,为凸函数且在处取得最大值,问题可转化为.
专题5 恒成立问题与有解问题--答案解析
例1.【解析】函数，，
，又，
在处的切线方程是，
又函数在处的切线方程是，
，解得：或，
，，；
由可得，
，，
令，则，
令，
，
当时，，单调递增，即单调递增，
，故在上单调递减，
故，
故实数的取值范围是．
练1-1.【解析】由题设，可知：，问题转化为在上恒成立，
令，则，
当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减；
所以，
故．
故选：．
练1-2.【解析】对任意，都有，
可得对恒成立，
设，导数为，
可令，，
则在递增，，，
可得在存在唯一的，使得，
当，，；，，，
则在递减，在递增，可得，
由，即，
即，即，又在时单调递增，
可得，即，
则，
故，即，
所以的取值范围是．
故答案为．
例2.【解析】先证
构造函数，则．
故当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，即，
又当时，等价于，
故原题等价于时，有解．
因为当时取等号，
所以，
故选A．
练2-1.【解析】依题意，即，
即对任意恒成立，
故对任意恒成立．
设可知函数在上单调递增，
所以，则，
令，，则，
当且仅当时等号成立，
所以．
故答案为．
练2-2.【解析】证明：时，，，
设，则，令，解得：，
，
故在区间递减，在递增，
故的最小值是对任意恒成立，
故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；
先证对任意，，，
令，，令，解得：，
，故在单调递减，
故，故，
令，则，
令，
令，解得：，
故
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，故，单调递增，
故，故，，
对于任意恒成立，
，故，
当时，
，
即对于任意的恒成立，
综上：的取值范围是．
例3. 【解析】当时，，所以，
，切点，所以切线方程为，即
设，因为，
所以只需考虑，
则，设，则，，
，
所以在上递增，所以的值域为，
当时，，为上的增函数，所以，满足条件．
当时，对于，，
令，，
存在，使得时，，
所以在上单调递减，所以，
即在时，，不满足．
综上，的取值范围为
练3-1．【解析】函数的定义域为，
有，
令，由，
可知函数单调递增，
又由，可知当时，，当时，，
当时，令可得，此时函数的减区间为，增区间为，
当时，则恒成立，可知此时函数单调递增，增区间为，没有减区间，
当时，令，可得或时，可知此时函数的减区间为，增区间为，
当时，令，可得或，可知此时函数的减区间为，增区间为
化简可得，
由，可得，
当时，由，，
可知恒成立，满足题意
当时，当且时，，
有，不合题意
当时，，由函数单调递增，且时
且时，故存在正数使得，可得，
若恒成立，只需要
令，
有．
由，有，令可得，
可知函数的增区间为，减区间为，
当时，，，，，可得此时，
又由，可得，可得，
由知，若恒成立，则实数的取值范围为．
练3-2．【解析】，
当时，，
令 ，所以 ，
所以在单调递减，
所以，
所以的值域为；
方法一：若 恒成立，
首先 ，所以 ，
当 时，因为，所以 ，
所以函数在 上单调递增，所以 ，
当时，令 ，
所以，
所以在上单调递减，
所以，
所以在 存在一个零点，
当时，，所以单调递减，
所以，即不恒成立，
综上：所以 ，则实数的最大值为．
方法二：
，，
且恒成立，
则，，，
现证明当，原式恒成立，
，
，
，
即在单调递增，，，原式成立，
，则实数的最大值为．
例4. 【解析】不等式可变形为
因为且，所以．
令，则所以函数在上单调递增．
不等式等价于，所以
因为，所以．
设，则．
当时，，函数在上单调递减
当时，，函数在上单调递增．
所以，所以
故正实数的取值范围是．
练4-1.【解析】因为，不等式恒成立，即恒成立，
即，进而转化为恒成立．
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
则不等式恒成立等价于恒成立．
因为，，所以，，
所以对任意的恒成立，所以恒成立．
设，可得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，函数取得最大值，最大值为，此时，
所以，解得，
即实数的取值范围是．
故选：.
练4-2.【解析】不等式可化为，
两边取对数得，即，
即，
设，则式转化为，
因为，所以单调递增，所以，
即对任意成立，即且，解得或．
故答案为：．
例5.【解析】不等式即：恒成立，
令，则，
结合函数的定义域和单调性可知：；
令，则，
在区间上，有：，
且的函数值恒正，
据此绘制函数的大致图象，
由图可得：实数的取值范围是．
故选B．
练5-1.【解析】要使，，
即在上恒成立，
设，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且，
设 则，
当，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
所以只需，又，则．
故答案为：．
练5-2.【解析】，
，，
所求切线方程为，即．
由得，又，则，
要证明，即证，
令，，
，
时，，单调递减
时，，单调递增，
，
，
时，，单调递增
时，，单调递减，
，
且等号不同时取得，
，即成立，
即当时，满足恒成立，
综上，的最大值为．
2