专题6 导数与不等式的证明-2023年高考数学二轮复习专题 学案（含答案）

专题6 导数与不等式的证明
探究1：构造辅助函数
【典例剖析】
例1.(2022·河南省信阳市月考) 已知函数．
若，求的极值；
讨论的单调区间；
求证：当时，．
【变式训练】
练1-1(2021·河南省质检) 已知函数，，．
当时，，求的取值范围；
证明：当时，．
练1-2(2022·湖北省腾云联盟高三联考) 已知函数．
若函数的最大值为，求实数的值
证明：当时，．
【规律方法】
1.不等式证明问题转化为函数问题解决，需要构造函数，常用的构造函数的方法有：
⑴直接作差(有时作商)构造函数；
⑵将待证不等式等价变形后再构造函数.其中的变形包括:数式变形、移项、提取因式、整体代换、分式变形、拆项拼凑、取对数等手段.
2.研究构造函数的单调性、最值，从而证明不等式：
⑴根据不等式的特点,构造辅助函数,利用导数判断函数的单调性,然后利用单调性由自变量的大小关系过渡到函数值的大小关系,从而获得不等式的证明；
⑵把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性并求出函数最值或者值域问题,从而证明不等式.构造一个辅助函数求最值，或构造两个辅助函数,证明一个函数的最小值大于另一个函数的最大值.
当用上述方法构造函数难以判断单调性时，可考虑用放缩法证明,在证明过程中将某部分函数式用另一个函数值比较大(或者比较小)的函数替换,从而构造新的函数,再利用函数的单调性加以证明.
探究2：含双变量的不等式证明
【典例剖析】
例2.(2021·河南省模拟) 已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数的图像与轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数，，都有．
【变式训练】
练2-1(2022·福建省漳州市期中) 已知函数．
讨论函数的极值点的个数；
若有两个极值点，，证明：．
练2-2(2022·山东省潍坊市联考) 已知函数．
当时，讨论函数的单调性：
若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．
【规律方法】
1.双变量是指在所证的关系中含有两个变量，两个变量地位相同、取值独立，双变量不等式证明问题的解题策略还是根据不等式的特征构造辅助函数,转化为判断函数单调性问题或求最值问题，关键是二元变量一元化.常用方法是先构造齐次式,然后再整体换元获得辅助函数, 再研究辅助函数的单调性或最值.
2.除了上述思路以外，也可以分离变量，使不等式两边具有对称性，构造函数研究单调性；或者设主变元，将其中一个变量看作参数，构造含参函数证明不等式.
探究3：辅助函数的导数零点不可求问题
【典例剖析】
例3.( 2021·吉林省松原市月考) 已知函数，曲线在点处的切线方程为
．
求，的值；
证明：．
【变式训练】
练3-1(2021·辽宁省沈阳市模拟) 已知函数．
若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；
当时，证明：．
练3-2(2021·安徽省合肥市联考) 已知函数．
求曲线在点处的切线方程
当时，求证：．
【规律方法】
辅助函数的导数零点不可求时,通常会虚拟设根的方法加以调整解决,即导数零点不可求,先设再估,利用零点存在定理探求范围(限制得越小越好),然后整体代换.或者猜想零点在特殊值处取得，可尝试用几个特殊值去试验函数值是否为零；必要时可多次求导，利用后一阶导数的正负判断前一阶函数的增减.
专题6 导数与不等式的证明--答案解析
例1.【解析】当时，，则其定义域为，；
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以的极小值为，无极大值．
由题意，得定义域为，；
①当时，，所以在上恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，令，解得，舍去
所以当时，；当时，；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
证明：令，则，
令，则；
当时，恒成立，所以在上单调递减，所以，
所以在上恒成立，所以在上单调递减，
所以，即当时，．
练1-1．【解析】当时，，
即，
即，
设，则，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
，则．
实数的取值范围为；
证明：，
，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
令，则，
易知在单调递增，在单调递减，
，
又取最值的条件不相同，故当时，．
练1-2．【解析】解：因为，
令，即，则，
当时，，；
当时，，，
所以在内递增，在内递减，
于是当时取得最大值，
由，得．
证明：当时，要证，
只需证，
由知，函数在在内递增，在内递减，
所以当时，；
令，
因为当时，，
所以在内递减，
于是，即，
所以，
即成立，
因此，成立．
例2.【解析】函数的定义域为，
．
当时，，在上单调递增；
当时，由，得．
若，，单调递增，
若，，单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
由知，当时，在上单调递增，不满足条件；
当时，的极大值为，
由已知得，故，
此时，
不妨设，则等价于，
即证：，
令，
，
故在上单调递减，
所以．
所以对于任意互不相等的正实数，，都有成立．
练2-1．【解析】解：，．
①当时，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
即函数只有一个极大值点，无极小值点；
②当时，，
令，得，
当时，，
所以在，上单调递增；
当时，，
所以在上单调递减，
即函数有一个极大值点，有一个极小值点；
③当时，，此时恒成立，
即在上单调递增，无极值点．
综上所述，当时，有且仅有一个极大值点，即只有个极值点；
当时，有一个极大值点和一个极小值点，即有个极值点；
当时，没有极值点．
证明：由可知，当且仅当时，有两个极值点，，
且，为方程的两根，
即，，
所以
，
令，，则恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即．
练2-2．【解析】函数的定义域为，
，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，则，
设，则，
易知，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增．
依题意，，则，
两式相除得，，设，则，，，
，，，
设，则，
设，则，
所以在单调递增，则，
，则在单调递增，
又，且，
，
，即的最大值为．
例3. 【解析】由切线方程可得，．
定义域为，．
所以，，解得，．
等价于．
设，则．
设，则函数在单调递增，
因为，，
所以存在唯一，使．
因为符号与符号相同，
所以当时，，当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，取得最小值，
由得，从而，
故．
所以．
练3-1．【解析】由函数的定义域为，
因为，是的极值点，
所以，所以，
所以，
因为和，在上单调递增，
所以在上单调递增，且，
当时，；
当时，，
此时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
证明：当时，，
设，则，
因为和，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，
所以存在使得，
所以在上，在上，
所以在单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，即，所以，
所以，
因为，所以，所以．
练3-2．【解析】解：由，得，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即所求切线方程为．
证明：法一：设，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，也是的最小值点，且，
故当且仅当时取等号．
设，则，
所以当时，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以是的极小值点，也是的最小值点，且，
故当且仅当时取等号．
所以，且两个等号不能同时取等，
故．
法二：设，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
又，，
则存在，使得，
即，则．
所以当时，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处有极小值也是最小值，
且最小值为
．
所以，即．
综上，当时，．
2