专题8 三角恒等变换-2023年高考数学二轮复习专题 学案（含答案）

专题8 三角恒等变换
探究1：三角函数式的求值
【典例剖析】
例1.(2022·浙江卷)若，，则 ， ．
【变式训练】
练1-1(2021·全国甲卷理科)若( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·河北省名校联考)已知，且，
，则的值为( )
A. B. C. D.
练1-3(2022·吉林省长春市二模)若,,且，，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
【规律方法】
1.给角求值:一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
2.给值求值:给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，
在进行角的变换时常见的解题思路：
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
3.给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角.
4.易错提醒
（1）公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．
（2）求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
探究2：三角函数式的化简
【典例剖析】
例2.(2022·新高考2卷)若，则( )
A. B.
C. D.
【变式训练】
练2-1(2021·新高考1卷)若，则( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·湖南省长沙市联考) 已知为三角形的内角，且，则 ．
练2-3(2022·辽宁省沈阳市模拟)若,,且,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.三角函数式化简的方法
（1）弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
（2）常值代换，三角公式的正用、逆用、变形用.
（3）在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次．
（4）三角函数式的化简过程中通常会用到辅助角公式.
2.常见“1”的代换
; ; ; .
3.化简要求
使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；分式中的分母尽量不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.
探究3：三角恒等变换的综合应用
【典例剖析】
例3.(2022·湖北省武汉市联考·多选)函数的图象关于对称,且，则( )
A. B.
C. D.
【变式训练】
练3-1(2022·安徽省淮北市模拟)已知，则的值为( )
A. B. C. D.
练3-2(2021·新高考1卷·多选)已知为坐标原点,点，，
，，则( )
A. B.
C. D.
练3-3(2022·广东省模拟)已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练3-4(2022·湖北省荆州市联考)如图，在扇形中，，，点为上的动点且不与点，重合，于，于点，则四边形面积的最大值为 ．
【规律方法】
1. 三角恒等变换主要有以下四变:
（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其方法通常是“配凑”
（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有切化弦、弦化切、正余弦互化等
（3）变幂：通过“升幂与降幂”，把三角函数式的各项变成同次，目的是有利于应用公式
（4）变式：根据式子的结构特征变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其方法有:常值代换、配方法等.
2.常用公式：
（1）半角的正弦、余弦、正切公式
① ② ③
（2）升幂公式：;;;
（3）降幂公式：;
（4）万能置换公式：;
3.三角恒等变换的综合应用主要是将三角恒等变换与三角函数的性质相结合,通过变换,将复杂的函数式化为
的形式再研究其性质.在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题.
专题8 三角恒等变换--答案解析
例1.【解析】因为，，
所以，即，
设，即，
所以，即，
所以，解得，
又因为，所以．
故答案为：，．
练1-1.【解析】，
因为，所以，则上式化简可得
所以．则．
故选
练1-2.【解析】由题设，，
所以，
而，且，所以，
则，
而．
故选．
练1-3.【解析】，，，，，
又，，即，，
又，，
，
．
又，，，，
故选A．
例2.【解析】因为，
所以，即，
所以，所以，
所以，所以，，
所以，所以．
故选．
练2-1.【解析】由题意可得：
．
故选C．
练2-2.【解析】因为为三角形的内角，且，
所以，，所以，可得，
则
．
故答案为：．
练2-3.【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以，即，
所以，或，即，或舍，故．
故选C．
例3.【解析】因为，，
其中，，
由于函数的图象关于对称，所以，即，化简得，
所以，即，
，
，
．
故选．
练3-1.【解析】由已知，，则，
从而，所以，
故选D．
练3-2.【解析】，，，，
，，，，
，，
则，，则，故A正确；
，
，
，故B错误；
，
，，故C正确；
，
，
，故D错误．
故选．
练3-3.【解析】法：因为，且，
所以，
令，，则，
由题意得，，
则，
当且仅当时取等号，即，得，
有，结合，得，此时的最小值为．
故选C．
法：因为，且，所以．
．
从而当时的最小值为
故选C．
练3-4.【解析】因为，，，，
所以，，，
则四边形的面积为
，
当，即时，四边形的面积取到最大值．
故答案为.
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