专题9 解三角形-2023年高考数学二轮复习专题 学案（含答案）

专题9 解三角形
探究1：利用正弦、余弦定理解基本量问题
【典例剖析】
例1.(2022·全国甲卷理科)已知中，点在边上，当取得最小值时， ．
【变式训练】
练1-1(2021·全国乙卷理科)记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则 ．
练1-2(2022·湖北省武汉市联考) 已知三边，，上的高分别为、、，则( )
A. B. C. D.
练1-3(2022·湖南省衡阳市联考)在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则的值为 ．
【规律方法】
1．正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
2．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
3．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
4. 在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
探究2：求解三角形中的最值与范围问题
【典例剖析】
例2.(2022·新高考1卷)记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求求的最小值．
【变式训练】
练2-1(2022·广东省名校联考)三个内角，，的对边分别为，，，且，．
若，求
求的面积的取值范围．
练2-2(2020·全国新课标Ⅱ理科)中，．
求； 若，求周长的最大值．
练2-3(2022·江苏省模拟)在中，角，，的对边分别为，，，已知，．
求角的大小；
若点在边上，且，求面积的最大值．

练2-4(2022·湖北省荆州市联考)记的内角，，的对边分别为，，,已知．
若，求
若，求的最小值．
【规律方法】
三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：
1.利用基本不等式求得最大值或最小值；
2.将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．
探究3：正、余弦定理在平面几何中的应用
【典例剖析】
例3.(2022·江苏省扬州市联考)在三角形中，，点在边上，，．
，求的面积；
若点在边上，，，求．
【变式训练】
练3-1(2022· 山东省潍坊市联考)已知的内角，，的对边分别为，，，且的面积为．
求
若，的角平分线与边相交于点，延长至点，使得，求．
练3-2(2022·湖北省联考) 如图，是边长为的等边三角形，线段交于点，．
求
若，求长．
练3-3(2022·湖南省联考) 如图，在梯形中，，，，．
若，求梯形的面积
若，求．
练3-4(2022·河北省秦皇岛市三模)从，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在平面四边形中，已知，且________．
求；
若，且，求的长．
【规律方法】
解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：
1.充分利用平面几何图形的性质；
2.出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；
3.四边形问题要转化到三角形中去求解；
4.通过三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于)确定角或边的范围．
专题9 解三角形--答案解析
例1.【解析】设，
则在中，，
在中，，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，．
故答案为或
练1-1.【解析】的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，
，
又，负值舍
故答案为．
练1-2.【解析】设三边，，长分别为，，，
因为三边，，上的高分别为、、，所以，
所以．
故选C.
练1-3.【解析】在中，
，，，
由可得，．
再由余弦定理可得 ，
故答案为．
例2.【解析】，且，
，，
又，，，．
又，，．
由正弦定理，
得，
，令，
则，，
在时递减，在时递增，
因此时，．
练2-1.【解析】由，得，
因为，所以，又，所以，
所以，解得；
因为，，所以，化简得，
又，所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，当且仅当时，等号成立，
故，即的面积的取值范围为
练2-2.【解析】在中，设内角，，的对边分别为，，，
因为，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得，，因为，所以．
由知，，因为，即，
由余弦定理得，，所以，
由基本不等式可得，所以
所以当且仅当时取得等号，
所以周长的最大值为．
练2-3.【解析】因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
因为，所以所以，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为．
练2-4.【解析】 因为，所以，
整理得，即，
因为，所以或，
解得或，故C或．
由，得，
，则，
又因为，所以，，
则，因此，且，
，
，
当且仅当时，有最小值．
例3.【解析】在中，由余弦定理得，
即，则舍负，
所以；
，，则为正三角形，，，
设，在中，，，
由正弦定理得
在中，，，，
由正弦定理得，
由和得，
即，
又，则，故，
所以，即．
练3-1.【解析】由题可知，所以，
由余弦定理，所以，即，
因为，所以
如图，不妨令，因为，可得，，
又因为为的角平分线，所以，，得，
所以在中，
由余弦定理可得，即，
在中，可得，，所以，
在中，由余弦定理可得，
得．
练3-2.【解析】在中，由余弦定理可得，
代入数据可得，所以，
由正弦定理可得，
所以；
由图可知为钝角，则，
，
又，在中，由余弦定理可得：
，
所以．
练3-3.【解析】设，在中，
由余弦定理得：
，即，而，解得，
所以，则的面积，
梯形中，，与等高，且，
所以的面积，
则梯形的面积．
在梯形中，设，而，
则，，，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
两式相除得：，
整理得，
即，
解得或，
因为，则，即．
练3-4.【解析】选：在中，由正弦定理有，
所以，，
选：，解得，
在中，由余弦定理有，
，由正弦定理可得，所以．
由正弦定理可得，所以．
，，
，．
在中，由正弦定理可得，．
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