2021-2022学年四川省成都市高新区石室天府中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年四川省成都市高新区石室天府中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本题共8小题，共32分）
1. -2022的倒数是(????)
A. 2022 B. -12022 C. -2022 D. 12022
2. 如图所示的几何体，其左视图是(????)
A.
B.
C.
D.
3. 截止至10月7日，著名电影《长津湖》票房情况理想，总票房甚至达到46.49亿，46.49亿用科学记数法表示为(????)
A. 46.49×108
B. 4.649×108
C. 4.649×109
D. 0.4649×1011
4. 已知点P(a,3)、Q(-2,b)关于y轴对称，则a+ba-b的值是(????)
A. -5
B. 5
C. -15
D. 15
5. 下列运算正确的是(????)
A. x4?x3=x12
B. (-xy3)3=-x3y9
C. 3x2+2x2=5x4
D. (x-y)2=x2-y2
6. 如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥，已知AB的长为10，∠CAO+∠CBO=30°，则弧AB的长为(????)
A. 53π B. 203π C. 153π D. 103π
7. 某地连续8天的最低气温统计如表，该地这8天最低温度的中位数是(????)
最低气温(℃)
14
20
18
25
天数
1
3
2
2
A. 14 B. 18 C. 19 D. 20
8. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为(????)
A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9. 分解因式：a2-b2= ______ ．
10. 若二次函数y=2x2-3x+c与x轴有两个不同交点，则c的取值范围是______ ．
11. 把抛物线y=-2x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的表达式为______．
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，分别以B、C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，过两弧的交点作直线MN，交AB于点M，交BC于点N，则CN的长为______．
13. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列5个结论：①abc<0；②3a+c>0；③4a+2b+c>0；④当x>0时，y随x的增大而增大；⑤b2>4ac.其中正确的______(填序号)
14. 设a，b分别是方程x2+x-2022=0的两个实数根，则a2+2a+b的值是______ ．
15. . 反比例函数y=kx(k≠0)，当x<0时，y随x的增大而减小，则一次函数y=-kx+k的图象不经过第______象限．
16. 刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．下图是其中的一个图形，六边形ABCDEF是⊙O的外切正六边形，现随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是______.(结果不取近似值)．
17. 如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD=∠B(或∠BCD=∠A)，则称满足这样条件的点D为△ABC边AB上的“子母点”．
如图②，⊙O中，AB为直径，且AB=10，AC=8，若点D是△ABC边AB上的“子母点”，则CD=______．
如图③，直角坐标系中，点A(0,2)，B(0,-3)，C(6,0)，∠ACB=45°，在y轴存在点D使点A是△BCD的“子母点”，则点D的坐标为______．
18. 如图，将直角△ABC沿斜边AC翻折后B点的对应点B'，点P、Q是线段AB、B'C上的动点，且BP=B'Q，已知AB=12，BC=5，则线段PQ的最小值为______．
right152400
right0
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19. (1)计算：(3-π)0+4sin45°-8+|1-3|；
(2)先化简，再求值：(1-1x-2)÷x2-6x+92x-4.其中x=33+3．
20. 乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高.(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果精确到0.1m)
21. “天宫课堂”第二课于2022年3月23日开讲啦！神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员在轨介绍展示中国空间站工作生活场景，演示了微重力环境下的四个实验现象，并与地面课堂进行实时交流，课堂中展示了四个实验：A、太空冰雪实验：B、液桥演示实验：C、水油分离实验：D、太空抛物实验，某校七年级数学兴趣小组成员随机抽取了本年级的部分同学，调查他们对这四个实验中最感兴趣的一个，并绘制了两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)求本次被调查的学生总人数；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校七年级共有1200名学生，估计全年级对太空抛物实验最感兴趣的学生有多少名？
22. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若CF=52，且sin∠CFD=35，求⊙O的半径与线段BC的长．
23. 如图，直线y=32x与双曲线y=kx(k≠0)交于A，B两点，点A的坐标为(m,-3)，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC=2CD．
(1)求k的值并直接写出点B的坐标；
(2)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点G是直线AB上的动点，连接GB，GC，若三角形GBC的面积为4，求点G的坐标．
24. 某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．
(1)求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？
(2)该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？
25. 已知抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为P(2,-1)．
(1)求抛物线的解析式；并画出草图(要求标注点A、B、C、P)；
(2)点A(t,y1)，B(t+1,y2)在抛物线上，当t>2时，比较y1与y2的大小；
(3)在抛物线对称轴上l上，有一条自由滑动的线段EF(点E在点F的上方)，已知EF=1，当|EC-AF|的值最大时，求△FBC的面积．
26. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，M为BC的中点，过点M作AB的垂线，垂足为点H，交DE于点N，点D在线段MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)探索线段DN、EN的大小关系并说明理由；
(3)若α=90°，AB=2AC，AE=2AD，探索线段MN、CD的数量关系，并证明；若α=90°，AB=nAC，AE=nAD，探索线段MN、CD的数量关系．
答案和解析
1.【答案】B?
【解析】解：-2022的倒数是：-12022．
故选：B．
直接利用倒数的定义得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2.【答案】B?
【解析】解：从左边看，是一个正方形，正方形内部有两条横向的虚线．
故选：B．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】C?
【解析】解：46.49亿=4649000000=4.649×109．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A?
【解析】解：∵点P(a,3)、Q(-2,b)关于y轴对称，
∴a=2，b=3，
∴a+ba-b=2+32-3=-5，
故选：A．
根据关于y轴对称的点的坐标特点可得a、b的值，然后可得答案．
此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
5.【答案】B?
【解析】解：A：原式=x7，∴不符合题意；
B：原式=-x3y9，∴符合题意；
C：原式=5x2，∴不符合题意；
D：原式=x2-2xy+y2，∴不符合题意；
故选：B．
A：根据同底数幂的乘法计算．
B：根据积的乘方计算．
C：根据合并同类项法则计算．
D：根据完全平方公式计算．
本题考查完全平方公式、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
6.【答案】D?
【解析】解：∵OA=OB=OC，
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，
∴∠OCA+∠OCB=∠CAO+∠CBO=30°，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∴OA=OB=AB=10，
∴弧AB的长为：60π×10180=103π.
故选：D．
先根据半径相等得∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，所以∠OCA+∠OCB=∠CAO+∠CBO=30°，即∠ACB=30°，再根据圆周角定理可得∠AOB=60°，再根据弧长公式计算即可．
此题主要考查了弧长计算以及圆周角定理，正确掌握弧长公式是解题关键．
7.【答案】D?
【解析】解：由题意知，这8天的最低气温从小到大排列为：14℃，18℃，18℃，20℃，20℃，20℃，25℃，25℃，
∴中位数为20，
故选：D．
根据中位数的概念得出结论即可．
本题主要考查中位数的概念，熟练掌握中位数的概念是解题的关键．
8.【答案】B?
【解析】解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD=AO2+DO2=13，
又∵E是边AD的中点，
∴OE=12AD=12×13=6.5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG=OE=6.5．
故选：B．
由菱形的性质得出OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD=13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE=6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO=GF即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
9.【答案】(a+b)(a-b)?
【解析】解：a2-b2=(a+b)(a-b)，
故答案为：(a+b)(a-b)．
直接利用平方差公式因式分解即可．
本题考查了运用公式法因式分解的知识，解题的关键是能够牢记平方差公式，难度不大．
10.【答案】c<98?
【解析】解：∵抛物线y=2x2-3x+c与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2-4ac=9-8c>0，
∴c<98，
故答案为：c<98．
由二次函数与x轴交点情况，可知△>0，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
11.【答案】y=-2(x-3)2-1?
【解析】解：把抛物线y=-2x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的表达式为y=-2(x-3)2+1-2，即y=-2(x-3)2-1．
故答案为：y=-2(x-3)2-1．
根据二次函数的图象平移的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
12.【答案】3?
【解析】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴CN=BN，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴BC=3AC=23，
∴CN=12BC=3．
故答案为：3．
利用基本作图可判断MN垂直平分BC，所以CN=BN，然后利用含30°角的直角三角形三边的关系求出BC，从而得到CN的长．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形三边的关系．
13.【答案】①③⑤?
【解析】解：抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为x=1>0，
∴a、b异号，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，
故①正确；
抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b=-2a，
当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴3a+c=0，
故②不正确；
∵抛物线的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(-1,0)，
∴另一个交点为(3,0)，
∴当x=2时，y=4a+2b+c>0，
故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴x<1时，y随x的增大而增大，
故④不正确；
∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴b2-4ac>0，即b2>4ac，
故⑤正确．
综上所述，正确的结论有：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的a、b、c的值决定抛物线的位置是正确判断的关键．
14.【答案】解：(1)原式=1+4×22-22+3-1
=1+22-22+3-1
=3；
(2)原式=(x-2x-2-1x-2)÷(x-3)22(x-2)
=x-3x-2?2(x-2)(x-3)2
=2x-3，
当x=33+3时，
原式=233+3-3=239．?
【解析】(1)原式先根据零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，平方根的运算法则，绝对值的代数意义进行计算，再根据加减运算法则计算即可得到结果；
(2)先根据运算法则将分式化简，然后把x的值代入求解即可．
本题主要考查实数的运算、分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数，熟练运用分式的运算法则是解题关键，本题属于基础题．
15.【答案】解：由题意知：∠CDB=45°，如图，
过D作DE⊥BC于E，过C作CF⊥BD于F，则BE=AD，
在Rt△BED中，BE=AD=10m，∠EDB=30°，
∴∠EBD=90°-∠EDB=60°，BD=2BE=20m，
在Rt△CBF中，∠CBF=60°，
∴BF=12BC，CF=32BC，
在Rt△CDF中，∠CDF=45°，
∴DF=CF=32BC，
∵BD=BF+DF，
∴12BC+32BC=20，
∴BC=401+3≈14.6m，
答：乙居民楼的高约为14.6m．?
【解析】根据矩形的性质得到BE=AD=10m，根据锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值或30°所对的直角边等于斜边的一半得到BD，解直角三角形求得BF=12BC，CF=32BC，DF=CF，于是得到12BC+32BC=20，解得BC．
本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值或特殊角的直角三角形的性质解直角三角形．
16.【答案】解：(1)20÷25%=80(名)，
答：本次被调查的学生总人数是80名；
(2)对“B实验”感兴趣的有80×15%=12(名)，
对“D实验”感兴趣的有80-20-12-28=20(名)，
补全条形统计图如下：

(3)1200×2080=300(名)，
答：该校七年级共有1200名学生中，对太空抛物实验最感兴趣的学生有300名．?
【解析】(1)从两个统计图可知，对“C实验”感兴趣的有20人，占调查人数的25%，根据频率=频数总数可求出调查人数；
(2)求出对“B实验”，“D实验”感兴趣的学生人数即可补全条形统计图；
(3)求出样本中对“D实验”感兴趣的学生所占的百分比，估计总体中所占的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
17.【答案】(1)证明：连接OD，

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠ACB，
∴∠ODC=∠B，
∴OD/?/AB，
∴∠ODF=∠AEF，
∵EF⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∵OD是半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△ODF中，sinF=ODOC+CF=35，
∴ODOD+2.5=35，
∴OD=154，
∴AC=152，AF=10，
在Rt△AEF中，由sinF=AEAC=35得，AE=6，
在Rt△AEF中，由勾股定理得EF=8，
∴BE=AB-AE=AC-AE=152-6=32，
∵OD/?/AB，
∴DFDE=OFAO=254154=53，
∴ED=3，
∴BD=BE2+DE2=352，
∴BC=2BD=35．?
【解析】(1)连接OD，由等腰三角形的底角相等得∠ODC=∠B，得OD/?/AB，即可得出OD⊥EF，得出结论；
(2)在Rt△ODF中，由sinF=ODOC+CF=35，求出半径的长，从而得出AC和AF的长，在Rt△AEF中，由sinF=35得，AE=6，EF=8，再利用平行线分线段成比例可得ED的长，利用勾股定理求出BD，进而得出答案．
本题主要考查了切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角函数，勾股定理等知识，利用三角函数求出半径的长是解题的关键．
18.【答案】解：(1)将点A(m,-3)代入y=32x，
∴32m=-3，
解得m=-2，
∴A(-2,-3)，
将A(-2,-3)代入y=kx，
∴k=6，
∴y=6x，
当6x=32x时，解得x=2或x=-2，
∴B(2,3)；
(2)存在点P、Q，使得四边形ABPQ是矩形，理由如下：
如图1，当P点在x轴上时，过点B作BE⊥x轴交于E点，
∵B(2,3)，
∴OB=13，
∴cos∠BOP=OEOB=213=BOOP，
∴OP=132，
∴P(132,0)，
∵PQ/?/AB，
∴直线PQ的解析式为y=32x-394，
设Q(t,32t-394)，
∵AB=PQ，
∴52=(t-132)2+(32t-394)2，
解得t=52或t=212(舍)，
∴Q(52,-6)；
如图2，当P点在y轴上时，过B点作BF⊥y轴交于点F，
∵cos∠BOP=OFOB=BOOP，
∴OP=133，
∴P(0,133)，
∵PQ/?/AB，
∴直线PQ的解析式为y=32x+133，
设Q(t,32t+133)，
∵AB=PQ，
∴52=t2+(32t)2，
解得t=4(舍)或t=-4，
∴Q(-4,-53)；
综上所述：P(132,0)，Q(52,-6)或P(0,133)，Q(-4,-53)；
(3)如图3，过C点作CK⊥x轴交于K点，过B作BH⊥x轴交于H点，
∵BC=2CD，
∴KDHD=CDBD=CKBH=13，
∴CK=1，
∴C(6,1)，
设直线BC的解析式为y=k'x+b，
∴2k+b=36k'+b=1，
解得k'=-12b=4，
∴y=-12x+4，
过G点作GM//y轴交BC于点M，
设G(m,32m)，则M(m,-12m+4)，
∴GM=|2m-4|，
∴S△BCG=12×4×|2m-4|=4，
解得m=3或m=1，
∴G(1,32)或(3,92).?
【解析】(1)将点A(m,-3)代入y=32x，确定A点坐标，再将A(-2,-3)代入y=kx，求出k的值，当6x=32x时，解方程后可求B点坐标；
(2)当P点在x轴上时，过点B作BE⊥x轴交于E点，根据cos∠BOP=OEOB=BOOP，求出PO即可确定P点坐标，再由PQ/?/AB，直线PQ的解析式为y=32x-394，设Q(t,32t-394)，根据AB=PQ，建立方程求出Q点坐标即可；当P点在y轴上时，过B点作BF⊥y轴交于点F，同理可求P、Q点坐标；
(3)过C点作CK⊥x轴交于K点，过B作BH⊥x轴交于H点，根据平行线的性质，求出CK，从而确定C(6,1)，用待定系数法求出直线BC的解析式，过G点作GM//y轴交BC于点M，设G(m,32m)，则M(m,-12m+4)，则S△BCG=12×4×|2m-4|=4，求出m的值即可求G点坐标．
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，矩形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
19.【答案】2021?
【解析】解：∵a，b分别是方程x2+x-2022=0的两个实数根，
∴a+b=-1，a2+a-2022=0，
∴a2+a=2022，
∴a2+2a+b=a2+a+(a+b)=2022-1=2021．
故答案为2021．
根据题意得a2+a-2022=0，即a2+a=2022，利用根与系数的关系得到a+b=-1，代入整理后的代数式求值．
此题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1·x2=ca．
20.【答案】三?
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)，当x<0时，y随x的增大而减小，
∴k>0，
∴根据一次函数的性质，那么一次函数y=-kx+k的图象不经过第三象限．
故答案为：三．
利用反比例函数的性质解答，由性质得出k>0，再由一次函数的性质得出答案．
本题考查了反比例函数和一次函数的性质，注意反比例函数系数k和一次函数系数k、b的取值．
21.【答案】3π6?
【解析】解：设⊙O的半径为r，则正六边形的边长为23r3，
∴正六边形的面积为：6×12×23r3r=23r2，
∴随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是πr223r2=3π6，
故答案为：3π6．
用⊙O的面积除以正六边形的面积即可．
本题考查了几何概率的知识，解题的关键是设出圆的半径并表示出正六边形的边长及边心距，难度不大．
22.【答案】245? (0,6)或(0,42)?
【解析】解：如图②，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=8，
∴BC=AB2-AC2=102-82=6，
∵点D是△ABC边AB上的“子母点”，
∴∠ACD=∠B，或∠BCD=∠A，
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴CD⊥AB；
∴∠BCD=∠A，∠B=∠B，
∴△CBD∽△ABC，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，
∵12×10CD=12×8×6=S△ABC，
∴CD=245；
如图③，A是△BCD的“子母点”，且∠ACB=∠BDC=45°，
∵∠COD=90°，C(6,0)，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
∴OD=OC=6，
∴D(0,6)；
如图④，A是△BCD的“子母点”，且∠DCA=∠DBC，
∵∠CDA=∠BDC，
∴△CDA∽△BDC，
∴DADC=DCDB，
∴DC2=DA?DB，
∵A(0,2)，B(0,-3)，
∴OA=2，OB=3，
∴DA=OD-2，DB=OD+3，
∵DC2=OD2+OC2，
∴OD2+62=(OD-2)(OD+3)，
∴OD=42，
∴D(0,42)，
故答案为：245，(0,6)或(0,42)．
由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，则BC=AB2-AC2=6，由“子母点”的定义得∠ACD=∠B，或∠BCD=∠A，可推导出CD⊥AB，即可由12×10CD=12×8×6=S△ABC，求得CD=245；
由A是△BCD的“子母点”，且∠ACB=∠BDC=45°，可推导出OD=OC=6，所以D(0,6)；
由A是△BCD的“子母点”，且∠DCA=∠DBC，得△CDA∽△BDC，则DADC=DCDB，变形为DC2=DA?DB，而DA=OD-2，DB=OD+3，且DC2=OD2+OC2，所以OD2+62=(OD-2)(OD+3)，得OD=42，所以D(0,42)．
此题重点考查直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、图形与坐标、勾股定理的应用、新定义问题的求解等知识与方法，根据“子母点”的定义证明三角形相似是解题的关键．
23.【答案】52?
【解析】解：如图，

在AB'上截取B'D=PB，连接PD，作QF⊥AC与F，作QE⊥PD于E，
设PB=B'Q=B'D=a，
∴AP=AD=12-a，
∵∠BAC=∠B'AC，
∴AG⊥PD，
∴AG=AP?cos∠BAC=AP?ABAC=1213(12-a)，PG=513(12-a)，
∴PD=2PG=1013(12-a)，
在Rt△CQF中，CQ=5-a，cos∠ACB'=CB'AC=513，
∴CF=513(5-a)，EG=FQ=1213(5-a)，
∴EQ=FG=AC-AG-CF=13-1213(12-a)-513(5-a)=1713a，
在Rt△PQE中，PE=PG+EG=513(12-a)+1213(5-a)=12013-1713a，
PQ2=PE2+EQ2=(1713a)2+(12013-1713a)2=1169(2×172a2-2×120×17a+1202)，
∴当a=-2×120×172×2×172=6017时，PQ最小，
此时，PE=1713×6017=5，EQ=5，
∴PQ=52，
故答案为：52．
在AB'上截取B'D=PB，连接PD，作QF⊥AC与F，作QE⊥PD于E，设PB=B'Q=B'D=a，表示出AG，CF，FQ，进而表示出FG，EQ，PE，进而表示出PQ，根据二次函数的最值，从而求得结果．
本题考查了解直角三角形，二次函数的最值等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造二次函数解析式．
24.【答案】解：(1)设销售一台A型新能源汽车的利润是x万元，销售一台B型新能源汽车的利润是y万元，
依题意得：2x+5y=3.1x+2y=1.3，
解得：x=0.3y=0.5．
答：销售一台A型新能源汽车的利润是0.3万元，销售一台B型新能源汽车的利润是0.5万元．
(2)设需要采购A型新能源汽车m台，则采购B型新能源汽车(22-m)台，
依题意得：(12+0.3)m+(15+0.5)(22-m)≤300，
解得：m≥121316，
又∵m为整数，
∴m可以取的最小值为13．
答：最少需要采购A型新能源汽车13台．?
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设销售一台A型新能源汽车的利润是x万元，销售一台B型新能源汽车的利润是y万元，根据“销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设需要采购A型新能源汽车m台，则采购B型新能源汽车(22-m)台，根据总价=单价×数量，结合总价不超过300万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
25.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x-h)2+k，
则y=(x-2)2-1=x2-4x+3；
函数的大致图像如下：

(2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x=2，
故当x>2时，y随x的增大而增大，
故：y1(3)如上图，点C关于抛物线对称轴的对称点为点C'(4,3)，将点C'向下平移1个长度单位得到点C″(4,2)，
连接AC″交抛物线对称轴于点F，将点F向上平移一个单位得到点E，则此时，|EC-AF|最大，
理由：由C'C″//EF且C'C″=EF知，四边形C'C″FE为平行四边形，则C″F=C'E=CE，
则|EC-AF|=|C″F-AF|为最大，
设直线A、C″的表达式为：y=mx+n，
则2=4m+n0=m+n，解得：m=23n=-23
直线AC″的表达式为：y=23(x-1)，则点F(2,23)，
同理可得，直线BC的表达式为：y=-x+3，
设直线EF交BC于点H，
当x=2时，y=-x+3=1，即点H(2,1)，则FH=2-23=43，
则△FBC的面积=12×FH×OB=12×43×3=2．?
【解析】(1)用待定系数法求出函数表达式，即可画出函数的大致图象；
(2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x=2，故当x>2时，y随x的增大而增大，即可求解；
(3)如上图，点C关于抛物线对称轴的对称点为点C'(4,3)，将点C'向下平移1个长度单位得到点C″(4,2)，连接AC″交抛物线对称轴于点F，将点F向上平移一个单位得到点E，则此时，|EC-AF|最大，进而求解．
本题考查二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质，待定系数法，一次函数图象和性质，点的对称性，此题综合性较强，利用点的对称性求线段最值是本题的难点．
26.【答案】(1)证明：由旋转可知，∠CAD=∠CAB，
∴∠EAB=∠CAD，
∵AE=AD，AB=AC，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)解：DN=EN，理由如下，
过点E作EG⊥AB交于G，交BC于点F，
由△ABE≌△ACD可知∠ABE=∠C，BE=CD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC，
∴△BEG≌△BFG(ASA)，
∴BE=BF，
∴BF=CD，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴MF=MD，
∵EF⊥AB，MH⊥AB，
∴EF//HM，
∴N是DE的中点，
∴EN=DN；
(3)解：过点E作EG⊥AB交于G，交BC于点F，
∵α=90°，
∴∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=2AC，AE=2AD，
∴AEAD=ABAC=2，
∴△ABE∽△ACD，
∴BEDC=2，∠ABE=∠ACB，
∴BE=2CD，
∵∠ABE=∠C，
∴tanC=ABAC=2=EGGB，
∴2BG=EG，
设BG=x，则EG=2x，BE=5x，CD=52x，
∵ACAB=GFBG，
∴2GF=BG，
∴GF=12x，
∴BF=52x，
∴BF=CD，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴MF=MD，
∵MN/?/EF，
∴MN=12EF，
∴EF=EG+GF=2x+12x=52x，
∴NM=54x，
∵CD=52x，
∴MN=52CD；
当α=90°，AB=nAC，AE=nAD时，同理可得MN=n2+12CD．?
【解析】(1)利用SAS证明△ABE≌△ACD即可；
(2)过点E作EG⊥AB交于G，交BC于点F，利用ASA证明△BEG≌△BFG，可得BF=CD，再由M是BC的中点，推导出MF=MD，证明MN时△DEF的中位线即可；
(3)过点E作EG⊥AB交于G，交BC于点F，证明△ABE∽△ACD，得到2BG=EG，设BG=x，则EG=2x，BE=5x，CD=52x，再求出GF=12x，BF=52x，得到BF=CD，由M是BC的中点，推导出MF=MD，可得MN是△EFD的中位线，MN=12EF，从而得到MN=52CD；当α=90°，AB=nAC，AE=nAD时，同理可得MN=n2+12CD．
本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，中位线的性质是解题的关键．