(共57张PPT)
微重点1 函数的新定义问题
专题一 函数与导数
函数的“新定义”问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题，一般是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考查函数的定义、性质、运算等，考查学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力.
考点一 特征函数
考点二 “新定义”函数的性质、运算法则等
专题强化练
内容索引
特征函数
考点一
(2022·郑州调研)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝[x＋1]－x，则下列说法中正确的是
A.f(x)是周期函数 B.f(x)的值域是[0,1]
C.f(x)在(0,1)上单调递增 D. x∈R，[f(x)]＝0
√
例1
考向1 高斯函数
可画出f(x)的图象，如图所示，
可得函数f(x)是周期为1的函数，且值域为(0,1]，在(0,1)上单调递减，故选项A正确，B，C错误；
对于选项D，当x＝－1时，f(－1)＝1，
则[f(－1)]＝1，故选项D错误.
德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创
例2
考向2 狄利克雷函数
A.f(x)的定义域为{0,1}
B.f(x)的值域为[0,1]
C. x∈R，f(f(x))＝0
D.任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
√
所以函数的定义域为R，值域为{0,1}，故A，B错误；
因为f(x)＝0或f(x)＝1，且0与1均为有理数，
所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；
对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，
则x＋T也为有理数，则f(x＋T)＝f(x)＝1；
若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，
综上可得，任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确.
(2022·新乡模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[0,1]
例3
考向3 黎曼函数
上，其解析式如下：R(x)＝
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f(2 022)＋ ＝_____.
∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
∴f(2＋x)＝－f(2－x).
又f(x)是奇函数，
∴f(x＋2)＝f(x－2)，
∴f(4＋x)＝f(x)，
∴f(x)的一个周期为4.
∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
∴令x＝0，可得f(2)＝0，
∴f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.
(多选)(2022·重庆八中调研)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的是
A.φ(5)＝φ(10) B.φ(2n－1)＝1
C.φ(32)＝16 D.φ(2n＋2)>φ(2n)，n∈N*
例4
考向4 欧拉函数
√
√
因为φ(5)＝φ(10)＝4，故A正确；
因为当n＝4时，φ(15)≠1，故B不正确；
因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1,3,5,7,9,11,13,15,17, 19,21,23,25,27,29,31，共有16个，
所以φ(32)＝16，故C正确；
因为当n＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故D不正确.
以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决.
规律方法
(1)(2022·东北师大附中模拟)已知符号函数sgn x＝
跟踪演练1
偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则
√
对于A选项，sgn[f(0)]＝sgn 0＝0，A错；
对于C选项，
对任意的k∈Z，f(2k＋1)＝f(1)＝1，
则sgn[f(2k＋1)]＝sgn 1＝1，C对；
对于D选项，取k＝2，
则sgn[f(2)]＝sgn[f(0)]＝sgn 0＝0，
而|sgn 2|＝1，D错.
(2)(多选)(2022·滁州模拟)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学众多领域中有着丰富的实际应用.最基本的双曲函数是双曲正弦函数
令f(x)＝sin hxcos hx，则
下列结论正确的是
A.f(x)为偶函数 B.f(x)为奇函数
C.f(x)在(0，＋∞)上单调递增 D.f(x)在(0，＋∞)上单调递减
√
√
故f(x)为奇函数，所以A错误，B正确；
因为y＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝e－2x在(0，＋∞)上单调递减，
所以C正确，D错误.
“新定义”函数的性质、运算法则等
考点二
(1)(多选)(2022·德州质检)定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为
A.f(x)＝x3 B.f(x)＝2x
C.f(x)＝|x| D.f(x)＝ln|x|
√
例5
√
设等比数列{an}的公比为q.
故f(x)＝x3是“保等比数列函数”；
故f(x)＝2x不是“保等比数列函数”；
故f(x)＝|x|是“保等比数列函数”；
故f(x)＝ln|x|不是“保等比数列函数”.
(2)(多选)函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x1与x2，
有 时，我们称函数g(x)在[a，b]上严格上凹，称函
数g(x)在[a，b]上为凹函数，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的
导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)>0.下列函数在所给定义域中“严格上凹”的有
A.f(x)＝log2x(x>0) B.f(x)＝2e－x＋x
C.f(x)＝－x3＋2x(x<0) D.f(x)＝sin x－x2(0
√
√
由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足f″(x)>0在定义域内恒成立.
对于A，f(x)＝log2x(x>0)，
对于B，f(x)＝2e－x＋x，
则f″(x)＝(－2e－x＋1)′＝2e－x>0恒成立，符合题意，故选项B正确；
对于C，f(x)＝－x3＋2x(x<0)，
则f″(x)＝(－3x2＋2)′＝－6x>0在x<0时恒成立，符合题意，故选项C正确；
对于D，f(x)＝sin x－x2(0则f″(x)＝(cos x－2x)′＝－sin x－2<0在0利用函数的凹凸性可以考查函数值增减的快慢，即考查导函数的几何意义.进一步可以利用二阶导数来新定义凹凸函数：二阶导数在给定区间上恒为正值，则说明函数是凹函数，否则函数不是凹函数.
规律方法
(1)(多选)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“新不动点”，给出下列函数，其中只有1个“新不动点”的函数是
A.g(x)＝ B.g(x)＝－ex－2x
C.g(x)＝ln x D.g(x)＝sin x＋2cos x
跟踪演练2
√
√
故函数g(x)有2个“新不动点”，不符合题意；
对于B，g(x)＝－ex－2x，则g′(x)＝－ex－2，
令－ex－2x＝－ex－2，得x＝1，
故函数g(x)只有1个“新不动点”，符合题意；
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0，
故函数g(x)只有1个“新不动点”，符合题意；
对于D，g(x)＝sin x＋2cos x，
则g′(x)＝cos x－2sin x，
令sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，
因为函数y＝tan x的周期为π，
故函数g(x)有无数个“新不动点”，不符合题意.
(2)(多选)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：
①a★b＝b★a；②a★0＝a；③(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.
若函数f(x)＝x★ ，则下列说法正确的是
A.函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3
B.函数f(x)为奇函数
C.函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)
D.函数f(x)不是周期函数
√
√
√
对于新运算“★”的性质③，令c＝0，
则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，
即a★b＝ab＋a＋b.
∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故A正确；
函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，
∴f(－1)≠－f(1)，且f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；
专题强化练
1.(2022·眉山模拟)四参数方程的拟合函数表达式为y＝ ＋d(x>0)，
常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增(或递减)的类似指数或对数曲线，或双曲线(如y＝x－1)，还可以是一条S形曲线，当a＝4，b＝－1，c＝1，d＝1时，该拟合函数图象是
A.类似递增的双曲线 B.类似递增的对数曲线
C.类似递减的指数曲线 D.是一条S形曲线
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2.设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数y＝f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x＝x0，则称(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.经研究发现所有的三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f(x)的图象的对称中心.若函数f(x)＝x3－3x2，则
A.－8 086 B.－8 082 C.8 084 D.8 088
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因为函数f(x)＝x3－3x2，则f′(x)＝3x2－6x，f″(x)＝6x－6，
令f″(x)＝0，解得x＝1，且f(1)＝－2，
由题意可知，f(x)的拐点为(1，－2)，
故f(x)的对称中心为(1，－2)，所以f(2－x)＋f(x)＝－4，
3.(2022·成都质检)设函数y＝f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，
定义函数fp(x)＝ 则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”.若给
定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论错误的是
A.fp(f(0))＝f(fp(0)) B.fp(f(1))＝f(fp(1))
C.fp(fp(2))＝f(f(2)) D.fp(fp(3))＝f(f(3))
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因为f(x)＝x2－2x－1，p＝2，
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对于A，fp(f(0))＝f2(－1)＝2，
f(fp(0))＝f(－1)＝1＋2－1＝2，所以A正确；
对于B，fp(f(1))＝f2(－2)＝2，
f(fp(1))＝f(－2)＝4＋4－1＝7，所以B错误；
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对于C，fp(fp(2))＝f2(－1)＝2，
f(f(2))＝f(－1)＝2，所以C正确；
对于D，fp(fp(3))＝f2(2)＝－1，
f(f(3))＝f(2)＝－1，所以D正确.
4.已知函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在
区间[a，b]，使f(x)在[a，b]上的值域为 ，那么就称函数f(x)为“D
上的k类成功函数”.已知函数f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，则实数k的取值范围为
A.(0,2] B.[0,2] C.(0,2) D.(－2,2)
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由题意知函数f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，
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即3x－x3＝k在(0，＋∞)上必有两个不相等的实数根.
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设g(x)＝3x－x3，则原问题可转化为直线y＝k与函数g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点.
因为g′(x)＝3－3x2，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，
在(1，＋∞)上单调递减，其图象如图所示，
所以在(0，＋∞)上，g(x)max＝g(1)＝2.
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5.(多选)(2022·南京质检)已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，对任意x∈R，有|f(x)|≤m|x|，则称f(x)为F函数.下列函数为F函数的是
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝sin x＋cos x
D.f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－
f(x2)|≤2|x1－x2|
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对于A，|f(x)|＝|x||x|，所以不存在实数m使得对任意x∈R有|f(x)|≤m|x|，故其不是F函数；
对于B，f(x)＝sin x＋cos x，
当x＝0时，f(0)＝1≥m×0，
故|f(x)|≤m|x|不成立，故其不是F函数；
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对于D，f(x)是定义在R上的奇函数，
且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|，
令x1＝x，x2＝0，由奇函数的性质知，f(0)＝0，故有|f(x)|≤2|x|，显然是F函数.
8
6.(多选)(2022·重庆市育才中学)若对于函数f(x)上任意一点A，都存在异于原点O的另一点B，使 ＝0，则称f(x)为“正交函数”.下列四个函数中是“正交函数”的为
A.f(x)＝x－2 B.f(x)＝cos x＋1
C.f(x)＝ln x D.f(x)＝2x－2
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由题意，要使f(x)为“正交函数”，则f(x)与y＝±x在相邻的象限上有交点即可，
对于A，f(x)＝x－2与y＝±x的图象如图所示，符合题意；
对于B，f(x)＝cos x＋1与y＝±x的图象如图所示，符合题意；
对于C，f(x)＝ln x与y＝±x的图象如图所示，只有一个交点，不符合题意；
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对于D，f(x)＝2x－2与y＝±x的图象如图所示，符合题意.
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7.(2022·武汉质检)某学生在研究函数f(x)＝x3－x时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘一个函数g(x)后得到一个新函数h(x)＝g(x)f(x)，此时h(x)除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③h′(0)＝0.写出一个符合条件的函数解析式g(x)＝_______________.
x2(答案不唯一)
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因为f(x)＝x3－x为奇函数，h(x)＝g(x)f(x)为奇函数，
所以g(x)为常函数或为偶函数，
当g(x)＝1时，h(x)＝x3－x，
则h′(x)＝3x2－1，此时h′(0)＝－1≠0，
所以g(x)＝1不符合题意，
当g(x)＝x2时，h(x)＝x5－x3，
因为h(－x)＝(－x)5－(－x)3＝－(x5－x3)＝－h(x)，
所以h(x)为奇函数，h′(x)＝5x4－3x2，
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所以h(x)为先增后减再增，
因为h′(0)＝0，所以g(x)＝x2满足题意.
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8.(2022·安康质检)高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕，仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最.对于高斯函数y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，{x}表示实数x的非负纯小数，即{x}＝x－[x]，如{1.7}＝0.7，{－1.2}＝0.8.若函数y＝{x}－1＋logax(a>0，且a≠1)有且仅有3个不同的零点，则实数a的取值范围是______.
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[3,4)
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函数y＝{x}－1＋logax有且仅有3个零点，
即y＝logax的图象与函数y＝1－{x}的图象有且仅有3个交点.
画出函数y＝1－{x}的图象，如图所示，
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易知当01，作出函数y＝logax的大致图象，
所以实数a的取值范围是[3,4).(共50张PPT)
微重点2 函数的嵌套与旋转、对称问题
专题一 函数与导数
函数的嵌套与旋转、对称问题在高考中经常出现，主要与函数的性质、函数的零点综合，考查判断函数的零点、方程的根的个数、求参数问题，以及求函数的函数值、值域等，难度较大，主要以选择、填空的形式出现.
考点一 嵌套函数中的零点问题
考点二 函数的旋转
考点三 函数的对称问题
专题强化练
内容索引
嵌套函数中的零点问题
考点一
A.4 B.3 C.2 D.1
√
例1
考向1 函数的零点个数问题
当u≥0时，则f(u)＝ln(u＋1)，
当u<0时，f(u)＝－ueu，则f′(u)＝－(u＋1)eu，
当u<－1时，f′(u)>0；当－1考向2 求参数的取值范围
√
例2
设t＝f(x)，则y＝g(t)＝t2＋mt＋1，作出函数f(x)的大致图象，如图所示，
则函数y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6个零点等价于g(t)＝0在[－3,1)上有两个不同的实数根，
解决嵌套函数问题，一般方法是令内层函数为t，构造新的函数或方程，转化成两个函数的交点问题，通过观察分析函数图象求解.
规律方法
(1)(2022·天津质检)已知定义域为(0，＋∞)的单调递增函数f(x)满足： x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，则方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为
A.3 B.2 C.1 D.0
跟踪演练1
√
因为定义域为(0，＋∞)的单调递增函数f(x)满足 x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，
则存在唯一正实数t使得f(t)＝1，且f(x)－ln x＝t，即f(x)＝t＋ln x，
于是得f(t)＝t＋ln t＝1，
而函数y＝t＋ln t在(0，＋∞)上单调递增，且当t＝1时，t＋ln t＝1，
因此t＝1，f(x)＝1＋ln x，
方程f(x)＝－x2＋4x－2＝1＋ln x，即ln x＝－x2＋4x－3，
于是得方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数是函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象公共点个数，
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象，如图所示，
观察图象知，函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象有3个公共点，
所以方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为3.
√
所以当x∈(0,1)时，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，
作出函数f(x)的图象如图所示，
因为[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0，
即[f(x)－a＋1][f(x)－1]＝0，
解得f(x)＝1或f(x)＝a－1，
当f(x)＝1时，观察图象易知此时只有一个交点，即有一个根，
要使关于x的方程[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0恰有四个不同的实数根，
则需要y＝a－1与f(x)图象有三个不同交点，
函数的旋转
考点二
√
例3
√
可得旋转后得到的函数f(x)的图象关于原点对称，即f(x)为奇函数，故A正确；
由对称性可得f(x)的图象按逆时针旋转60°位于一、三象限，按顺时针旋转60°位于二、四象限；
f(x)的图象按逆时针旋转60°位于一、三象限，
当f(x)的图象位于一、三象限时，f(x)的图象与直线y＝x有两个交点，函数y＝f(x)－x有两个零点；
当f(x)的图象位于二、四象限时，f(x)的图象与直线y＝x没有交点，函数y＝f(x)－x没有零点，故D错误.
函数的旋转，要使旋转后需满足函数的定义，则每个自变量，都有唯一的函数值与之对应.
规律方法
曲线y＝ln x绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线的方程为________.
跟踪演练2
设曲线y＝ln x上一点(a，b)绕坐标原点逆时针旋转90°后，
对应点的坐标为(x，y)，
y＝e－x
函数的对称问题
考点三
已知函数f(x)＝ax－ex与函数g(x)＝xln x＋1的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为
√
例4
由已知可得，方程f(x)＝－g(x)在(0，＋∞)上有两解，
令h′(x)＝0，得x＝1，
∴当01时，h′(x)>0，
∴h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
∴当x＝1时，h(x)取得最小值h(1)＝e－1，
∵x→0时，h(x)→＋∞；x→＋∞时，h(x)→＋∞，
∴实数a的取值范围是(e－1，＋∞).
注意区分函数图象关于点对称和轴对称、函数本身的对称性和两函数的对称性，会在函数解析式中寻找对称性.
规律方法
(2022·山东联考)函数f(x)＝1＋sin πx－xsin πx在区间 上的
所有零点之和为
A.0 B.3 C.6 D.12
跟踪演练3
√
专题强化练
√
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
由零点存在定理可知，存在t1∈(1,2)，使得f(t1)＝0；
②当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，
由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示，
由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象
有两个交点；
直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；
直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有
一个交点.
综上所述，函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数为5.
2.若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝2对称，则实数a的值为
A.－15 B.8 C.－8 D.4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
由已知可得，±1是f(x)的两个零点，因为函数图象关于直线x＝2对称，
因此3和5也是f(x)的零点，即3和5是函数y＝x2＋ax＋b的零点，
所以3＋5＝－a，解得a＝－8.
1
2
3
4
5
6
7
8
√
由题意，函数图象如图所示，
设函数在x＝1处，切线斜率为k，则k＝f′(1)，
∵f′(x)＝－2x＋1，
∴k＝f′(1)＝－1，可得切线的倾斜角为135°，
因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90°，也就是说，最大旋转角为135°－90°＝45°，
1
2
3
4
5
6
7
8
4.(2022·安阳模拟)已知函数f(x)＝|2|x|－2|－1，则关于x的方程f2(x)＋mf(x)＋n＝0有7个不同实数解，则实数m，n满足
A.m>0且n>0 B.m<0且n>0
C.0√
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
令u＝f(x)，作出函数u＝f(x)的图象如图所示，
由于方程u2＋mu＋n＝0至多两个实根，
设为u＝u1和u＝u2，
由图象可知，直线u＝u1与函数u＝f(x)图象的交点个数可能为0,2,3,4，
由于关于x的方程f2(x)＋mf(x)＋n＝0有7个不同实数解，
则关于u的二次方程u2＋mu＋n＝0的一根为u1＝0，则n＝0，
则方程u2＋mu＝0的另一根为u2＝－m，
直线u＝u2与函数u＝f(x)图象的交点个数必为4，则－1<－m<0，解得0所以05.(多选)(2022·徐州质检)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f[g(x)]＝x有实数解，则下列式子中可以为g[f(x)]的是
A.x2＋2x B.x＋1 C.ecos x D.ln(|x|＋1)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
由方程f[g(x)]＝x有实数解可得g{f[g(x)]}＝g(x)，
再用x替代g(x)，即x＝g[f(x)]有解.
对于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有解，故A正确；
对于B，x＝x＋1，即0＝1，方程无解，故B错误；
对于C，当ecos x＝x时，令h(x)＝ecos x－x，
对于D，当ln(|x|＋1)＝x时，x＝0为方程的解，所以方程有解，故D正确.
6.(多选)(2022·广东联考)已知函数f(x)＝ 方程f2(x)－t·f(x)＝
0有四个实数根x1，x2，x3，x4，且满足x1A.x1x4∈(－6ln 2,0]
B.x1＋x2＋x3＋x4的取值范围为[－8，－8＋2ln 2)
C.t的取值范围为[1,4)
D.x2x3的最大值为4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
√
1
2
3
4
5
6
7
8
f2(x)－t·f(x)＝0 f(x)[f(x)－t]＝0
f(x)＝0或f(x)＝t，作出y＝f(x)的图象，
当f(x)＝0时，x1＝－4，有一个实数根；
当t＝1时，有三个实数根，
所以共四个实数根，满足题意；
当t＝4时，f(x)＝t只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，
此时与y＝ex的交点坐标为(2ln 2,4).
要使原方程有四个实数根，等价于f(x)＝t有三个实数根，等价于y＝f(x)与y＝t的图象有三个交点，故t∈[1,4)，x4∈[0,2ln 2)，
1
2
3
4
5
6
7
8
所以x1x4∈(－8ln 2,0]，故A错误，C正确；
又因为x2＋x3＝－4，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8＋x4的取值范围为
[－8，－8＋2ln 2)，故B正确；
因为x2＋x3＝－4，x21
2
3
4
5
6
7
8
7.(2022·青岛质检)对于函数f(x)，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f(x)为“倒戈函数”，设函数f(x)＝3x＋sin x－m＋1(m∈R)是定义
在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是__________.
因为函数f(x)＝3x＋sin x－m＋1(m∈R)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
所以存在x0∈[－1,1]，使f(－x0)＝－f(x0)，
即
即
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
当且仅当t＝1，即x0＝0时取等号，解得m≥2，
8.(2022·安徽师大附中联考)已知函数f(x)＝ ，若关于x的方程[f(x)]2＋af(x)＋a－1＝0仅有一个实数解，则实数a的取值范围为_____________________.
1
2
3
4
5
6
7
8
1－e＜a≤1或a＝2
1
2
3
4
5
6
7
8
由题意得，函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞).
令f′(x)>0，可得x>e；
令f′(x)<0，可得0所以f(x)在(0,1)和(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增.
故当x＝e时，f(x)有极小值为f(e)＝e.
令t＝f(x)，则方程[f(x)]2＋af(x)＋a－1＝0化成t2＋at＋a－1＝0，
解得t＝－1或t＝1－a，
1
2
3
4
5
6
7
8
当－1＝1－a时，a＝2，符合题意；
所以当t＝1－a时，t＝f(x)没有实数解，作出f(x)的大致图象，
由图可知，0≤1－a解得1－e综上，1－e＜a≤1或a＝2.(共45张PPT)
微重点3 导数中的函数构造问题
专题一 函数与导数
导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
考点一 导数型构造函数
考点二 同构法构造函数
专题强化练
内容索引
导数型构造函数
考点一
(2022·苏州质检)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，
f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝ ，
则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.c>a>b
√
例1
考向1 利用f(x)与x构造
因为f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝x·f(x)，
则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，
当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，
所以g(x)在x∈(－∞，0]上单调递减，
又g(x)在R上是连续函数，且是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，
(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
规律方法
已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)－ －3>0，且f(1)
＝0，则不等式f(ex)－3xex>0的解集为
A.(0,1) B.(1，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(e，＋∞)
跟踪演练1
√
所以xf′(x)－f(x)－3x>0，
所以g′(x)>0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
即g(ex)>g(1)，所以ex>1，解得x>0.
(2022·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)A.f(2 022)C.ef(2 022)＝f(2 023) D.ef(2 022)>f(2 023)
例2
考向2 利用f(x)与ex构造
√
由f(x)0，
所以g′(x)>0，所以g(x)单调递增，
(1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
规律方法
(2022·成都模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为__________.
跟踪演练2
(3，＋∞)
设F(x)＝f(x)·ex，
则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，
∴F(x)在R上单调递增.
又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.
∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，
∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞).
例3
考向3 利用f(x)与sin x，cos x构造
∴g(－x)＝f(－x)cos(－x)＝f(x)cos x＝g(x)，
∴g(x)为偶函数，
又g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x，
函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
(1)F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
规律方法
(3)F(x)＝f(x)cos x，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
跟踪演练3
√
同构法构造函数
考点二
已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则a的最小值为____.
例4
e
∵xa＝
∴不等式即为ex－x≤ealn x－aln x.
由a>0且x>1得aln x>0，
设y＝ex－x，则y′＝ex－1>0，
故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递增，
当x∈(1，e)时，f′(x)<0；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0；
∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.
故a的最小值为e.
指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex，然后构造函数；另一种是将x变成eln x，然后构造函数.
规律方法
已知a>0，b>0，且(a＋1)b＋1＝(b＋3)a，则
A.a>b＋1 B.aC.ab－1
跟踪演练4
√
因为(a＋1)b＋1＝(b＋3)a，a>0，b>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减.
当x→0时，g(x)→0，
所以g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
因为f(a)>f(b＋1)，所以a专题强化练
A.aC.b√
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
2.(2022·哈尔滨模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是
A.(－1,0)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1,0)∪(0,1) D.(－∞，－1)∪(0,1)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
令g(x)＝f(x)－x2，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，
所以函数g(x)也是偶函数，g′(x)＝f′(x)－2x，
因为当x≥0时，f′(x)－2x>0，
所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，
所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，
由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，
所以|x|>1，解得x<－1或x>1，所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪ (1，＋∞).
3.(2022·南京质检)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeaA.ab>e B.b>ea C.ab√
1
2
3
4
5
6
7
8
由已知aea设f(x)＝xln x，则f(ea)∵a>0，∴ea>1，
∵b>0，bln b>aea>0，∴b>1.
当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0，
则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea4.(2022·常州模拟)已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，则下列说法正确的是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
令g(x)＝f(x)sin x，因为f(x)为奇函数，则g(x)为偶函数，
又当x>0时，
f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，即g′(x)>0，
则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
1
2
3
4
5
6
7
8
5.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式exf(x)>ex＋1的解集为
A.{x|x>0} B.{x|x<0}
C.{x|x<－1或x>1} D.{x|x<－1或01
2
3
4
5
6
7
8
√
1
2
3
4
5
6
7
构造函数g(x)＝exf(x)－ex，
因为g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex
＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，
所以g(x)＝exf(x)－ex在R上单调递增.
又因为g(0)＝e0f(0)－e0＝1，
所以原不等式转化为exf(x)－ex>1，
即g(x)>g(0)，解得x>0.
所以原不等式的解集为{x|x>0}.
8
6.(多选)(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值可能是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
√
√
由题设，eλx·λx≥xln x＝eln x·ln x，
令f(t)＝t·et(t>0)，则f′(t)＝(t＋1)·et>0，
所以f(t)单调递增，又f(λx)≥f(ln x)，
即当x∈(1，＋∞)时，λx≥ln x，
所以在(1，e)上，g′(x)>0，即g(x)单调递增；
在(e，＋∞)上，g′(x)<0，即g(x)单调递减，
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
7.已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是__________.
(2，＋∞)
1
2
3
4
5
6
7
根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，
所以函数y＝xf(x)的图象在(0，＋∞)上单调递减.
又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，
所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，
所以02.所以不等式
f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).
8
1
2
3
4
5
6
7
8.(2022·龙岩质检)已知m>0，n∈R，若log2m＋2m＝6,2n＋1＋n＝6，则 ＝
___.
8
1
由题意得log2m＋2m＝2n＋1＋n，log2m＋2m＝2×2n＋n，
令g(x)＝log2x＋2x(x>0)，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，(共57张PPT)
微重点4 函数的公切线问题
专题一 函数与导数
导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养.
考点一 求两函数的公切线
考点二 与公切线有关的求值问题
考点三 判断公切线条数
专题强化练
考点四 求参数的取值范围
内容索引
求两函数的公切线
考点一
(2022·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公共切线，则l的方程为________________.
例1
y＝ex－1或y＝x
设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝ln x＋1相切于点Q(b，ln b＋1)，
整理得(a－1)(ea－1)＝0，
解得a＝1或a＝0，
当a＝1时，l的方程为y＝ex－1；
当a＝0时，l的方程为y＝x.
求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
规律方法
已知函数f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝___，该切线方程为______________.
跟踪演练1
1 2x－y－3＝0
设函数f(x)＝x2－2m与g(x)＝3ln x－x的公共点为(x0，y0)，
解得x0＝m＝1，
∴f′(x0)＝2，f(x0)＝－1，
切线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.
与公切线有关的求值问题
考点二
(2022·河南省百校大联考)已知f(x)＝ ＋ln x与g(x)＝2x－x3＋c的图
象有一条公切线，则c＝______.
例2
利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程.
规律方法
y＝x3的导函数为y′＝3x2，y＝x2－x＋a的导函数为y′＝2x－1，
(2022·湖北省新高考联考协作体联考)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是
A.2 B.1 C.0 D.－2
跟踪演练2
√
判断公切线条数
考点三
(2022·菏泽质检)若直线l与曲线y＝ex和y＝ln x都相切，则满足条件的直线l有
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
√
例3
设直线l与曲线y＝ex相切于点(x1， )，y′＝ex，
∴直线l的方程为
即
设直线l与曲线y＝ln x相切于点(x2，ln x2)，
则
消去x2得
令φ(x)＝xex－ex－x－1，x∈R，φ′(x)＝xex－1，
令g(x)＝xex－1，x∈R.则g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)>0，
∵φ′(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
又当x<0时，φ′(x)<0，
且φ′(0)<0，φ′(1)＝e－1>0，
x0∈(0,1)，使φ′(x)＝0，即 ＝1，
∴当x∈(－∞，x0)时，φ′(x)<0，
当x∈(x0，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
∴函数φ(x)有2个零点，即y＝ex与y＝ln x有2条公切线.
运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况.
规律方法
若a> ，则函数y＝ax2与y＝ln x的公切线有
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
跟踪演练3
√
设切线与曲线y＝ln x相切于点(t，ln t)，
所以曲线y＝ln x在点(t，ln t)处的切线方程为
令g(t)＝t2－t2ln t，其中t>0，
则g′(t)＝2t－(2tln t＋t)＝t(1－2ln t).
且当00；
当t>e时，g(t)<0，函数g(t)的图象如图所示，
则函数y＝ax2与y＝ln x有两条公切线.
求参数的取值范围
考点四
若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ (a>0)存在公切线，则实数a的
取值范围为___________.
例4
y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，
利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解.
规律方法
若函数f(x)＝4ln x＋1与函数g(x)＝ax2－2x(a>0)的图象存在公切线，则实数a的取值范围为
跟踪演练4
√
解得0函数φ(t)在 上单调递增，
当0当10，
即h′(t)>0，此时函数h(t)单调递增，
所以h(t)min＝h(1)＝3，
且当t→0＋时，h(t)→＋∞，
所以函数h(t)的值域为[3，＋∞)，故a≥3.
专题强化练
√
1
2
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4
5
6
7
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8
2.已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等于
A.0 B.－1 C.3 D.－1或3
√
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8
设直线l与f(x)＝xln x相切的切点为(m，mln m)，
由f(x)＝xln x的导数为f′(x)＝1＋ln x，
可得切线的斜率为1＋ln m，
则切线方程为y－mln m＝(1＋ln m)(x－m)，
将A(0，－1)代入切线方程可得－1－mln m＝(1＋ln m)(0－m)，
解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，
由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或3.
3.(2022·邢台模拟)若直线l与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2－x1＋x2等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
1
2
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5
6
7
8
√
由f(x)＝ex，g(x)＝ln x，
即x1＝－ln x2.
曲线y＝f(x)在点A处的切线方程为
所以 (1－x1)＝－1＋ln x2，
1
2
3
4
5
6
7
8
4.(2022·青岛质检)若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线y＝f(x)在这两点处的切线重合，则称函数y＝f(x)为“自重合”函数.下列函数中是“自重合”函数的为
A.y＝ln x＋x B.y＝ex＋1
C.y＝x3 D.y＝x－cos x
√
1
2
3
4
5
6
7
8
若曲线y＝f(x)在这两点处的切线重合，首先要保证这两点处导数相同.
若切线重合，则x0＝0，此时两切点为同一点，不符合题意，故C错误；
D选项中，y′＝1＋sin x，令y′＝1＋sin x＝1得x＝kπ(k∈Z)，
则有点(0，－1)，(2π，2π－1)，切线均为y＝x－1，所以存在不同的两点使得切线重合，故D正确.
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8
5.(多选)(2022·保定模拟)若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x>0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)的公切线，则
A.m＝－2 B.m＝－1 C.n＝6 D.n＝7
√
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√
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4
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6
7
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设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3(x>0)相切于点(a，a3)，与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)相切于点(b，3b＋m)，
对于函数y＝x3(x>0)，y′＝3x2，
则3a2＝3(a>0)，解得a＝1，
所以13＝3＋m，即m＝－2.
对于函数y＝－x2＋nx－6(x>0)，y′＝－2x＋n，则－2b＋n＝3(b>0)，
又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，
又b>0，所以b＝2，n＝7.
6.(多选)(2022·南京模拟)若二次函数f(x)＝2x2＋3的图象与曲线C：g(x)＝aex＋3(a>0)存在公切线，则实数a的可能取值为
√
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√
√
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5
6
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8
由f(x)＝2x2＋3可得f′(x)＝4x，
由g(x)＝aex＋3可得g′(x)＝aex，
与g(x)＝aex＋3的图象相切于点(x2， ＋3)，
所以4x1＝
可得x1＝0或2x2＝x1＋2，
1
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7
8
因为4x1＝ ，a>0，
则x1>0,2x2＝x1＋2>2，即x2>1，
由h′(x)>0得12，
所以h(x)在(1,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
1
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7
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7.(2022·重庆质检)设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，若曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线与曲线g(x)＝xf(x)在点(1,2)处的切线重合，则g′(2)＝________.
－32
由题知f(0)＝0，
∴d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
f(x)在(0,0)处的切线为y－0＝f′(0)(x－0)，即y＝f′(0)x，
∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，
∴g(x)在(1,2)处的切线方程为y＝g′(1)x－g′(1)＋2，
又两条切线重合，
1
2
3
4
5
6
7
8
∴f′(0)＝g′(1)＝2，
又∵g(1)＝f(1)＝2，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，
∴f′(1)＝0，
1
2
3
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6
7
8
∴f(x)＝－2x3＋2x2＋2x，f′(x)＝－6x2＋4x＋2，
∴g′(2)＝f(2)＋2f′(2)＝－32.
8.(2022·湖北新高考联考协作体联考)已知f(x)＝ x2－2ax，g(x)＝3a2ln x－b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点的切线相同，
则b的最小值为______，曲线y＝f(x)，y＝g(x)这样的公共切线有___条.
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设两曲线的公切点为(x0，y0)，由题意得，
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解得x0＝3a或x0＝－a(舍去)，
所以曲线y＝f(x)，y＝g(x)只有一条这样的公共切线.
则F′(a)＝6aln 3a＋6a＝6a(ln 3a＋1)，
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8(共60张PPT)
微重点5 不等式的综合问题
专题一 函数与导数
不等式是高考的必考内容，作为解题的工具，常与函数、数列、平面向量、解析几何等相结合，涉及最值、范围、函数的性质等等，旨在考查学生的思维能力和数学素养.
考点一 不等式的性质及应用
考点二 利用基本不等式求最值
考点三 不等式恒(能)成立问题
专题强化练
考点四 不等式与其他知识交汇的最值问题
内容索引
不等式的性质及应用
考点一
(多选)(2022·江苏七市调研)若a＞b＞0＞c，则
例1
√
√
√
∵a>b>0>c，∴ab>0，b－a<0，c<0，
∵a>b>0>c，∴a－c>0，a>0，b－a<0，c<0，
设y＝xc，当c<0时，y＝xc在(0，＋∞)上单调递减，
∵a>b，∴ac∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，
判断关于不等式命题真假的常用方法
(1)作差法、作商法.
(2)利用不等式的性质推理判断.
(3)利用函数的单调性.
(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题.
规律方法
(2022·临川模拟)若实数a，b满足a6A.a1 D.
跟踪演练1
√
因为a6所以a6－a5b＝a5(a－b)<0，
显然a≠0，所以a(a－b)<0，
即一定成立的是选项D.
利用基本不等式求最值
考点二
A.6 B.4 C.3 D.2
例2
√
令2a－1＝m，b－1＝n，则m>0，n>0，
∴m＋n＝2a＋b－2＝1，
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
√
√
解得－2≤x＋y≤2，
当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，
所以A错误，B正确；
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；
但是x2＋y2≥1不成立，所以D错误.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件
(1)一正二定三相等，三者缺一不可；
(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.
易错提醒
(1)(多选)(2022·辽阳模拟)已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则
跟踪演练2
√
√
因为0log2a＋log2b＝log2(ab)≤1，故B正确；
(2)(2022·潍坊模拟)已知正实数a，b满足a2＋2ab＋4b2＝6，则a＋2b的最大值为
√
(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2＝6－2ab＋4ab＝6＋2ab，
又∵a2＋2ab＋4b2＝6，
∴6－2ab＝a2＋4b2≥4ab，
∴(a＋2b)2＝6＋2ab≤6＋2＝8，
不等式恒(能)成立问题
考点三
已知正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，若对任意满足条件的x，y，都
有(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围为___________.
例3
∴(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，
∴x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)，
∴x＋y≥6.
又正实数x，y有(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，
由对勾函数的性质得g(t)在[6，＋∞)上单调递增，
(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.
(2)恒(能)成立问题，常见方法是分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
规律方法
(2022·泉州质检)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围为
跟踪演练3
√
不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，
不等式与其他知识交汇的最值问题
考点四
(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，
AD＝2，CD＝2BD.当 取得最小值时，BD＝________.
例4
设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图.
在△ABD中，由余弦定理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB
在△ACD中，由余弦定理得
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC
当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.
规律方法
如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为
A.64π B.40π
C.84π D.72π
跟踪演练4
√
设母线与底面的夹角为2α，底面半径为R，内切球半径r＝3，圆锥的高为h，
而0°<2α<90°，0°<α<45°，
所以00，
又因为tan2α＋(1－tan2α)＝1为定值，
专题强化练
1.(2022·宜宾质检)已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为
A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1,3)
√
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1
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8
令f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立转化为f(a)>0在a∈[－1,1]上恒成立.
∴x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞).
2.已知1>2a> ，则下列结论不正确的是
√
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原不等式可化为2b<2a<20，
因为y＝2x在R上单调递增，所以b所以ab>a2，－b>－a>0，故A正确；
(－b)2>(－a)2，即b2>a2，故B正确；
因为y＝x3为增函数，所以b33.(2022·常州质检)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0,3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围是
A.[1，＋∞) B.(－∞，4] C.[1,4] D.(1,4]
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8
√
∵|f(x)|≤5 －5≤x2－ax－1≤5，
①当x＝0时，a∈R；
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7
8
∴1≤a≤4.
√
1
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7
8
如图，连接NF2，MF2，由对称性可知，四边形MF1NF2为平行四边形，
故|NF2|＝|MF1|，|NF1|＝|MF2|，
令|NF2|＝|MF1|＝t，
∴|NF1|＝2a＋t，
1
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8
∴2at＋t2＝4. ①
即4c2＝4a2＋6at＋3t2， ②
由①②得c2＝a2＋3，
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8
当且仅当a2＝1，即a＝1时等号成立.
5.(多选)(2022·淄博模拟)已知2a＝3b＝6，则a，b满足
√
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5
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√
√
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7
8
由2a＝3b＝6，
则a＝log26，b＝log36，则a>0，b>0，
1
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5
6
7
8
6.(多选)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知{an}的公比为q，且a3＋a7＝16，则
A.a5>8 B.log2a2＋log2a8≤6
C.若01，则a4＋a6>16
√
1
2
3
4
5
6
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8
√
1
2
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8
当且仅当a3＝a7＝8时，取等号，
所以a5≤8，故A不正确；
log2a2＋log2a8＝log2(a2a8)＝log2(a3a7)
当且仅当a3＝a7＝8时，取等号，故B正确；
a3＋a7－a4－a6＝a3(1－q)－a6(1－q)＝(a3－a6)(1－q)，
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8
当0则a3－a6>0，(1－q)(a3－a6)>0，
则a4＋a6<16；
当q>1时，{an}单调递增，
a3－a6<0，(1－q)·(a3－a6)>0，
则a4＋a6<16，故C正确，D不正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
令x＋3y＝m，x－y＝n，
则m>0，n>0，m＋n＝2x＋2y≤4，
1
2
3
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8
8.(2022·烟台模拟)在空间直角坐标系O－xyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面.比如方程x2＋y2＋z2＝1表示球面，就是一种常见的二次曲面.二次曲面在工业、农业、建筑业等众多领域应用广泛.已知点P(x，y，z)是二次曲面4x2－xy＋y2－z＝0上的任意一点，且x>0，y>0，
1
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3
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8
由题意得z＝4x2－xy＋y2，
当且仅当y＝2x时等号成立，
所以，当00；
当t>2时，f′(t)<0，即f(t)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减.
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