(共88张PPT)
第1讲 直线与圆
专题六 解析几何
考情分析
1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以
选择题、填空题的形式出现，中低难度.
2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度.
考点一 直线的方程
考点二 圆的方程
考点三 直线、圆的位置关系
专题强化练
内容索引
直线的方程
考点一
1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
核心提炼
(1)(2022·常德模拟)已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
例1
若l1∥l2，则有－a2＋4＝0，解得a＝±2，
当a＝2时，l1：2x－4y－3＝0，
l2：x－2y＋1＝0，l1∥l2，
当a＝－2时，l1：2x＋4y＋3＝0，
l2：x＋2y＋1＝0，l1∥l2，
所以若l1∥l2，则a＝±2，
所以“a＝2”是“l1∥l2”的充分不必要条件.
(2)(2022·济宁模拟)已知直线l1：kx＋y＝0过定点A，直线l2：x－ky＋2
＋2k＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则|AC|＋|BC|的最大值为______.
由l1：kx＋y＝0，得l1过定点A(0,0)，
显然k×1＋1×(－k)＝0，即l1，l2相互垂直，
∴|AC|2＋|BC|2＝12，
∴(|AC|＋|BC|)2＝12＋2|AC|·|BC|≤12＋(|AC|2＋|BC|2)＝24，
解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.
易错提醒
(1)已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴与y轴上的截距相等，则实数a的值是
A.1 B.－1 C.－2或1 D.2或1
跟踪演练1
√
当a＝0时，直线y＝2，此时不符合题意，应舍去；
当a≠0时，由直线l：ax＋y－2＋a＝0可得，
经检验，a＝1,2均符合题意，故a的值是2或1.
(2)若直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：2x＋my＋1＝0平行，则直线l1与l2之
间的距离为_____.
由直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：2x＋my＋1＝0平行，
可得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4，
故两直线可化为l1：2x－4y＋2＝0，l2：2x－4y＋1＝0，
圆的方程
考点二
1.圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2.圆的一般方程
核心提炼
(1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
√
例2
因为圆心在直线y＝－x上，
设圆心坐标为(a，－a)，
因为圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，
解得a＝1，所以圆心坐标为(1，－1)，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
√
√
√
设P(x，y)，
化简可得(x－3)2＋y2＝8，
即点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8，A正确；
∵直线AB过圆(x－3)2＋y2＝8的圆心，
∵|AB|＝2，
当∠PAB最大时，则PA为圆(x－3)2＋y2＝8的切线，
解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
规律方法
(1)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为___________________.
跟踪演练2
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
方法一 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二 设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三 设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，
∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
(2)直线l过定点(1，－2)，过点P(－1,0)作l的垂线，垂足为M，已知点N(2,1)，则|MN|的最大值为______.
设点A(1，－2)，依题意知AM⊥PM，
所以点M的轨迹是以AP为直径的圆，
又N(2,1)为圆外一点，
直线、圆的位置关系
考点三
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
其判断方法为：
(1)点线距离法.
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋
核心提炼
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离 Δ<0，直线与圆相切 Δ＝0，直线与圆相交 Δ>0.
2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
例3
考向1 直线与圆的位置关系
√
由圆C：x2＋y2－2x－3＝0，
可得圆心坐标为C(1,0)，半径为r＝2，
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称
的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________.
方法一 由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2,2a－3)，
由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，
易知圆心坐标为(－3，－2)，半径为1，
方法二 易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
由题意知该对称圆与直线AB有公共点.
又对称圆的圆心坐标为(3，－2)，半径为1，
方法三 易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
由题意知该对称圆与直线AB有公共点.
设直线AB的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋3＋2k＝0，
因为对称圆的圆心坐标为(3，－2)，半径为1，
(1)(2022·武汉模拟)圆C1：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C2：(x－5)2＋y2＝16的公切线条数为
A.1 B.2 C.3 D.4
例4
考向2 圆与圆的位置关系
√
依题意得，圆C1的圆心C1(2,4)，半径R1＝3,
圆C2的圆心C2(5,0)，半径R2＝4，
故圆C1与C2相交，有2条公切线.
(2)(2022·益阳调研)已知直线l：x－y＋1＝0，若P为l上的动点，过点P作⊙C：(x－5)2＋y2＝9的切线PA，PB，切点为A，B，当|PC|·|AB|最小时，直线AB的方程为____________.
x－y－2＝0
⊙C：(x－5)2＋y2＝9的圆心C(5,0)，半径r＝3，
∵四边形PACB的面积
∴要使|PC|·|AB|最小，则需|PC|最小，
当PC与直线l垂直时，|PC|最小，
此时直线PC的方程为y＝－x＋5，
则两圆方程相减可得直线AB的方程为x－y－2＝0.
直线与圆相切问题的解题策略
直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.
规律方法
(1)(多选)(2022·湖北七市(州)联考)已知直线l：kx－y－k＋1＝0，圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝16，则下列选项中正确的是
A.直线l与圆C一定相交
B.当k＝0时，直线l与圆C交于M，N两点，点E是圆C上的动点，则△MNE
面积的最大值为
C.当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为
D.若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积
为48
跟踪演练3
√
√
直线l：kx－y－k＋1＝0过定点P(1,1)，(1－2)2＋(1＋2)2<16，P在圆内，因此直线l一定与圆C相交，A正确；
因为圆心C(2，－2)，半径r＝4，圆心到直线l的距离d＝3，因此点E到直线l的距离的最大值h＝4＋3＝7，
当l与圆有两个交点M，N时，当|MN|最小时，
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________.
答案 x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)
如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4)，半径r2＝4，
所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：
①易知公切线l1的方程为x＝－1.
②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心
的直线l对称.
则点O(0,0)到l2的距离为1，
即7x－24y－25＝0.
易知t>0，则点O(0,0)到l3的距离为1，
即3x＋4y－5＝0.
综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
专题强化练
一、单项选择题
1.直线l经过两条直线x－y＋1＝0和2x＋3y＋2＝0的交点，且平行于直线x－2y＋4＝0，则直线l的方程为
A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x－y＋2＝0 D.2x＋y－2＝0
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A.(x－1)2＋y2＝2 B.(x－1)2＋y2＝4
C.x2＋(y－1)2＝2 D.x2＋(y－1)2＝4
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设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2
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则△ABC外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝4.
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3.(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，
OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ＝0.5，
已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且
直线OA的斜率为0.725，则k3等于
A.0.75 B.0.8
C.0.85 D.0.9
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设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，
则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，
4.过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若PA⊥PB，则点P到直线l：x＋y－5＝0的距离的最小值为
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因为过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P向圆C引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，
5.与直线x－y－4＝0和圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2都相切的半径最小的圆的方程是
A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝4
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过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，所求圆的圆心在此直线上，
设所求圆的圆心为(a，b)，且圆心在直线x＋y＝0上，
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故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
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过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
在Rt△PAO中，|PO|＝3，
∴点P在圆x2＋y2＝9上，
由于点P也在圆M上，故两圆有公共点.
又圆M的半径等于1，圆心坐标M(a，1)，
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7.已知圆C1：(x＋6)2＋(y－5)2＝4，圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，M，N分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的取值范围是
A.[6，＋∞) B.[7，＋∞) C.[10，＋∞) D.[15，＋∞)
√
C1(－6,5)，C2(2,1)，C1关于x轴的对称点为C3(－6，－5)，
又两圆的半径分别为2,1，
则|PM|＋|PN|≥10－2－1＝7，
故|PM|＋|PN|的取值范围是[7，＋∞).
8.(2022·菏泽质检)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，|AB|＝|AC|，点B(－1,1)，点C(3,5)，过其“欧拉线”上一点Р作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|的最小值为
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由题设知BC的中点为(1,3)，
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所以“欧拉线”方程为y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0，
要使|MN|最小，则在Rt△PMO与Rt△PNO中，∠MOP＝∠NOP最小，即∠MPN最大，
而仅当OP⊥“欧拉线”时，∠MPN最大，
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二、多项选择题
9.已知直线l过点(3,4)，点A(－2,2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是
A.x－2y＋2＝0 B.2x－y－2＝0
C.2x＋3y－18＝0 D.2x－3y＋6＝0
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当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
∵点A(－2,2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，
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整理得2x＋3y－18＝0，
当k＝2时，直线l的方程为y－4＝2(x－3)，整理得2x－y－2＝0.
综上，直线l的方程可能为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.
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10.在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的可能取值是
A.1 B.2 C.3 D.4
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由x2＋y2－4x＝0，得(x－2)2＋y2＝4，
则圆心为C(2,0)，半径r＝2，过点P所作的圆的两条切线相互垂直，
设两切点分别为A，B，连接AC，BC，所以四边形PACB为正方形，
所以实数k的取值可以是1,2.
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11.(2022·南通模拟)已知P是圆O：x2＋y2＝4上的动点，直线l1：xcos θ＋ysin θ＝4与l2：xsin θ－ycos θ＝1交于点Q，则
A.l1⊥l2
B.直线l1与圆O相切
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圆O半径为2，cos θ·sin θ＋sin θ·(－cos θ)＝0，所以l1⊥l2，A正确；
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即Q(4cos θ＋sin θ，4sin θ－cos θ)，
12.(2022·龙岩质检)已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，则
A.当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为(2,2)
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对于A选项，当四边形OAPB为正方形时，
则|OA|＝|OB|＝|AP|＝|BP|，
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又点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，
设P(x0，4－x0)，
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故不存在点P使得四边形OAPB为正方形，A错误；
对于选项C，若△PAB为等边三角形，
易知∠APB＝60°，又OP平分∠APB，
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∴∠APO＝∠BPO＝30°.
∴x0＝2，y0＝2，故C错误；
对于选项D，∵P(x0，4－x0)，
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整理得x2＋y2－x0x－(4－x0)y＝0，
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化简得x0x＋(4－x0)y＝2，
即得直线方程为x0x＋(4－x0)y－2＝0，
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三、填空题
13.与直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线的方程为_____________.
2x＋y＋1＝0
直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线的斜率为－k＝－2，并且过点A，
即2x＋y＋1＝0，
所以所求直线的方程为2x＋y＋1＝0.
14.过点P(2,2)的直线l与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则直线l的方程为_____________________.
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3x－4y＋2＝0或x＝2
当过点P(2,2)的直线l斜率不存在时，方程为x＝2，与圆(x－1)2＋y2＝1相切，满足题意；
当过点P(2,2)的直线l斜率存在时，
设方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0，
∴直线l的方程为3x－4y＋2＝0或x＝2.
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15.(2022·杭州模拟)在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A在直线l：y＝2x上，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l的另一个交点为D.若AB⊥CD，则圆C的半径等于________.
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即a2－2a－3＝0，而a>0，解得a＝3，则有点C(4,3)，
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16.若抛物线y＝x2＋ax＋b与坐标轴分别交于三个不同的点A，B，C，则△ABC的外接圆恒过的定点坐标为________.
(0,1)
设抛物线y＝x2＋ax＋b交y轴于点B(0，b)，交x轴于点A(x1，0)，C(x2，0)，
由题意可知关于x的方程：x2＋ax＋b＝0，Δ＝a2－4b>0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝－a，x1x2＝b，
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整理可得(x2＋y2－y)＋ax＋b(1－y)＝0，
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因此，△ABC的外接圆恒过的定点坐标为(0,1).(共81张PPT)
第2讲 圆锥曲线的方程与性质
专题六 解析几何
考情分析
高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题.
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
考点三 抛物线的几何性质
专题强化练
内容索引
圆锥曲线的定义与标准方程
考点一
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
核心提炼
√
例1
设椭圆的半焦距为c，因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1.
又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1.
又因为|F2B|＝|BF1|，
所以△F1F2B是等腰直角三角形，
于是△F1AP也是等腰直角三角形，
4
延长F2M交PF1于点Q，
由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，
所以△QPF2是等腰三角形，
所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点.
根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，即|QF1|＝2a，
由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.
易错提醒
跟踪演练1
√
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
√
设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，线段AB的中点为M.
如图，分别过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为C，D，N，连接AF，BF.
因为线段AB的中点到y轴的距离为3，
抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，所以|MN|＝5.
因为|AB|≤|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|＝10，
当且仅当A，B，F三点共线时取等号，
所以|AB|max＝10.
椭圆、双曲线的几何性质
考点二
1.求离心率通常有两种方法
核心提炼
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
√
例2
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
焦点F2(c，0)，c2＝a2＋b2，
因为以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，
√
√
考向2 离心率问题
例3
当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示，
设过F1的直线与圆D相切于点P，连接OP，
由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，
所以|F1P|＝b.
过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.
由中位线的性质，可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
图1
由双曲线的定义可知|NF1|－|NF2|＝2a，
图1
两边平方得4b2＝9a2，即4(c2－a2)＝9a2，
当两个交点M，N都在双曲线上的左支上时，如图2所示，
同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
图2
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
规律方法
跟踪演练2
√
设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
√
√
设|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|＝2m，
则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝3m，
由双曲线的定义知，
|AF1|－|AF2|＝2m－m＝2a，
即m＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，
即|BF1|－2m＝2a，
∴|BF1|＝3m＝|AB|，∠AF1B＝∠F1AB，
故选项A正确；
由余弦定理知，在△ABF1中，
在△AF1F2中，
化简整理得12c2＝11m2＝44a2，
故选项C错误；
若原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上，
双曲线的渐近线方程为
抛物线的几何性质
考点三
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
核心提炼
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
例4
√
设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B.
由抛物线的定义知，|MM′|＝|FM|.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0).若|AF|＝|AM|，则
A.直线AB的斜率为 B.|OB|＝|OF|
C.|AB|>4|OF| D.∠OAM＋∠OBM<180°
√
√
√
因为|AF|＝|AM|，且M(p，0)，
对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，
所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故D正确.综上所述，选ACD.
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
规律方法
(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px (p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥
OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为__________.
跟踪演练3
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
√
由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，渐近线的方程为x＝－1，
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE垂直准线于点E，
准线交x轴于点N，则|BF|＝|BE|，
所以直线AB的方程为y＝x－1，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
整理可得x2－6x＋1＝0，
则x1＋x2＝6，所以BC的中点的横坐标为3，
则线段BC的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.
专题强化练
一、单项选择题
1.(2022·中山模拟)抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为
A.y2＝4x B.y2＝8x
C.y2＝12x D.y2＝16x
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因抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
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所以由m＋1＝32，得m＝8，
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3.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于
√
方法一 由题意可知F(1,0)，
因为|BF|＝3－1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2).
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方法二 由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
因为抛物线的通径长为2p＝4，
所以AF的长为通径长的一半，
所以AF⊥x轴，
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4.(2022·潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线
＝1(a>0，b>0)上支的一部分.已知该双曲线的上
焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离
为12，则该双曲线的离心率为
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如图所示，设|AF1|＝4x，则|AB|＝3x，
因为AF1⊥AB，
由椭圆的定义可得
|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝12x，
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由勾股定理可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
√
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设P(x0，y0)，
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因为－1≤y0≤1，
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二、多项选择题
7.(2022·临沂模拟)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则
√
√
√
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记∠AOF＝θ，
则S△ABF＝S△AOF＋S△OBF
＝|OA|sin θ＋2sin θ＝(|OA|＋2)sin θ，
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√
√
对于A，在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，
可知||PA1|－|PA2||<|A1A2|＝2a，故A错误；
对于B，焦点F2(c，0)，
设F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，
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将c2＝a2＋b2代入，
化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，
对于C，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，
设P(x0，y0)(y0≠0)，
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对于D，双曲线C为等轴双曲线，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，
设∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，则∠PA2x＝4θ，
根据C的结论 ＝1，即有tan θ·tan 4θ＝1，
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∴cos 5θ＝0，
∵θ＋3θ∈(0，π)，
三、填空题
9.写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________________.
①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为
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设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，…，P8(x8，y8),
P1，P2，P3，…，P8是抛物线x2＝4y上不同的点，点F(0,1)，
准线为y＝－1，
＝(x1＋x2＋…＋x8，(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1))＝0，
所以(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1)＝0，
即y1＋y2＋y3＋…＋y8＝8，
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＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋…＋(y8＋1)
＝y1＋y2＋…＋y8＋8＝16.
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依题意，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝12，而|PF1|＝7，则|PF2|＝5，
因为点F2是抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，
则该抛物线的准线l过点F1，如图，
过点P作PQ⊥l于点Q，
由抛物线定义知|PQ|＝|PF2|＝5，
而F1F2∥PQ，则∠PF1F2＝∠F1PQ，
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由题意可知，F(－c，0)，A(a，0)，
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因为直线AM经过OP的中点，
则2b2＝ac＋c2,2(c2－a2)＝ac＋c2，即c2－ac－2a2＝0，
则e2－e－2＝0，解得e＝－1 (舍)或e＝2.
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四、解答题
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设A(xA，yA).
因为△F1AB是等边三角形，
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由已知，F1(－2,0)，F2(2,0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l：y＝k(x－2).显然k≠0.
因为l与双曲线交于两点，
所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.
设AB的中点为M(xM，yM).
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知F1M⊥AB，故(共80张PPT)
第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系
专题六 解析几何
考情分析
直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.
考点一 弦长、面积问题
考点二 中点弦问题
考点三 直线与圆锥曲线位置关系的应用
专题强化练
内容索引
弦长、面积问题
考点一
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
核心提炼
例1
方法一 由题意知，直线的斜率不为0，F1(－1,0)，
设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
Δ＝36m2＋4×9(3m2＋4)＝144(1＋m2)>0，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
方法二 由(1)知F1(－1,0)，B(2,0)，
当直线l的斜率不存在时，|MN|＝3，点B(2,0)到直线l：x＝－1的距离为3，
所以直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，
即k2＝1，得k＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等.
(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立.
易错提醒
跟踪演练1
(2022·宝鸡模拟)已知椭圆C1的中心在坐标原点，一个焦点与抛物线C2：y2＝4x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率为
(1)求椭圆C1的标准方程；
抛物线C2：y2＝4x的焦点为F(1,0)，
所以椭圆C1的一个焦点为F(1,0)，
其中c2＝a2－b2，
(2)过F点的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于P，Q两点，且A，P点都在x轴上方，如果|PB|＋|AQ|＝3|AB|，求直线l的方程.
由题意知直线l的斜率不为0，设其方程为x＝my＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
Δ＝16m2＋16＝16(m2＋1)>0，
所以y3＋y4＝4m，y3y4＝－4，
则|PQ|＝x3＋x4＋2＝m(y3＋y4)＋4＝4m2＋4，
Δ＝36m2＋36(4＋3m2)＝144(m2＋1)>0，
由|PB|＋|AQ|＝3|AB|，
即|PB|＋|AQ|＝|PA|＋|AB|＋|QB|＋|AB|＝|PA|＋|QB|＋2|AB|＝3|AB|，
得|PA|＋|QB|＝|AB|，
又|PA|＋|QB|＋|AB|＝|QP|，
中点弦问题
考点二
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
核心提炼
例2
得点M(m，0)，N(0，n).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，
因为kAB＝kMN，
将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，
由题意知x1＋x2≠0，x1≠x2，
整理得m2＝2n2. ①
所以由勾股定理，得m2＋n2＝12， ②
得点M(m，0)，N(0，n).
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，
处理中点弦问题常用的求解方法
规律方法
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为
跟踪演练2
√
∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，
∴y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
又∵P，Q关于直线l对称.
∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，
又∵PQ的中点一定在直线l上，
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1).
直线与圆锥曲线位置关系的应用
考点三
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)联立直线方程与圆锥曲线方程.
(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.
(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.
核心提炼
例3
内的任意值均可)
若直线y＝2x与双曲线C无公共点，
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则
A.C的准线为y＝－1 B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|2
√
√
√
如图，因为抛物线C过点A(1,1)，
因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′|x＝1＝2，
所以C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝kx－1，
所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，
且Δ＝k2－4>0，得k>2或k<－2，
所以C正确；
所以D正确.故选BCD.
(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
易错提醒
(1)(2022·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，O为坐标原点，则△OAB的面积为
A.1 B.2 C.4 D.8
跟踪演练3
√
∵抛物线C：y2＝4x的准线为l，
∴l：x＝－1，A(－1,0)，
设过点A作抛物线的一条切线方程为x＝my－1，m>0，
∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，
∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，
√
设B(x1，y1)(x1>0，y1>0)，由题意得，
专题强化练
一、单项选择题
1.(2022·丹东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于
√
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由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，
√
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解得a2＝16，b2＝9，
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
D(2,1)是椭圆M的一条弦AB的中点，
故x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
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故有a2＝2b2＝2(a2－c2)，
5.(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是
A.|M1M2|·|M3M4| B.|FM1|·|FM4|
C.|M1M3|·|M2M4| D.|FM1|·|M1M2|
√
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如图，分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4，
由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l0：x＝－1，
由定义得，|M1F|＝x1＋1，
又|M1F|＝|M1M2|＋1，所以|M1M2|＝x1，
同理|M3M4|＝x4，
则x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.
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√
由已知得F1(－2,0)，F2(2,0)，
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，
当直线PF1，PF2的斜率存在时，直线PF1的斜率为k1，
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当直线PF1或PF2的斜率不存在时，不符合题意.
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二、多项选择题
7.已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则
A.y1·y2为定值 B.k1·k2为定值
C.y1＋y2为定值 D.k1＋k2＋t为定值
√
√
√
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对于A，y1y2＝－16为定值，A正确；
对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，C错误；
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则k1＋k2＋t为定值，D正确.
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√
√
对于A，因为双曲线C的一个焦点F(5,0)，
渐近线方程化为4x±3y＝0，
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若C的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度m(m>0)，
∴e′对于选项C，A(－3,0)，B(3,0)，设P(x，y)，
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三、填空题
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[1,4)∪(4，＋∞)
直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
∴m≥1，且m≠4.
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设右焦点为F′，连接AF′，BF′(图略).
因为2|OF|＝|AB|＝2c，
即|FF′|＝|AB|，可得四边形AFBF′为矩形.
在Rt△ABF中，
由双曲线的定义可得|AF|－|AF′|＝2a，
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如图，连接AF1，DF2，EF2，
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所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.
因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，所以△AF1F2为等边三角形，
又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，
所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，
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所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.
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四、解答题
13.(2022·河北联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，直线x＝t，x＝t＋4与抛物线C分别交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线交于点M.当t＝2时，直线AB的斜率为1.
(1)求抛物线C的方程，并写出其准线方程；
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故抛物线C的方程为x2＝8y，
其准线方程为y＝－2.
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(2)求△ABM的面积.
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设直线AB的方程为y＝kx＋m，
A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
消去y得x2－8kx－8m＝0，
Δ＝64k2＋32m>0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－8m，
由x2－x1＝4，得(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16，
即64k2＋32m＝16，即4k2＋2m＝1.
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故△ABM的面积为2.
