(共58张PPT)
微重点15 离心率的范围问题
专题六 解析几何
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型,对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键,相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围
专题强化练
内容索引
利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
考点一
√
例1
设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,不妨设|PF1|>|PF2|,
设|F1F2|=2c,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2,
√
依题意作图,如图所示,
由于|MN|=|F1F2|,并且线段MN,F1F2互相平分,
∴|NF1|=|MF2|,
设|MF2|=x,则|MF1|=2a-x,
根据勾股定理得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即x2+(2a-x)2=4c2,
整理得x2-2ax+2b2=0,
整理得2a2-2ac-c2≥0,e2+2e-2≤0,
此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义,以及余弦定理或勾股定理,构造关于a,b,c的不等式或不等式组求解,要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.
规律方法
跟踪演练1
由双曲线的定义得|PQ|+b-|QF2|=2a,
所以|PQ|=2a-b+|QF2|,
所以21e2+40e-125<0,
所以(3e-5)(7e+25)<0,
因为直线F1Q与双曲线的右支相交,
所以a2
0,
利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
考点二
(1)(2022·西安模拟)圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形,过上底面圆弧上任意一点F作平面与圆柱的侧面相交,则相交所得到曲线的离心率的最大值为
√
例2
过点F的平面与圆柱侧面相交,交线所形成的曲线为椭圆,如图,
椭圆的短轴长为底面圆的直径,不妨令底面圆的半径为1,
则短轴长2b=2,∴b=1,
如图所示,当该椭圆刚好与上、下底面有一个交点时,
长轴最长为EF,
由图知,MENF为正方形,边长为2,
∵c2=a2-b2=a2-1,
√
连接OP,当P不为椭圆的上、下顶点时,
设直线PA,PB分别与圆O切于点A,B,∠OPA=α,
∵存在M,N使得∠MPN=120°,
∴∠APB≥120°,即α≥60°,
又α<90°,∴sin α≥sin 60°,
利用圆锥曲线的性质,如:椭圆的最大角,通径,三角形中的边角关系,曲线上的点到焦点距离的范围等,建立不等式(不等式组).
规律方法
跟踪演练2
√
如图所示,A为椭圆的上顶点.
依题意∠F1AF2≥90°,即∠OAF2≥45°,
又|AF2|=a,|AO|=b,|OF2|=c,
∵∠OAF2≥45°,
利用几何图形的性质求离心率的范围
考点三
例3
√
√
以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,
解得(不妨设)P(a,b),Q(-a,-b),A(-a,0),
利用几何图形中几何量的大小,例如线段的长度、角的大小等,构造几何度量之间的关系.
规律方法
跟踪演练3
双曲线C与直线y=x有交点,
双曲线上存在不是顶点的点P,
使得∠PF2F1=3∠PF1F2,
则P点在右支上,设PF1与y轴交于点Q,由对称性知|QF1|=|QF2|,
所以∠QF1F2=∠QF2F1,
所以∠PF2Q=∠PF2F1-∠QF2F1=2∠PF1F2=∠PQF2,
所以|PQ|=|PF2|,
所以|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=2a,
在△PF1F2中,∠PF1F2+∠PF2F1=4∠PF1F2<180°,∠PF1F2<45°,
专题强化练
√
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设点P(x,y),
因为0≤x2≤a2,
√
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8
方法一 由双曲线的定义知
|PF1|-|PF2|=2a, ①
又|PF1|=4|PF2|, ②
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在△PF1F2中,由余弦定理,
要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,
当cos∠F1PF2=-1时,
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方法二 由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|=4|PF2|,
∵|F1F2|=2c,
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依题意可得|AF1|-|AF2|=2a,
又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=4c2,
所以(|AF2|+2a)2+|AF2|2=4c2,
√
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因为A在B的上方,且这两点都在C上,
又EA∥x轴,
所以|ED|=|EB|,EA⊥BD,
所以△BDE的内心G在线段EA上.
因为DG平分∠EDA,在△EDA中,
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√
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由长轴长为4,故2a=4 a=2,由点Q在椭圆上,
根据椭圆的定义得|QF1|+|QF2|=4,故A正确;
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∴|OQ|min=b>c,
√
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√
√
对于A,因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A,B两点,所以过点O且与圆F相切的直线与C没有公共点(如图),故选项A正确;
对于B,过点F作FD⊥l,垂足为D,易知|FD|=b,
因为圆F与直线l相交,
所以b所以c2<2a2,即e2<2,
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设|AD|=m,则|OA|=2m,|OD|=3m,
在Rt△AFD和Rt△OFD中,
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消去m2,得c2=9a2-8b2,即17a2=9c2,
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设双曲线C的左焦点为F′,
则|QF|-|QF′|=2a,
即|QF|=|QF′|+2a,
故|QF|+|PQ|=|QF′|+|PQ|+2a≥|PF′|+2a.
∵|PQ|+|QF|+|PF|≥|PF′|+2a+|PF|=10+2a≥13,
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设∠PF1F2=θ,|F1F2|=2c,
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8(共59张PPT)
微重点16 椭圆、双曲线的二级结论的应用
专题六 解析几何
椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一,知识的综合性较强,因而解题时需要运用多种基础知识,采用多种数学手段,熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要,但要做到迅速、准确地解题,还要掌握一些常用结论,正确灵活地运用这些结论,一些复杂的问题便能迎刃而解.
考点一 焦点三角形
考点二 焦半径的数量关系
考点三 周角定理
考点四 过圆锥曲线上点的切线方程
专题强化练
内容索引
焦点三角形
考点一
焦点三角形的面积公式:P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点,F1,F2且∠F1PF2=θ,
核心提炼
√
例1
设△F1PF2的内切圆的半径为r,
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π,
在△F1PF2中,根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式,
又a2=b2+c2, ③
所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.
(1)要注意公式中θ的含义.
(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样,易混淆.
易错提醒
跟踪演练1
√
又四边形AF1BF2为矩形,
焦半径的数量关系
考点二
核心提炼
例2
如图,令|F2B|=t,
则|AF2|=2t,
∴|AB|=3t,|F1B|=3t,
又|F1B|-|F2B|=2a,
∴3t-t=2a,∴2t=2a,∴t=a,
解得b2=4,a2=3,
公式的前提是直线AB过焦点F,焦点F不在直线AB上时,公式不成立.
易错提醒
跟踪演练2
由椭圆方程知a=4,b=2,|AF2|=2,
周角定理
考点三
核心提炼
例3
√
由椭圆的性质可得
由椭圆的对称性可得
同理可得
规律方法
跟踪演练3
√
∵∠F1AF2=90°,
∴△F1AF2为等腰直角三角形,∴b=c,
∴a2=2b2=2c2,
过圆锥曲线上点的切线方程
考点四
核心提炼
例4
1
连接OA,OB,如图所示.
即x0x+4y0y-4=0,
(1)该切线方程的前提是点P在圆锥曲线上.
(2)类比可得过圆(x-a)2+(y-b)2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)·(y-b)=1.
规律方法
跟踪演练4
√
由已知可得F(1,0),
设M(x1,y1),N(x2,y2),A(3,t)
因为切线AM,AN过点A(3,t),
所以点F(1,0)在直线MN上,
所以M,N,F三点共线,
所以|MF|+|NF|-|MN|=0.
专题强化练
√
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设P(x0,y0),
√
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如图,由对称性知MN与F1F2互相平分,
∴四边形MF2NF1为平行四边形,
∵F2为MM′的中点,且|MN|=|M′N|,
∴NF2⊥MF2,∴四边形MF2NF1为矩形,
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√
令|F2B|=t,则|AF2|=2t,
∴|BF2|=1,|AF2|=2,
由椭圆定义知|BF1|=5,|AF1|=4,
∴△ABF1中,|AB|=3,|AF1|=4,|BF1|=5,∴AF1⊥AB,
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√
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如图,
∴BA⊥BP,令kAB=k,
∵∠ADO=∠AOD,
∴kAP=-kAB=-k,
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√
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若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2,即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2,
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8
若|PF1|≤2b恒成立,∴a+c≤2b,
∴a2+c2+2ac≤4b2=4(a2-c2),
∴5e2+2e-3≤0,
6.(多选)(2022·广州模拟)已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,P为双曲线的左支上一点,且直线PA1与PA2的斜率之积等于3,则下列说法正确的是
A.双曲线C的离心率为2
B.若PF1⊥PF2,且 =3,则a=2
C.以线段PF1,A1A2为直径的两个圆外切
D.若点P在第二象限,则∠PF1A2=2∠PA2F1
√
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√
√
因为A1(-a,0),A2(a,0),
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根据双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,
对于C,设PF1的中点为O1,O为原点.
因为OO1为△PF1F2的中位线,
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则可知以线段PF1,A1A2为直径的两个圆外切,故C正确;
对于D,设P(x0,y0),则x0<-a,y0>0.
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所以∠PF1A2=2∠PA2F1,故D正确.
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如图,设MN的中点为Q,
∴MN⊥l,∴kMN=-1,
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即a2=4b2=4(a2-c2),
即3a2=4c2,
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0
设M(x1,y1)(x1>0,y1>0),P(x0,y0),
则N(-x1,-y1),E(x1,0),
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8(共55张PPT)
微重点17 抛物线的二级结论的应用
专题六 解析几何
抛物线是高中数学的重要内容之一,知识的综合性较强,因而解题时需要运用多种基础知识,采用多种数学手段,熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要,但要做到迅速、准确地解题,还要掌握一些常用结论,特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论,在考试中经常用到,正确灵活地运用这些结论,一些复杂的问题便能迎刃而解.
考点一 抛物线的焦点弦
考点二 定点问题
专题强化练
内容索引
抛物线的焦点弦
考点一
与抛物线的焦点弦有关的二级结论
核心提炼
(6)以AB为直径的圆与准线相切,以FA为直径的圆与y轴相切.
(1)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C相交于A,B两点,直线l2与C相交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16 B.14 C.12 D.10
√
例1
考向1 焦半径、弦长问题
∴|AB|+|DE|的最小值为16.
直线l的倾斜角α=60°,
例2
考向2 面积问题
64
方法一 (常规解法)依题意,
抛物线C:y2=16x的焦点为F(4,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
方法二 (活用结论)依题意知,
抛物线y2=16x,p=8.
(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,则2|AF|+|BF|最小值为
例3
√
因为p=2,
例4
考向4 利用平面几何知识
√
如图,过点P作准线的垂线交于点H,
由抛物线的定义有|PF|=|PH|=m(m>0),
过点Q作准线的垂线交于点E,则|EQ|=|QF|,
∴2|EQ|=|QM|=|FQ|+3m.
∴|EQ|=3m,即|FQ|=3m,
焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆,用时要注意使用的条件;数形结合求解时,焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角,不能一律当成锐角而漏解.
易错提醒
跟踪演练1
√
∴F为AB的三等分点,
令|BF|=t,则|AF|=2t,
(2)(多选)已知抛物线C:x2=4y,焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,该抛物线的准线与y轴交于点M,过点A,B作准线的垂线,垂足分别为H,G,如图所示,则下列说法正确的是
A.线段AB长度的最小值为2
B.以AB为直径的圆与直线y=-1相切
C.∠HFG=90°
D.∠AMO=∠BMO
√
√
√
如图,取AB的中点为C,作CD⊥GH,垂足为D,
当线段AB为通径时长度最小,为2p=4,故A不正确;
∵直线y=-1为准线,
故以AB为直径的圆与准线y=-1相切,故B正确;
又|BF|=|BG|,∴∠BFG=∠BGF,
又BG∥FM,
∴∠BGF=∠MFG,
∴∠BFG=∠MFG,
同理可得∠AFH=∠MFH,
又∠BFG+∠MFG+∠MFH+∠AFH=180°,
∴FG⊥FH.即∠HFG=90°,故C正确;
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴直线AB:y=kx+1,
∴x1x2=-4,x1+x2=4k,
∴∠AMO=∠BMO,故D正确.
定点问题
考点二
抛物线方程为y2=2px(p>0),过(2p,0)的直线与之交于A,B两点,则OA⊥OB,反之,也成立.
核心提炼
如图,已知直线与抛物线x2=2py交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,4),则p的值为
√
例5
如图,令AB与y轴交于点C,
∵OA⊥OB,
∴AB过定点C(0,2p),
即4+4(4-2p)=0,
要注意抛物线的焦点位置,焦点不同,定点是不同的;在解答题中用该结论时需证明该结论.
易错提醒
已知抛物线y2=4x,A,B为抛物线上不同两点,若OA⊥OB,则△AOB的面积的最小值为_____.
跟踪演练2
16
如图,∵OA⊥OB,
∴直线AB过定点(2p,0),
即点C坐标为(4,0),
设直线AB:x=ty+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
Δ=16t2+64>0,y1+y2=4t,y1y2=-16,
∴当t=0时,Smin=16.
专题强化练
√
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方法一 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),
设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
Δ=16t2+16>0恒成立,
1
2
3
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8
方法二 因为AB过抛物线的焦点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
1
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5
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7
8
2.如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线准线交于C点,若B是AC的中点,则|AB|等于
A.8 B.9 C.10 D.12
√
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7
8
如图所示,
令|BF|=t,则|BB′|=t,
又B为AC的中点,
∴|AA′|=|AF|=2t,
∴|BC|=|AB|=|AF|+|BF|=3t,
又△CBB′∽△CFE,
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√
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∵OA⊥OB,
∴直线过定点(2p,0)
设直线l的方程为x=y+2p,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
Δ=4p2-4×(-4p2)=20p2>0,
∴y1+y2=2p,y1y2=-4p2,
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∴p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x.
√
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4.直线l过抛物线y2=6x的焦点F,交抛物线于A,B两点,且|AF|=3|BF|,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为A′,B′,则四边形ABB′A′的面积为
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不妨令直线l的倾斜角为θ,
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∴|AA′|=6,|BB′|=2,
√
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√
5.(多选)(2022·聊城模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过F的直线l交抛物线C于A,B两点,则
A.C的准线方程为x=-2
√
因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,所以p=2,
所以抛物线方程为y2=4x,则焦点F(1,0),准线为x=-1,故A错误;
设直线AB的倾斜角为α,α∈(0,π),
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∴α=30°或150°,
对于D,若x轴平分∠HFB,则∠OFH=∠OFB,又AH∥x轴,
所以∠AHF=∠OFH=∠OFB=∠AFH,
所以HF=AF=AH,
1
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8
所以|AF|=xA+1=4,故D正确.
√
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8
√
√
6.(多选)(2022·武汉模拟)斜率为k的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C相交于A,B两点,点A在x轴上方,点M(-1,-1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点,则下列结论正确的是
由题意知,抛物线C的准线为x=-1,
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∵p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0),
∵以AB为直径的圆与准线相切,
∴点M(-1,-1)为切点,
∴圆心的纵坐标为-1,即AB中点的纵坐标为-1,
设AB:x=ty+1,
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Δ=16t2+16>0,
∴y1+y2=4t=-2,
∴MF⊥AB,故选项C正确;
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过A作AA1⊥x轴,过B作BB1⊥x轴,
抛物线的准线交x轴于点C,设∠BFB1=θ,
故选项D错误.
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7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于M,N两点,且|MF|=2|NF|,则直线l的斜率为______.
设直线l的倾斜角为θ,∴k=tan θ,
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8.(2022·攀枝花模拟)如图所示,已知抛物线C1:y2=2px过点(2,4),圆C2:x2+y2-4x+3=0.过圆心C2的直线l与抛物线C1和圆C2分别交于P,Q,M,N,则|PM|+4|QN|的最小值为________.
13
由题设知,16=2p×2,则2p=8,
故抛物线的标准方程为y2=8x,则焦点F(2,0),
圆C2:(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1,
|PM|+4|QN|=|PF|-1+4(|QF|-1)
=|PF|+4|QF|-5
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当且仅当|PF|=2|QF|时,等号成立,
故|PM|+4|QN|的最小值为13.
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