(共55张PPT)
培优点8 隐圆(阿波罗尼斯圆)问题
专题六 解析几何
隐圆问题近几年在高考题和各地模拟题中都出现过,难度为中高档,在题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中,要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐圆问题”.
考点一 利用圆的定义、方程确定隐形圆
考点二 由圆周角的性质确定隐形圆
考点三 阿波罗尼斯圆
专题强化练
内容索引
利用圆的定义、方程确定隐形圆
考点一
(1)(2022·滁州模拟)已知A,B为圆C:x2+y2-2x-4y+3=0上的两个动点,P为弦AB的中点,若∠ACB=90°,则点P的轨迹方程为
√
例1
所以点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1.
(2)(2022·茂名模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,若向量c满足|a+b-2c|=1,则|c|的取值范围是
√
|a|=1,|b|=2,a·b=0,
以a为y轴,b为x轴,建立平面直角坐标系,
所以a+b-2c=(2-2x,1-2y),
由|a+b-2c|=1,
可得(2-2x)2+(1-2y)2=1,
对于动点的轨迹问题,一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹,二是利用直接法求出方程,通过方程识别轨迹.
规律方法
跟踪演练1
√
设线段MN的中点为D,
所以|CD|=1,故点D的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆,
设点D的轨迹为圆D,
由圆周角的性质确定隐形圆
考点二
(1)已知点P(2,t),Q(2,-t)(t>0),若圆C:(x+2)2+(y-3)2=1上存在点M,使得∠PMQ=90°,则实数t的取值范围是
A.[4,6] B.(4,6)
C.(0,4]∪[6,+∞) D.(0,4)∪(6,+∞)
√
例2
由题意知,点P(2,t),Q(2,-t)(t>0),
可得以PQ为直径的圆的方程为(x-2)2+y2=t2,
则圆心C1(2,0),半径R=t,
又由圆C:(x+2)2+(y-3)2=1,
可得圆心C(-2,3),半径r=1,
要使得圆C:(x+2)2+(y-3)2=1上存在点M,使得∠PMQ=90°,
所以实数t的取值范围是[4,6].
(2)(2022·长沙雅礼中学质检)已知直线l:x-y+4=0上动点P,过P点作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为C,D,记M是CD的中点,则直线
CD过定点________,点M的轨迹方程为___________________.
(-1,1)
如图,连接PO,CO,DO,
因为PD⊥DO,PC⊥CO,
所以P,D,O,C在以PO为直径的圆上,
设P(x0,x0+4),
化简得x2-x0x-(x0+4)y+y2=0,
与x2+y2=4联立,
可得CD所在直线的方程为x0x+(x0+4)y=4 x0(x+y)=4(1-y)
直线CD过定点Q(-1,1),又OM⊥CD,
所以OM⊥MQ,所以点M在以OQ为直径的圆上,
利用圆的性质,圆周角为直角,即可得到:若PA⊥PB或∠APB=90°,则点P的轨迹是以AB为直径的圆.注意轨迹中要删除不满足条件的点.
规律方法
跟踪演练2
√
因为CA⊥CB,所以点C的轨迹是以AB为直径的圆,
即点C轨迹的圆心在圆x′2+y′2=2上,
故点(1,1)与该圆上的点(-1,-1)的连线的距离加上圆的半径即为点C到点(1,1)的距离的最大值,
阿波罗尼斯圆
考点三
例3
√
√
√
对于选项A,设P(x,y),
化简得x2+y2+8x=0,故A正确;
对于选项B,由选项A可知,点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0,
即(x+4)2+y2=16,所以点P的轨迹是以(-4,0)为圆心,4为半径的圆,
又|AB|=6,且点A,B在直径所在直线上,
故当点P到圆的直径所在直线的距离最大时,△PAB的面积取得最大值,
因为圆上的点到直径的最大距离为半径,即△PAB的高的最大值为4,
对于选项C,假设在x轴上存在异于A,B的两定点M,N,
又点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0,
故存在异于A,B的两定点M(-6,0),N(-12,0),
所以2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|,
又点P在圆x2+8x+y2=0上,如图所示,
所以当P,Q,B三点共线时2|PA|+|PQ|取得最小值,
此时(2|PA|+|PQ|)min=|BQ|
规律方法
跟踪演练3
√
由题意,设A(-1,0),B(1,0),P(x,y),
因为|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2+1),其中x2+y2可看作圆(x-2)2+y2=3上的点(x,y)到原点(0,0)的距离的平方,
专题强化练
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1.已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-2)2=2.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得PA⊥PB,则实数a的取值范围为
√
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若圆M上存在这样的点P,则圆M与x2+y2=2有公共点,
2.已知点A(-5,-5)在动直线mx+ny-m-3n=0上的射影为点B,若点C(5,-1),那么|BC|的最大值为
A.16 B.14 C.12 D.10
√
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由动直线方程化为m(x-1)+n(y-3)=0,可知其恒过定点Q(1,3).
又∵点A(-5,-5)在动直线mx+ny-m-3n=0上的射影为点B,
∴∠ABQ=90°,则点B的轨迹是以AQ为直径的圆,
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∴点C(5,-1)在圆M外,
故|BC|的最大值为r+|MC|=7+5=12.
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√
所以△AOB为等边三角形,
当PQ与x2+y2=3相切时,∠PQO最大,
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以BC的中点O为坐标原点,BC,OA所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设△ABC的边长为4,
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也就是以AO为直径的圆,易知该圆与△ABC的三边有4个公共点.
5.(多选)已知AB为圆O:x2+y2=49的弦,且点M(4,3)为AB的中点,点C为平面内一动点,若AC2+BC2=66,则
A.点C构成的图象是一条直线
B.点C构成的图象是一个圆
C.OC的最小值为2
D.OC的最小值为3
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∵点M(4,3)为AB的中点,
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∴点C构成的图象是以M为圆心,3为半径的圆,故A错误,B正确;
∴可得OC的最小值为|OM|-3=5-3=2,故C正确,D错误.
6.(多选)(2022·福州模拟)已知A(-3,0),B(3,0),动点C满足|CA|=2|CB|,记C的轨迹为Γ.过A的直线与Γ交于P,Q两点,直线BP与Γ的另一个交点为M,则
A.Q,M关于x轴对称
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整理得Γ的方程为(x-5)2+y2=16,其轨迹是以D(5,0)为圆心,半径r=4的圆.
由图可知,由于AB=6,所以当DP垂直于x轴时,△PAB的面积有最大值,
因为|PA|=2|PB|,|MA|=2|MB|,
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又C的轨迹Γ关于x轴对称,所以Q,M关于x轴对称,选项A正确;
当∠PMQ=45°时,∠PDQ=45°×2=90°,
当直线AC与圆D相切时,CD⊥AC,
此时|AD|=8=2r=2|CD|,
所以切线AC的倾斜角为30°和150°,
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如图,以AB的中点O为坐标原点,AB,OC所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,
则A(-1,0),B(1,0),
设P(x,y).
即为(-1-x)(1-x)+y2-2λ+1=0,
化简得x2+y2=2λ(λ>0),
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过点O作OM⊥AC,垂足为点M,
由题意知,线段AC与圆x2+y2=2λ有两个交点,
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8.已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作⊙M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|取得最小值时,直线AB的方程为________________.
2x+y+1=0
⊙M:(x-1)2+(y-1)2=4, ①
则圆心M(1,1),⊙M的半径为2.
如图,由题意可知PM⊥AB,
当|PM|·|AB|最小时,|PM|最小,此时PM⊥l.
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∴P(-1,0).
依题意知P,A,M,B四点共圆,且PM为圆的直径,
由①-②整理得2x+y+1=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.(共42张PPT)
培优点9 圆锥曲线与圆的综合问题
专题六 解析几何
随着新高考不断地推进与深入,高考对解析几何的要求也随之发生很大的变化,对圆的考查在逐渐加深,与圆相关的几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线及抛物线相结合,呈现别具一格的新颖试题,题型渐渐成为高考命题的热点,是一种新的命题趋势.
考点一 圆的切线与圆锥曲线的综合问题
考点二 圆锥曲线中的四点共圆综合问题
专题强化练
内容索引
圆的切线与圆锥曲线的综合问题
考点一
(1)求椭圆的方程;
例1
(2)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于A,B两点,问△AF2B的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.
是定值.由题意,
设AB的方程为y=kx+m(k<0,m>0),
∵AB与圆x2+y2=3相切,
整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
处理圆的切线与圆锥曲线综合问题,主要就是巧设直线方程,利用圆的切线性质(圆心到直线的距离等于半径)找到直线的参数之间的关系或者转化为直线斜率的一元二次方程,利用根与系数的关系求解.
规律方法
在平面直角坐标系中,F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,D为抛物线C上第一象限内任意一点,△FOD外接圆的圆心为Q,且圆心Q到抛物线C的准线的距离为 .
(1)求抛物线C的方程;
跟踪演练1
由抛物线C方程x2=2py,
(2)设点P(x0,y0)(x0>1)为抛物线C上第一象限内任意一点,过点P作圆x2+(y-1)2=1的两条切线l1,l2且与y轴分别相交于A,B两点,求△PAB面积的最小值.
设过点P(x0,y0)的直线l的方程为y-y0=k(x-x0),
设直线l1,l2在y轴上的截距分别为y1,y2,
则y1=y0-k1x0,y2=y0-k2x0,
|AB|=|y1-y2|=|k1-k2|·x0
圆锥曲线中的四点共圆综合问题
考点二
(1)求动点P的轨迹方程;
例2
设P(x,y),
方程①的判别式为Δ=4(2-m2),
由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.
所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
所以A,B,C,D四点共圆.
处理共圆问题,主要抓住弦长及弦的中点的关系并结合圆的垂径定理,综合寻求关系.
规律方法
跟踪演练2
(1)求椭圆C的方程;
(2)若A,M,B,O四点共圆,求直线AB的斜率.
因为直线AB的斜率存在,所以设直线AB的方程为y=kx+m,
A(x1,y1),B(x2,y2).
消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
因为平行四边形AMBO,
因为点M在椭圆C上,
所以将点M的坐标代入椭圆C的方程,化得4m2=4k2+1. ①
因为A,M,B,O四点共圆,所以平行四边形AMBO是矩形,且OA⊥OB,
因为y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
化得5m2=4k2+4. ②
专题强化练
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1.已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2).
(1)求k的取值范围;
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∴m2=1+k2, ①
∴k2<1,∴-11
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(2)记直线P1A1的斜率为k1,直线P2A2的斜率为k2,那么,k1·k2是定值吗?证明你的结论.
由已知可得A1,A2的坐标分别为(-1,0),(1,0),
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由①得m2-k2=1,
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2.(2022·泸州模拟)从抛物线y2=4x上各点向x轴作垂线段,记垂线段中点的轨迹为曲线P.
(1)求曲线P的方程,并说明曲线P是什么曲线;
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设抛物线y2=4x上的任意点为S(x0,y0),垂线段的中点为(x,y),
得曲线P的方程为y2=x,
(2)过点M(2,0)的直线l交曲线P于两点A,B,线段AB的垂直平分线交曲线P于两点C,D,探究是否存在直线l使A,B,C,D四点共圆?若能,请求出圆的方程;若不能,请说明理由.
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2
若直线l与x轴重合,则直线l与曲线P只有一个交点,不符合题意.
设直线l的方程为x=ty+2,根据题意知t≠0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=t,y1·y2=-2,
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因为直线CD为线段AB的垂直平分线,
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设C(x3,y3),D(x4,y4),
假设A,B,C,D四点共圆,则弦AB的中垂线与弦CD的中垂线的交点必为圆心,
1
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因为CD为线段AB的中垂线,
在Rt△AMN中,|AN|2=|AM|2+|MN|2,
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解得t2=1,即t=±1,
所以存在直线l,使A,B,C,D四点共圆,且圆心为弦CD的中点N,