(共45张PPT)
培优点5 平面向量“奔驰定理”
专题二 三角函数与解三角形
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查.平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用.
考点一 平面向量“奔驰定理”
考点二 “奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)
专题强化练
内容索引
平面向量“奔驰定理”
考点一
例1
√
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.
解得m＝4.
利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比.
易错提醒
跟踪演练1
“奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)
考点二
例2
考向1 “奔驰定理”与重心
依题意，可得56a＝40b＝35c，
例3
考向2 “奔驰定理”与外心
－1
依题意得，
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝1∶1∶λ，
∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，
例4
考向3 “奔驰定理”与内心
√
所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，
例5
考向4 “奔驰定理”与垂心
依题意，
可得tan A∶tan B∶tan C＝1∶2∶3，
代入tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，
可得6tan A＝6tan3A，
因为tan A≠0，
所以tan A＝±1.
又因为tan A涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.
规律方法
跟踪演练2
方法一 据奔驰定理得，
方法二 S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C，
专题强化练
1.点P在△ABC内部，满足 ，则S△ABC∶S△APC为
A.2∶1 B.3∶2 C.3∶1 D.5∶3
√
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8
根据奔驰定理得，
S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.
所以S△ABC∶S△APC＝3∶1.
√
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根据奔驰定理，
√
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又G为△ABC的重心，
√
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在△ABC中，由余弦定理，
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所以S△AMB∶S△BMC∶S△CMA＝μ∶(1－λ－μ)∶λ＝8∶13∶15，
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√
√
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∴a∶b∶c＝2∶2∶3，
令a＝2k，则b＝2k，c＝3k，
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，
∴a＝4，b＝4，c＝6，
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由奔驰定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5，
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根据奔驰定理得
S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，
S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，(共43张PPT)
培优点6 向量极化恒等式
专题二 三角函数与解三角形
平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单.
考点一 向量极化恒等式
考点二 等和(高)线解基底系数和(差)问题
专题强化练
内容索引
向量极化恒等式
考点一
例1
考向1 利用向量极化恒等式求值
27
∴AO＝6，OE＝3，
设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，
则AD＝3n.
根据向量的极化恒等式，
例2
考向2 利用向量极化恒等式求最值、范围
如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，
(2)平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为______.
由向量极化恒等式知
当且仅当|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，
利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.
规律方法
跟踪演练1
依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，
取MN的中点E，连接DE(图略)，
当点M，N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，
[0,2]
当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径.
设内切球的球心为O，
等和(高)线解基底系数和(差)问题
考点二
等和(高)线
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0；
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
√
例3
方法二 如图，过N作BC的平行线，
√
如图，作出定值k为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线，
当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，
所以2x＋y取得最大值2.
要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线.
易错提醒
跟踪演练2
2
图(1)
图(1)
方法二 令x＋y＝k，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图(2)，
图(2)
专题强化练
√
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如图所示，取CD的中点E，连接PE，
√
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√
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7
如图，O为AB的中点，
8
|MO|max＝|OC|＋1＝3，
|AB|min＝2a＝8，
√
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8
如图，当P位于点A时，(λ＋μ)min＝0，
当P位于点D时，(λ＋μ)max＝3.
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√
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所以P0为EB的中点，取BC的中点D，连接DP0，DP，
则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE.
根据向量的极化恒等式，
8
必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，
又E为AB的中点，所以AC＝BC.
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[－2,6]
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如图所示，取AB的中点D，连接CD，因为△ABC为等边三角形，
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7
如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
8
当且仅当O，N，M三点共线时取等号.
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由等和线定理知当点P，Q分别在如图所示的位置时，x1＋y1取最大值，x2＋y2取最小值，
故|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|
