四川省宣汉县第二中学（新课标人教版）高三数学复习《导数》

导数专题
一、导数的基本概念
1.平均变化率和瞬时变化率
（1）平均变化率：函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=
（2）瞬时变化率：当时，此时的就叫做瞬时变化率
2.导数的定义
如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f′(x)或y′|。
即f′（x）==。
说明：
（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。
（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：
① 求函数的增量=f（x+）－f（x）
② 求平均变化率=
③ 取极限，得导数f’(x)=
【典例精讲】：
例1.设函数f（x）在x=x0处可导,则
A与x0,h都有关 Bhttp://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )仅与x0有关而与h无关
C仅与h有关而与x0无关 Dhttp://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )与x0、h均无关
例2.设f（x）在x=1处连续，且f（1）=0,=2,求。
例3.若f′（x0）=2,求.
例4.；；，这三个极限值均存在，其中等于的是 （ ）
A.(1)(2) B.（2）（3） C.（1） D.（3）
导数的几何意义
几何意义：曲线在点处的导数等于点（）处的切线的斜率K因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
例1.曲线在点P（-1，3）处的切线方程是______________-.
例2.求函数过点（1,1）的切线__________________。
例3.已知定义在R上的函数在x=2处的切线方程是，则= （ ）
A. B.2 C.3 D.0
例4.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
例5.已知直线与相切，求K的值
4.导数的运算
基本函数的导数公式:
①（C为常数） ②
③; ④;
⑤ ⑥;
⑦; ⑧
导数的运算法则
若的导数都存在，则 ：
① ② 为常数）；
③ ④
【典例精讲】：
1.求下列函数的导数
（1） (2）
2.设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于
A Bhttp://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) C Dhttp://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3.函数y=（x+1）2（x－1）在x=1处的导数等于
A1 Bhttp://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2 C3 Dhttp://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )4
4.已知则= （ ）
A.0 B.-4 C.-2 D.2
5.下列函数的导数
① ②
6.设f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x) ＝ fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝ ( )
A．　 B． C． D．－
7.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( )
A． (-3,0)∪(3,+∞) B． (-3,0)∪(0, 3)
C． (-∞,- 3)∪(3,+∞) D． (-∞,- 3)∪(0, 3)
复合函数的导数
形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：
分解——>求导——>回代。
法则：y＇|= y＇| ·u＇|或者.
例1.求下列函数的导数：
(1), （2）
例2.求下列函数的导数：
（1） （2）
例3.求下列函数的导数：
（1） （2）
例4.求下列函数的导数：
（1） , （2）
二、定积分的基本原理
1.定积分的概念
设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
2.定积分的性质
①（k为常数）；
②；
③（其中a＜c＜b。
3.定积分的几何意义
当时，表示由x轴，直线x=a,x=b及曲线所围成的曲边梯形的面积。
4常见的积分公式
＝C；
＝＋C（m∈Q， m≠－1）；
dx＝ln＋C；
＝＋C；
＝＋C；
＝sinx＋C；
＝－cosx＋C（表中C均为常数）。
例1：【2012高考真题山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.
例2：已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 。
例3：曲线在点（0,2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为
(A) (B) (C) (D)1
三、导数的应用
（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有，则为常数。
1.函数单调性
简单函数单调性
例1. 已知函数的图象如图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 ( )
例2.设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。
例3. 已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间.
含有参数的函数单调性
例1：已知函数，其中
(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求证：对，都有。
定区间上函数单调性
例1：已知，若函数在（-1,1）内是减函数，求的范围。
例2：已知函数f（x）=x3-ax2-3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
2.极值与最值
在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。
（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
简单的求极值最值
例1：函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 .
例2：设函数，，求函数的单调区间与极值。
例3：已知函数其中
(1)当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w..c.o.m
(2)当时，求函数的单调区间与极值。
恒成立与能成立问题
例1：设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
例2：已知函数，其中．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围．
例3：已知函数(a∈R).
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）当时，求单调区间；
（Ⅲ）若对任意及，恒有
成立，求实数m的取值范围.
交点个数的问题
例1：已知是函数的一个极值点。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。
例2：已知函数的图象如图所示．
（I）求的值；
（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；
（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．
答案
导数的定义：
1.B(h是趋近于0的无穷小量具体是多少不影响结果)
2.2
3.-1
4.A
导数的几何意义：
y=-4x-1
C
A
导数的运算:
（2） （3）
D
D
B
6.C
D
复合函数导数：
例1 解：(1)令,
（2）令
例2 解：（1）
（2）令
例3 解：（1）
（2）
例4 解：（1）
解法1：
解法2：
定积分：
1【答案】
【解析】由已知得，所以，所以。
2【答案】
【解析】当，线段的方程为，当时。线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为。
3 A
导数的应用：
函数的单调性：
（1）简单函数
1[解析]：由函数的图象可知：
当时， <0，>0，此时增
当时，>0，<0，此时减
当时，<0，<0，此时减
当时，>0，>0，此时增
故选C
2.解：
若，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾
若， ∴ ，也只有一个单调区间，矛盾
若 ∵ ，此时恰有三个单调区间
∴ 且单调减区间为和，单调增区间为
3.解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
由在处的切线方程是，知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得 当
当
故内是增函数，
在内是减函数，在内是增函数.
含参函数单调性
例1：已知函数，其中
(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求证：对，都有。
定区间函数上的单调性
例1：已知，若函数在（-1,1）内是减函数，求的范围。
例2：已知函数f（x）=x3-ax2-3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
解：y=3x2-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x2-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有a≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0；
实数a的取值范围是（-∞，0]．
2.极值与最值
（1）简单的求极值最值
例1：函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 .
[解析]：由=0，得，
当时，>0，当时，<0，当时，>0，
故的极小值、极大值分别为，
而
故函数在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。
例2：设函数，，求函数的单调区间与极值。
例3：已知函数其中
(1)当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w..c.o.m
(2)当时，求函数的单调区间与极值。
解：（I）
（II） w.w.w..c.o.m
以下分两种情况讨论。
（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：
+ 0 — 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
w. w.w..c.o.m
（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
+ 0 — 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
w.w.w..c.o.m
（2）恒成立与能成立问题
例1：设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
解
例2：已知函数，其中．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围．
例3：
已知函数(a∈R).
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）当时，求单调区间；
（Ⅲ）若对任意及，恒有
成立，求实数m的取值范围.
解：（Ⅰ）的极小值为，无极大值 （Ⅱ） 当时，的递减区间为和，递增区间为；当时，在单调递减；当时，的递减区间为和，递增区间为. （Ⅲ）m≤
解析:
（Ⅰ）依题意知的定义域为 （1分）
当时， 令，解得
当时，；当时，
又∵ ∴的极小值为，无极大值 （4分）
（Ⅱ） （5分）
当时，，令，得，令得
当时，得，令得或；
令得；当时，
综上所述，当时，的递减区间为和，递增区间为；
当时，在单调递减；当时，的递减区间为和，递增区间为. （8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在区间上单调递减.
当时，取最大值；当时，取最小值；
（10分）
∵恒成立，∴
整理得，∵，∴恒成立，∵，
∴，∴m≤ （12分）
（3）交点个数的问题
例1：已知是函数的一个极值点。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。
例2：
已知函数的图象如图所示．
（I）求的值；
（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；
（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．
解：函数的导函数为 …………（2分）
（I）由图可知 函数的图象过点（0，3），且
得 …………（4分）
（II）依题意 且
解得 所以 …………（8分）
（III）．可转化为：有三个不等实根，即：与轴有三个交点；
，
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
． …………（10分）
当且仅当时，有三个交点，
故而，为所求． …………（12分）