四川省宣汉县第二中学（新课标人教版）高三数学复习《空间向量与立体几何》

空间向量与立体几何
一．空间向量及其运算
1．空间向量及有关概念
（1）共线向量定理：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t，满足等式
①其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为
②当时，点P是线段AB的中点，则
③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。
（2）向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①
推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使④或对空间任一定点O，有⑤在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。又∵代入⑤，整理得
⑥
由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。
2.空间向量的运算及运算律与平面向量相同
二．空间向量基本定理
如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使
说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使
【典例分析】
题型1：空间向量的概念及性质
例1、有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。
①② ①③ ②③ ①②③
题型2：空间向量的基本运算
例2、如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
例3、已知：且不共面.若∥,求的值.
例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.
例5、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )例6、在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ( )。
A．a＋b＋c B．a＋b＋c ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )C．ab＋c D．ab＋c
例7、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大是 。
三．空间向量的坐标运算
1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3、设a＝，b＝ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
(1) a±b＝ 。 (2) a＝ ．(3) a·b＝ ．
(4) a∥b ；ab ．
（5）模长公式：若， 则．
（6）夹角公式：．
（7）两点间的距离公式：若，，则
(8) 设
则＝ ， ．
AB的中点M的坐标为 ．
4、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量？
5、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？
【典例分析】
题型1：空间向量的坐标
例8.（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（　　）
A. ：||=：||　　　　　　　　　　　　B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零实数k，使=k
（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（　　）
A. －3或1　　　　　 B.3或－1　　　　　 C. －3　　　　　 D.1
（3）下列各组向量共面的是（　　）
A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)
B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)
C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)
例9、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.
题型2：数量积
例10、（1）（2008上海文，理2）已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.
（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。
题型3：空间向量的应用
例11、（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。
（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。
（二）、典例探析
例11、如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，
=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，
试用a，b，c表示以下各向量：
（1）；（2）；（3）+.
例12、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N
分别是AB、CD的中点.
（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长；
（3）求异面直线AN与CM夹角的余弦值.\
例13、 （1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a·x=-18的向量x的坐标；
（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得=（-）；
（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a与b夹角的余弦值；
③确定，的值使得a+b与z轴垂直，且（a+b）·（a+b）=53.\
五．空间角和空间距离
1．空间角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
（1）异面直线所成的角的范围是。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：
①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；
②证明作出的角即为所求的角；
③利用三角形来求角。
（2）直线与平面所成的角的范围是。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：
①找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；
③把该角置于三角形中计算。
注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；
（3）确定点的射影位置有以下几种方法：
①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；
④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：
a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；
b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；
c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法
①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；
③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。
2．空间的距离
（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。
点到平面的距离：点Ｐ到平面的距离为点Ｐ到平面的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为，则点Ａ，Ｂ到平面的距离之比也为．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面的距离相等；③体积法
（2）异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离．③找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。
（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。
（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。
3．空间向量的应用
（1）用法向量求异面直线间的距离
如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a与b之间的距离是 ；
（2）用法向量求点到平面的距离
如右图所示，已知AB是平面α的 一条斜线，为平面α的法向量，则 A到平面α的距离为；
（3）用法向量求直线到平面间的距离
首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
（4）用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
（5）用法向量求二面角
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。
（6）法向量求直线与平面所成的角
要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦，易知θ=或者。
题型1：异面直线所成的角
例14、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。
求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）
题型2：直线与平面所成的角
例15、（09年高考试题）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用余弦值表示）；
题型3：二面角
例16、（08年高考）在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点。
（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）；
（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
\
题型1：异面直线间的距离
例17、如图2，正四棱锥的高，
底边长。求异面直线和
之间的距离？
题型2：点面距离
例18、如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形，
Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于Ａ
ＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到
平面ＥＦＧ的距离。
题型6：线面距离
例19、已知正三棱柱的底面边长为8，
对角线，D是AC的中点。（1）求点到
直线AC的距离。（2）求直线到平面的距离。
例20、如图，已知边长为的正三角形中，
、分别为和的中点，面，且
，设平面过且与平行。 求与平面
间的距离？
例21.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；
（3）M到平面AB1P的距离。
答案
例1.解析：对于①“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。
例2.解析：显然；答案为A。
点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例3.解：∥,,且即
又不共面,
点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
例4.证明：记则∴,∴共面.
∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD. ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )例5.解：易求得
例6.【答案】A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )例7.解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则
，故填写。
例8.解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；
（2）A　点拨：由题知或；
（3）A　点拨：由共面向量基本定理可得。
点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。
例9.解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，
∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.
(1)cos==－，∴和的夹角为－。
(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），
∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
则k=－或k=2。
点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。
例10.解析：（1）答案：13；解析：∵（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－）=13。（2）解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.
又∵与的夹角为，∴·=||||cos==.
又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。
另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。
(2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.
∴x1，y1是方程x2－x+=0的解.
∴或同理可得或
∵≠，∴或
∴cos<，>=·+·=+=.
∵0≤<，>≤π，∴ <，>=。评述：本题考查向量数量积的运算法则。
例11.解析：（1）设=(，，)，=(1，1，1)，
则||=4，||=.
∵·≤||·||，
∴·=++≤||·||=4.
当==时，即a=b=c=时，取“=”号。
（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。
点评：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，则由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查||·||≥·的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，
，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。
例11.解 （1）∵P是C1D1的中点，∴=++=a++=a+c+=a+c+b.
（2）∵N是BC的中点，∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.
（3）∵M是AA1的中点，∴=+=+=-a+(a+c+b)= a+b+c，
又=+=+=+=c+a，∴+=(a+b+c)+(a+c)=a+b+c.
例12．（1）证明 设=p, =q，=r.
由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
=-=（+）-=（q+r-p），
∴·=（q+r-p）·p=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.
∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.
（2）解 由（1）可知=（q+r-p）∴||2=2=（q+r-p）2
=［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］=[a2+a2+a2+2（--）]
=×2a2=. ∴||=a,∴MN的长为a.
(3)解 设向量与的夹角为.
∵=(+)=(q+r), =-=q-p,
∴·=（q+r）·（q-p）=（q2-q·p+r·q-r·p）
=(a2-a2·cos60°+a2·cos60°-a2·cos60°)=（a2-+-）=.
又∵||=||=，
∴·=||·||·cos=··cos=. ∴cos=，
∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM夹角的余弦值为.
例13.解 （1）∵x与a共线，故可设x=ka，
由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k（）2=9k，∴9k=-18，故k=-2.
∴x=-2a=（-4，2，-4）.
（2）设P（x，y，z），则=（x-2，y+1，z-2），
=（2，6，-3），=（-4，3，1），∵=（-）.
∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］=（6，3，-4）=(3，，-2)
∴，解得 ∴P点坐标为(5，，0).
（3）①a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21.
②∵|a|==5, |b|==,
∴cos〈a,b〉= ==-.∴a与b夹角的余弦值为-.
③取z轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.
依题意 即
故 解得.
例14.解析：建立坐标系如图，
则、，，
，，，，，
，，。
不难证明为平面BC1D的法向量，
∵ 。
∴ D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为。
反思归纳：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。
例15.解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C，设CA＝2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， G() ，
∵ ，
，
，
∴ a＝1，，
∵ 为平面ABD的法向量，且。
∴ A1B与平面ABD所成角的余弦值是。
反思归纳：先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。
例16.解析：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A，
过A作AO⊥PF于O，连结OD，则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。易得，故平面PDE与平PAD所成二面角的正切值为；
（2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A，
∴DA⊥平面BPA于A, 同时，BC⊥平面BPA于B，
∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ,　cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450。
即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。　　
解法2（补形化为定义法）
如图：将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD－PQMN，则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两面所成二面角的平面角。
在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°。
例17.分析：建立如图所示的直角坐标系，则
， ，
，，。，。
令向量，且，
则，，，，。
异面直线和之间的距离为：
。
例18.解法一：连结ＢＦ，ＢＧ，，
又Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，
。
，，，
．
解法二．Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＥＦ／／ＢＤ，Ｂ到平面ＧＥＦ的距离为ＢＤ上任一点到平面ＧＥＦ的距离，ＢＤＡＣ于Ｏ，ＥＦ／／ＢＤ，
又ＧＣ平面ＡＢＣＤ，ＥＦ平面ＡＢＣＤ，ＥＦＧＣ，ＥＦ平面ＧＥＦ，平面ＧＥＦ平面ＧＣＨ，过Ｏ点作ＨＧ，则平面ＧＥＦ，为Ｏ到平面ＧＣＨ的距离，即Ｂ到平面ＧＥＦ的距离。
由解法一知：，由∽得 。
思维点拔：注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。
例19.解析：（1）连结BD，，由三垂线定理可得：
，所以就是点到直线AC的距离。
在中．
。
（2）因为AC与平面BD交于ＡＣ的中点Ｄ，设，则//DE，所以//平面，所以到平面BD的距离等于Ａ点到平面BD的距离，等于Ｃ点到平面BD的距离，也就等于三棱锥的高。
，，所以，直线到平面BD的距离是。
思维点拔：求空间距离多用转化的思想。
例20.分析：设、、的单位向量分别为、
，选取{，，}作为空间向量的一组基底。
易知，
===，
设是平面的一个法向量，则，
，即，
直线与平面间的距离=
例21.解析：（1）方法一：
如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），
∴，
故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为
方法二：
，
∴
故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为
（2）∵，
∴上的射影的模
故M到PQ的距离为
（3）设是平面的某一法向量，则，
∵∴
因此可取，由于，那么点M到平面的距离为
，故M到平面的距离为。
A
B
C
D
A1
C1
B1
D
B
A
C
a
b
E
F
A
B
C
α
α
β
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
E
x
y
z
E
F
O
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｇ
ＥＥ
Ｅ
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