四川省宣汉县第二中学（新课标人教版）高三数学复习《立体几何》

简单几何体
柱体
棱柱
棱柱的底面可以是三角形，四边形，五边形……我们把这样的棱柱叫分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 　　
2）按侧棱与底面是否垂直分为：直棱柱、斜棱柱，直棱柱按底面是不是正多边形分为：正棱柱、其他直棱柱。 　
侧面积
S=ch(直)，S=cl（斜/c：直截面周长，l：斜棱长）
体积:
V=sh
圆柱
表面积
S=ch+两个底面积
侧面积
S=ch
体积
V=sh
锥体
棱锥
注：正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。如图，若棱锥P－AC的底面是正多边形，且PO底面AC，O为垂足，O是正多边形的中心 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，则棱锥P－AC是正棱锥。（如图） 　　正棱锥的斜高：正棱锥侧面等腰三角形底边上的高，叫做正棱锥的斜高 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。
表面积 、全面积　
棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积，则S棱锥侧=S1+S2+…+Sn（其中Si，i=1，2…n为第i个侧面的面积）S全=S棱锥侧+S底 　　
斜棱锥的侧面积=各侧的面积之和 　　
正棱锥的侧面积：S正棱锥侧=1/2chˊ（c为底面周长 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，hˊ为斜高）。 　　
棱锥的中截面面积：S中截面=1/4S底面
体积
V=1/3sh（s为锥体的底面积，h为锥体的高）
圆锥
表面积
S=1/2lR+底面积
侧面积
S=1/2lR
体积
V=1/3sh
台体
1.棱台
体积
V=[S+S'+(SS')︿(1/2)]h/3
2.圆台
表面积
S=πr︿2+πR︿2+πrl+πRl=π(r︿2+R︿2+rl+Rl)
体积
V=[S+S′+√(SS′)]h÷3=πh(R︿2+Rr+r︿2)/3
球体
表面积
体积
例1.【2012高考江苏7】（5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 cm3．
例2.如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为____________.
例3.【2012高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 。
组合体
正方体的内切球
正方体的外接球（三个垂直补形）
长方体的外接球
正三棱柱内切球的半径
正三棱柱外接球的半径（两个垂直做三角形）
正四面体的内切球
正四面体的外接球
例1.【2012高考真题辽宁16】已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。
例2.【2012高考新课标文8】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
（A）π （B）4π （C）4π （D）6π
例3.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）
例4.（重庆9）高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为
A． B． C．1 D．
例5.（全国大纲11）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为
A．7 B．9 C．11 D．13
例6.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC的体积为
（A） （B） （C） （D）1
例7.（2010辽宁文数）（11）已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于
（A）4 （B）3 （C）2 （D）
例8.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有三点，=90°，,
球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是
A. B.
C. D.2
例9.【2012高考辽宁文16】已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则△OAB的面积为______________.
立体几何三视图
从直观图判断三视图
例题：（08广东）将正三棱柱截去三个角(如图甲所示A，B，C分别是三边的中点)得到几何体如图乙，则该几何体按图乙所示方向的侧视图(或称左视图)为（ ）
例1、（07山东）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A、① ② B、① ③ C、① ④ D、② ④
例2、如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱平面，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图的面积为（ ）
A、4 B、 C、 D、
例3、如图是一个正三棱柱的直观图，若其左视图的面积等于其俯视图的面积，且主视图的面积等于4，则该三棱柱的体积等于（ ）
B、 C、 D、
例4.【2012高考陕西文8】将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）
从三视图还原直观图并求该体的表面积体积等
例1：某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
三棱锥 B、四棱锥 C、四棱台 D、三棱台
例2：用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示、搭建这样的几何体，需要小立方体的块数的最大值与最小值分别是（ ）
A、17 1l B、16 11 C、15 10 D、15 11
例3：用若干个大小相同，棱长为l的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：
则此立体模型的体积为（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
例4、已知一几何体的三视图如图所示，试画出它的直观图，则它的体积为______________(说明:画直观图时，对尺寸比例不作严格要求)。
例5、（07海、宁卷）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是（ ）
cm3 B、cm3 C、cm3 D、cm3
例6、一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于（ ）
A、 B、 C、 D、
空间点线面位置关系
一．三个公理：
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理三:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该公共点的公共直线。
证明点共线
例：
证明线共面
例：
点与线的位置关系
点与面的位置关系
线与线的位置关系
线与面的位置关系
面与面的位置关系
空间几何-------平行、垂直
一．“平行关系”常见证明方法
（一）直线与直线平行的证明
利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行
利用三角形中位线性质
利用空间平行线的传递性（即公理4）：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
利用直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
利用平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
利用直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
利用平面内直线与直线垂直的性质：
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（二）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
利用平面与平面平行的判定定理：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等
利用定义：两个平面没有公共点
三、“垂直关系”常见证明方法
（一）直线与直线垂直的证明
利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。
利用直线与平面垂直的性质：
如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
利用常用结论：
如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。
如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。
（二）直线与平面垂直的证明
利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等
看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。
利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
利用平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
利用常用结论：
一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。
（三）平面与平面垂直的证明
利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。
利用平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
例1.下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
例2. 设是直线，a，β是两个不同的平面
A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥β
C. 若a⊥β，⊥a，则⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β
例3.设两条异面直线l、m外一点p，下面说法正确的是（ ）
过P点能做无数条直线与l、m平行
B.过p点有且只有一条直线与l、m平行
C.过P点有且只有一条直线与l、m垂直
D.过p点有且只有一条直线与l、m相交
例4、（2009年福建卷理7）设m，n是平面α内的两条不同直线，，是平面β内的两条相交直线，则α//β的一个充分而不必要条件是（ ）
A、m//β且//α B、m//且n//
C、m//β且n//β D、m//β且n//
例5、（2009年江苏卷理12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题的序号_________________（写出所有真命题的序号）。
例6、（2008年天津卷理4）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ）
A、a⊥α，b∥β，α⊥β B、a⊥α， b⊥β，α∥β
C、a α，b⊥β，α∥β D、a α，b∥β，α⊥β
例7、（2007年江苏卷理4）已知两条直线m,n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m//n,m⊥α n⊥α
②α//β,m α,n β m//n
③m//n,m//α n//α
④α//β,m//n,m⊥α n⊥β
其中正确命题的序号是
A、①、③ B、②、④ C、①、④ D、②、③
例8、（2007年辽宁卷理7）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A、若m β，α⊥β，则m⊥α
B、若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
C、若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D、若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
解答题
例1.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点
(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
例2.如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形， AD∥BC，AC⊥BD.
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.
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例5.如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点，
求证：∥平面.
例6.如图5所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.
（1）证明：平面；
（2）若，，，求三棱
锥的体积；
（3）证明：平面.
例7.【2102高考北京文16】（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。
(I)求证：DE∥平面A1CB；
(II)求证：A1F⊥BE；
(III)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由。
例8.直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ，=
（Ⅰ）证明;
（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥 的体积
例9.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分)
如图，直三棱柱，，AA′=1，点M，N分别为和的中点。
(Ⅰ)证明：∥平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积。
（椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积，h为高）
简单几何体答案
例1.【答案】6。
【考点】正方形的性质，棱锥的体积。
【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。
∴四棱锥的体积为。
例2.【答案】
【解析】法一：因为点在线段上，所以，又因为点在线段上，所以点到平面的距离为1,即，所以.
法二：使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令点在点处，点在点处，则。
例3.【答案】
【解析】因为半圆面的面积为，所以，即，即圆锥的母线为，底面圆的周长，所以圆锥的底面半径，所以圆锥的高，所以圆锥的体积为。
组合体：
例1.【答案】
例2.【答案】B
【解析】球半径，所以球的体积为，选B.
3.【答案】A
【解析】的外接圆的半径，点到面的距离,为球的直径点到面的距离为此棱锥的体积为
另：排除,选A.
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】
【解析】时，
，则
8.解析：选A.由已知，球的直径为，表面积为
9.【答案】B
【解析】∵AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点。
O’C＝，AC＝3，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC。∴
，则两点的球面距离＝
三视图：
A 2.D 3.B 4.D 5.B
1.B 2.A 3.B 4. 5.B 6.B
平行垂直：
1.【答案】C
【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.
2.【答案】B
【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∵∥a，⊥β，则a⊥β．如选项A：∥a，∥β时，a⊥β或a∥β；选项C：若a⊥β，⊥a，∥β或；选项D：若若a⊥β, ⊥a，∥β或⊥β．
3.C 4.B 5.(1).(2) 6.B 7.C 8.C
解答题：
1.【答案】
2.【答案】
【解析】（Ⅰ）因为
又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，
而平面PAC，所以.
（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，
所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.
由BD平面PAC，平面PAC，知.
在中，由，得PD=2OD.
因为四边形ABCD为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形，
从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积
在等腰三角形ＡＯＤ中，
所以
故四棱锥的体积为.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积.
3.
【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。
4.【答案】（1）在中，
得：
同理：
得：面
（2）面
取的中点，过点作于点，连接
，面面面
得：点与点重合
且是二面角的平面角
设，则，
既二面角的大小为
5.【答案】(19)(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知 ，，
又已知，所以平面OCE.
所以，即OE是BD的垂直平分线，
所以.
(II)取AB中点N，连接，
∵M是AE的中点，∴∥，
∵△是等边三角形，∴.
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，
所以ND∥BC，
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.
【解析】（1）证明：因为平面，
所以。
因为为△中边上的高，
所以。
因为，
所以平面。
（2）连结，取中点，连结。
因为是的中点，
所以。
因为平面，
所以平面。
则，
。
（3）证明：取中点，连结，。
因为是的中点，
所以。
因为，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以。
因为，
所以。
因为平面，
所以。
因为，
所以平面，
所以平面。
6. 【答案】
7.【答案】
8.【答案】
【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。
b
α
β
β
α
a
P
α
b
b
β
α
c
b
b
α
C
B
A
D
C1
A1