四川省宣汉县第二中学（新课标人教版）高三数学复习《平面向量》

平面向量
一．向量概念
1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示；
（2）用字母表示：
说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、方向和长度；
（2）向量的长度（或称模）：线段的长度叫向量的长度，记作．
3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：
（1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即；
（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作；
（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：；
（4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：；
（5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。
说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作；
（2）零向量与零向量相等，记作；
（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
【典例分析】
例1 如图1，设是正六边形的中心，分别
写出图中与向量，，相等的向量。
例2 如图2，梯形中，，分别是腰、
的三等分点，且，，求．
例3 在直角坐标系中，已知，与轴正方向所成的角为，与轴正方向所成的角为，试作出．
例4．已知点是正六边形的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）
（）、、、 （）、、、
（）、、、 （）、、、
二．向量的加法
1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：．
规定：零向量与任一向量，都有．
说明：①共线向量的加法：
②不共线向量的加法：如图（1），已知向量，，求作向量.
作法：在平面内任取一点（如图（2）），作，，则 .
（1） （2）
2．向量加法的法则：
（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：．
（2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
3．向量的运算律：
交换律：．
结合律：．
说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：
例如：；．
【典例分析】
例1 如图，一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。
例2 已知矩形中，宽为，长为，，，，
试作出向量，并求出其模的大小。
例3 一架飞机向北飞行千米后，改变航向向东飞行千米，
则飞行的路程为 ；两次位移的和的方向为 ，
大小为 千米．
三．向量的减法
1．相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。
说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。
（2）性质：；．
2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示．
3．向量减法的法则：
已知如图有，，求作．
（1）三角形法则：在平面内任取一点，作，，则．
说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）．
（2）平行四边形：在平面内任取一点，作 ，，
则．
思考：若，怎样作出？
四.向量的数乘
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
例1 计算：（1）； （2）； （3）．
3．向量共线的充要条件：
定理：（向量共线的充要条件）向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得．
例2 如图，已知，．试判断与是否共线．
例3 判断下列各题中的向量是否共线：
（1），；
（2），，且，共线．
例4 设是两个不共线的向量，已知，，， 若，，三点共线，求的值。
4．平面向量基本定理：
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使．其中我们把不共线的向量，叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
注：①，均非零向量；
②，不唯一（事先给定）；
③，唯一；
④时，与共线；时，与共线；时，．
【典例分析】
例5 已知向量，（如图），求作向量．
例6如图 的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、和．
例7 如图，、不共线，，用、表示．
例8已知在四边形中，，，，
求证：是梯形。
五．平面向量基本定理
1．向量的坐标表示的定义：
分别选取与轴、轴方向相同的单位向量，作为基底，对于任一向量，，（），实数对叫向量的坐标，记作．
其中叫向量在轴上的坐标，叫向量在轴上的坐标。
说明：（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；
（2）相等的向量的坐标也相同；
（3），，；
（4）从原点引出的向量的坐标就是点的坐标。
例1 如图，用基底，分别表示向量、、、， 并求出它们的坐标。
2．平面向量的坐标运算：
问题：已知，，求，．
解：
即．
同理：．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
3．向量的坐标计算公式：
归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；
（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。
4．实数与向量的积的坐标：
已知和实数，求
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
归纳：（1）设点，，则；
（2），，则，
，；
(3)．向量与非零向量平行的充要条件是：.例2 已知，，求，，的坐标．
解：=；；
．
例2已知 ABCD的三个顶点的坐标分别为、、，求顶点的坐标。
例3已知，，，且，求，．
六.平面向量的坐标运算
1．向量平行的坐标表示：
设，，（），且，
则，∴.
∴，∴.
归纳：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：
①；
②且设，（）
【典例分析】
例1 已知，，且，求．
例2 已知，，，求证、、三点共线．
例3 已知，，若与平行，求．
例4已知点，，，，向量与平行吗？直线与直线平行吗？
七．向量的数量积
1．向量的夹角：
已知两个向量和（如图），作，，则
（）叫做向量与的夹角。
当时，与同向；
当时，与反向；
当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．
2．向量数量积的定义：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．
说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角
有关；
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实
数与向量的积是一个向量；
③规定，零向量与任一向量的数量积是．
3．数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
如图，，，过点作垂直于直线，垂足为，则．
叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它
是一负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是．
的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。
【典例分析】
例1 ①已知，，与的夹角，则 ；
②已知，在上的投影是，则 ；
③已知，，，则与的夹角
（3）数量积的性质：
设、都是非零向量，是与的夹角，则
①；
②当与同向时，；当与反向时，；
特别地：或；
③；
④；
若是与方向相同的单位向量，则
⑤．
【典例分析】
例2已知正的边长为，设，，，求．
例3已知，，，且，求．
4．向量数量积的坐标表示：设 ，则，
∴.
从而得向量数量积的坐标表示公式：．
5．长度、夹角、垂直的坐标表示：
①长度： ；
②两点间的距离公式：若，则；
③夹角：；
④垂直的充要条件：∵，即
（注意与向量共线的坐标表示的区别）
【典例分析】
例4 设，求．
例5已知，求证是直角三角形。
例6在中，，，求值。
答案
一、1、=== === ===
2、=3
4、D
二、1、4km/h、方向与流速的夹角为
2、8
3、400km、东偏北、200km
四、1、（1）-12 (2)5 (3)- +5-2
2、共线
3、（1）共线 （2）共线
4、-8
6、=-（+）/2 =(-)/2 =（+）/2 =(-)/2
7、=t(-)
8、证明：=++
=-8-2
=2(-4-)
=2 即
ABCD是梯形
五、1、=2+2=（2,2） =-2+2=(-2,2) =-2-2=(-2,-2)
=2-2=(2,-2)
2、D（2,2）
3、x=2，y=-3
六、1、3
2、证明：=(2,4) =(1,2) 即A、B、C三点共线
3、k=/5
4、平行、平行
七、1、-10 8 arccos-3/20
2、-8
3、-3-9/2
4、-2
6、k=-2/3或11/3或3/2
（图1）
（图2）