四川省宣汉县第二中学（新课标人教版）高三数学复习《双曲线》

双曲线
一．定义及标准方程
平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于） 的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示：
1.求双曲线的标准方程
.定义法：
根据定义确定的值，再根据焦点的位置写出标准方程。
.待定系数法：
1）已知a=b可设
2 )已知渐近线
3 ）已知过两点可设双曲线方程为
例1.求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x－5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________.
例2 动圆与两圆和都外切,则动圆圆心轨迹是 ( )
Ahttp://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 圆 B 椭圆 Chttp://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 双曲线 D 双曲线的一支
例3.已知圆和圆，动圆M同时与圆及圆相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
例4.根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；
（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.
例5.已知双曲线的一条渐近线方程为，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为_________________.
例6.设中心在原点的双曲线与椭圆有公共焦点，且他们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为__________________________.
二．简单几何性质：
焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点
对称性 关于轴、原点对称
顶点
范围
轴
离心率
渐近线
通径
a,b,c关系
焦三角形 （2）
三．两类双曲线
1.等轴双曲线
双曲线方程：的渐近线方程为，离心率
2.共轭双曲线
双曲线方程为：它们有共同的渐近线，他们的离心率满足
3.关于双曲线的渐近线：
.已知双曲线求渐近线，可令即
.与共渐近线的双曲线可设为
【典例分析】
例1.（2004年春季北京）双曲线－=1的渐近线方程是
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
例2.过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是
A.－=1 B.－=1
C.－=1 D. －=1
例3.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.
例4.（2004年天津，4）设P是双曲线－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于
A.1或5 B.6 C.7 D.9
例5.（2003年上海）给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.
______________________________________________________.
例6.已知双曲线的方程是16x2－9y2=144.
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.
例7.（全国2理11）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90 ，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为
(A) (B) (C) (D)
例8.（辽宁理11）设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例9．（江西卷）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
例10. 如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
例11.已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
例12. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．
例13. 在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例14．（湖南卷）过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )
A. B. C. D.
例15.(陕西卷)已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
四．双曲线与其他图的位置关系
判断直线和椭圆的位置关系
代数法：
五．求量
直线与双曲线相交
弦长
弦中点问题（点差法）
步骤一：设点，；
步骤二：代入作差： ①
②
两式相减得
两种考法：1、已知k求中点的轨迹。
2、已知中点，求k。
【典例分析】
例1.已知双曲线E的中心为原点，是E的焦点，过F的直线l与E相交与A,B两点，且AB的中点为，则E的方程为________________________.
参考答案
定义及方程
例1.
例2.D
例3.
例4.（1）（2）
例5.
例6.
几何意义、离心率、渐近线
例1.A
例2.A
例3.
例4.C
例5.17
例6.焦点坐标：（-3，0）（3，0）离心率：e= 渐近线方程：
例7.B
例8.B
例9.D
例10.D
例11.A
例12.3
例13.A
例14.A
例15.D
双曲线与其他图形的位置关系
例1.