四川省宣汉县第二中学（新课标人教版）高三数学复习《推理与证明》

推理与证明
合情推理和演绎推理
1.推理：
根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.
从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.
2.合情推理:
根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。
合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：
（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
3.演绎推理:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
重难点突破：
重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系
难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律
重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明
1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性
问题1：观察：；； ；….对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 ____.
点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故
2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征
问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，则当与抛物线的对称轴垂直时，的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．
点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于、两点，则当与椭圆的长轴垂直时，的长度最短（）
3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理
问题3：定义[x]为不超过x的最大整数，则[-2.1]=
点拨：“大前提”是在找最大整数，所以[-2.1]=-3
题型1 用归纳推理发现规律
[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
[例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为
一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个
蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有
19个蜂巢，按此规律，以表示第幅
图的蜂巢总数.则=_____;=___________.
【新题导练1】
1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：
根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为
_________.
2. (2008惠州调研二理)函数由下表定义：若
，，，则 ．
(2008深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉
祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则_____；
__________．（答案用数字或的解析式表示）
4. (2008揭阳一模)设,
则=（ ）
A. 　　　B. 　　C. 　　D.
题型2 用类比推理猜想新的命题
[例1 ] (2008韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的
结论是______.
[例2 ] 在中,若,则,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明
你的猜想
【新题导练2】
(2008深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个
平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个
的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，
有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，
则这两个正方体重叠部分的体积恒为　　　．
(2008梅州一模)已知的三边长为，内切圆半径为（用），则
；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积
3. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)
在平面直角坐标系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在的球的一般方程为_______________________.
对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数和都是非零实数，方程
和在复数集上的解集分别是和，则“”是
“”的充分必要条件．试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明．
已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，
那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．
类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；
已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项和
的计算公式为_____________________________________．
题型3利用“三段论”进行推理
[例1 ] （07启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经
验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过
程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而
使得S的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入中的某个字母）
[例2 ] （03上海）已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有
f(x+T)=T f(x)成立.
（1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M；
（3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.
【新题导练3】
1. (2008珠海质检理)定义是向量a和b的“向量积”，它的长度为向量a和b的夹角，若= .
2. (2008深圳二模文)一个质点从出发依次沿图中线段到达、、、、、、、、各
点，最后又回到（如图所示），其中：，
，．
欲知此质点所走路程，至少需要测量条线段的长度，
则（　　）
A． B． C． D．
(2008惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接受方由密文
明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文，例如，明文
对应密文．当接受方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）．
A． 4，6，1，7 B． 7，6，1，4 C． 6，4，1，7 D． 1，6，4，7
对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：
；运算“”为：，设，若
，则………（ ）
A． B． C． D．
习题精炼1：
1、对于集合A,B,定义运算，则=（ ）
A.B B.A C. D.
2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误
的原因是（ ）
A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误
3、（华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（三））
给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：
①“若”类比推出“”
②“若”类比推出
“”
③“若”类比推出“若”
④“若”类比推出“若”
其中类比结论正确的个数有 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2
个图形中共有　　　　　　　　　个顶点。
5、如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，
都有.若在区间上是凸函数，那么
在中，的最大值是________________.
类比平面向量基本定理:“如果是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量，有
且只有一对实数，使得”，写出空间向量基本定理是：
综合提高训练1：
(2008汕头一模)设P是内一点，三边上的高分别为、、，P到三边的距离依次
为、、，则有______________；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶
点到对面的距离分别是、、、，P到这四个面的距离依次是、、、，则有
_________________。
(2008惠州一模)设 ，又记 则
（ ）
A．； B．； C．； D．；
3.（1）已知等差数列，（），求证：仍为等差数列；
（2）已知等比数列，（），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．
我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足
，当且仅当时等号成立。
（1）若定义在(0，＋∞)上的函数∈M，试比较与大小.
（2）设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.
直接证明与间接证明
三种证明方法的定义与步骤：
1. 综合法：是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。
2. 分析法：是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。
3.反证法：假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：
(1) 假设命题的结论不成立；
(2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止
(3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立
重难点突破
重点：能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题
难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力
重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题
1.从命题的特点、形式去选择证明方法
①一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或否定性命题，或要讨论的情况很复杂的，可以考虑用反证法②一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法③命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法
问题1：对于任意非零实数，等式总不成立
点拨：从命题的形式特点看，适合用反证法证明
2.比较复杂的命题，有时需要多种证明方法综合运用，各取所长。
题型1：用综合法证明数学命题
[例1 ] (东莞2007—2008学年度第一学期高三调研测试)
对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．
(1) 若函数为理想函数，求的值；
(2)判断函数（）是否为理想函数，并予以证明；
【新题导:4】
1.(2008年佛山)证明:若,则
2.在锐角三角形中,求证:
3.已知数列中各项为：12、1122、111222、……、 ……,证明这个数列中的每一
项都是两个相邻整数的积.
题型2：用分析法证明数学命题
[例1 ] 已知,求证
习题导练5：
1. 若且，求证：
2. 已知，求证：
题型3：用反证法证明数学命题或判断命题的真假
[例1 ] 已知，证明方程没有负数根
习题导练6：
（08江西5校联考）某个命题与正整数有关，若时该命题成立，那么可推得
时该命题也成立，现在已知当时该命题不成立，那么可推得
A.当时，该命题不成立 B.当时，该命题成立
C.当时，该命题不成立 D.当时，该命题成立
2.设a、b、c都是正数，则、、三个数
A.都大于2 B.都小于2 C. 至少有一个大于2 D. 至少有一个不小于2
3.已知a、b、c成等差数列且公差，求证：、、不可能成等差数列
4.（广东省深圳市宝安中学、翠园中学2009届高三第一学期期中联合考试）
下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：
3 5 8 9 15
请将错误的一个改正为 =
习题精炼2：
1.（2008年华师附中）用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于”时，应假设（ ）
A. 三个内角都不大于 B. 三个内角都大于
C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于
2.已知，关于的取值范围的说法正确的是（ ）
A. 不大于 B.不大于2 C.不小于2 D.不小于
3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）
A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
4.要证明不等式成立，只需证明：
5.已知 与的大小关系是
6.(07年惠州第一问)已知数列满足, ，．
求证：是等比数列；
综合提高训练2：
1. （金山中学2009届高三期中考）已知表中的对数值有且只有两个是错误的：
x 1.5 3 5 6 8 9 12
lgx 3a-b+c 2a-b a+c 1+a-b-c 3(1-a-c） 2(2a-b) 1-a+2b
请你指出这两个错误 ．（答案写成如lg20≠a＋b－c的形式）
2. 设函数为奇函数.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）用定义法判断在其定义域上为增函数
3. 已知证明：
4. 已知函数，， 的最小值恰好是方程的三个根，其中．求证：；
参考例题：
1. 设为非零向量，且不平行，求证，不平行
2. 已知为锐角，且，
函数，数列{an}的首项.
⑴ 求函数的表达式；
⑵ 求证：；
⑶ 求证：
数学归纳法
1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可
2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等
重难点突破
重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题
难点：对不同类型的数学命题，完成从k到k+1的递推
重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法
1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法
问题1用数学归纳法证明：
错证：（1）当n=1时，左=右=1，等式成立
（2）假设当n=k时等式成立，
那么当n=k+1时，
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设
2.归纳起点未必是1
问题2：用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为
点拔：本题的归纳起点
3.“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式
问题3：在数列中，，求数列的通项公式
点拨：本题有多种求法，“归纳——猜想——证明”是其中之一
解析：猜想
下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，，猜想成立
（2）假设当n=k时猜想成立，则
当n=k+1时猜想也成立
综合（1）（2），对猜想都成立
题型1：对数学归纳法的两个步骤的认识
[例1 ] 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）
A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立
C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立
【新题导:7】
1.用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）
A. 1 B. C. D.
2.用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是
题型2：用数学归纳法证明数学命题（恒等式、不等式、整除性问题等）
[例1 ]用数学归纳法证明不等式
[例2 ] 用数学归纳法证明等式：
[例3 ]数列中，，用数学归纳法证明：
题型3 用“归纳——猜想——证明”解决数学问题
[例1 ]是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整
数n都成立？证明你的结论
[例2 ]在数列中，，
（1）写出；（2）求数列的通项公式
习题精炼3：
1.用数学归纳法证明，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（ ）
A.2k+1 B. C. D.
2.用数学归纳法证明：1+++时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）
A. B. C. D.
3. 凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线数f(n+1)为（ ）
A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2
4. 如果命题对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知对n=4不成立，则下列结论中正确的是（ ）
A. 对成立 B. 对n>4且成立
C. 对n<4且成立 D. 对n4且不成立
5.设，用数学归纳法证明“”时，第一步要证的等式是
6.若存在正整数，使得能被整除，则=
7. 求证：
8. 证明：能被整除
9. 在数列中，，其中，求数列的通项公式
10. 数列满足且 .
用数学归纳法证明： ；
答案
合情推理和演绎推理题型一：
例1、【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的
“共性”
[解析]猜想：
证明：左边=
【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型
（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”， 三是“循环型”(周期性）
例2、【解题思路】找出的关系式
[解析]
【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系
习题导练1：
1.[解析]的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，，…，
由得.
2.[解析] ，，，，，，
点评：本题为循环型
[解析]
[解析]，，，，， ，=
合情推理和演绎推理题型二：
例1、【解题思路】从方法的类比入手
[解析]原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解 法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高
【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数 列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间 的类比等.
例2、【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的 角如何类比到空间 。
[解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥中，三个侧面
两两垂直，且与底面所成的角分别为，则
”
证明：设在平面的射影为，延长交于，记
由得，从而，又
，，
即
【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对 应体积，平面上的角对应空间角等等；
（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面 面垂直，边相等对应面积相等
习题导练2：
[解析]解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为
[解析]
[解析] ；
[解析]如果系数和都是非零实数，不等式和
的解集分别是和，则“”是“”的 既不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．
5.[解析]在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等 和数列，这个常数叫做该数列的公和；；
合情推理和演绎推理题型三：
例1、【解题思路】从分式的性质中寻找S值的变化规律
[解析] 因都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子 都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，，所以c 增大1个单位会使得S的值增加最多
【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到
例2、【解题思路】函数f(x)是否属于集合M，要看f(x)是否满足集合M的“定义”，
（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成 立，所以f(x)=
（2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：有解，消去y得ax=x,
显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T.
于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M.
（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.
当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有
f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，
只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z .
当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，
即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，
则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z .
实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}
习题导练3：
[解析]
[解析]只需测量3条线段的长
3.[解析] 由得，选C
4.[解析]：由题意，，解得，所以正确答案为（B）．
点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算．我们可以把 该题还原为：已知复数满足，则_____________．
习题精练1：
1.[解析]D [用图示法]
2.[解析]大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选C
3.[解析] 类比结论正确的只有①
4.[解析] 设第n个图中有个顶点，则，，，
5.[解析]
6.[解析] 如果是空间三个不共面的向量，那么对于空间内任一向量，有且只有 一对实数，使得
综合提高训练1：
1.[解析]用等面积法可得，1，类比到空间有
2.[解析] C ，，，，
3.[解析]（1），，
为等差数列为常数，所以仍为等差数列；
类比命题：若为等比数列，（），，则
为等比数列
证明：，为常数，为等比数列
4.[解析] (1)对于，令得<
(2)
,所以g(x)∈M
直接证明与间接证题型一：
例1、【解题思路】证明函数（）满足三个条件
[解析]（1）取可得．
又由条件①，故．
（2）显然在[0，1]满足条件①；
也满足条件②．若，，，则
，即满足条件③，
故理想函数．
【名师指引】紧扣定义，逐个验证
习题导练4：
1.[解析]当时，，
两边取对数，得，
又
当时
2.[解析]为锐角三角形，，
在上是增函数，
同理可得，
3.[解析]
记：A = , 则A=为整数
= A (A+1) ， 得证
直接证明与间接证题型二：
例1、[解析]要证，只需证
即，只需证，即证
显然成立，因此成立
【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以 ---”
习题导练5：
1.[解析]要证，只需证
即，因，只需证
即，
设，则
成立，从而成立
2.[解析]
，
显然成立，故成立
直接证明与间接证题型三：
例1、【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾
[解析]假设是的负数根，则且且
，解得，这与矛盾，
故方程没有负数根
【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多
习题导练6：
1.[解析]用反证法，可证当时，该命题不成立
2.[解析] ，举反例可排除A、B、C，故选D
3.[解析] a、b、c成等差数列，
假设、、成等差数列，则， 从而与矛盾，、、不可能成等差数列
[解析]，所以3和9的对数值正确，若正确，则
，从而，即，矛盾。
故15的对数值错误，应改正为
习题精练2：
1.[解析] B
2.[解析] B
3.[解析] B
4.[解析]
5.[解析] （注意：不能取等号）[用平均值不等式]
6.[解析]由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2)
　　　　　　∵a1＝5，a2＝5　　∴a2＋2a1＝15
故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列
综合提高训练2：
1.[解析]若错误，则也错误，反之亦然，此时其他对数值都 正确，但，
、且，
若错误，则也错误，
正确
若错误，也能导出错误，正确， 正确，，
综上，
2.[解析]（Ⅰ）依题意，函数的定义域为R
∵是奇函数
∴
∴
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设且，则
∴
∴在R上是增函数
3.[解析]即证：
设.
当x∈（-1，0）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；
当x∈（0，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；
∴x=0为k(x)的极大值点，
∴k(x)≤k(0)=0.
即
4.[解析]三个函数的最小值依次为，，，
由，得
∴
，
故方程的两根是，．
故，． ，即
∴ ．
参考例题：
1.[解析]假设，则，
不平行，，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立
2.[解析] ⑴又∵为锐角
∴ ∴
⑵ ∵ ∴都大于0
∴ ∴
⑶
∴
∴
∵, , 又∵
∴ ∴
∴
数学归纳法题型一：
例1、[解析] 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2， 故选B
【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的 起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式（3）从 和的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子
习题导练7：
1.[解析] n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选B
2.[解析]求即可
当 n=k时，左边，
n=k+1时，左边,
故左边增加的式子是，即
数学归纳法题型二：
例1、[解析]（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立
（2）假设当n=k时等式成立，即
则
当n=k+1时， 不等式也成立
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；
（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；
（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面
例2、[解析] （1）当n=1时，左==右，等式成立
（2）假设当n=k时等式成立，即
则
当n=k+1时，等式也成立
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
例3、[解析](1) 当n=1时, ,不等式成立
（2）假设当n=k时等式成立，即，
则，
当n=k+1时， 不等式也成立
综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立
数学归纳法题型三：
例1、【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立
[解析] 把n=1,2,3代入得方程组，解得，
猜想：等式对一切都成立
下面用数学归纳法证明：（ 1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立
（2）假设n=k时等式成立，即则
所以当n=k+1时，等式也成立
综合（1）（2），对等式都成立
【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式
例2、[解析] ，，猜想
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立
（2）假设n=k时猜想成立，即
则
所以当n=k+1时，猜想也成立
综合（1）（2），对猜想都成立
习题精练3：
1.[解析] 左端需乘的代数式是=，选B
2.[解析] 项数为,选A
3.[解析] C
4.[解析] D
5.[解析]
6.[解析]36. [，猜想：=36]
7.[证明](1)当n=1时，左端=1 ，右端=，左端=右端，等式成立；
(2)假设n=k时，等式成立，即，则.所以，当n=k+1时，等式仍然成立
由(1)(2)可知，对于等式依然成立.
8.[解析] （1）当n=1时，，能被整除；
（2）假设n=k时命题成立，即能被整除
则可设（其中为次多项式）
当当n=k+1时，
能被整除
所以，当n=k+1时，命题仍然成立
由(1)(2)可知，对于命题依然成立.
9.[解析] ，，.由此可猜想出数列的通项公式为.
以下用数学归纳法证明：(1)当n=1时，,等式成立.
(2)假设当n=k时等式成立，即.则当n=k+1时，.这就是说，当n=k+1时等式也成立。由(1)(2)可知数列的通项公式
10.[证明](1)①当n=2时，，不等式成立.
②假设当n=k时不等式成立，即 （，
那么.
这就是说，当n=k+1时不等式成立.根据①②可知：对所有成立.
个
个
个