四川省宣汉县第二中学（新课标人教版）高三数学复习《直线和圆》

直线和圆
一、直线的方程
1. 直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0° ．
②倾斜角的范围为[0°，180°) ．
例1.直线的倾斜角的范围是____
例2.过点的直线的倾斜角的范围值的范围是______
(2)直线的斜率
①定义: 一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k= tan a ，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1 x2)的直线的斜率公式为k=
例1.两条直线斜率相等是这两条直线平行的____________条件.
例2.实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为______
例3.已知m属于R，直线l： mx-(m2+1) y=4m. 求直线l斜率的取值范围
例4.直线mx+ny－1=0同时过第一．三．四象限的条件是： （ ）
mn>0 B．mn<0 C．m>0， n<0 D． m<0， n<0
2. 直线方程的五种形式
名称 方　程 适用范围
点斜式 y-y0=k(x-x0)　 不含直线x=x0
斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线
两点式 不含直线x=x1(x1 , x2)和直线y=y1(y1 , y2)
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0(A2+B2 0) 平面直角坐标系内的直线都适用
例1.经过点（2，1）且方向向量为=(－1,)的直线的点斜式方程是___________
例2.若曲线与有两个公共点，则的取值范围是_______
3. 几种特殊直线的方程
(1)过点P(a，b)垂直于x轴的直线方程为x=a；过P(a，b)垂直于y轴的直线方程为y=b ．
(2)已知直线的纵截距为b，可设其方程为y=kx+b．
(3)已知直线的横截距为a，可设其方程为x=my+a．
(4)过原点且斜率是k的直线方程为y=kx．
例1.下列四个命题中的真命题是（ ）
A.经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示
B.经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）·（x2－x1）=（x－x1）（y2－y1）表示
C.不经过原点的直线都可以用方程表示
D.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示
例2.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x－y+1=0，则直线PB的方程是（ ）
A.x+y－5=0 B.2x－y－1=0 C.2y－x－4=0 D.2x+y－7=0
例3．过点(1,2)且与圆x2+y2=1相切的直线方程为
二．直线的性质
1.过定点
方程为y=kx+b，必过定点（0，b）
方程为y=k（x+a），必过定点（-a，0）
当斜率存在时，常设其方程为，直线过点，当斜率不存在时，则其方程为
例1.直线，不管怎样变化恒过点______
三．两条直线位置关系
若直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，直线l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0),则
l1∥l2 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1 ≠ 0．
l1⊥l2 A1A2+B1B2=0。
l1与l2重合 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0)．
1. 两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1=k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2的斜率存在，分别设为k1，k2，则l1⊥l2 k1×k2=-1　
例1.设直线和，当＝_______时∥；当＝________时；当_________时与相交；当＝_________时与重合
例2.已知直线的方程为，则与平行，且过点（—1，3）的直线方程是______
例3.两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是____
例4.已知点是直线上一点，是直线外一点，则方程＝0所表示的直线与的关系是____
2. 三种距离
(1)两点间的距离
平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|= .
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离 |OP|=
(2)点到直线的距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=
(3)两条平行线的距离
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=
例1 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。
例2 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。
例3 求两平行线：，：，求与的距离.
3. 直线系
(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+C′=0(C′C)；
(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C′=0
(3)过两直线l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2)=0 ．
对称问题
1. 点关于直线对称
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例1. 求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.
2. 直线关于某点对称的问题
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例2. 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.
例3.已知点与点关于轴对称，点P与点N关于轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为_______
例4.已知直线与的夹角平分线为，若的方程为，那么的方程是___________
例5.点Ａ（４，５）关于直线的对称点为Ｂ(－2,7)，则的方程是_________
例6.已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________
例7.已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程
例8.直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______
例9.已知轴，，C（2，1），周长的最小值为______
四．圆的方程及性质
一．定义及圆的标准方程与一般方程
(1)圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其中圆心为(a，b) ，半径为r；
圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心坐标 ，半径为 ．方程表示圆的充要条件是 D2+E2-4F＞0
圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：；
。
例1.圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为____________
例2.圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________
例3.已知是圆（为参数，上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________
例4.如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是__
例5.方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____
例6.若（为参数，，，若，则b的取值范围是_________
例7.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A． Bhttp://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
C Dhttp://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
例8．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．
例9．（上海卷）圆关于直线对称的圆的方程是（　　）
Ａ. Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
五．点与圆、直线和圆、圆和圆的位置关系
1 点(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：
(1)当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时，点在圆外；
(2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时，点在圆上；
(3)当(x0-a)2+(y0-b)22 若圆(x-a)2+(y-b)2=r2与x轴相切，则|b|=r；若圆(x-a)2+(y-b)2=r2与y轴相切，则|a|=r.
3. 若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于x轴对称，则E=0;
若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于y轴对称，则　D=0　；
若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于y=x轴对称，则D=E;
4. 点M(x0，y0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系：
M在圆内 x02+y02+Dx0+Ey0+F＜0；
M在圆上 x02+y02+Dx0+Ey0+F=0；
M在圆外 x02+y02+Dx0+Ey0+F＞0.
例1.点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______
1. 直线与圆的位置关系判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，若直线与圆相离，则d＞r；若直线与圆相切，则　d=r　；若直线与圆相交，则d＜r．
(2)代数法：将直线与圆的方程联立，若D＞0，则直线与圆相交若D=0，则直线与圆相切
若D＜0，则直线与圆相离．
例1.圆与直线，的位置关系为____
例2.若直线与圆切于点，则的值____
例3.直线被曲线所截得的弦长等于
例4一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是
例5已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则
A．，且与圆相交 　 B．，且与圆相交
C．，且与圆相离 D．，且与圆相离
例6.已知圆C：，直线L：。①求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.
2.两圆的位置关系
(1)设两圆半径分别为R，r(R＞r)，圆心距为d.
若两圆相外离，则d＞R+r，公切线条数为4；
若两圆相外切，则　d=R+r，公切线条数为3；
若两圆相交，则R-r＜d＜R+r，公切线条数为2；
若两圆内切，则d=R-r，公切线条数为1；
若两圆内含，则d＜R-r　，公切线条数为0．
(2) 设两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．
2 已知切点为P(x0，y0)，则圆x2+y2=r2的切线方程为x0x+y0y=r2.
3. 圆系方程
(1)以点C(x0，y0)为圆心的圆系方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r＞0)；
(2)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：ax+by+c=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+l(ax+by+c)=0；
(3)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+l(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (不表示圆C2)
题型精练：
题型一 两圆的位置关系
例1．(2009·宁夏，海南)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
例2．已知圆C1：x2+y2+2x+6y+9=0和圆C2：x2+y2-6x+2y+1=0，求圆C1、圆C2的公切线方程。
例3.已知圆C1：x2+y2-10x-10y=0和圆C2：x2+y2+6x+2y-40=0相交于A、B两点，求公共弦AB的长。
七．特殊关系
例2.设点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上
（1）求的最小值
（2）求的最小值
参考答案
直线的倾斜角与斜率
例1 答：
例2 答：
(2)直线的斜率
例1 答：既不充分也不必要
例2 答：
例3 ［-，］
例4 【答案】C
直线方程的五种形式
例1 答：
例2 答：
题型精练：
【答案】B 【答案】A 【答案】x=1,y=
直线的性质
例1 答：
两条直线平行与垂直的判定
例1 （答：－1；；；3）；
例2 （答：）；
例3 （答：）
例4 答：平行
习题精炼：
答： 2.【答案】D
3.【答案】B 4.【答案】C
2. 三种距离
例1 d=
例2 解：设AB边上的高为h，则
S= ，
AB边上的高h就是点C到AB的距离。 AB边所在直线方程为
即x+y-4=0。
点C到X+Y-4=0的距离为h h=，
因此，S=
3.解法一：在直线上取一点P(４，0)，因为∥ 所以点P到的距离等于与的距离.于是
解法二：∥又.由两平行线间的距离公式得
对称问题
例1 分析 因为A，A′关于直线对称，所以直线l是线段AA′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.
解 据分析，直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′，设A′的坐标为（x，y），则AA′的中点B的坐标为
由题意可知，，
解得. 故所求点A′的坐标为
例2分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得，
即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B（8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0
典例精讲
（5,6）
习题精练
【答案】x-2y=0或x+y-3=0
【答案】2x+3y+1=0
【答案】D
【答案】-4
【答案】6x-y+8=0
【答案】D
【答案】D
【答案】D
圆的方程及性质
或
；； [0，2]
【答案】D
【答案】
【答案】C
点与圆、直线和圆、圆和圆的位置关系
例1.
典例精讲：
相离 2 4 C ②或　　③最长：，最短：
习题精练
【答案】4x-3y-25=0或3x+4y+25=0
【答案】x+y-2=0或7x+17y+26=0
【答案】最大值是3+2，最小值是3-2
【答案】3个
【答案】 D
【答案】 D
【答案】 B
【答案】A
题型一 两圆的位置关系
【答案】B
【答案】y+4=0或4x-3y=0或x=0或3x+4y+10=0
【答案】10
【答案】（1）-1 （2）