四川省宣汉县第二中学（新课标人教版）高三数学复习《直线和圆锥曲线的位置关系》

直线和圆锥曲线
直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．
直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：
直线的斜率不存在，直线的斜率存，
（2）联立直线和曲线的方程组；
讨论类一元二次方程
一元二次方程的判别式
韦达定理，同类坐标变换
同点纵横坐标变换
（7）x,y，k(斜率)的取值范围
（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等
题型一：动弦过定点的问题
例：（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。
题型二：定值的问题
例1.已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
求椭圆C的方程；
E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
例2.【2012高考真题上海理22】在平面直角坐标系中，已知双曲线：．
（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；
（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.
例3.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．
例4.【2012高考真题辽宁理20】(本小题满分12分)
如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。
(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;
(Ⅱ)设动圆与相交于四点，其中，
。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。
题型三：向量共线问题
解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过韦达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。
例1.【2012高考真题北京理19】（本小题共14分）已知曲线C：
（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设m=4，曲线C与y轴的焦点A,B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同两点,，M,N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A,G,N三点共线。
例2.设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,求实数的取值范围。
例3..如图，已知点（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过作直线l的垂线，垂足为点，且错误！未找到引用源。
（Ⅰ）求动点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的值。
题型四：面积问题
例1.（山东06文）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。
题型五：取值范围问题（函数问题）
例1.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。
例2.已知椭圆过点，且离心率。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。
例3.【2012高考真题四川理21】(本小题满分12分)
如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。
题型六：存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
例1.(2009山东卷文)（本小题满分14分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知,设直线与圆C:(1例2.设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
例3.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（I）设，求与的比值；
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
例4.（07湖北理科）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？
参考答案
题型一：
例1.解（I）由题意设椭圆的标准方程为，
（II）设，由得
，
，
（注意：这一步是同类坐标变换）
（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，
，，
，
，解得，且满足
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为
题型二：
例1.解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，将点A的坐标代入方
程： ，解得 ， （舍去）
所以椭圆方程为 。
（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得
设,,因为点在椭圆上，所以
………8分
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得
，
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分
例2.【答案】
过点A与渐近线平行的直线方程为
，,则到直线的距离为.
设到直线的距离为.
例3.【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得
，∴。
由点在椭圆上，得
∴椭圆的方程为。
（2）由（1）得，，又∵∥，
∴设、的方程分别为，。
∴。
∴。①
同理，。②
（i）由①②得，。解得=2。
∵注意到，∴。
∴直线的斜率为。
（ii）证明：∵∥，∴，即。
∴。
由点在椭圆上知，，∴。
同理。。
∴
由①②得，，，
∴。
∴是定值。
例4.【答案】
题型三：
例1.【答案】解：（ 1）原曲线方程可化简得：
由题意可得：，解得：
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，
，解得：
由韦达定理得：①，，②
设，，
方程为：，则，
，，
欲证三点共线，只需证，共线
即成立，化简得：
将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。
例2.解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即
设直线PQ的方程为：，
由消y整理后，得
P、Q是曲线M上的两点，＝
即 ①
由韦达定理得：
即 ②
由①得，代入②，整理得，解之得
当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。
总之实数的取值范围是。
例3.解法一：
（Ⅰ）设点，则，由得：
，化简得.
（Ⅱ）设直线的方程为： .
设，，又，
联立方程组，消去得：
，，故
由，得：
，，整理得：，，
解法二：（Ⅰ）由得：，
，，
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：.
（Ⅱ）由已知，，得.
则：.…………①
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，
则有：.…………②由①②得：，即
题型四：
例1.解：设椭圆方程为
（I）由已知得
所求椭圆方程为
（II）解法一：由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，
由 消去y得关于x的方程：
由直线l与椭圆相交A、B两点，△，
解得，又由韦达定理得
.
原点O到直线l的距离
解法1：对两边平方整理得：
（*）
，
整理得：又，.从而的最大值为，
此时代入方程（*）得
所以，所求直线方程为： .
解法2：令，则，
.当且仅当即时，
此时.所以，所求直线方程为 .
题型五：
例1.解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，
由题设条件知， 所以 故椭圆C的方程为 .
（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，
显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。
如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，
由得. ……①
由解得. ……②
因为是方程①的两根，所以，于是
=， .
因为，所以点G不可能在轴的右边，
又直线,方程分别为
所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为
即 亦即
解得，此时②也成立.
故直线斜率的取值范围是
例3.答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想
题型六：
例1.解:（1）因为,,,
所以, 即.
当m=0时,方程表示两直线,方程为;
当时, 方程表示的是圆
当且时,方程表示的是椭圆;
当时,方程表示的是双曲线.
(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,, 所求的圆为.
当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1因为与轨迹E只有一个公共点B1,
由（2）知得,
即有唯一解
则△=, 即, ②
由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,
由 中,所以,,
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,
在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即
当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.
例2.解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,
,
①当时
因为所以,所以,
所以当且仅当时取”=”.
当时,.
当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即:
例3.解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得
………………4分
当表示A，B的纵坐标，可知
………………6分
（II）t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN 相等，即
解得
因为
所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；
当时，存在直线l使得BO//AN. ………………12分
例4.解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.
于是
＝＝
.
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则
＝.
=＝
=
令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.
解法2：
（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
＝又由点到直线的距离公式得.
从而，
（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为
将直线方程y=a代入得
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有
令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.即抛物线的通径所在的直线。