2023届高考二轮总复习课件（适用于老高考旧教材） 数学（文）专题七 选做大题 课件（共120张PPT）

(共120张PPT)
专题七　选做大题
上篇
内容索引
01
02
选做满分大题一　坐标系与参数方程(选修4—4)
选做满分大题二　不等式选讲(选修4—5)
选做满分大题一　
考情分析 从近几年高考情况来看,坐标系与参数方程主要考查两个方面:一是极坐标方程、参数方程与普通方程三者之间的相互转化,二是极坐标方程和参数方程的简单应用,难度较小.直线与圆的位置关系考查较多,注意直线参数方程中参数的几何意义的应用,重点考查数形结合的数学思想和转化与化归能力.
备考策略 1.极坐标系复习时建议从以下几个方面着手:一是从理解坐标系的作用入手,要求学生了解和掌握坐标系是刻画描述平面中点的位置;二是要求学生会进行极坐标和直角坐标的互化;三是通过图形比较,理解极坐标系中和平面直角坐标系中的方程的区别;
2.参数方程复习时,注意强调参数方程中参数的意义,另外要能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程;
3.解决极坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长度等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用直线参数的几何意义或极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,确定选择恰当方程形式.
真题感悟
(1)写出C1的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C3的极坐标方程为2cos θ-sin θ=0,求C3与C1交点的直角坐标,及C3与C2交点的直角坐标.
(2)C3:2cos θ-sin θ=0,两边乘ρ,得2ρcos θ-ρsin θ=0,
∴C3:y=2x.
2.(2022·全国乙·文22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(1)写出l的直角坐标方程;
(2)若l与C有公共点,求m的取值范围.
3.(2020·全国Ⅰ·文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+3=0.
(1)当k=1时,C1是什么曲线
(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.
4.(2020·全国Ⅲ·文22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A,B两点.
(1)求|AB|;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.
5.(2021·全国甲·文22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴
知识精要
1.极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提:①直角坐标系的原点与极点重合;②x轴的正半轴与极轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
在极坐标系下,点的极坐标不唯一
2.直线的极坐标方程
在极坐标系中,若直线过点M(ρ0,θ0),且此直线与极轴所成的角为α,则它的极坐标方程为ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0).
几个特殊位置的直线的极坐标方程:
(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0;
(2)直线过点M(a,0),且垂直于极轴:ρcos θ=a;
(3)直线过点M(b, ),且平行于极轴:ρsin θ=b.
3.圆的极坐标方程
在极坐标系中,若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的极坐标方程为
几个特殊位置的圆的极坐标方程:
(1)圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
(2)圆心为M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ;
(3)圆心为M(a, ),半径为a:ρ=2asin θ.
名师点析
当圆心(x0,y0)不在直角坐标系的坐标轴上时,要求圆的极坐标方程,通常把极点放置在圆心处,极轴与x轴同向,然后运用极坐标与直角坐标的互化公
4.曲线的参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 ②,并且对于t的每一个允许值,由方程组②所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程②就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.
5.一些常见曲线的参数方程
误区警示
将曲线的参数方程化为普通方程时,要注意x,y的取值范围,即在消去参数的过程中要保证普通方程与参数方程的等价性.
6.参数方程中参数t的几何意义
特别提醒
在使用直线参数方程的几何意义时,要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值,否则参数不具备该几何含义.
考点一
曲线方程的三种形式间的互化
典例突破1(2021·全国乙·理22)在直角坐标系xOy中,☉C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出☉C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作☉C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
(2)☉C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
①当直线斜率不存在时,直线方程为x=4,此时圆心到直线的距离d=2,有d>r(r为圆C的半径),不合题意,舍去;
解题心得
1.无论是将参数方程化为极坐标方程,还是将极坐标方程化为参数方程,都要先化为普通方程,再由普通方程化为需要的方程.
2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的普通方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将普通方程转化为极坐标.
对点练1(2022·河南焦作一模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是
(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆O的极坐标方程为ρ2-8=2ρ(cos θ+sin θ).
(1)求直线l的普通方程和圆O的直角坐标方程;
(2)当θ∈[ ,π]时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.
考点二
求曲线的极坐标方程
典例突破2 如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),
(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;
(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|= ,求P的极坐标.
解题心得
1.写弧的极坐标方程时,注意标明定义域.(2)中|OP|即为曲线上的点P到极点的距离,实质为点P的极径.
2.直线与曲线相交的交点间的长度在极坐标系中易表达且形式简单,当然求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.
对点练2(2022·陕西宝鸡三模·22)如图,在极坐标系中,已知点M(2,0),曲线C1是以极点O为圆心,以OM为半径的半圆,曲线C2是过极点且与曲线C1相切于点(2, )的圆.
(1)分别写出曲线C1,C2的极坐标方程;
(2)直线θ=α(0<α<π,ρ∈R)与曲线C1,C2分别相交于点A,B(异于极点),求△ABM面积的最大值.
解 (1)由题意可知,曲线C1是以极点O为圆心,以2为半径的半圆,结合图形可知,曲线C1的极坐标方程为ρ=2(0≤θ≤π).设P(ρ,θ)为曲线C2上的任意一点,可得ρ=2cos( -θ)=2sin θ.因此,曲线C2的极坐标方程为
ρ=2sin θ(0≤θ<π).
(2)因为直线θ=α(0<α<π,ρ∈R)与曲线C1,C2分别相交于点A,B(异于极点),设A(ρA,α),B(ρB,α),由题意得ρB=2sin α,ρA=2,所以|AB|=|ρA-ρB|=2-2sin α.
考点三
极坐标方程的应用
(1)求曲线C的普通方程;
(2)若曲线C与直线l交于A,B两点,且|OA|+|OB|=3,求直线l的斜率.
规律方法
1.求解与极坐标有关的问题的主要方法
(1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用.
(2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.
2.已知极坐标方程求线段的长度的方法
(1)先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程,然后求线段的长度.
(2)直接在极坐标系下求解,设A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),则
求交点之间的距离时,求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标,则|ρ1-ρ2|即为所求.
对点练3(2022·河南开封一模)数学中有许多寓意美好的曲线,如图,曲线C:(x2+y2)3=4x2y2被称为“四叶玫瑰线”.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)设点M,N所对应的极径分别为ρ1,ρ2,
考点四
参数方程的应用
典例突破4(10分)(2022·安徽黄山一模)已知曲线C的极坐标方程为
【评分标准—找回丢分】
【教师讲评—触类旁通】
分析1:在(1)中,直线l的参数方程含有两个未知数t和α,但只有t是参数也是变化的量,α是直线的倾斜角,是常数;
分析2:在(2)中,含有直线与曲线相交所得线段|AB|= ,利用直线标准参数方程中t的几何意义解题,起到化难为易的作用.
分析3:参数方程的主要用途:一是求动点(x,y)的轨迹,当x,y的关系不好找时,引入参数t,找到x与t和y与t的等量关系,消去t即得动点轨迹方程,由轨迹方程判断动点轨迹;二是用曲线的参数方程表示曲线上一点的坐标,把二元问题化为一元问题来解决;三是利用参数的几何意义解题.
对点练4(2022·山西晋城一模)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)直线l与x轴的交点为P,经过点P的直线m与曲线C交于A,B两点,若|PA|+|PB|=4 ,求直线m的倾斜角.
联立直线m与曲线C的方程得t2+8tcos θ+10=0.
考点五
求动点轨迹方程
典例突破5在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.
(1)当θ0= 时,求ρ0及l的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.
解题心得
1.在求动点轨迹方程时,如果题目有明确要求,求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程,那么就按要求做;如果没有明确的要求,那么三种形式的方程写出哪种都可,哪种形式的容易求就写哪种.
2.本例第(2)问中,因点P(ρ,θ)既在线段OM上又在以OA为直径的圆C1上,所以曲线C与圆C1上有两个交点,在第一象限的交点对应的θ为 ,在极点的交点对应的θ为 .
对点练5(2022·山西太原二模)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)过原点O引一条射线,分别交曲线C和直线l于A,B两点,射线上另有一点M满足|OA|2=|OM|·|OB|,求点M的轨迹方程.
选做满分大题二
考情分析 不等式选讲解答题是高考每年必考题,每年都在23题的位置上,高考对不等式选讲要求不是太高,考查难度基本是中等偏易,考查热点是含有两个绝对值不等式的解法、利用绝对值三角不等式求最值,由绝对值不等式恒成立求参数范围,证明不等式的各种方法,近年来对柯西不等式考查的频率有所增加,应引起同学们的重视.绝对值不等式的应用是命题的热点.主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.
备考策略 1.复习含有绝对值不等式时,既要掌握含绝对值不等式的解法及去绝对值的基本思想,又要理解绝对值的几何意义,并能应用(1)|a±b|≤|a|+|b|;(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|证明不等式或求最值;
2.解含绝对值的函数不等式及求此函数的值域或最值是教学的重点内容,要让学生熟悉这类问题的常用解法,要通过适当的练习确保得全分;
3.复习不等式的证明时,要注重不等式的常用证明方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法的教学,让学生掌握这些不等式的常用证明方法;对应用柯西不等式证明不等式以及求最值问题,让学生了解并会用柯西不等式解决难度较小的问题即可.
真题感悟
2.(2021·全国乙·文23)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若f(x)>-a,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,由f(x)≥6可得|x-1|+|x+3|≥6.
当x≤-3时,不等式可化为1-x-x-3≥6,
解得x≤-4;
当-3解得x∈ ;
当x≥1时,不等式可化为x-1+x+3≥6,
解得x≥2.
综上,原不等式的解集为(-∞,-4]∪[2,+∞).
(2)若f(x)>-a,则f(x)min>-a.
因为f(x)=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|a+3|(当且仅当(x-a)(x+3)≤0时,等号成立),
所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|>-a,
3.(2020·全国Ⅱ·文23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.
(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|a2-2a+1|=(a-1)2,当且仅当(x-a2)(x-2a+1)≤0时,等号成立.
故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f(x)≥4.
所以当a≥3或a≤-1时,f(x)≥4.
当-1所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
4.(2020·全国Ⅲ·文23)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥ .
5.(2019·全国Ⅱ·理23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).
(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,
f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.
所以,a的取值范围是[1,+∞).
知识精要
1.绝对值三角不等式
(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)性质:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,右等号成立,当且仅当ab≤0时,左等号成立.
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,左等号成立,当且仅当ab≤0时,右等号成立.
(3)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a(a>0)的解法:
①|x|②|x|>a x>a或x<-a.
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c -c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
误区警示
去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏.
3.基本不等式
定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
误区警示
利用基本不等式证明或求最值时,要注意满足的三个条件“一正二定三相等”,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.
4.不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.
(1)比较法:求差比较法,求商比较法.
①求差比较法:由于a>b a-b>0,ab,只要证明a-b>0即可;
(2)分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法.
(3)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.
(4)反证法:先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.
(5)放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.
5.柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
(2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
考点一
求绝对值不等式的解
典例突破1(2021·全国甲·理23)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象;
(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.
解题心得
画解析式中含有绝对值的函数的图象,首先按零点分段法消去函数解析式中的绝对值号,得到分段函数,然后画出分段函数的图象;在已知函数图象的前提下解函数不等式,一般方法是利用数形结合法依据函数图象得出不等式的解集.
对点练1(2020·全国Ⅰ·理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.
(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象.
典例突破2(2022·陕西宝鸡三模)已知函数f(x)=|x-1|+|2x-m|(m∈R).
(1)当m=-1时,求f(x)≤2的解集;
(2)若f(x)≤|x+1|的解集包含[1,2],求实数m的取值范围.
(2)由题意可知当x∈[1,2]时,不等式f(x)≤|x+1|恒成立,∴当x∈[1,2]时,
f(x)=x-1+|2x-m|≤x+1恒成立,即|2x-m|≤2恒成立,∴-2≤2x-m≤2恒成立,即2x-2≤m≤2x+2恒成立,又当x∈[1,2]时,2x-2≤2,2x+2≥4,
∴2≤m≤4,即m∈[2,4].
规律方法
|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
方法1 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想
方法2 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想
方法3 利用图象法,作出函数y=|x-a|+|x-b|和y=c的图象,结合图象求解
对点练2(2022·河南郑州三模·23)已知函数f(x)=|3x-a|+|x+1|.
(1)若a=2,求不等式f(x)≤6x的解集;
考点二
函数不等式恒成立求参数范围
典例突破3(10分)(2022·河南焦作三模)已知函数f(x)=|x+2|-|x-6|.
(1)求不等式f(x)<4的解集;
(2)若对任意x∈R,不等式f(x)≤x2+2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
【评分标准—找回丢分】
当x≤-2时,f(x)=-8<4恒成立;
当-2所以-2当x>6时,f(x)=8>4 ,无解.
当x≤-2时,g(x)单调递增,g(x)≤g(-2)=-8;
当-2当x>6时,g(x)单调递减,g(x)【教师讲评—触类旁通】
分析1:在(1)中,既可以利用“零点分段法”求解也可以利用绝对值不等式的几何意义求解.
分析2:在(2)中,通过分离参数将问题转化成求函数的最值问题,应用零点分段法去掉绝对值后再应用函数单调性求最值.
分析3:函数不等式恒成立求参数范围问题一般有两种解法:一是利用函数思想转化为函数的最值问题;二是通过数形结合构造出两个函数,通过寻找临界状态得到参数的取值范围.
对点练3(2022·河南焦作一模)设函数f(x)=|3x-6|+2|x+1|-m(m∈R).
(1)当m=2时,解不等式f(x)>12;
(2)若关于x的不等式f(x)+|x+1|≤0无解,求m的取值范围.
解 (1)当m=2时,f(x)>12即为|3x-6|+2|x+1|-2>12,
①当x<-1时,不等式可化为-(3x-6)-2(x+1)-2>12,解得x<-2;
②当-1≤x≤2时,不等式可化为-(3x-6)+2(x+1)-2>12,解得x<-6,舍去;
(2)不等式f(x)+|x+1|≤0无解,即|3x-6|+3|x+1|≤m无解,
所以m<(|3x-6|+3|x+1|)min,
因为|3x-6|+3|x+1|=|3x-6|+|3x+3|≥|(3x-6)-(3x+3)|=9,当且仅当
(3x-6)(3x+3)≤0,即-1≤x≤2时,等号成立.所以m<9,即m的取值范围是(-∞,9).
对点练4(2022·河南郑州二模)已知f(x)=|x-a|.
(1)若f(x)≥|2x-1|的解集为[0,2],求实数a的值;
(2)若对于任意的x∈R,不等式f(x)+|x+2a|>2a+3恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)由f(x)≥|2x-1|,得|x-a|≥|2x-1|,
即(x-a)2≥(2x-1)2,
整理得3x2+(2a-4)x+1-a2≤0,
∴0和2是方程3x2+(2a-4)x+1-a2=0的两根,
解得a=-1,即实数a的值为-1.
(2)∵f(x)+|x+2a|=|x-a|+|x+2a|≥|x-a-(x+2a)|=3|a|,当且仅当(x-a)(x+2a)≤0时取等号,即f(x)+|x+2a|的最小值为3|a|,由f(x)+|x+2a|>2a+3恒成立,只需
考点三
不等式的证明
典例突破4(2022·河南开封一模)已知正数a,b,c满足a3b3+b3c3+c3a3+abc=4.
求证:(1)0
解题心得
不等式证明的常用方法是比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.
对点练5 已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
考点四
求代数式或函数的最值
典例突破5(2022·山西太原一模)已知函数f(x)=|x-1|-|2x-1|.
(1)求满足不等式f(x)≥-1的最大整数a;
(2)由(1)得x,y∈(1,+∞),
因为x+y=4,
规律方法
1.若题设条件有(或者经过化简题设条件得到)两个正数和或两个正数积为定值,则可利用基本不等式求两个正数积的最大值或两个正数和的最小值.
2.求解析式中含有绝对值的函数的最值,通常先将函数化为分段函数,然后依据分段函数的单调性求最值.
对点练6(2022·陕西宝鸡一模)关于x的不等式|ax-3|≤x的解集为[1,b],其中a>1.
(1)求实数a,b的值;
解 (1)由|ax-3|≤x,
得(a2-1)x2-6ax+9≤0,
因为a>1,1,b是方程(a2-1)x2-6ax+9=0的两根,
考点五
柯西不等式的应用
典例突破6(2022·全国甲·23)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:
(1)a+b+2c≤3;
证明 (1)由柯西不等式知(a2+b2+4c2)(12+12+12)≥(a+b+2c)2,即(a+b+2c)2≤3×3,
又a,b,c是正实数,所以a+b+2c≤3,当且仅当a=b=2c时,等号成立,此时
规律方法
柯西不等式在证明多变量不等式或解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用,运用柯西不等式求最值时,关键是进行巧妙的拼凑,构造出柯西不等式的形式.
对点练7(2022·陕西榆林二模)已知正数a,b,c,d满足a2+b2+c2+d2=1,证明:
对点练8(2022·山西太原三模)已知函数f(x)=|x+2|-m,m∈R,且f(x)≤0的解集为[-3,-1].
(1)求m的值;