2023届高考二轮总复习课件（适用于老高考旧教材） 数学（文）第1讲 数学思想在高考中的应用(共41张PPT)

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第1讲　数学思想在高考中的应用
序篇
一、函数与方程思想
1.函数的思想:用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.
2.方程的思想:分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得到解决.
3.函数思想与方程思想的联系:函数与方程的问题可相互转化.求方程f(x)=0的解就是求函数y=f(x)的零点.求方程f(x)=g(x)的解的问题,可以转化为求函数y=f(x)-g(x)的图象与x轴的交点问题.
(2)在三棱锥A-BCD中,AC=BC,AC⊥BC,AB=2,平面ABD⊥平面ABC,
BD=2DA,则三棱锥A-BCD体积的最大值为(　　)
(3)为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1 m,且AC比AB长 m,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为(　　)
答案 (1)B　(2)A　(3)D
解析 (1)设|FA|=r,则r≥c-a=1.
设双曲线的右焦点为F',由对称性可知|BF'|=|FA|=r,
(2)如图所示,∵AC=BC,AC⊥BC,AB=2,
∵平面ABD⊥平面ABC,∴此三棱锥的体积取决于点D到AB的距离.
在平面ABD内,以A为坐标原点, 的方向为x轴的正方向,以过点A的AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系xAy,
则A(0,0),B(2,0).设D(x,y).
规律方法
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:
(1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;
(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.
对点练1(1)(2020·全国Ⅲ·文10)设a=log32,b=log53,c= ,则(　　)
A.aC.bA.-3 B.-1 C.3 D.1
(3)已知a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc-1=0,则a的取值范围是　 .
二、数形结合思想
以形助数(数题形解) 以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的联系,即以形作为手段,数作为目的 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的
数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质
例2(1)(2022·辽宁抚顺一模)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)-f(2),若y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,且对任意的x1,x2∈[0,2],当x1≠x2时,都
(2)已知点P(m,n)是函数y= 图象上的动点,则|4m+3n-21|的最小值为(　　)
A.25 B.21 C.20 D.4
答案 (1)C　(2)C
解析 (1)∵y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,∴y=f(x)的图象关于y轴对称,即f(x)是偶函数,
∴f(-2)=f(2),又f(x+4)=f(x)-f(2),令x=-2,得f(2)=f(-2)=0,∴f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4,
∴f(x)在[0,2]上单调递增,∴f(x)草图如下:
其最小值为5-1=4,
∴|4m+3n-21|的最小值为5×4=20.故选C.
令x+1=cos θ,y=sin θ,0≤θ≤π,
得x=-1+cos θ,y=sin θ,
则4m+3n-21=4(-1+cos θ)+3sin θ-21=3sin θ+4cos θ-25
=5sin(θ+φ)-25(tan φ= ).
∴当5sin(θ+φ)=5时,|4m+3n-21|取最小值为20.故选C.
规律方法
1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,那么就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即用几何法求解,比较常见的有:
2.解析几何中的一些范围及最值问题,常结合几何图形的性质,使问题得到简便快捷地解决.
对点练2(1)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
答案 (1)D　(2)A
解析 (1)f(x)>0等价于2x>x+1,在同一直角坐标系中作出函数y=2x和y=x+1的图象如图所示,两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.
(2)f(x)的定义域为R,由f(x)=x3+x得f(x)是奇函数且
在R上单调递增,∴f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,
即f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),
∴y2-2y+3≤-x2+4x-1,整理得(x-2)2+(y-1)2≤1,当
y≥1时,即(x,y)的取值区域如图阴影部分所示.
三、分类讨论思想
分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类的结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.
(2)(2022·河南许昌质检一)若函数f(x)= 的最小值为a2,则实数a的取值范围是　　　　　.
答案 (1)A　(2)[0,3]
解析 (1)当焦点在x轴上时,a2=m,b2=1,m>1,由对称性可知当点M为上下顶点时,∠F1MF2最大,
(2)当x≤0时,f(x)=(x-a)2,且f(0)=a2.
当x>0时,f'(x)=2- ,则当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)为增函数,当0时,f'(x)<0,函数f(x)为减函数,则当x=1时,f(x)取得极小值f(1)=2+4+a=a+6.当a≤-6时,f(x)的最小值是a+6,令a+6=a2,即a2-a-6=0,解得a=-2或a=3,均不符合题意.当-6规律方法
1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.
2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数,这个数是零、是正数还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;作差比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.
对点练3(1)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知函数f(x)= (a∈R),若函数f(x)有四个零点,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0) B.(e,+∞)
C.(4,+∞) D.(4,e2)
答案 (1)C　(2)C
解析 (1)当a=0时,f(x)=|x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,
f(x)=(-ax+1)x=-ax2+x,结合二次函数的图象可知f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,函数f(x)=|(ax-1)x|的大致图象如图.
函数f(x)在区间(0,+∞)上有增有减,从而a≤0是函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增的充要条件,故选C.
函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)>f(1)=1.
则当x>1时,函数f(x)与x轴无交点.
当x>a时,f(x)单调递增,当x≤a时,f(x)单调递减,
f(a)=a-aln a,当x +∞时,f(x) +∞,所以f(x)在(1,+∞)最多有两个零点.
四、转化与化归思想
转化与化归思想方法,就是在研究和解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题;将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;将陌生的问题转化为熟悉的问题;将未知的问题转化为未知的问题.
(2)(2022·安徽蚌埠质检三)已知双曲线C: -y2=1,点F1是C的左焦点,若点P为C右支上的动点,设点P到C的一条渐近线的距离为d,则d+|PF1|的最小值为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
(3)已知实数a,b,c,d满足 =1,其中e是自然对数的底数,那么(a-c)2+(b-d)2的最小值为　　　　　.
(2)如图,过点P作渐近线的垂线,垂足为H,则d=|PH|,
设双曲线的右焦点为F2,
因为|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=6+|PF2|,
所以d+|PF1|=6+|PF2|+d,
所以当且仅当H,P,F2三点共线时,d+|PF1|最小,
在曲线y=x-2ex上,点(c,d)在直线y=3-x上,(a-c)2+(b-d)2的几何意义就是曲线上的点与直线上的点的距离的平方,最小值即为曲线y=x-2ex的切线中,与直线y=3-x平行的切线与直线y=3-x的距离的平方,因为y'=1-2ex,令1-2ex=-1,解得x=0,所以切点为(0,-2),该切点到直线y=3-x
规律方法
1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.
2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.
(2)已知a,b,2c是平面内三个单位向量,若a⊥b,则|a+4c|+2|3a+2b-c|的最小值是　　　　　.
(2)由题意,令2c=e,设a=(1,0),b=(0,1),e对应的点C(x,y)在以原点为圆心的单位圆上,
∴问题转化为求|a+2e|+|6a+4b-e|的最小值.
∵(a+2e)2=(2a+e)2,∴|a+2e|=|2a+e|.