2023届高考二轮总复习课件（适用于老高考旧教材） 数学（文）专题五 解析几何(共257张PPT)

(共257张PPT)
专题五　解析几何
上篇
内容索引
01
02
03
高考小题突破7　直线与圆
培优拓展 　圆的几何性质与代数关系的转化
高考小题突破8　圆锥曲线的方程与性质
04
培优拓展 　圆锥曲线的常用二级结论及其应用
内容索引
05
06
07
◎高考增分大题五　圆锥曲线的综合问题
培优拓展 　快准求解直线与圆锥曲线相交弦长问题的方法
培优拓展　 解析几何解题基本方法的探究
考情分析 1.题型、题量稳定:近几年来高考对该部分的考查一般为“2小1大”或“3小1大”,分值约为22到27分,多为中、高档题.
2.重点突出:高考对解析几何的考查主要在直线、圆、圆锥曲线上,(1)客观题重点考查直线和圆的方程及位置关系,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质,直线与圆锥曲线相交的弦长、面积、参数等问题;(2)主观题重点考查圆锥曲线中的最值、范围、证明问题以及有关的定点、定值、探索性问题.
3.核心素养:直观想象、逻辑推理、数学运算.
备考策略 1.夯实基础:直线、圆、圆锥曲线的定义、方程与性质是解析几何的根本,也是高考命题的重点与热点.
2.掌握技巧:既要掌握解题的基本方法和基本规律,也要掌握常用的重要结论和解题的技巧,注重条件的转化及解法的提炼、优化.
3.强化作图:依据题意画出比较准确的图形是研究解析几何问题的基础,作图的过程是读题、审题、理解题意与探究解题思路的过程,将条件标在图形中的过程是条件转化及建立条件与结论联系的过程.
真题感悟
答案 A　
2.(2020·全国Ⅲ·文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若 =1,则点C的轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案 A　
解析 以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(　　)
A.4 B.8
C.16 D.32
答案 B　
A
5.(2020·全国Ⅱ·文8)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线
2x-y-3=0的距离为(　　)
答案 B　
解析 由题意可知,圆心在第一象限.设圆心为(a,a)(a>0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为
6.(2022·全国乙·文15)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　.
解析 (方法一)若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),则设圆心为(a1,b1),半径为r1,
∴圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,若圆过点(0,0),(4,0),(4,2),则圆的方程
(方法二)设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),圆过其中三点共有四种情况.若圆过A,B,C三点,则线段AB的垂直平分线方程为x=2,线段AC的垂直平分线方
7.(2021·全国甲·文16)已知F1,F2为椭圆C: =1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　　.
答案 8　
(1)求C1的离心率;
(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求C1与C2的标准方程.
知识精要
1.直线方程的五种形式
直线方程有:斜截式,点斜式,两点式,截距式,一般式.
2.两条直线平行和垂直的充要条件
(1)若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2 k1=k2,
l1⊥l2 k1k2=-1.
(2)若直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,则
名师点析
与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);
与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
3.圆的方程
(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r.
(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
4.圆锥曲线的标准方程
(3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).
5.圆锥曲线的几何性质
6.圆锥曲线的重要结论
(1)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆 =1(a>b>0)中,
①当P为短轴端点时,θ最大.
③焦点三角形的周长为2(a+c).
(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、
④以弦AB为直径的圆与准线相切.
(4)过曲线上点P(x0,y0)的切线方程:
设P(x0,y0)为圆锥曲线C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上的任意一点,则过点P
(5)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0-a)(y-a)=r2.
7.圆锥曲线中点弦斜率公式
名师点析
对于以上结论(1)(2),可类比圆的垂径定理,设圆的方程为x2+y2=r2,圆的方
8.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
高考小题突破7　
考点一
直线方程及应用
典例突破1(1)已知直线l1:(3+2λ)x+(4+λ)y+(-2+2λ)=0(λ∈R),l2:x+y-2=0,若l1∥l2,则l1与l2间的距离为(　　)
(2)(2022·河南名校联盟一模)已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法不正确的是(　　)
B.若l1∥l2,则a=1或-3
C.若l1⊥l2,则a=0或2
D.当a>0时,l1始终不过第三象限
答案 (1)B　(2)B　
1·[-(2a-3)]-a·a=0,即a2+2a-3=0,解得a=1或-3,当a=1时,直线l1与直线l2的方程都为x+y-1=0,故两直线重合,故B错误;对于C,若l1⊥l2,则1·a+a·[-(2a-3)]
=0,即2a2-4a=0,解得a=0或2,故C正确;对于D,因为a>0,l1变为y-1=- x,即l1恒过定点(0,1),且斜率- <0,所以l1恒过第一、二、四象限,不过第三象限,故D正确.故选B.
解题技巧
解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时,在利用
A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.
(2)注意直线方程每种形式的局限性,点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直,两点式要求直线不能与坐标轴垂直,而截距式方程既不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.
(3)讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.
对点练1(1)过点P(1,1)的直线与x轴正半轴相交于点A(a,0),与y轴正半轴相交于点B(0,b),则2|OA|+|OB|的最小值为(　　)
(2)(2022·山东济宁期末)若直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x+my+1=0(m∈R)平行,则直线l1与l2之间的距离为　 .
(2)因为直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x+my+1=0平行,所以m-2×(-2)=0,即
考点二
圆的方程及应用
典例突破2(1)(2022·山东滨州期末)已知圆C的半径为 ,其圆心C在直线x+y+2=0上,圆C上的动点P到直线kx-y-2k+2=0(k∈R)的距离的最大值为4 ,则圆C的标准方程为(　　)
A.(x+1)2+(y+1)2=2
B.(x+2)2+y2=2
C.(x+4)2+(y-2)2=2
D.(x+3)2+(y-1)2=2
(2)若一个圆的圆心是抛物线x2=8y的焦点,且该圆与直线 x-y-2=0相切,则该圆的标准方程为　　　　　　　.
答案 (1)A　(2)x2+(y-2)2=4　
解析 (1)直线kx-y-2k+2=0(k∈R)可变形为k(x-2)-(y-2)=0(k∈R),故过定点A(2,2),由题意圆C的圆心到直线kx-y-2k+2=0(k∈R)的距离的最大值为
规律方法
解决圆的方程问题的方法
(1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法:用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.
对点练2(1)(2022·山西怀仁期末)已知点P为圆(x-1)2+(y-2)2=1上一点,O为
(2)(2022·全国甲·文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　.
答案 (1)B　(2)(x-1)2+(y+1)2=5　
设☉M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.
故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(方法二)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,
则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,
整理可得-10a+10=0,即a=1.
则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
考点三
直线与圆的综合应用
考向1直线与圆的位置关系
典例突破3(1)(2022·山东临沂一模)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=R2,点A(0,2),B(2,0),则“R2>8”是“直线AB与圆C有公共点”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)在圆x2+y2=25上有一点P(4,3),点E,F是y轴上两点,且满足|PE|=|PF|,直线PE,PF分别与圆交于C,D(不同于P),则直线CD的斜率是　　　　　.
解析 (1)圆C:(x-3)2+(y-3)2=R2的圆心为C(3,3),半径为|R|,直线AB的方程为
充分性:当R2>8时,有|R|>d,所以直线AB与圆C相交,有公共点,故充分性满足;必要性:“直线AB与圆C有公共点”,则有|R|≥d,即“R2≥8”,故必要性不满足.
所以“R2>8”是“直线AB与圆C有公共点”的充分不必要条件.故选A.
(2)(方法一)如图,过点P作x轴的平行线,交圆弧于G,连接OG,则G(-4,3),
PG⊥EF,∵|PE|=|PF|,∴△PEF为等腰三角形,∴PG是△PEF的角平分线,
(方法二)由于E,F是在y轴上运动的,当E,F两点向它们的中点靠拢时,C,D两点也在圆弧上向圆弧的中点靠拢,即弦CD的长度变小,当E,F两点重合时,弦CD就变成了圆弧CD的中点,CD的斜率变为圆弧CD中点的切线的斜率,如图,过点P作x轴的平行线,交圆弧于G,则G(-4,3),PG⊥EF,∵|PE|=|PF|,
∴△PEF为等腰三角形,∴PG是△PEF的角平分线,∴G就是圆弧CD的中点.
规律方法
1.直线与圆位置关系判断的三种方法
2.直线与圆相交弦长的求法
(1)几何法:求圆心到直线的距离d,再利用公式l=2 求解.
(2)代数法:直线方程与圆的方程联立得关于x(或y)的二次方程,利用弦长公式求解.
对点练3(1)(2022·山东济南一模)已知直线kx-y+2k=0与直线x+ky-2=0相交于点P,O为坐标原点,点A(4,0),则tan∠OAP的最大值为(　　)
(2)(2022·河南郑州二模)若平面上两点A(-2,0),B(1,0),动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹与直线l:y=k(x-1)的公共点的个数为(　　)
A.2
B.1
C.0
D.与实数k的取值有关
答案 (1)B　(2)A　
(2)设P(x,y),
∵动点P满足|PA|=2|PB|,
则Δ=(2k2+4)2-4k2(k2+1)=12k2+16>0,
故直线和圆有2个交点.故选A.
考向2直线与圆中的最值问题
典例突破4(1)(2022·山西1月调研)若点P是圆C:(x+3)2+(y-2)2=1上任意一点,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为(　　)
A.5 B.6
(2)若P为直线x-y+4=0上一个动点,从点P引圆C:x2+y2-4x=0的两条切线PM,PN(切点为M,N),则|MN|的最小值是(　　)
答案 (1)C　(2)B　
解析 (1)圆C:(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为C(-3,2),半径为r=1,直线y=kx-1恒过
(2)如图,由x2+y2-4x=0可得(x-2)2+y2=4,
所以圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,如图所示,要使
|MN|的长度最小,即要∠MCN最小,则∠MCP最小,
解题方法
直线与圆中的最值问题,常见类型及解题思路
常见类型 解题思路
μ= 型 转化为动直线斜率的最值问题
t=ax+by型 转化为动直线截距的最值问题,或用三角代换求解
m=(x-a)2+(y-b)2型 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题
对点练4(1)(2022·辽宁抚顺一模)经过直线y=2x+1上的一点P作圆x2+y2-4x+3=0的切线,则切线长的最小值为(　　)
设f(d)=(36-d2)(1+d)2,
则f'(d)=-2d(d+1)2+2(36-d2)(d+1)=-2(d+1)(d-4)(2d+9).所以f(d)在区间[0,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减,所以当d=4时,f(d)取得最大值f(4)=500,
②当点D与P在圆心C的同侧时,(ⅰ)当点D在点C,P之间时,△PAB的高为1-d;
(ⅱ)当点D在CP的延长线上时,△PAB的高为d-1.
根据圆的对称性,当AB与①中相等时,相应的高都小于①中AB对应的高,所以相应△PAB的面积也小.
综上,△PAB面积的最大值是10 .
培优拓展
在圆的问题中,圆的几何性质与对应代数关系的相互转化是至关重要的一步.如果转化得好,一是能找到解决问题的突破口,二是可以极大地降低运算量,有的题目给的条件可能有多种转化方式,需要寻找最佳转化方式.
1.圆的几何关系与代数关系转化的技巧
几何性质 代数实现
点在圆上 点到直径端点的两个向量数量积为零或点与圆心距离等于半径
点在圆外 点到直径端点的两个向量数量积为正数或点与圆心距离大于半径
点在圆内 点到直径端点的两个向量数量积为负数或点与圆心距离小于半径
问题提出
2.直线与圆相切问题的转化
(1)“直线与圆相切” “切线与过切点的半径垂直 圆心到切线的距离等于半径”.
(2)过圆外一点作圆的切线,求切线段的长:求出圆心到圆外该点的距离,再结合半径利用勾股定理计算.
【例1】 若圆C1:(x-1)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+y2-8x-10y+2m+6=0外切,则m=(　　)
A.11 B.18 C.26 D.13
答案 D　
结论应用
【例2】 在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴正半轴相切,若圆C上存在点M,使得直线OM与直线y=kx(k>0)关于y轴对称,则k的最小值为(　　)
答案 D　
解析 如图,∵圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴正半轴相切,∴圆心纵坐标为2,
【例3】 对于任意实数m,直线l:x+my-m-1=0均与圆C:x2+y2=r2(r>0)有交点,则当r取最小值　　　　　时,经过直线l与圆C交点的圆C的切线方程为　 .
高考小题突破8
考点一
圆锥曲线定义与标准方程
(3)(2022·山西怀仁期末)已知F是抛物线y2=4x的焦点,过焦点F的直线l交抛物线的准线于点Q,点A在抛物线上且|AQ|=|AF|=3,则直线l的斜率为(　　)
解析 (1)设F1(-c,0),F2(c,0),则|PF2|=|F1F2|=2c,则由椭圆定义得
|PF1|=2a-|PF2|=2(a-c),所以在△PF1F2中,
解题技巧
1.应用圆锥曲线定义的技巧:对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离,一般要利用定义进行转化;对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化.
2.求圆锥曲线方程的方法:先确定曲线类型,然后利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.
对点练1(1)(2021·新高考Ⅰ·5)已知F1,F2是椭圆C: =1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12 C.9 D.6
(2)(2022·河北保定期末)为了更好地研究双曲线,某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型,已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=36 cm,则|AD|=(　　)
(3)(2022·山东济南一模)已知椭圆C1: =1的焦点分别为F1,F2,且F2是抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点,若P是C1与C2的交点,且|PF1|=7,则cos∠PF1F2的值为　　　　　.
则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|·|MF2|的最大值为9.故选C.
(3)因为|PF1|=7,由椭圆的定义得|PF2|=2a-|PF1|=12-7=5,因为点F2是抛物线C2的焦点,则该抛物线的准线l过点F1,如图,过点P作PQ⊥l于点Q,则F1F2∥PQ,由抛物线的定义知|PQ|=|PF2|=5,
考点二
圆锥曲线的几何性质
考向1求椭圆或双曲线的离心率
(3)由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,则|PF1|=|PF2|+2a,
所以|PH|+|PF1|=|PH|+|PF2|+2a.
如图,过F2作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为A,则有|PH|+|PF2|+2a≥|AF2|+2a,|AF2|=b,所以b+2a=3a,
即b=a,可得离心率
规律方法
求圆锥曲线的离心率的方法
(2)(2022·山西运城期末)已知点A为椭圆 =1(a>b>0)的左顶点,O为坐标原点,过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l,若直线l上存在点P满足∠APO=30°,则椭圆离心率的最大值为　　　　　.
(3)(2022·浙江·16)已知双曲线 =1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0故选A.
(2)如图所示,由对称性不妨设P在x轴上方,设|PF|=m,∠POF=α,∠PAF=β,
∵|OF|=c,|OA|=a,
考向2圆锥曲线的其他几何性质
典例突破3(1)(2022·山东烟台一模)已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2 ,则该抛物线的准线方程为(　　)
A.x= B.x=-1 C.x=-2 D.x=-4
(2)(2022·河南南阳期末)已知双曲线C: =1(a>0,b>0),P为双曲线C上的一点,若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1,则双曲线的半焦距c的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(1,2] C.(0,2] D.[2,+∞)
答案 (1)B　(2)D　(3)A　
所以E(-2,0),则点A在点E正上方,连接AE,PE,
由椭圆的定义,得2a=|PE|+|PF|≤|PA|+|AE|+|PF|=10,即a≤5,所以m=a2≤25,
当P,A,E在一条直线上,且点P在第二象限时取等号.
2a=|PE|+|PF|≥|PA|-|AE|+|PF|=6,即a≥3,所以m=a2≥9,当P,A,E在一条直线上,且点P在第三象限时取等号.因为点A(-2,2)在椭圆内部,所以当x=-2
规律方法
求解与圆锥曲线的几何性质有关问题的方法
1.几何法:如果题中给出的条件有明显的几何特征,主要考虑用图形的几何性质求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论求解 2.代数法:若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,将问题转化为求函数的值域或最值
对点练3(1)(2022·山东济宁期末)“1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点三
直线与圆锥曲线的位置关系
答案 (1)A　(2)13　
∴|AF1|=|F1F2|,∴直线DE为线段AF2的垂直平分线,
连接EF2,DF2,则四边形ADF2E为轴对称图形,
∴△ADE周长=|DE|+|AE|+|AD|=|DE|+|EF2|+|DF2|=4a=8c=13.
规律方法
中点弦问题常用的求解方法
对点练4(1)(2022·新高考Ⅱ·16)已知直线l与椭圆 =1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别相交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2 ,则直线l的方程为　　　　　　　　.
(2)(2022·陕西咸阳一模)已知在平面直角坐标系中,直线y=kx+m(k≠0)既是抛物线x2=4y的切线,又是圆x2+(y+1)2=1的切线,则m=　　　　　.
(方法二)取AB的中点E,因为|MA|=|NB|,
所以|ME|=|NE|,设A(x1,y1),B(x2,y2),
(2)将y=kx+m代入x2=4y,得方程x2-4kx-4m=0,
由题意Δ=16k2+16m=0,所以m=-k2,因为k≠0,所以m≠0.由直线y=kx+m与圆
考点四
圆与圆锥曲线的综合问题
典例突破5(1)(2022·江西吉安期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆F:x2+y2-4x=0,M(x,y)为抛物线上一点,且x∈[2,4],过M作圆F的两条切线,切点分别为A,B,则|AB|的取值范围为　 .
(2)(2022·山东淄博期末)已知抛物线C1:y2=8x,圆C2:x2+y2-4x+3=0,点M(1,1),若A,B分别是C1,C2上的动点,则|AM|+|AB|的最小值为　　　　　.
(2)由抛物线C1:y2=8x得焦点F(2,0),准线为x=-2.
由圆C2:x2+y2-4x+3=0得(x-2)2+y2=1,
所以C2是以F(2,0)为圆心,r=1为半径的圆,
所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1,当且仅当A,B,F在一条直线上时,取等号,所以当|AM|+|AF|取得最小值时,|AM|+|AB|取得最小值,根据抛物线的定义知|AF|等于点A到准线x=-2的距离,所以过点M作准线x=-2的垂线,垂足为N,与抛物线C1:y2=8x相交,当点A为此交点时,|AM|+|AF|取得最小值,最小值为
|1-(-2)|=3,
所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1≥3-1=2.
规律方法
圆与圆锥曲线的综合问题的求解方法:
(1)求解圆与圆锥曲线的综合问题要注意数形结合,搞清问题中已知条件的内在联系,依据所求问题的结论将图形性质、位置关系转化为数量关系,通过数量关系的求解得出结论.
(2)圆锥曲线与向量、三角函数、基本不等式等交汇的综合问题,一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件,再利用其他的知识点解题,或者是其他的知识点转化为条件,再利用圆锥曲线的几何性质解题.
对点练5(1)(2022·山西运城期末)已知椭圆 =1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方,若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率为　　　　　.
(2)(2022·山东泰安期末)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,以F为圆心,3p为半径的圆交抛物线E于P,Q两点,以线段PF为直径的圆经过点
D(0,-1),则点F到直线PQ的距离为　　　　　.
解析 (1)如图所示,设线段PF的中点为M,连接OM.
设椭圆的右焦点为F',连接PF',则OM∥PF',|PF'|=2|OM|,
培优拓展
一、椭圆与双曲线焦点三角形面积公式的应用
证明 在椭圆焦点△PF1F2中,设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,则(2c)2=m2+n2-2mncos∠F1PF2,
【例1】 (1)(2020·全国Ⅲ·理11)设双曲线C: =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
解析 (1)(方法一)不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n,
对点练1(1)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 (1)B　(2)B　
解析 (1)由三角形面积公式得 |PF1|·|PF2|sin 60°,所以|PF1|·|PF2|=4,故选B.
(2)(方法一)由题意知a=1,b= ,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).
因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.
由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2,
所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,
二、焦点三角形求离心率
(1)椭圆结论:设椭圆焦点三角形两个以焦点为顶点的角分别为α,β,则
答案 (1)D　(2)D　
答案 (1)A　(2)D　
三、抛物线的二级结论的应用
(1)过抛物线y2=2px(p>0)对称轴上的一点M(t,0)的直线l与抛物线交于
(3)过抛物线x2=2py(p>0)焦点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线交于A,B两点,
证明 (1)设直线l的方程为x=my+t,代入y2=2px,得y2-2pmy-2pt=0,所以
y1y2=-2pt,
又(y1y2)2=(-2pt)2,
即4p2x1x2=4p2t2,
所以x1x2=t2.
(2)如图所示,|FA'|=|AF|cos θ,由抛物线的定义,|AF|=|AM|=p+|FA'|=p+|AF|cos θ,
【例3】 (1)(2022·山东滨州期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为4,过焦点F的直线与抛物线相交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则下列结论中不正确的是(　　)
A.抛物线C的准线l的方程为x=-2
B.|MN|的最小值为4
C.若A(4,2),点Q为抛物线C上的动点,则|QA|+|QF|的最小值为6
D.2x1+x2的最小值为4
(2)已知抛物线C:y2=4x,点A,B在抛物线上,且分别位于x轴的上、下两侧,若
=5,则直线AB过定点　　　　　.
(3)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M( ,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,|BF|=2,则点A的坐标为　　　　　.
答案 (1)B　(2)(5,0)　(3)(2,2)或(2,-2)　
解析 (1)∵焦点F到准线l的距离为4,∴p=4,∴抛物线的方程为y2=8x,
过Q作准线的垂线,垂足为P,则|QA|+|QF|=|QA|+|QP|≥AP=4+2=6,当且仅当A,Q,P三点共线时取等号,所以|QA|+|QF|的最小值为6,故C正确;
(3)(2022·河北邯郸期末)已知A,B是抛物线C:y2=2px(p>0)上两点,焦点为F,抛物线上存在一点M(3,t)到准线的距离为4,则下列说法不正确的是(　　)
A.p=2
B.若OA⊥OB,则直线AB恒过定点(4,0)
答案 (1)C　(2)A　(3)D　
高考增分大题五　
考点一
圆锥曲线中的求值问题
增分1　圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题
(1)求C的方程;
(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或xP=-3.
由直线BP的方程得yQ=2或yQ=8.所以点P,Q的坐标分别为
(方法三)根据对称性可设Q在x轴上方,由题意可得P也在x轴上方,如下图所示:
当P点在y轴左侧时,过P点作PM⊥AB,直线x=6和x轴交于点N(6,0),
规律方法
直线与圆锥曲线的求值问题的解题思路
(1)翻译转化:将几何关系恰当转化(准确、简单),变成尽量简单的代数式子;或反之将代数关系恰当转化为几何关系.
(2)消元求值:对所列出的方程或函数关系式进行变形、化简、消元、计算,最后求出所需的变量的值.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.
(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,
由Δ>0可得(16k2+8k)2-4×(1+4k2)(16k2+16k)>0,解得k<0.
考点二
圆锥曲线中的最值问题
典例突破2(2022·河南名校联盟一模)已知点F为椭圆C: =1(a>b>0)的右焦点,椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若M为椭圆C上的点,以M为圆心,MF长为半径作圆M,若过点E(-1,0)可作圆M的两条切线EA,EB(A,B为切点),求四边形EAMB面积的最大值.
解 (1)因为椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3,最小值为1,所以
(2)由(1)知,E(-1,0)为椭圆的左焦点,如图所示,
根据椭圆定义知,|ME|+|MF|=4,设r=|MF|=|MB|,由题意,点E在圆M外,所以|ME|=4-r>r,所以1≤r<2,
规律方法
目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型
对点练2(2021·全国乙·文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
解 (1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,C的方程为y2=4x.
(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).
考点三
圆锥曲线中的范围问题
典例突破3(2022·河南名校期末)已知动直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F,且与抛物线C交于M,N两点,且点M在x轴上方.
(1)若|MN|=3|NF|,求l的方程;
(2)设点Q(n,0)(n≠1)是x轴上的定点,若l变化时,M总在以QF为直径的圆外,求n的取值范围.
解 (1)由题意得F(1,0),设直线l的方程为x=ty+1,M(x1,y1)(y1>0),N(x2,y2)(y2<0),
综上所述,n的取值范围是[0,1)∪(1,9).
规律方法
圆锥曲线中的范围问题的解题方法
对点练3(2022·河北唐山期末)已知圆O:x2+y2=4,点M是圆O上任意一点,M在x轴上的投影为N,点P满足 ,记点P的轨迹为E.
(1)求曲线E的方程;
(2)已知F(1,0),过F的直线m与曲线E交于A,B两点,过F且与m垂直的直线n与圆O交于C,D两点,求|AB|+|CD|的取值范围.
考点四
圆锥曲线中的存在性问题
典例突破4(2022·浙江杭州4月质检)如图,设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆E:(x+1)2+y2=4与y轴的正半轴的交点为A,△AEF为等边三角形.
(1)求抛物线C的方程.
(2)设抛物线C上的点P( ,y0)(y0>0)处的切线与圆E交于M,N两点,在圆E上是否存在点Q,使得直线QM,QN均为抛物线C的切线 若存在,求Q点坐标;若不存在,请说明理由.
解 (1)易知点E(-1,0),则F(1,0),p=2,所以抛物线C:y2=4x.
(2)存在.设M(x1,y1),N(x2,y2).过点M,N作抛物线C的两条切线(异于直线MN)交于点Q,并设切线QM:x-x1=t1(y-y1),QN:x-x2=t2(y-y2).
设过点M的直线x-x1=t(y-y1)与抛物线C相切,代入抛物线方程y2=4x,
得y2-4ty+4ty1-4x1=0,
解题技巧
有关存在性问题的求解策略
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定的问题明朗化.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.
(3)解决存在性问题时要注意解题的规范性,一般先写出结论,后给出证明(理由).
培优拓展
问题提出
直线与圆锥曲线的综合题往往需要求出直线与曲线相交所得的弦长,求弦长可利用圆锥曲线的弦长公式,但很多同学计算能力不强,导致耗费大量时间所求的弦长不正确,为此,可以推出一般形式下直线与椭圆、双曲线相交的弦长,在求具体的弦长时当公式用,既省时又准确.
名师点析
1.结论2中的一元二次方程、判别式、韦达定理只需将椭圆对应的式子的b2换成-b2即可,因此,两个结论只需记住结论1中的一元二次方程和判别式,
3.对于解答题,弦长公式不能直接应用,应有过程步骤,若考生能够记住并写出直线与椭圆联立整理后的方程式、判别式Δ的表达式及韦达定理表达式后,就可用本定理的弦长公式,能极大地提高运算速度及运算的准确性.
结论应用
答案 B　
(1)求椭圆E和圆F的方程.
(2)若直线l:y=k(x- )(k>0)与圆F交于A,B两点,与椭圆E交于C,D两点,其中A,C在第一象限,是否存在k,使|AC|=|BD| 若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1且互相垂直的两条直线l1,l2分别交椭圆C于A,B两点和M,N两点,求|AB|+|MN|的取值范围.
同理当l2垂直x轴时,|AB|+|MN|=7.
当l1,l2不垂直x轴时,设l1的方程为y=k(x+1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),
考点一
圆锥曲线中的证明问题
增分2　圆锥曲线中的定点、定值、证明问题
典例突破1(2022·北京房山一模)已知椭圆C的离心率为 ,长轴的两个端点分别为A(-2,0),B(2,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点(1,0)的直线l与椭圆C交于M,N(不与A,B重合)两点,直线AM与直线
(1)解 由长轴的两个端点分别为A(-2,0),B(2,0),可设椭圆
规律方法
常见解析几何证明问题转化策略
对点练1(2022·甘肃平凉二模)已知抛物线C的焦点F在x轴上,过F且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,点A在第一象限且|AB|=4.
(1)求C的标准方程;
(2)已知l为C的准线,过F的直线l1交C于M,N(异于A,B)两点,证明:直线AM,BN和l相交于一点.
得|y|=p,
∴2p=4,p=2,∴抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)证明 由(1)可知A(1,2),B(1,-2),设直线l1的方程为x=my+1(m≠0),由
的点的纵坐标相等,
∴直线AM,BN和l相交于一点.
考点二
与圆锥曲线有关的定点问题
为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;
(2)证明:直线CD过定点.
去y,整理得(9+m2)x2+6m2x+9m2-81=0,Δ=2 916>0恒成立.
y=kx+m=k(x-6)过定点(6,0),不合题意,舍去.
规律方法
1.圆锥曲线中定点问题的常见解法:
(1)要证明直线或曲线过定点,可以根据已知条件直接求直线或曲线的方程,方程一旦求出,即能找到直线或曲线过的定点,也就证明了过定点;
(2)对于直线或曲线是否过定点问题,一般先假定过定点,并假设出定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点;
(3)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.
对点练2(2022·陕西咸阳二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M,N两点,S△MON=2.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若A,B两点在抛物线C上,且|AF|+|BF|=10,求证:直线AB的垂直平分线l恒过定点.
(1)解 ∵MN过焦点且与x轴垂直,故|MN|=2p,
解得p=2,从而抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点为D(x0,y0),由题知直线AB的垂直平分线斜率存在,设为k,则|AF|+|BF|=x1+x2+2=10,∴x1+x2=8,∴x0=4.
考点三
与圆锥曲线有关的定值问题
典例突破3在平面直角坐标系中,A1,A2两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线A1M,A2M相交于点M且它们的斜率之积是- ,记动点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,Q两点,且点P位于x轴上方,记直线A1Q,A2P的斜率分别为k1,k2,证明 为定值.
解题技巧
1.求或证明某个量为定值的常见方法:
(1)从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
左、右顶点分别为A1,A2.
(1)若椭圆的长轴长为4,求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点,证明:点P分别与A1,A2连线的斜率的乘积为定值,并求出该定值.
考点四
圆锥曲线中定点、定值的探究问题
典例突破4(12分)(2022·河南开封二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,S(t,4)为C上一点,直线l交C于M,N两点(与点S不重合).
(1)若l过点F且倾斜角为60°,|FM|=4(M在第一象限),求C的方程.
(2)若p=2,直线SM,SN分别与y轴交于A,B两点,且 =8,判断直线l是否恒过定点 若是,求出该定点;若否,请说明理由.
【评分标准—找回丢分】
【教师讲评—触类旁通】
分析1:在(1)中,联立直线与抛物线的方程后得出方程两个根,由M在第一象限得出M的横坐标,再根据条件|FM|=4求出p的值,从而得出抛物线C的方程.
分析2:在(2)中,采取设而不求的方法,设出直线方程并联立直线与抛物线方程得出两交点M,N的纵坐标与直线系数的关系式(*),再用M,N的坐标表示直线SM,SN的方程及其在y轴上的交点,由条件 =8得M,N纵坐标的关系,结合关系式(*)得直线系数的关系,从而证出直线过定点.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)点P为椭圆C上的动点(不是顶点),点P与点M,N分别关于原点、y轴对称,连接MN与x轴交于点E,并延长PE交椭圆C于点Q,则直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积是否为定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
(方法二)设直线PQ的方程为y=kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(-x1,-y1),
N(-x1,y1),E(-x1,0),
培优拓展
问题提出
1.解析几何条件的表达及转化既重要又关键,表达及转化好了能减少运算量,特别是在转化过程中发掘出隐含的几何关系,比经过运算得到的几何关系要简捷得多.
x1+x2,x1x2叫做基本对称式,所有的对称式都能用基本对称式表示,即用韦达定理表示,所以式子要想用韦达定理表示,必须对称.
3.“设而求”的方法,是在解题中,设直线方程的斜率k,纵截距m,点的坐标等,目的是求,可求设出的参数,在求的过程中,通过消元减少未知量的个数,最后变成单个变量的函数或方程.
4.“设而不求”的方法,是在解题中,可设直线方程y=kx+m,与曲线的交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),“不求什么” 不求x1,y1,x2,y2,因为很难求,或者用不着求出.不求怎么办 就得消元,如消y1,y2,
消元后得到g(x1,x2)=0,往后运算不是消元,而是换元,怎么换元 就用到直线与曲线联立后得到方程中的x1+x2,x1x2,即韦达定理换元.
探究一条件的表达与转化
【例1】 已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)
结论应用
答案 B　
解析 (方法一)(条件的直接使用)如图,设|F2B|=x,则|AF2|=2x,|AB|=|BF1|=3x,
由|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=4x,∴|AF1|=2x.
设∠F1F2B=θ,则∠F1F2A=π-θ,又|F1F2|=2,则在△F1F2B中,
(方法二)(由条件 几何关系 代数关系)设|F2B|=x,则|AF2|=2x,|AB|=|BF1|=3x,
由|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=4x,∴|AF1|=2x=|AF2|,故A点为短轴端点,
【例2】 设F1,F2分别是椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为 ,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
(2)(方法一)　由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,
探究二把握好设而求与设而不求
(1)求椭圆C的方程.
②求△ABQ面积的最大值.
所以|kxQ-yQ+m|=|-2kx0+2y0+m|=|3m|,
探究三准确把握运算中的消元方法
(2)设直线AD,CB的斜率分别为k1,k2,若k1∶k2=2∶1,求k的值.
所以直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0.